【五年高考三年模拟】2017届高三数学(理)新课标一轮复习练习：3.1 导数与积分

第一节 导数的概念及运算A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·大纲全国，7)曲线y ＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A.2eB.eC.2D.12.(2014·新课标全国Ⅱ，8)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A.0 B.1 C.2 D.33.(2014·陕西，3)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1 4.(2014·江西，8)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A.－1B.－13C.13D.15.(2014·山东，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2 2 B.4 2 C.2 D.46.(2014·湖南，9)已知函数f (x )＝sin(x －φ)，且2π30()d f x x ⎰＝0，则函数f (x )的图象的一条对称轴是( )A.x ＝5π6B.x ＝7π12C.x ＝π3D.x ＝π67.(2014·湖北，6)若函数f (x )，g (x )满足11()()d f x g x x -⎰＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( )A.0B.1C.2D.38.(2016·全国Ⅲ，15)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________.9.(2016·全国Ⅱ，16)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.10.(2015·陕西，15)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.11.(2015·湖南，11) ⎠⎛02(x －1)d x ＝________.12.(2015·天津，11)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________.13.(2015·陕西，16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.14.(2014·江西，13)若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·陕西安康模拟)设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A.e 2B.eC.ln 22D.ln 22.(2016·广东惠州模拟)过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的切线方程为( ) A. x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B. x －y －2＝0C. x －y ＋2＝0D. x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝03.(2016·贵州模拟)若函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A.0B.2C.1D.－14.(2015·山东潍坊模拟)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，f ′(x )的图象是( )5.(2015·陕西西安模拟)曲线f (x )＝x 3＋x －2在p 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则p 0点的坐标为( )A.(1，0)B.(2，8)C.(1，0)和(－1，－4)D.(2，8)和(－1，－4) 6.(2016·河北沧州高三上学期质量检测)已知函数f (x )＝x 33－b 2x 2＋ax ＋1(a ＞0，b ＞0)，则函数g (x )＝a ln x ＋f ′(x )a在点(b ，g (b ))处切线的斜率的最小值是______.7.(2016·山东师大附中10月第二次模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e].(其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________.8.(2015·广东模拟)设球的半径为时间t 的函数R (t )，若球的体积以均匀速度12增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为________.9.(2015·绵阳诊断)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R ). (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围.10.(2015·湖南十二校联考)已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)在区间[1，2]内至少存在一个实数x ，使得f (x )<0成立，求实数a 的取值范围.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.C [由题意可得y ′＝e x －1＋x e x －1，所以曲线在点(1，1)处切线的斜率等于2，故选C.] 2.D [y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.]3.C [∫10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C.]4.B [因为∫10f (x )d x 是常数，所以f ′(x )＝2x ，所以可设f (x )＝x 2＋c (c 为常数)，所以x 2＋c＝x 2＋2(13x 3＋cx )|10，解得c ＝－23，∫10f (x )d x ＝∫10(x 2＋c )d x ＝∫10(x 2－23)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－23x |10＝－13.] 5.D [由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为∫20(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4|20＝4.] 