高中数学人教A版必修二课后练习32 圆与方程章末检测卷

第四章检测试题( 时间 :120分钟满分 :150 分 )【选题明细表】知识点、方法题号圆的方程1,6,8,14,16直线与圆订交问题5,7,11,17直线与圆相切问题15,19圆与圆的地址关系3圆的方程综合应用问题4,10,12,20,21空间直角坐标系2,9,13,18一、选择题 ( 本大题共 12小题 , 每题5分, 共 60分)1. 若方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以 (2,-4)为圆心 ,4为半径的圆 ,则 F等于( B )(A)2(B)4(C)6(D)8剖析 : 由圆的一般方程知, 此方程表示的圆的圆心为(-,- ), 半径为, 所以 - =2,- =-4,=4, 得 D=-4,E=8,F=4, 应选 B.2.空间直角坐标系 Oxyz 中的点 P(1,2,3) 在 xOy 平面内射影是 Q,则点 Q的坐标为 ( A )(A)(1,2,0)(B)(0,0,3)(C)(1,0,3)(D)(0,2,3)剖析 : 因为空间直角坐标系 Oxyz 中 , 点 P(1,2,3) 在 xOy 平面内射影是 Q,所以点 Q 的坐标为(1,2,0).3. 圆 C:(x+1)2222的地址关系为 ( C ) +y =4与圆 M:(x-2) +(y-1)=9(A) 内切 (B)外切 (C) 订交 (D) 相离剖析 : 圆 C:(x+1)2+y2=4 的圆心 C(-1,0),半径 r=2;圆 M:(x-2) 2+(y-1) 2=9 的圆心 M(2,1), 半径 R=3.所以 |CM|==,R-r=3-2=1,R+r=3+2=5.所以 R-r<<R+r. 所以两圆订交 . 应选 C.22上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是 ( C )4. 圆 x +y-4x-4y-10=0(A)36(B)18(C)6(D)5剖析 : 圆 x2+y2-4x-4y-10=0的圆心为 (2,2), 半径为 3 , 圆心到直线 x+y-14=0的距离为=5>3, 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=6. 应选 C.5.y=kx(x-2)2+y 2=1的两个交点对于直线2x+y+b=0,k,b( D )(A)- ,4 (B),4(C)- ,-4(D) ,-4剖析 : 直线 y=kx 与圆 (x-2) 2+y2=1 的两个交点对于直线2x+y+b=0 对称 , 则直线 2x+y+b=0 一定过圆 (x-2) 2+y2=1 的圆心 (2,0),代入得b=-4,同时直线y=kx 与直线 2x+y+b=0 垂直 , 可得-2 × k=-1, 解得 k= , 应选 D.6. 若方程 x2+y2-x+y+m=0 表示圆 , 则实数 m的取值范围是 ( A )(A)m< (B)m>(C)m<0 (D)m≤剖析 : 由题意得1+1-4m>0, 得 m< .7. 若圆 (x-3) 2+(y+5) 2=r 2上有且只有两个点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1, 则半径 r 的取值范围为( A )(A)(4,6)(B)[4,6)(C)(4,6](D)[4,6]剖析 : 结合图象可知 ,-1<-r<1, 所以 -1<5-r<1,所以 4<r<6. 故选 A.8. 点 P(4,-2) 与圆 x2+y 2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是( A )(A)(x-2)2+(y+1)2=1(B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=1(D)(x+2)2+(y-1)2=1解析 : 设圆上任意一点坐标为 (x ,y), 其与点 P 所连线段的中点坐标为 (x,y),则11即代入 x2+y2=4, 得22(2x-4) +(2y+2)=4,化简得 (x-2)2+(y+1)2=1. 应选 A.9. 在空间直角坐标系Oxyz 中 ,z轴上的点 M到点 A(1,0,2)与点 B(1,-3,-1)的距离相等 ,则点 M的坐标是 ( A )(A)(0,0,-1) (B)(0,0,3)(C)(0,0,)(D)(0,0,-)剖析 : 设 z 轴上的点 M(0,0,z), 得 12+02+(z-2)2=(1-0) 2 +(-3-0) 2+(-1-z) 2解得 z=-1,所求的点为 (0,0,-1).10. 设实数 x,y 知足 (x-2) 2+y2=3, 那么的最大值是( D )(A)(B)(C)(D)剖析 : 以以下图 , 设过原点的直线方程为y=kx, 则与圆有交点的直线中,k max= , 所以的最大值为,应选 D.11. 过点P(1,1) 的直线 , 将圆形地区 {(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大 , 则该直线的方程为( A )(A)x+y-2=0(B)y-1=0(C)x-y=0(D)x+3y-4=0剖析 : 欲使两部分的面积之差最大 , 需直线与 OP 垂直 , 因为 k OP=1, 所以所求的直线方程为 y-1=-(x-1), 即 x+y-2=0.12. 当曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个相异交点时, 实数k 的取值范围是( C )(A)(0,)(B)( ,](C)(, ](D)(,+ ∞)剖析 : 曲线 y=1+是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆(如图),直线y=k(x-2)+4是过定点 (2,4) 的直线 .设切线 PC的斜率为 k0, 则切线 PC的方程为 y=k0(x-2)+4, 圆心 (0,1) 到直线 PC的距离等于半径 2,即=2,k 0=.直线 PA的斜率为k1= . 所以<k≤. 应选 C.二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 5 分, 共 20 分)13. 空间两点A(2,5,4),B(-2,3,5)之间的距离等于.剖析 :|AB|==.答案 :14. 若圆 C 经过坐标原点和点 (4,0),且与直线y=1相切,则圆 C 的方程是.剖析 : 设圆的方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2,因为圆C经过点(0,0)和点(4,0),所以a=2,又圆与直线y=1相切,可得1-b=r,故圆的方程为(x-2)2+(y-b)2=(1-b)2,将(0,0)代入解得b=- ,r= , 所以圆的方程为(x-2)2+(y+) 2=.22答案 :(x-2) +(y+ ) =15. 由直线 y=x+1 上的点向圆 (x-3) 2+(y+2) 2=1 引切线 , 则切线长的最小值为.剖析 : 若使切线长最小, 则直线上的点到圆心的距离 d 最小 , 又 d min==3,此时切线长为=.答案 :16. 过两圆 x2+y2-2y-4=0与x2+y2-4x+2y=0的交点,且圆心在直线l:2x+4y-1=0上的圆的方程是.剖析 : 设圆的方程为x2+y2 -4x+2y+ λ (x 2+y2-2y-4)=0,则(1+λ)x2-4x+(1+ λ )y 2+(2-2 λ )y-4 λ =0, 把圆心 (,) 代入 l:2x+4y-1=0的方程,可得λ = ,所以所求圆的方程为22x -y -3x+y-1=0.答案 :x 2-y 2-3x+y-1=070 分)三、解答题 ( 本大题共 5 小题 , 共17.( 本小题满分14 分)A,B两点 , 且 |AB|=2, 求直已知圆 M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l过点P(2,3)且与圆M交于线 l 的方程 .解 :(1) 当直线 l 斜率存在时 , 设直线 l 的方程为 y-3=k(x-2), 即 kx-y+3-2k=0.作表示图如图 ,MC⊥ AB于 C.在 Rt △ MBC中,|BC|= |AB|= ,|MB|=2,故 |MC|==1,由点到直线的距离公式得=1,解得 k= .故直线 l 的方程为3x-4y+6=0.(2)当直线 l 的斜率不存在时 , 其方程为 x=2,且 |AB|=2 , 所以符合题意 .综上所述 , 直线 l 的方程为3x-4y+6=0 或 x=2.18.( 本小题满分14 分)以以下图 , 已知四棱锥 P-ABCD的底面是边长为 4 的正方形 ,PD⊥平面 ABCD,PD=4 ,M 为PB的中点 ,N 在线段 AB上 , 求当 |MN| 最短时 ,N 点所处的地址 .解 : 成立以以下图的空间直角坐标系,则 A(4,0,0),B(4,4,0),P(0,0,4).因为 M点为 PB 的中点 ,所以 M(2,2,2).又 N在线段 AB上,所以 N(4,b,0)(0≤ b≤4).所以 |MN|=.所以当 b=2 时|MN| min==4.此时 N 为 AB的中点 ,所以当 N 为 AB 的中点时 |MN| 最短 .19.( 本小题满分14 分)已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=2, 点 P(2,-1),过 P 点作圆 C 的切线 PA,PB,A,B 为切点 .(1)求 PA,PB 所在直线的方程 ;(2)求切线长 |PA|;(3)求直线 AB的方程 .解 :(1) 设切线的方程为 y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0,又C(1,2),半径r=,由点到直线的距离公式得:=, 解得 ,k=7或 k=-1.故所求切线 PA,PB 的方程分别是x+y-1=0和 7x-y-15=0.(2) 在 Rt △ APC中 ,|AC|=r=,|PC|==,所以 |PA|===2 .1122),1212(3) 设 A(x,y ),B(x,y则 (x-1) +(y -2)=2,(x 2-1) 2+(y2-2)2=2.因为 k CA· k AP=-1, 即·=-1,所以 (y1-2)(y 1+1)=-(x 1-1)(x 1 -2),变形得(y 1-2)(y 1-2+3)=-(x1-1)(x 1-1-1),(y 1-2)211-1)2+(x1-1), +3(y -2)=-(x(x2+(y2-2)-(x-1)=0.1-1)1-2) +3(y11因为 (x 1-1) 2+(y 1-2) 2=2,所以上式可化简为x 1-3y 1 +3=0. 同理可得 :x 2-3y 2+3=0.因为 A,B 两点的坐标都知足方程 x-3y+3=0,所以直线 AB 的方程是 x-3y+3=0.20.( 本小题满分 14 分)已知圆 C:x 2+y 2+4x-4ay+4a 2+1=0, 直线 l:ax+y+2a=0.(1) 当 a= 时 , 直线 l 与圆 C 订交于 A,B 两点 , 求弦 AB 的长 ;(2) 若 a>0 且直线 l 与圆 C 相切 , 求圆 C 对于直线 l 的对称圆 C ′的方程 .解 :(1) 因为圆 C:(x+2) 2 +(y-2a) 2=( ) 2, 又 a= ,所以圆心 C 为(-2,3), 直线 l:3x+2y+6=0, 圆心 C 到直线 l 的距离d= =,所以 |AB|=2=.(2) 将 y=-ax-2a 代入圆 C 的方程化简得 (1+a 2)x 2+4(1+2a 2)x+16a 22222因为 a>0, 所以 a=,2+1= 0(*),所以方程 (*) 的解为 x=-,所以切点坐标为 (- , ),依照圆对于切线对称的性质可知切点为 CC ′的中点 , 故圆心 C ′的坐标为 (-5,), 所以圆 C ′的方程为22(x+5) +(y-) =3.21.( 本小题满分 14 分)已知圆 C:x 2+y 2-2x+4y-4=0, 可否存在斜率为 1 的直线 l, 使以 l 被圆截得的弦 AB 为直径的圆过原点 ?若存在 , 求出直线 l 的方程 ; 若不存在 , 说明原因 . 解 : 假定存在斜率为 1 的直线 l, 知足题意 , 且 OA ⊥ OB.设直线 l 的方程是 y=x+b, 其与圆 C 的交点 A,B 的坐标分别为 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则·=-1, 即 x1x+y y =0. ①212由消去 y 得 :2x 2+2(b+1)x+b 2+4b-4=0,1212=2②所以 x+x =-(b+1),x x(b +4b-4),1212b)=12+b122222y y =(x+b )(x +x x( x +x )+ b =( b + 4b- 4 )- b -b+ b = (b 2+2b-4).③把②③式代入①式, 得 b2+3b-4=0,解得 b=1 或 b=-4, 且 b=1 或 b=-4故存在直线l 知足题意 , 其方程为都使得y=x+1=4(b+1)或 y=x-4.2-8(b2+4b-4)>0成立 ,。