6.A [由定积分∫2π30sin(x －φ)d x ＝－cos(x －φ)|2π30＝12cos φ－32sin φ＋cos φ＝0，得tan φ＝3，所以φ＝π3＋k π(k ∈Z )，所以f (x )＝sin(x －π3－k π)(k ∈Z )，由正弦函数的性质知y ＝sin(x －π3－k π)与y ＝sin(x －π3)的图象的对称轴相同，令x －π3＝k π＋π2，则x ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的图象的对称轴为x ＝k π＋56π(k ∈Z )，当k ＝0，得x ＝5π6，选A.]7.C [对于①，∫1－1sin 12x cos 12x d x ＝∫1－112sin x d x ＝0，所以①是一组正交函数；对于②，∫1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝∫1－1(x 2－1)d x ≠0，所以②不是一组正交函数；对于③， ∫1－1x ·x 2d x ＝∫1－1x 3d x ＝0，所以③是一组正交函数.选C.]8. 2x ＋y ＋1＝0 [设x ＞0，则－x ＜0,f (－x )＝ln x －3x ,又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x－3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1.]9. 1－ln 2 [y ＝ln x ＋2的切线为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1).y ＝ln(x ＋1)的切线为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1，(设切点横坐标为x 2).∴⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln （x 2＋1）－x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.]10.(1，1) [∵(e x )′|x ＝0＝e 0＝1，设P (x 0，y 0)，有⎪⎪⎝⎛⎭⎫1x ′x ＝x 0＝－1x 20＝－1， 又∵x 0＞0，∴x 0＝1，故x P (1，1).] 11.0[∫20(x －1)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫12x 2－x 20＝12×22－2＝0.]12.16 [曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1，1)，面积S ＝∫10x d x －∫10x 2d x ＝12x 2⎪⎪⎪⎪10－13x 210＝12－13＝16.] 13.1.2 [由题意可知最大流量的比即为横截面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2，将点(5，2)代入抛物线方程得a ＝225，故抛物线方程为y ＝225x 2,抛物线的横截面面积为S 1＝2∫50⎝⎛⎭⎫2－225x 2d x ＝2⎝⎛⎭⎫2x －275x 3⎪⎪⎪50＝403(m 2)， 而原梯形上底为10－2tan 45°×2＝6(m)，故原梯形面积为S 2＝12(10＋6)×2＝16，S 2S 1＝16403＝1.2.]14.(－ln 2，2) [由题意有y ′＝－e －x ，设P (m ，n )，直线2x ＋y ＋1＝0的斜率为－2，则由题意得－e －m ＝－2，解得m ＝－ln 2，所以n ＝e －(－ln 2)＝2.]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.B [f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1.∴ln x 0＋1＝2，得ln x 0＝1，即x 0＝e.]2.A [由于点(1,－1)在y ＝x 3－2x 上,当(1,－1)为切点时,切线斜率为 y ′|x ＝1＝1,切线方程为y ＝x －2.当(1,－1)不是切点时,设切点为(x 0，x 30－2x 0)，可得切线方程为y －x 30＋2x 0＝(3x 20－2)·(x －x 0)， 又切线过点(1，－1)，可得x 0＝－12，故切线方程为5x ＋4y ＝1.]3.A [因为f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x －1，令x ＝1得f ′(1)＝1－2f ′(1)－1.所以f ′(1)＝0，故选A.]4.A [因为f (x )＝14x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，所以f ′(x )＝12x －sin x 为奇函数，且f ′⎝⎛⎭⎫π6<0，故选A.]5.C [设p 0(x 0，y 0)，则3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1，所以p 0点的坐标为(1，0)和(－1，－4).故选C.]6.2 [因为a ＞0，b ＞0，又g ′(x )＝a x ＋2x －b a ，则g ′(b )＝a b ＋2b －b a ＝a b ＋ba ≥2，所以斜率的最小值为2.]7.－23 [⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3|10－ln x |e1＝13－1＝－23.] 8.1 [设球的体积以均匀速度c 增长，由题意可知球的体积为V (t )＝43πR 3(t )，则c ＝4πR 2(t )R ′(t )，则cR （t ）R ′（t ）＝4πR (t )，则球的表面积的增长速度为V表＝S ′(t )＝(4πR 2(t ))′＝8πR (t )R ′(t )＝2cR （t ），即球的表面积的增长速度与球的半径的乘积为V 表·R (t )＝2c ＝1.] 9.解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2).(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0，∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10.解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ，f (2)＝14， 曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率k ＝f ′(2)＝8，∴曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －14＝8(x －2)，即8x －y －2＝0. (2)由已知得a >x 3＋10x 2＝x ＋10x 2，设g (x )＝x ＋10x 2(1≤x ≤2)，g ′(x )＝1－20x 3，∵1≤x ≤2，∴g ′(x )<0，∴g (x )在[1，2]上是减函数.g (x )min ＝g (2)＝92，∴a >92，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，＋∞.。

第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算A组基础题组1.已知函数f(x)=cos x,则f(π)+f '=( )A.-B.-C.-D.-2.已知f(x)=x(2 014+ln x), f '(x0)=2 015,则x0=( )A.e2B.1C.ln 2D.e3.(2015河南郑州质检二,5)已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)=( )A.-1B.0C.2D.44.(2015内蒙古呼和浩特期中,5)设曲线y=e ax-ln(x+1)在点(0,1)处的切线方程为2x-y+1=0,则a=( )A.0B.1C.2D.35.如图是函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )6.(2015太原一模)函数f(x)=xe x的图象在点(1, f(1))处的切线方程是.7.已知f(x)=3ln x-2xf '(1),则曲线y=f(x)在点A(1,m)处的切线方程为.8.(2015陕西西工大附中月考)已知函数f(x)=e x-mx+1的图象为曲线C,若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围为.9.已知f1(x)=sin x+cos x,记f2(x)=f1'(x), f3(x)=f2'(x),……,f n(x)=f n-1'(x)(n∈N*,n≥2),则f1+f2+…+f2 014= .10.已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围;(2)若曲线C存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.11.已知函数f(x)=x-,g(x)=a(2-ln x).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a的值,并判断两切线是否为同一条直线.B组提升题组12.下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f '(x)的图象,则f(-1)=( )A. B.-C. D.-或13.(2015宁夏大学附中期中,8)已知函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处切线的斜率为( )A.4B.-C.2D.-14.已知f(x)=acos x,g(x)=x2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在公共点(0,m)处有公切线,则a+b=( )A.-1B.0C.1D.215.已知f(x)=x3-3x2+2x,若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y=f(x)和y=x2+a都相切,则a的值是( )A.1B.C.1或D.1或-16.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.17.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.答案全解全析A组基础题组1.C ∵f(x)=cos x,∴f '(x)=-cos x+·(-sin x),∴f(π)+f '=-+·(-1)=-.2.B 由题意可知f '(x)=2 014+ln x+x·=2 015+ln x.由f '(x0)=2 015,得ln x0=0,解得x0=1.3.B 由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-,∴f '(3)=-.∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf '(x),∴g'(3)=f(3)+3f '(3),又由题图可知f(3)=1,所以g'(3)=1+3×-=0.4.D ∵y=e ax-ln(x+1),∴y'=ae ax-,∴当x=0时,y'=a-1.∵曲线y=e ax-ln(x+1)在点(0,1)处的切线方程为2x-y+1=0,∴a-1=2,即a=3.故选D.5.D 由导函数的图象可知,函数y=f(x)与y=g(x)都是单调增函数,且y=g(x)的增长速度越来越快,y=f(x)的增长速度越来越慢.又g'(x0)=f '(x0),故y=f(x)和y=g(x)的图象在x=x0处的切线互相平行,综上可知应选D.6.答案y=2ex-e解析∵f(x)=xe x,∴f(1)=e,f '(x)=e x+xe x,∴f '(1)=2e,∴f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.7.答案x-y-3=0解析由题意得f '(x)=-2f '(1),所以f '(1)=3-2f '(1),即f '(1)=1.∴m=f(1)=-2f '(1)=-2,所以所求切线方程为y+2=x-1,即x-y-3=0.8.答案,解析函数f(x)=e x-mx+1的导数为f '(x)=e x-m,要使曲线C存在与直线y=ex垂直的切线,则需e x-m=-有解,即m=e x+有解,由e x>0,得m>.则实数m的取值范围为,.9.答案0解析f2(x)=f1'(x)=cos x-sin x,f3(x)=(cos x-sin x)'=-sin x-cos x,f4(x)=-cos x+sin x, f5(x)=sin x+cos x,以此类推,可得出f n(x)=f n+4(x),又f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,∴f1+f2+…+f2 014=503f1+f2+f3+f4+f1+f2=0.10.解析(1)由题意得f '(x)=x2-4x+3,则f '(x)=(x-2)2-1≥-1,即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[-1,+ ).(2)设一条切线的斜率为k,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,-, --,解得-1≤k<0或k≥1,令-1≤x2-4x+3<0或x2-4x+3≥1,解得x∈(- ,2-]∪(1,3)∪[2+,+ ).∴所求的切点横坐标的取值范围是(- ,2-]∪(1,3)∪[2+,+ ).11.解析易知:曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f '(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g'(1)=-a.又f '(1)=g'(1),所以a=-3.因为曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),得y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0;曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1),得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,所以两切线不是同一条直线.B组提升题组12.D ∵f '(x)=x2+2ax+a2-1,∴f '(x)的图象开口向上,则排除②④.若f '(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=;若f '(x)的图象为③,则a2-1=0,且-a>0,∴a=-1,∴f(-1)=-.综上知选D.13.A f '(x)=g'(x)+2x.∵y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,∴g'(1)=2,∴f'(1)=g'(1)+2×1=2+2=4,∴曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为4.14.C 依题意得, f '(x)=-asin x,g'(x)=2x+b, f '(0)=g'(0),∴-asin 0=2×0+b,故b=0,∵m=f(0)=g(0),∴m=a=1,因此a+b=1,选C.15.C 易知点O(0,0)在曲线y=f(x)上,(1)当O(0,0)是切点时,∵O(0,0)在曲线y=f(x)上,∴切线斜率为f '(0)=2,切线方程为y=2x,由,得x2-2x+a=0.依题意知Δ=4-4a=0,∴a=1.(2)当O(0,0)不是切点时,设直线l与曲线y=f(x)的切点为P(x0,y0),则y0=-3+2x0,且直线l的斜率k=f '(x0)=3-6x0+2.①又k==-3x0+2,②由①②得2-3x0=0,得x0=(x0=0舍),所以k=-,∴直线l的方程为y=-x.由-,得x2+x+a=0.依题意知,Δ=-4a=0,∴a=.综上,a=1或a=.16.答案解析由y=x2-ln x,得y'=2x-(x>0),设P0(x0,y0)点是曲线y=x2-ln x上到直线y=x-2的距离最小的点,则y'=2x0-=1,解得x0=1或x0=-(舍).∴P0点坐标为(1,1).∴所求的最小距离==.17.解析(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=,故2a-=.又因为f '(x)=a+,则有a+=,所以a=1,b=3.故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由(1)知, f '(x)=1+,则曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y--=(x-x0).令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为,-.令y=x,得x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为-|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.。