2021-2022年高中数学第四章圆与方程章末综合测评2含解析新人教A 版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D.86【解析】 由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB |＝－3－22＋4＋12＋0－62＝86.【答案】 D2．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(1，－1)D ．(－1,1)【解析】 圆的标准方程得：(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋k 22＝1－3k 24，当半径的平方1－3k 24取最大值为1时，圆的面积最大．∴k ＝0，即圆心为(－1,0)．【答案】 B3．圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内含D ．内切【解析】 把圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0分别化为标准式为(x －2)2＋(y －3)2＝1和(x －4)2＋(y －3)2＝9，两圆心间的距离d ＝4－22＋3－32＝2＝|r 1－r 2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D.【答案】 D4．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0，故选A.【答案】 A5．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定【解析】 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．【答案】 B6．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0【解析】 圆心C (1,0)，k PC ＝0－－11－2＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0，故选D. 【答案】 D7．圆心在x 轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －2)2＝1【解析】 设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a －2)2＋(1－0)2＝1，解得a ＝2.故所求圆的方程是(x －2)2＋y 2＝1.【答案】 A8．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．6 2D ．5 2【解析】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.【答案】 C9．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对【解析】 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－32＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 【答案】 C10．若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)【解析】 因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4<r <6.【答案】 B11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】 设点(－2,2)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3，n ＝－3，所以圆C 2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2，故选D.【答案】 D12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2【解析】 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知A (1,2,3)，B (5,6，－7)，则线段AB 中点D 的坐标为________.【解析】 设D (x ，y ，z )，由中点坐标公式可得x ＝1＋52＝3，y ＝2＋62＝4，z ＝3－72＝－2，所以D (3,4，－2)．【答案】 (3,4，－2)14．以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________． 【解析】 原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.【答案】 x 2＋y 2＝2515．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________________．【解析】 圆心为(－1,2)． 设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0， 由点到直线的距离公式，得 |3×－1＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2， 解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0. 【答案】 3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0 16．若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值范围是________． 【解析】 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示半圆，如图，设P (x ，y )是半圆上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程． 【解】 法一：∵圆心在y 轴上， 设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋4－b2＝r 2，32＋2－b2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 法二：线段AB 的中点为(1,3)，k AB ＝2－43－－1＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为0＋12＋1－42＝10，∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．在三棱柱ABO ­A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2.若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．【解】 如图所示，以三棱柱的O 点为坐标原点，以OA ，OB ，OO ′所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)，B (0,2,0)，O (0,0,0)，A ′(2,0,2)，B ′(0,2,2)，O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)， 设E 点坐标为(0,2，z )，根据空间两点间距离公式得 |EC |＝0－12＋2－02＋z －12＝z －12＋5，故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5，此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 19．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B .(1)求直线PA ，PB 的方程； (2)求过P 点的圆C 的切线长．【解】 (1)切线的斜率存在，设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.圆心到直线的距离等于2，即|－k －3|k 2＋1＝2，∴k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1， 故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)，即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. (2)在Rt △PAC 中|PA |2＝|PC |2－|AC |2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8， ∴过P 点的圆C 的切线长为2 2.20．(本小题满分12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【解】 设点M (x ，y )，因为M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC . 又∵∠BAC ＝90°，∴|MA |＝12|BC |＝|MB |.∵|MB |2＝|OB |2－|OM |2，∴|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图1所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．图1(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长． 【解】 (1)AC 的中点E (0,2)即为圆心， 半径r ＝12|AC |＝1242＋－22＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5. (2)直线BC 的斜率k ＝1－－22－－2＝34，其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0.点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2. 22. (本小题满分12分)如图2，已知圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0，点A (0,6)．图2(1)求圆心在直线y ＝x 上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于P ，Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，求直线m的方程．【解】 (1)由x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0， 化为标准方程：(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50. 所以圆C 的圆心坐标为C (－5，－5)， 又圆N 的圆心在直线y ＝x 上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(a ，a )， 则有a －02＋a －62＝a －02＋a －02，解得a ＝3，所以圆N 的圆心坐标为(3,3)，半径r ＝32， 故圆N 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.(2)因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP ⊥CQ .所以点C 到直线m 的距离为5.当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为x ＝0.当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝kx ＋6， 即kx －y ＋6＝0.所以|－5k ＋5＋6|1＋k 2＝5，解得k ＝4855. 所以此时直线m 的方程为4855x －y ＋6＝0，即48x －55y ＋330＝0，故所求直线m 的方程为x ＝0或48x －55y ＋330＝0.5o:25896 6528 攨; x aE30446 76EE 目;33656 8378 荸32678 7FA6 羦28129 6DE1 淡。

人教版高一数学必修二第四章 圆与方程 教材配套检测题一、选择题1. 设圆心为1C 的圆方程为()()22539x y -+-=，圆心为2C 的圆的方程为224290x y x y +-+-=，则这两个圆的圆心距为.5A .25B .10C .D 2. 空间直角坐标系中，点()3,4,0A -与点()2,1,6B -间的距离为.A .1B .9C D 3. 若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(),P a b 与圆的位置关系为.A 在圆上 .B 在圆外 .C 在圆内 .D 以上皆有可能4. 在圆224x y +=上，与直线:43120l x y +-=的距离最小的点的坐标为.A 86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 86.,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 86.,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 86.,55D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5. 方程()222200x y ax ay a ++-=≠表示的圆.A 关于x 轴对称 .B 关于y 轴对称 .C 关于直线0x y -=对称 .D 关于直线0x y +=对称6. 若方程()222220a x a y ax a ++++=表示圆，则a 的值为.A 1a =或2a =- .B 2a =或1a =- .C 1a =- .D 2a =二、填空题7. 直线1:2340l x y -+=，2:3210l x y -+=的交点P 与圆()()22245x y -+-=的关系是 . 8. 经过原点O 作圆()2264x y -+=的切线，切线长是 .9. 经过点()2,3P -作圆2220x y +=的弦AB ，且使得点P 平分AB ，则弦AB 所在直线的方程是 .10. 点P 在圆221:84110C x y x y +--+=上，点Q 在圆222:4210C x y x y ++++=上，则PQ 的最小值是 . 三、解答题11. 已知三条直线1:20l x y -=，2:10l y +=，3:210l x y +-=两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.12. 在ABC ∆中，已知2BC =，且ABm AC=，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.13. 由一点()3,3A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆22:4C x y x +-470y -+=相切，求光线l 所在直线方程.14. 