专题15 导数的综合应用（教学案） 2017年高考数学（理）一轮复习精品资料1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．2.会利用导数解决某些实际问题．1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答． 2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．3．方程解的个数问题构造函数，利用导数研究函数的单调性，极值和特殊点的函数值，根据函数性质结合草图推断方程解的个数．高频考点一 用导数解决与不等式有关的问题例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xfx －f xx 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)答案 D 解析 x >0时⎣⎡⎦⎤f x x ′<0，∴φ(x )＝f xx为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0， 此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)． 【变式探究】证明：当x ∈时，22x ≤sin x ≤x .高频考点二、不等式恒成立问题例2、已知定义在正实数集上的函数f (x )＝12x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )(x >0)．(1)解 设两曲线的公共点为(x 0，y 0)， f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2x，由题意知f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即⎩⎨⎧12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝3a2x.由x 0＋2a ＝3a 2x 0，得x 0＝a 或x 0＝－3a (舍去)．即有b ＝12a 2＋2a 2－3a 2ln a ＝52a 2－3a 2ln a .令h (t )＝52t 2－3t 2ln t (t >0)，则h ′(t )＝2t (1－3ln t )．于是当t (1－3ln t )>0，即0<t <e 13时，h ′(t )>0；当t (1－3ln t )<0，即t >e 13时，h ′(t )<0.故h (t )在(0，e 13)上为增函数，在(e 13，＋∞)上为减函数，于是h (t )在(0，＋∞)上的最大值为h (e 13)＝32e 23，即b 的最大值为32e 23.(2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)，则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x＝x －a x ＋3a x(x >0)．故F (x )在(0，a )上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数． 于是F (x )在(0，＋∞)上的最小值是F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0， 即当x >0时，f (x )≥g (x )．【感悟提升】(1)利用导数解不等式，一般可构造函数，利用已知条件确定函数单调性解不等式；(2)证明不等式f (x )<g (x )，可构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，利用导数求F (x )的值域，得到F (x )<0即可；(3)利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．【变式探究】 已知函数f (x )＝ln x －a x.若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． 解 ∵f (x )<x 2，∴ln x －ax<x 2，又x >0，∴a >x ln x －x 3，令g (x )＝x ln x －x 3，则h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x ，∵当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0. ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数， ∴g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立． 高频考点三、利用导数解决函数零点问题例3、已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． (1)解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a＝－2，所以a ＝1.【感悟提升】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．【变式探究】已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x的图象与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．解f′(x)＝x(2＋cos x)，令f′(x)＝0，得x＝0.∴当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增．当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上递减．∴f(x)的最小值为f(0)＝1.∵函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，∴当b>1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．综上可知，b的取值范围是(1，＋∞)．高频考点四、利用导数解决生活中的优化问题例4、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6. 从而，f ′(x )＝10 ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【感悟提升】在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义可知该极值点就是最值点．【变式探究】某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．答案 40解析 由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0；x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．1.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)xxf x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。

§3.1导数与积分考点一导数的概念及其几何意义11.(2012广东,12,5分)曲线y=x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为.答案2x-y+1=0解析易知y'=3x2-1,∴y=x3-x+3在点(1,3)处的切线的斜率k=2,∴切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.评析本题考查导数的几何意义及直线方程,考查运算求解能力.12.(2012辽宁,21,12分)设f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b为常数),曲线y=f(x)与直线y=x在(0,0)点相切.(1)求a,b的值;(2)证明:当0<x<2时, f(x)<.解析(1)由y=f(x)过(0,0)点,得b=-1.由y=f(x)在(0,0)点的切线斜率为,又y'x=0=x=0=+a,得a=0.(3分)(2)证明:证法一:由基本不等式,知当x>0时,2<x+1+1=x+2,故<+1.记h(x)=f(x)-,则h'(x)=+-=-<-=.令g(x)=(x+6)3-216(x+1),则当0<x<2时,g'(x)=3(x+6)2-216<0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数,又g(0)=0,故g(x)<0,所以h'(x)<0.(10分)因此h(x)在(0,2)内是递减函数,又h(0)=0,故h(x)<0.于是当0<x<2时, f(x)<.(12分)证法二:由(1)知f(x)=ln(x+1)+-1.由基本不等式,知当x>0时,2<x+1+1=x+2,故<+1.①令k(x)=ln(x+1)-x,则k(0)=0,当x>0时,k'(x)=-1=<0,故k(x)<0,即ln(x+1)<x.②由①②得,当x>0时, f(x)<x.记h(x)=(x+6)f(x)-9x,则当0<x<2时,h'(x)=f(x)+(x+6)f '(x)-9<x+(x+6)-9=[3x(x+1)+(x+6)(2+)-18(x+1)]<3x(x+1)+(x+6)3+-18(x+1)=(7x-18)<0.(10分)因此h(x)在(0,2)内单调递减,又h(0)=0,所以h(x)<0,即f(x)<.(12分)评析本题考查了导数的概念及运算,考查导数的几何意义及应用,考查构造法.考点二定积分的运算及应用12.(2012湖北,3,5分)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为( )A. B. C. D.答案 B 由题图知二次函数的解析式为f(x)=-x2+1,其图象与x轴所围图形的面积为f(x)dx=2f(x)dx=2(-x2+1)dx=2=2×=.故选B.评析本题考查了定积分的知识,考查了学生运算求解能力.运用数形结合思想求出二次函数和定积分是解题关键.13.(2013湖南,12,5分)若x2dx=9,则常数T的值为.答案 3解析x2dx===9,解得T=3.14.(2013福建,15,5分)当x∈R,|x|<1时,有如下表达式:1+x+x2+…+x n+…=.两边同时积分得:答案解析+x+x2+…+x n=(1+x)n,两边同时积分得:+xdx+x2dx+…+x n dx=(1+x)n dx,从而得到如下等式:×+×+×+…+×=.15.(2012江西,11,5分)计算定积分(x2+sin x)dx= .答案解析(x2+sin x)dx==.评析本题考查了定积分的运算.。