求过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的交点，并且有最小面积的圆'C 的方程.参考答案一、选择题 15ADCAD - 6.C 二、填空7. 解析：解方程组{23403210x y x y -+=-+=，得{12x y ==.把()1,2代入圆C 方程左边，得 ()()2212245-+-=，所以两直线交点在圆C 上. 8.=9. 解析：把点P 坐标代入圆2220x y +=的左边， 得()22231320+-=<，所以点P 在圆O 内. 经过点P 被点P 平分的圆的弦与OP 垂直. ∵ 32OP k =-， ∴ 弦AB 所在直线的斜率是23, 弦AB 所在的直线方程是 ()2323y x +=-，即23130x y --=. 10. 解析：把圆1C 、圆2C 的方程都化为标准方程形式，得()()22429x y -+-=，()()22214x y +++=圆1C 的圆心坐标为()4,2，半径长为3； 圆2C 的圆心坐标为()2,1--，半径长为2.=所以，PQ 的最小值是5. 三、解答题11. 解析：2l 平行于x 轴，1l 与3l 互相垂直. 三交点A 、B 、C 构成直角三角形， 经过A 、B 、C 三点的圆就是以AB 为直径的圆. 解方程组{2010x y y -=+= 得{21x y =-=-∴ 点A 的坐标为()2,1--，解方程组{21010x y y +-=+= 得 {11x y ==-∴ 点B 的坐标为()1,1-.线段AB 的中点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又3AB =.∴ 所求圆的标准方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭. 12. 如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系.则有()1,0B -，()1,0C ，设点A 的坐标为(),x y ， 由ABm AC=整理得 ()()()()222222112110m x m y m x m -+--++-=. ① 当21m =时，1m =，方程是0x =，轨迹是y 轴.当21m ≠时，对①式配方得 ()22222221411m m x y m m ⎛⎫+-+= ⎪-⎝⎭-. 此时点A 的轨迹是以221,01m m ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，221m m -为半径的圆（除去圆与BC 的交点）.13. 解法一：因为点()3,3A -关于x 轴的对称点为()'3,3A --，设直线l 的斜率为k ，则过点'A 的直线l 的方程为()33y k x +=-+，将()33y k x =-+-代入圆方程，整理得()()()22221235293080k xk k x k k +++-+++=若直线l 与圆相切，则0∆=，即 21225120k k ++=，解之得 34k =-或43k =-. 所以，所求直线l 的方程为()3334y x -=-+或()4333y x -=-+即 3430x y +-=或4330x y ++=.解法二：配方得圆的标准方程为()()22221x y -+-=. 设光线l 所在直线方程为()33y k x -=+， ∵ 0k ≠，令0y =得 ()31k x k -+=，∴ 反射点为()31,0k k ⎛-+⎫ ⎪⎝⎭. 由于光线的入射角等于反射角，∴ 反射光线'l 所在直线方程为()31k y k x k ⎡+⎤=-+⎢⎥⎣⎦即 ()310kx y k +++=. 又∵ 直线l 与圆相切， ∴1=，整理得 21225120k k ++=.解之得 34k =- 或 43k =-.所以，所求直线l 的方程为()3334y x -=-+或()4333y x -=-+即 3430x y +-=或4330x y++=.14. 解析：方法一经配方，圆C 的方程可化为()()22124x y ++-=， 设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，D 为线段AB 的中点， 则直线CD 的方程为250x y -+=. 解方程组 {250240x y x y -+=++= 得135x =-，65y =， ∴ 点D 坐标为136,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴ CD =AD ==∴ 以D 为圆心、AB 为直径的圆是面积最小的圆，其方程为221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法二：设所求圆的方程为()()22241240x y x y x y λ++-++++=，配方得 ()222451616124x y λλλλ--+⎛⎫⎡++⎤++= ⎪⎣⎦⎝⎭. 半径长为r ，则222516165844455r λλλ-+⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭.当85λ=时，2r 有最小值45，圆面积有最小值245R ππ=. 此时圆'C 的方程为 222612370555x y x y ++-+=. 说明：数形结合，经过两圆的交点且面积最小的圆就是以公共弦为直径的圆. 直线l 就是圆C 与圆'C 的公共弦所在的直线.。

圆的方程单元测试卷一、选择题1、以两点A〔-3，-1〕，B〔5，5〕为直径端点的圆的标准方程是〔〕A.x2y22x4y200B.x2y22x4y950C.(x1)2(y2)225D.(x1)2(y2)21002、如果圆x2y2Dx EyF 0与y轴的两个交点分别位于原点的两侧，那么〔〕A.D0,F0B.F0C.E0,F0 D.E0,D03、圆x2y21上的点到直线3x4y250的距离的最小值是〔〕A．6B．4C．5D．14、圆x2y2x2y61，圆(x sin)2(y1)21，其中090，那么两圆的位置关系为〔〕1616A．相交B．外切C．内切D．相交或外切5、在空间直角坐标系中，以A〔-10，1，-6〕，B〔-4，-1，-9〕，C〔-2，-4，-3〕三点为顶点的三角形为〔〕A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.一般三角形6、设点〔x0,y0〕在圆x2y2r2的外部，那么直线x0x y0yr2与圆的位置关系是〔〕A．相交B．相C．相离D．不确定切7、曲线C：(x2)2y22，那么与曲线C相切且在两坐标轴的截距相等的直线有〔〕A．1条B．2条C．3条b．4条8、实数x，y满足2x y50,那么x2y2的最小值为〔〕A．5B．10C．25D．2109、假设圆(x a)2(y b)2b21始终平分圆(x1)2(y1)24的周长，那么有〔〕A.a22a2b30B.a22a2b50C.a22b22a2b10 D.a22b22a2b3010、过圆x2y24外一点M(4,1)引圆的两条切线，那么经过两切点的直线方程为()A．4xy40B．4xy40 C．4x y40D．4xy4011、假设圆(x 3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y2的距离等于1，那么半径r的取值范围是〔〕A．〔4，6〕B．[4,6)C．(4,6]D．[4，6]12、假设关于x的方程4x2kx 32k0有且只有两个不同的实数根，那么实数k的取值范围是〔〕A．5,3B．5,1C．0,5D．5,124121212二、填空题13、在空间直角坐标系中，P〔2，1，3〕，Q〔3，4，-1〕两点的距离为________________.14、如果方程x2y22x y k 0表示圆，那么实数k的取值范围是________________.15、过点〔1，1〕，且与两平行直线xy20，x y 20都相切的圆的方程是________________.16、半径为1的圆与x2y29相切，那么动圆圆心的轨迹方程为________________.三、解答题17、求经过原点且与直线x 1及(x 1)2(y 2)21都相切的圆的方程。

3. 2 直线的方程 单元测试1. 下列命题中正确的是： （ ）A 、经过点P 0（x 0, y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k (x －x 0)表示B 、经过定点A （0, b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示C 、经过任意两个不同点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)的直线都可用方程（x 2－x 1）(y －y 1)=(y 2－y 1)(x －x 1)表示D 、不经过原点的直线都可以用方程1=+b y a x 表示 2. 直线x cosα+y si n α+1=0,α)2,0(π∈的倾斜角为( )A αB 2π－αC π－αD 2π+α 3. 以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）A.3x －y －8=0 B .3x +y +4=0 C. 3x －y +6=0 D. 3x +y +2=04．方程012)1(=++--a y x a )(R a ∈表示的直线( )A.恒过(－2, 3)B. 恒过(2, 3)C. 恒过(－2, 3)或(2, 3)D.都是平行直线5. 过点Ｍ(2, 1)的直线与x 轴，y 轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,则l 的方程是（ ）A. x －2y +3=0B. 2x －y －3=0 C .2x +y －5=0 D. x +2y －4=06. 直线2x +y +m =0和x +2y +n =0的位置关系是（ ）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能确定7．把直线l 1: x +3y －1=0沿y 轴负方向平移1个单位后得到直线l 2，又直线l 与直线l 2关于x 轴对称，那么直线l 的方程是（ ）A. x －3y +2=0B. x －3y －4=0C. x －3y －2=0D. x －3y +4=08. 如图，直线axy1-=的图象可能是（）A B C D9．设A、B两点是x轴上的点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA 的方程为x－y+1=0，则PB的方程为（）A．x+y－5=0 B．2x－y－1=0 C．2 y－x－4=0 D．2x+y－7=0 10．过点P（1，－2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )A.4条B.3条C.2条D.1条11. 直线l1, l2在x轴上的截距都是m，在y轴上的截距都是n，则l1, l2满足（）A．平行B．重合C．平行或重合D．相交或重合12. 已知直线l1的方程为y=x，直线l2的方程为ax－y=0（a为实数）．当直线l1与直线l2的夹角在（0，12π）之间变动时，a的取值范围是（）A.()B., ）C.（0，1）D.（1）13 . 将直线y＝x+3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，则所得直线方程为.14．一直线过点（－3，4），并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_____ _____．15. 直线ax －6y －12a ＝0(a ≠0)在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，则a 等于 .16．原点Ｏ在直线l 上的射影为点Ｈ(－2, 1)，则直线l 的方程为 .17．若方程02222=++-y x my x 表示两条直线，则m 的取值是 ．18. 不论a , b 为何实数，直线(2a +b )x +(a +b )y +a －b =0均通过一定点，此定点坐标是 ．19. ①求平行于直线3x +4y －12=0,且与它的距离是7的直线的方程;②求垂直于直线x +3y －5=0, 且与点P(－1,0)的距离是1053的直线的方程.③求过直线17810l x y --=：和221790l x y ++=：的交点，且垂直于直线270x y -+=的直线方程.20. 在直线方程y=kx+b中，当x∈[－3,4]时，y∈[－8,13],求此直线的方程21. 已知直线l被两平行直线0+y-x03=6x和所截得的线段长为3，+y+3=3且直线过点（1，0），求直线l的方程.22l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．23. 设不等式2x－1＞m(x2－1)对一切满足|m|≤2的值均成立，求x的范围.3.2 直线方程参考答案D 13. y=3x14.0164=+-y x 15. －216. 2x －y +5=0;17. 1=m18. (－2, 3) 19. (1)3x +4y +23=0或3x +4y －47=0;(2)3x －y +9=0或3x －y －3=0.(3)解：由方程组217907810x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得11271327x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以交点坐标为11132727--（，）. 又因为直线斜率为12k =-， 所以求得直线方程为27x +54y +37=0.20. y =－3x +4; y =3x +121. x =1或3x －4y －3=0.22. 分析：直线l 应满足的两个条件是（1）直线l 过点（－5, －4）；（2）直线l 与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5.如果设a ，b 分别表示l 在x 轴，y 轴上的截距，则有521=⋅b a .这样就有如下两种不同的解题思路： 第一，利用条件（1）设出直线l 的方程（点斜式），利用条件（2）确定第二，利用条件（2）设出直线l 的方程（截距式），结合条件（1）确定a ，b 的值.解法一：设直线l 的方程为()54+=+x k y 分别令00==x y ，，得l 在x 轴，y 轴上的截距为：k k a 45+-=，45-=k b由条件（2()104545±=-⋅+-k kk 得01630252=+-k k 无实数解；或01650252=+-k k ，解得525821==k k ，故所求的直线方程为：02058=+-y x 或01052=--y x解法二：设l 的方程为1=+b y a x ，因为l 经过点()45--，，则有：145=-+-b a ① 又10±=ab ② 联立①、②，得方程组⎪⎩⎪⎨⎧±==-+-1015ab b b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=425b a 或⎩⎨⎧-==25b a 因此，所求直线方程为：02058=+-y x 或01052=--y x .23.解析：原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,则f (－2)＜0,且f (2)＜0. 答案：213217+<<-x。

高一数学必修二第四单元：圆与方程单元过关试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( )． A ．m ＜12 B ．m ＜1C ．m ＞12D ．m ≤122．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1，3)处的切线方程为( )． A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝03．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P(a ，b)的位置是( )． A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上都有可能4．设点P(a ，b ，c)关于原点的对称点P ′，则|PP ′|＝( )． A.a 2＋b 2＋c 2B ．2a 2＋b 2＋c 2C ．|a ＋b ＋c|D ．2|a ＋b ＋c|5．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．设圆x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0与x 轴交于A ，B 两点，则|AB|的长是( )． A. 6 B ．2 6 C ．2 3 D ．37．若△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )．A. 2 B ．2 C. 3 D ．38．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是( )．A.32π B.34π C ．3π D ．不存在 9．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)相连，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )． A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1 10．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－x －22有公共点，则k 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，43C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．[0,1] 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．在空间中点A(3,4，－5)关于z 轴对称的点的坐标是________．12．若点P(1，－1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 的内部，则实数m 的取值范围是________．13．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________． 14. 对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________． 15．(10分)求经过原点，且过圆x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0和直线x －y ＋5＝0的两个交点的圆的方程． 三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(10分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．17．(10分)如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN(M ，N 为切点)，使PM ＝2PN ，试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．18．(12分)如图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标并判断△ABC 的形状．19．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －5)2＝4和圆C 2：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4. (1)若直线l 1过点A(2,0)，且与圆C 1相切，求直线l 1的方程．(2)若直线l 2过点B(4,0)，且被圆C 2截得的弦长为23，求直线l 2的方程；(3)直线l 3的方程是x ＝52，证明：直线l 3上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线l 4和l 5，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 4被圆C 1截得的弦长与直线l 5被圆C 2截得的弦长相等．20. 若一三角形三边所在的直线方程分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝4，圆C 2：(x ＋m )2＋(y ＋m ＋5)2＝2m 2＋8m ＋10(m ∈R ，且m ≠－3)．(1)设P 为坐标轴上的点，满足：过点P 分别作圆C 1与圆C 2的一条切线，切点分别为T 1、T 2，使得PT 1＝PT 2，试求出所有满足条件的点P 的坐标；(2)若斜率为正数的直线l 平分圆C 1，求证：直线l 与圆C 2总相交．（备选题）22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆x 29＋2y 29＝1的右顶点，点D (1,0)，点P ，B 在椭圆上，BP →＝DA →.(1)求直线BD 的方程；(2)求直线BD 被过P ，A ，B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以PB ，PA 为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．解析：一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( )． A ．m ＜12 B ．m ＜1C ．m ＞12D ．m ≤12解析 由二元二次方程表示圆的充要条件D 2＋E 2－4F ＞0，得(－1)2＋12－4m ＞0，∴m ＜12.答案 A2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1，3)处的切线方程为( )． A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0解析 设切线方程为y －3＝k(x －1)，由于圆心坐标为C(2,0)，则k CP ＝－3，从而k ＝13，故所求切线方程为y －3＝13(x －1)，即x －3y ＋2＝0.答案 D3．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P(a ，b)的位置是( )．A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能解析 直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交知，1a 2＋b2＜1，即a 2＋b 2＞1.可知(a ，b)在圆外，故选B.答案 B4．设点P(a ，b ，c)关于原点的对称点P ′，则|PP ′|＝( )． A.a 2＋b 2＋c 2B ．2a 2＋b 2＋c 2C ．|a ＋b ＋c|D ．2|a ＋b ＋c|解析 P ′(a ，b ，c)关于原点对称的点为P(－a ，－b ，－c)，则|PP ′|＝[a －－a ]2＋[b －－b ]2＋[c －－c ]2＝2a 2＋b 2＋c 2.答案 B5．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析 ∵x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0，∴(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到x ＋y ＋1＝0的距离为d ＝|－1－2＋1|2＝2＝r2，∴有三个点，故选C.答案 C6．设圆x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0与x 轴交于A ，B 两点，则|AB|的长是( )． A. 6 B ．2 6 C ．2 3 D ．3解析 当y ＝0时，方程为x 2＋2x －5＝0，此方程的两根为－1±6，所以|AB|＝2 6. 答案 B7．若△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )．A. 2 B ．2 C. 3 D ．3解析 A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，BC 中点坐标为(1,1,0)，由距离公式得12＋12＋12＝ 3.故选C.答案 C8．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是( )．A.32π B.34π C ．3π D ．不存在解析 所给圆的半径为r ＝1＋m －12－2m22＝12－m ＋12＋3.所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是34π.故选B. 答案 B9．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)相连，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )． A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1解析 设M(x ，y)，则P(2x －3,2y)，代入x 2＋y 2＝1，得(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案 C10．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－x －22有公共点，则k 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，43B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，43C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．[0,1] 解析 曲线y ＝－1－x －22的图形是一个半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k 的取值范围是[0,1]，故选D. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．在空间中点A(3,4，－5)关于z 轴对称的点的坐标是________．解析 空间中关于z 轴对称的点的坐标的特点是：竖坐标不变，横、纵坐标变为原来的相反数． 答案 (－3，－4，－5)12．若点P(1，－1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 的内部，则实数m 的取值范围是________． 解析 (1＋2)2＋(－1)2＜m ，即m ＞10，∴m 的取值范围是(10，＋∞)． 答案 (10，＋∞)13．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________． 解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)， 则r ＝|a ＋0＋0|12＋12＝2， ∴a ＝－2，∴圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2. 答案 (x ＋2)2＋y 2＝214. 对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________．解析 直线方程可化为k(3x －y)＋2x －2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，2x －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.所以直线恒过定点(1,3)，而(1,3)在圆上，所以直线与圆相交或相切． 