北京市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练导数及其应用一、填空、选择题1、（2016年北京高考）设函数33,()2,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩. ①若0a =，则()f x 的最大值为______________；②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________。

2、（东城区2016届高三上学期期中）曲线处的切线方程是A 、x ＝1B 、y ＝12C 、x ＋y ＝1D 、x －y ＝1 3、(东城区2016届高三上学期期中)已知定义在R 上的函数()f x 的图象如图，则的解集为4、（东城区2016届高三上学期期中）若过曲线上的点P的切线的斜率为2，则点P 的坐标是5、（2016年全国II 高考)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．6、（2016年全国III 高考）已知()f x 为偶函数，当0x <时,()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________.7、定义在R 上的函数()f x 满足:()()()()()1,00,f x f x f f x f x ''>-=是的导函数,则不等式()1xxe f x e>-(其中e 为自然对数的底数）的解集为A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()0,+∞ C 。

()(),01,-∞⋃+∞ D. ()1,-+∞8、设f 0(x )＝sin x ，f 1（x ）＝f 0′（x ），f 2（x )＝f 1′（x ）,…，f n （x ）＝f n －1′（x )，n ∈N ，则f 2 013（x ）＝（ ）A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x 二、解答题1、（2016年北京高考)设函数()a xf x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(1)4y e x =-+, （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间。

山东省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练导数及其应用一、选择、填空题1、（2016年山东高考）若函数y =f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f （x ）具有T 性质。

下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x (C)y =e x（D ）y =x 32、(临沂市2016届高三11月期中质量检测）函数21x y e =+在点()0,1处切线的斜率为 A.2-B.2 C 。

12-D. 123、(临沂市2016届高三11月期中质量检测）定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且对任意x R ∈都有()12f x '<，则不等式()3312x f x +>的解集为_________。

4、（齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考）设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-,在),0(+∞上x x f <')(，若m m f m f 22)()2(->--，则实数m 的取值范围为5、（德州市2016届高三上学期期末）32()32f x ax x =++，若'(1)3f -=，则函数在1x =-处的切线方程为A ．35y x =+B ．35y x =-C ．35y x =-+D ．35y x =--6、（济宁市2016届高三上学期期末）已知函数()sin cos f x x x =+，且'()3()f x f x =，则x 2tan 的值是（ )A.34- B.34 C.43- D 。

437、（胶州市2016届高三上学期期末）已知函数()21=cos 4f x xx +，()f x '是函数()f x 的导函数,则()f x '的图象大致是8、（临沂市2016届高三上学期期末）已知函数()321132f x x ax bx c =+++在1x 处取得极大值，在2x 处取得极小值，满足()()121,0,0,1x x ∈-∈,则242a b a +++的取值范围是A.()0,2 B 。