答案 相切或相交三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(10分)求经过原点，且过圆x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0和直线x －y ＋5＝0的两个交点的圆的方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0，x －y ＋5＝0，求得交点(－2,3)，(－4,1)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵(0,0)，(－2,3)，(－4,1)三点在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋1－4D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝195，E ＝－95，F ＝0，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋195x －95y ＝0.16．(10分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．解 由圆M 和圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M(m ，－2)，N(－1，－1)． 两圆方程相减得直线AB 的方程为 2(m ＋1)x －2y －m 2－1＝0. ∵A 、B 两点平分圆N 的圆周，∴AB 为圆N 的直径，直线AB 过点N(－1，－1)． ∴2(m ＋1)×(－1)－2×(－1)－m 2－1＝0. 解得m ＝－1.故圆M 的圆心为M(－1，－2)．17．(10分)如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN(M ，N 为切点)，使PM ＝2PN ，试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解 如图所示，以O 1O 2中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．已知PM ＝2PN ，得PM 2＝2PN 2，由两圆半径均为1得PO 21－1＝2(PO 22－1)． 设点P(x ，y)，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 即(x －6)2＋y 2＝33. 所以所求点P 轨迹方程为 (x －6)2＋y 2＝33.18．(12分)如图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标并判断△ABC 的形状．解 过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，则BD ＝1，CD ＝3， ∴DE ＝CD sin 30°＝32， OE ＝OB －BE ＝OB －BDcos 60°＝1－12＝12.∴D 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.∵B(0，－1,0)，C(0,1,0)，A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0， ∴|AB|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋12＋0＝3，|AC|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝⎛⎭⎪⎫12－12＋0＝1，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2＝4 ∴△ABC 是直角三角形．19．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －5)2＝4和圆C 2：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4. (1)若直线l 1过点A(2,0)，且与圆C 1相切，求直线l 1的方程．(2)若直线l 2过点B(4,0)，且被圆C 2截得的弦长为23，求直线l 2的方程；(3)直线l 3的方程是x ＝52，证明：直线l 3上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线l 4和l 5，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 4被圆C 1截得的弦长与直线l 5被圆C 2截得的弦长相等． 解 (1)若直线斜率不存在，x ＝2符合题意； 当直线斜率存在时，设直线l 1的方程为：y ＝k(x －2)， 即kx －y －2k ＝0由条件得：|4k －5－2k|k 2＋1＝2， 解得：k ＝2120，所以直线l 1的方程：x ＝2或y ＝2120(x －2)，即x ＝2或21x －20y －42＝0.(2)由题意知直线l 2的斜率存在，设直线l 2的方程为：y ＝k(x －4)， 即kx －y －4k ＝0，由条件得：圆心C 2到直线l 2的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1， 结合点到直线的距离公式，得：|－3k －1－4k|k 2＋1＝1，化简得：24k 2＋7k ＝0， k ＝0或k ＝－724，所以直线l 2的方程为：y ＝0或y ＝－724(x －4)，即y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(3)由题意知，直线l 4，l 5的斜率存在，设直线l 4的斜率为k ，则直线l 5的斜率为－1k ，设点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，n ，互相垂直的直线l 4，l 5的方程分别为y －n ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，y －n ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52， 即kx －y ＋n －52k ＝0，－1k x －y ＋n ＋52k＝0，根据直线l 4被圆C 1截得的弦长与直线l 5被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理得；圆心C 1到直线l 4与圆心C 2到直线l 5的距离相等．故有⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k －5＋n －52k k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －1＋n ＋52k 1k2＋1，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫52－n k ＝212－n 或⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋n k ＝－n －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋n .关于k 的方程有无穷多解， 有12＋n ＝0，即n ＝－12， 即直线l 3上满足条件的点P 是存在的，坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12.20.21..(2)依题意可设直线l 的方程为：y ＋2＝k (x －3)，k ＞0，化简得kx －y －3k －2＝0，（备选题）22、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆x 29＋2y 29＝1的右顶点，点D (1,0)，点P ，B 在椭圆上，BP →＝DA →.(1)求直线BD 的方程；(2)求直线BD 被过P ，A ，B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以PB ，PA 为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&【方法技巧】求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式AB＝2r2－d2；求圆的方程问题常见于找出圆心和半径，对于两圆的位置关系则多借助于几何关系进行判定．鑫达捷。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高一数学必修二第四单元：圆与方程单元过关试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( )． A ．m ＜12 B ．m ＜1C ．m ＞12D ．m≤122．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1，3)处的切线方程为( )． A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝03．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P(a ，b)的位置是( )． A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上都有可能4．设点P(a ，b ，c)关于原点的对称点P′，则|PP′|＝( )． A.a 2＋b 2＋c 2 B ．2a 2＋b 2＋c 2 C ．|a ＋b ＋c|D ．2|a ＋b ＋c|5．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．设圆x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0与x 轴交于A ，B 两点，则|AB|的长是( )． A. 6 B ．2 6 C ．2 3 D ．37．若△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )．A. 2 B ．2 C. 3 D ．38．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是( )．A.32πB.34π C ．3π D ．不存在9．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)相连，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )． A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝110．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－－2有公共点，则k 的取值范围是( )．A.⎝⎛⎦⎤0，43B.⎣⎡⎦⎤13，43C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,1]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．在空间中点A(3,4，－5)关于z 轴对称的点的坐标是________．12．若点P(1，－1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 的内部，则实数m 的取值范围是________．13．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．14. 对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________．15．(10分)求经过原点，且过圆x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0和直线x －y ＋5＝0的两个交点的圆的方程．三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．17．(10分)如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN(M ，N 为切点)，使PM ＝2PN ，试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．18．(12分)如图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，12，0，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标并判断△ABC 的形状．19．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －5)2＝4和圆C 2：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4. (1)若直线l 1过点A(2,0)，且与圆C 1相切，求直线l 1的方程．(2)若直线l 2过点B(4,0)，且被圆C 2截得的弦长为23，求直线l 2的方程；(3)直线l 3的方程是x ＝52，证明：直线l 3上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线l 4和l 5，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 4被圆C 1截得的弦长与直线l 5被圆C 2截得的弦长相等．20. 若一三角形三边所在的直线方程分别为x ＋2y －5＝0，y －2＝0，x ＋y －4＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝4，圆C 2：(x ＋m )2＋(y ＋m ＋5)2＝2m 2＋8m ＋10(m ∈R ，且m ≠－3)．(1)设P 为坐标轴上的点，满足：过点P 分别作圆C 1与圆C 2的一条切线，切点分别为T 1、T 2，使得PT 1＝PT 2，试求出所有满足条件的点P 的坐标；(2)若斜率为正数的直线l 平分圆C 1，求证：直线l 与圆C 2总相交．（备选题）22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆x 29＋2y 29＝1的右顶点，点D (1,0)，点P ，B 在椭圆上，BP →＝DA →.(1)求直线BD的方程；(2)求直线BD被过P，A，B三点的圆C截得的弦长；(3)是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．解析：一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( )． A ．m ＜12 B ．m ＜1C ．m ＞12D ．m≤12解析 由二元二次方程表示圆的充要条件D 2＋E 2－4F ＞0，得(－1)2＋12－4m ＞0，∴m ＜12.答案 A2．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1，3)处的切线方程为( )． A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0解析 设切线方程为y －3＝k(x －1)，由于圆心坐标为C(2,0)，则k CP ＝－3，从而k ＝13，故所求切线方程为y －3＝13(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 答案 D3．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P(a ，b)的位置是( )． A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上都有可能解析 直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交知，1a 2＋b2＜1，即a 2＋b 2＞1.可知(a ，b)在圆外，故选B.答案 B4．设点P(a ，b ，c)关于原点的对称点P′，则|PP′|＝( )． A.a 2＋b 2＋c 2 B ．2a 2＋b 2＋c 2 C ．|a ＋b ＋c|D ．2|a ＋b ＋c|解析 P′(a ，b ，c)关于原点对称的点为P(－a ，－b ，－c)，则|PP′|＝[a －－2＋[b －－2＋[c －－2＝2a 2＋b 2＋c 2.答案 B5．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 ∵x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0，∴(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到x ＋y ＋1＝0的距离为d ＝|－1－2＋1|2＝2＝r2，∴有三个点，故选C.答案 C6．设圆x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0与x 轴交于A ，B 两点，则|AB|的长是( )． A. 6 B ．2 6 C ．2 3 D ．3解析 当y ＝0时，方程为x 2＋2x －5＝0，此方程的两根为－1±6，所以|AB|＝2 6. 答案 B7．若△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )．A. 2 B ．2 C. 3 D ．3解析 A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，BC 中点坐标为(1,1,0)，由距离公式得12＋12＋12＝ 3.故选C. 答案 C8．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是( )．A.32π B.34π C ．3π D ．不存在 解析 所给圆的半径为r ＝1＋－2－2m 22＝12－＋2＋3.所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是34π.故选B. 答案 B9．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)相连，线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )． A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1解析 设M(x ，y)，则P(2x －3,2y)，代入x 2＋y 2＝1，得(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案 C10．若直线y ＝kx －1与曲线y ＝－1－－2有公共点，则k 的取值范围是( )．A.⎝⎛⎦⎤0，43B.⎣⎡⎦⎤13，43 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．[0,1]解析 曲线y ＝－1－－2的图形是一个半圆，直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，在同一坐标系中画出直线和半圆的草图，由图可知，k 的取值范围是[0,1]，故选D. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．在空间中点A(3,4，－5)关于z 轴对称的点的坐标是________．解析 空间中关于z 轴对称的点的坐标的特点是：竖坐标不变，横、纵坐标变为原来的相反数． 答案 (－3，－4，－5)12．若点P(1，－1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 的内部，则实数m 的取值范围是________． 解析 (1＋2)2＋(－1)2＜m ，即m ＞10，∴m 的取值范围是(10，＋∞)． 答案 (10，＋∞)13．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________． 解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)， 则r ＝|a ＋0＋0|12＋12＝2，∴a ＝－2，∴圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2. 答案 (x ＋2)2＋y 2＝214. 对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________．解析 直线方程可化为k(3x －y)＋2x －2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y ＝0，2x －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.所以直线恒过定点(1,3)，而(1,3)在圆上，所以直线与圆相交或相切． 答案 相切或相交三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(10分)求经过原点，且过圆x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0和直线x －y ＋5＝0的两个交点的圆的方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0，x －y ＋5＝0，求得交点(－2,3)，(－4,1)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵(0,0)，(－2,3)，(－4,1)三点在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋1－4D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝195，E ＝－95，F ＝0，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋195x －95y ＝0. 16．(10分)已知圆M ：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0相交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆M 的圆心坐标．解 由圆M 和圆N 的方程易知两圆的圆心分别为M(m ，－2)，N(－1，－1)． 两圆方程相减得直线AB 的方程为 2(m ＋1)x －2y －m 2－1＝0. ∵A 、B 两点平分圆N 的圆周，∴AB 为圆N 的直径，直线AB 过点N(－1，－1)． ∴2(m ＋1)×(－1)－2×(－1)－m 2－1＝0. 解得m ＝－1.故圆M 的圆心为M(－1，－2)．17．(10分)如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2＝4，过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN(M ，N 为切点)，使PM ＝2PN ，试建立平面直角坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解 如图所示，以O 1O 2中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．已知PM ＝2PN ，得PM 2＝2PN 2，由两圆半径均为1得PO 21－1＝2(PO 22－1)．设点P(x ，y)，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 即(x －6)2＋y 2＝33. 所以所求点P 轨迹方程为 (x －6)2＋y 2＝33.18．(12分)如图所示，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，12，0，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标并判断△ABC 的形状．解 过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，则BD ＝1，CD ＝3，∴DE ＝CD sin 30°＝32， OE ＝OB －BE ＝OB －BDcos 60°＝1－12＝12.∴D 坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32.∵B(0，－1,0)，C(0,1,0)，A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，∴|AB|＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫12＋12＋0＝3， |AC|＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫12－12＋0＝1， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2＝4 ∴△ABC 是直角三角形．19．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －5)2＝4和圆C 2：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4. (1)若直线l 1过点A(2,0)，且与圆C 1相切，求直线l 1的方程．(2)若直线l 2过点B(4,0)，且被圆C 2截得的弦长为23，求直线l 2的方程；(3)直线l 3的方程是x ＝52，证明：直线l 3上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线l 4和l 5，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 4被圆C 1截得的弦长与直线l 5被圆C 2截得的弦长相等． 解 (1)若直线斜率不存在，x ＝2符合题意；当直线斜率存在时，设直线l 1的方程为：y ＝k(x －2)， 即kx －y －2k ＝0由条件得：|4k －5－2k|k 2＋1＝2，解得：k ＝2120，所以直线l 1的方程：x ＝2或y ＝2120(x －2)， 即x ＝2或21x －20y －42＝0.(2)由题意知直线l 2的斜率存在，设直线l 2的方程为：y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0，由条件得：圆心C 2到直线l 2的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎫2322＝1， 结合点到直线的距离公式，得：|－3k －1－4k|k 2＋1＝1，化简得：24k 2＋7k ＝0， k ＝0或k ＝－724，所以直线l 2的方程为：y ＝0或y ＝－724(x －4)， 即y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(3)由题意知，直线l 4，l 5的斜率存在，设直线l 4的斜率为k ，则直线l 5的斜率为－1k，设点P 坐标为⎝⎛⎭⎫52，n ，互相垂直的直线l 4，l 5的方程分别为y －n ＝k ⎝⎛⎭⎫x －52，y －n ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －52， 即kx －y ＋n －52k ＝0，－1k x －y ＋n ＋52k＝0，根据直线l 4被圆C 1截得的弦长与直线l 5被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理得；圆心C 1到直线l 4与圆心C 2到直线l 5的距离相等．故有⎪⎪⎪⎪4k －5＋n －52k k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪3k －1＋n ＋52k 1k 2＋1，化简得⎝⎛⎭⎫52－n k ＝212－n 或⎝⎛⎭⎫12＋n k ＝－n －12＝－⎝⎛⎭⎫12＋n . 关于k 的方程有无穷多解， 有12＋n ＝0，即n ＝－12， 即直线l 3上满足条件的点P 是存在的，坐标是⎝⎛⎭⎫52，－12. 20.21..(2)依题意可设直线l 的方程为：y ＋2＝k (x －3)，k ＞0，化简得kx －y －3k －2＝0，（备选题）22、 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆x 29＋2y 29＝1的右顶点，点D (1,0)，点P ，B 在椭圆上，BP →＝DA →.(1)求直线BD 的方程；(2)求直线BD 被过P ，A ，B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以PB，PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．【方法技巧】求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式AB＝2r2－d2；求圆的方程问题常见于找出圆心和半径，对于两圆的位置关系则多借助于几何关系进行判定．。

2019年 高中数学 人教A 版 必修2 圆与方程 单元复习卷一、选择题1.已知圆心为C （6，5)，且过点B （3，6)的圆的方程为 （ )A.(x-6)2+(y-5)2=10B.(x+6)2+(y+5)2=10C.(x-5)2+(y-6)2=10D.(x+5)2+(y+6)2=102.过点A(1,-1)、B(-1,1)，且圆心在x+y-2=0上的圆的方程是（ )A.(x-3)2＋(y+1)2=4B.(x+3)2＋(y-1)2=4C.(x-1)2＋(y-1)2=4D.(x+1)2＋(y+1)2=43.圆x 2＋y 2-2x+2y=0的周长是（ ). A. B. C. D.4.圆x 2＋y 2＋2x-4y=0的圆心坐标和半径分别是( )A.(1，-2)，5B.(1，-2)，C.(-1,2)，5D.(-1,2)，5.经过点P(5,1),圆心为(8,-3)的圆的方程是( )A.(x+8)2+ (y+3)2=25B.(x-8)2+ (y+3)2=25C.(x-8)2+ (y-3)2=25D.(x+8)2+ (y-3)2=256.过点A(-1,3)，B(3，-1)，且圆心在直线x-2y-1=0上的圆的标准方程为( )A.(x+1)2+ (y+1)2=4B.(x+1)2+ (y+1)2=16C.(x-1)2+y 2=13D.(x-1)2+y 2=57.圆x 2+y 2-2x+6y+6=0的圆心和半径分别为( )A.圆心(1,3)，半径为2B.圆心(1,-3)，半径为2C.圆心(-1,3)，半径为4D.圆心(1,-3)，半径为48.圆C ：(x ＋4)2＋(y －3)2=9的圆心C 到直线4x ＋3y －1=0的距离等于( )A.1.2B.1.6C.4.8D.5.29.过点P(-3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.(0,6π] B.(0,3π] C.[0,6π] D.[0,3π]10.直线l:x-y+1=0与圆C:x 2+y 2-4x-2y+1=0的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交但不过圆心11.直线3x+4y-5=0与圆2x 2+2y 2-4x-2y+1=0的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交且直线不过圆心D.相交且过圆心12.若直线3x ＋4y －12=0与x 轴交 于A 点, 与y 轴于交B 点,那么∆OAB 的内切圆方程是( )A 、x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1=0B 、x 2＋y 2－2x ＋2y ＋1=0C、x2＋y2－2x－2y＋1=0D、x2＋y2－2x－2y－1=0二、填空题：13.已知圆的圆心在点（1，2)，半径为1，则它的标准方程为.14.圆x2+y2﹣4x+6y=0的圆心坐标 .15.P(3,0)为圆C：x2＋y2－8x－2y＋12=0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是______________.16.圆(x-1)2+(y-1)2=1上的点到直线x-y=2的距离的最大值是________.三、解答题：17.求过点M(5,2),N(3,2)且圆心在直线y=2x-3上的圆的方程.18.已知动圆C经过点A(1,-2)，B(-1,4).（1)求周长最小的圆的一般方程；（2)求圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.19.已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3)，B(-1，-1)，C(-3,5)，求这个三角形外接圆的方程.20.已知圆C：(x﹣1)2+(y﹣2)2=2，点P坐标为(2，﹣1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．(1) 求切线PA，PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程．21.已知圆C：(x-1)2＋(y-2)2=25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y-7m-4=0(m∈R)．(1)证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．22.已知圆M：x2+(y-2)2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。

第四章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴两圆的圆心距(0－3)2＋(0－4)2＝5，又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案 C2．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0解析依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y＋2 1＋2＝x－12－1，即3x－y－5＝0.答案 A3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为() A．1，－1 B．2，－2C ．1D ．－1解析 圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心C (1,0)，半径为1，依题意得|1＋a ＋0＋1|(1＋a )2＋1＝1，即|a ＋2|＝(a ＋1)2＋1，平方整理得a ＝－1.答案 D4．经过圆x 2＋y 2＝10上一点M (2，6)的切线方程是( ) A ．x ＋6y －10＝0 B.6x －2y ＋10＝0 C ．x －6y ＋10＝0D ．2x ＋6y －10＝0解析 ∵点M (2，6)在圆x 2＋y 2＝10上，k OM ＝62， ∴过点M 的切线的斜率为k ＝－63. 故切线方程为y －6＝－63(x －2)． 即2x ＋6y －10＝0. 答案 D5．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析 由题意可设所求的直线方程为y ＝－x ＋k ，则由|k |2＝1，得k ＝±2.由切点在第一象限知，k ＝ 2.故所求的直线方程y ＝－x ＋2，即x ＋y －2＝0.答案 A6．关于空间直角坐标系O －xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①点P 到坐标原点的距离为13； ②OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，32；③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．其中正确的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析点P到坐标原点的距离为12＋22＋32＝14，故①错；②正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．答案 A7．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1处，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析∵点M(a，b)在圆x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，又圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1＝r，∴直线与圆相交．答案 B8．与圆O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是()A．4 B．3C．2 D．1解析两圆的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圆心O1(－2,2)，O2(2,5)，半径r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝(2＋2)2＋(5－2)2＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴两圆外切，故有3条公切线．答案 B9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析依题意知直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案 A10．圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为()A．9π B．πC．2π D．由m的值而定解析∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2.∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π.答案 B11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析 设P (x 1，y 1)，Q (3,0)，设线段PQ 中点M 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x 1＋32，y ＝y 12，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P (x 1，y 1)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案 C12．曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，512) B ．(512，＋∞) C ．(13，34]D ．(512，34] 解析 如图所示，曲线y ＝1＋4－x 2变形为x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)， 直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)， 当直线l 与半圆相切时，有 |－2k ＋4－1|k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点(－2,1)时，k ＝34. 因此，k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．解析 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －25＝0的距离为5， ∴所求的最小值为4. 答案 414．圆心为(1,1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________． 解析 r ＝|1＋1－4|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案 (x －1)2＋(y －1)2＝215．方程x 2＋y 2＋2ax －2ay ＝0表示的圆，①关于直线y ＝x 对称；②关于直线x ＋y ＝0对称；③其圆心在x 轴上，且过原点；④其圆心在y 轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．解析 已知方程配方，得(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2(a ≠0)，圆心坐标为(－a ，a )，它在直线x ＋y ＝0上，∴已知圆关于直线x ＋y ＝0对称．故②正确．答案 ②16．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9相交于A ，B 两点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积为________．解析 圆心坐标(2，－3)，半径r ＝3，圆心到直线x －2y －3＝0的距离d ＝5，弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4.又原点(0,0)到AB 所在直线的距离h ＝35，所以△AOB 的面积为S ＝12×4×35＝655.答案 655三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程． 解 解法1：连接OP ，则OP ⊥BC ，设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·yx －4＝－1.即x2＋y2－4x＝0.①当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内)．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝12|OA|＝2，由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．故所求的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内)．18．(12分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．解由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.∵A，B两点平分圆N的圆周，∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)．∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0.解得m＝－1.故圆M的圆心M(－1，－2)．19．(12分)点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．解把圆的方程都化成标准形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.如图所示，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2.所以，|C 1C 2|＝(－3＋1)2＋(1＋2)2＝13.因此，|MN |的最大值是13＋5.20．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，从圆C 外一点P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求|PM |的最小值．解 如图：PM 为圆C 的切线，则CM ⊥PM ，∴△PMC 为直角三角形，∴|PM |2＝|PC |2－|MC |2.设P (x ，y )，C (－1,2)，|MC |＝ 2. ∵|PM |＝|PO |，∴x 2＋y 2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－2.化简得点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.求|PM |的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O 到直线2x －4y ＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21．(12分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2，3)， (1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求PQ 的斜率；(2)若点M 是圆C 上任意一点，求|MQ |的最大值、最小值；(3)若N (a ，b )满足关系：a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求出t ＝b －3a ＋2的最大值．解 圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0可化为(x －2)2＋(y －7)2＝8. (1)点P (m ，m ＋1)在圆C 上，所以m 2＋(m ＋1)2－4m －14(m ＋1)＋45＝0，解得m ＝4，故点P (4,5)．所以PQ 的斜率是k PQ ＝5－34＋2＝13；(2)如图，点M 是圆C 上任意一点，Q (－2,3)在圆外， 所以|MQ |的最大值、最小值分别是 |QC |＋r ，|QC |－r . 易求|QC |＝42，r ＝22， 所以|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝2 2.(3)点N 在圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上，t ＝b －3a ＋2表示的是定点Q (－2,3)与圆上的动点N 连线l 的斜率． 设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0. 当直线和圆相切时，d ＝r ，即|2k －7＋2k ＋3|k 2＋1＝22，解得k ＝2±3.所以t ＝b －3a ＋2的最大值为2＋ 3.22．(12分)已知曲线C ：x 2＋y 2＋2kx ＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0，其中k ≠－1. (1)求证：曲线C 表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明曲线C 过定点；(3)若曲线C 与x 轴相切，求k 的值．解 (1)证明：原方程可化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∵k ≠－1，∴5(k ＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k ，－2k －5)，半径为5|k ＋1|的圆．设圆心的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－k ，y ＝－2k －5.消去k ，得2x －y －5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x －y －5＝0上． (2)证明：将原方程变形为(2x ＋4y ＋10)k ＋(x 2＋y 2＋10y ＋20)＝0， ∵上式对于任意k ≠－1恒成立，∴⎩⎨⎧2x ＋4y ＋10＝0，x 2＋y 2＋10y ＋20＝0.解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－3.∴曲线C 过定点(1，－3)． (3)∵圆C 与x 轴相切，∴圆心(－k ，－2k －5)到x 轴的距离等于半径． 即|－2k －5|＝5|k ＋1|.两边平方，得(2k ＋5)2＝5(k ＋1)2. ∴k ＝5±3 5.。

4.3.2 空间两点间的距离公式【课时目标】 1．掌握空间两点间的距离公式．2．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．3．能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．1．在空间直角坐标系中，给定两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则|P 1P 2|＝________________________________________________________________________．特别地：设点A (x ，y ，z )，则A 点到原点的距离为：|OA |＝________________．2．若点P 1(x 1，y 1,0)，P 2(x 2，y 2,0)，则|P 1P 2|＝______________________．3．若点P 1(x 1,0,0)，P 2(x 2,0,0)，则|P 1P 2|＝________．一、选择题1．若A (1,3，－2)、B (－2,3,2)，则A 、B 两点间的距离为( )A ．61B ．25C ．5D ．572．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9B ．29C ．5D ．263．到点A (－1，－1，－1)，B (1,1,1)的距离相等的点C (x ，y ，z )的坐标满足( )A ．x ＋y ＋z ＝－1B ．x ＋y ＋z ＝0C ．x ＋y ＋z ＝1D ．x ＋y ＋z ＝44．已知A (2,1,1)，B (1,1,2)，C (2,0,1)，则下列说法中正确的是( )A ．A 、B 、C 三点可以构成直角三角形B ．A 、B 、C 三点可以构成锐角三角形C ．A 、B 、C 三点可以构成钝角三角形D ．A 、B 、C 三点不能构成任何三角形5．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB |取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87C ．87D ．19146．点P (x ，y ，z )满足(x －1)2＋(y －1)2＋(z ＋1)2＝2，则点P 在( )A ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上B ．以点(1,1，－1)为中心，以2为棱长的正方体内C ．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上D ．无法确定二、填空题7．在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．8．已知P ⎝⎛⎭⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________．9．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．三、解答题10．在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．11．如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标为(32，12，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长度．能力提升12．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC 上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜2)．(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．13．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则d (P 1，P 2)＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2，当P 1，P 2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式．4．3．2 空间两点间的距离公式 答案知识梳理1．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2 x 2＋y 2＋z 22．(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)23．|x 1－x 2|作业设计1．C [|AB |＝(1＋2)2＋(3－3)2＋(－2－2)2＝5．]2．B [由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29．]3．B [|AC |＝|BC |⇒(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2．即x ＋y ＋z ＝0．]4．A [|AB |＝2，|BC |＝3，|AC |＝1，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2．故构成直角三角形．]5．C [|AB |＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2＝14x 2－32x ＋19，∴当x ＝－－322×14＝87时，|AB |最小．]6．C 7．23938．0或－4解析 利用中点坐标公式，则AB 中点C ⎝⎛⎭⎫12，92，－2，|PC |＝3，即 ⎝⎛⎭⎫32－122＋⎝⎛⎭⎫52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4．9．(0，－1,0)解析 设M 的坐标为(0，y,0)，由|MA |＝|MB |得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，∴y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．10．解 ∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上，∴可设M (x,1－x,0)． ∴|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51≥51，当且仅当x ＝1时取等号，∴当点M 坐标为(1,0,0)时，|MN |min ＝51．11．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°， ∴BD ＝2，CD ＝23，z ＝3，y ＝－1．∴D (0，－1，3)．又∵A (32，12，0)， ∴|AD |＝(32)2＋(12＋1)2＋(3)2＝6． 12．解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB 、BC 、BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连接NG ，易证NG ⊥AB ． ∵CM ＝BN ＝a ，∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ， ∴以B 为原点，以AB 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a ， N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0． (1)|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02 ＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12， (2)由(1)得，当a ＝22时，|MN |最短，最短为22，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点． 13．解 如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝⎛⎭⎫32，3，1． M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212．。