2018届高考数学人教A版(理)二轮复习第四篇 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan α.3.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan__αtan__β). (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b . 诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z .答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－15C.15D.45解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.答案 D3.(2015·重庆卷)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( ) A.17B.16C.57D.56解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）·tan α＝12－131＋12×13＝17，故选A. 答案 A4.(2017·广州调研)已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.118B.1718C.89D.29解析 由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718，故选B. 答案 B5.(必修4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 答案 226.(2017·宁波调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－13，θ为锐角，则sin 2θ＝________，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________.解析 由题意得，cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－13⇒22(cos θ－sin θ)＝－13⇒12(1－2sin θcosθ)＝19⇒sin 2θ＝79，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169⇒sin θ＋cos θ＝43⇒cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)·(cos θ－sin θ)＝－23·43＝－429，∴sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin 2θcos π3＋cos 2θsin π3＝79×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－429×32＝7－4618.答案 797－4618考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)(2017·杭州模拟)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos 2α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cos α2>0，所以原式＝cos α. 答案 (1)D (2)cos α规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.【训练1】 (1)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________. (2)化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析 (1)原式＝4cos 24＋2（sin 4－cos 4）2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，因为54π<4<32π，所以cos 4<0，且sin 4<cos 4， 所以原式＝－2cos 4－2(sin 4－cos 4)＝－2sin 4. (2)原式＝12（4cos 4α－4cos 2α＋1）2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝（2cos 2α－1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 22α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 22α2cos 2α＝12cos 2α.答案 (1)－2sin 4 (2)12cos 2α 考点二 三角函数式的求值【例2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280＝________. (2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35，17π12<α<7π4，则sin 2α＋2sin 2α1－tan α的值为________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 解析 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°)·2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] ＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝ 6. (2)sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝2sin αcos α＋2sin 2α1－sin αcos α＝2sin αcos α（cos α＋sin α）cos α－sin α＝sin 2α1＋tan α1－tan α＝sin 2α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.由17π12<α<7π4得5π3<α＋π4<2π，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－43.cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝－210，sin α＝－7210，sin 2α＝725.所以sin 2α＋2sin 2α1－tan α＝－2875.(3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)， ∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.答案 (1)6 (2)－2875 (3)－3π4规律方法 (1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值.(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好.【训练2】 (1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32 C. 3D.22－1 (2)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos α的值为________.(3)(2017·绍兴月考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314(0<β<α<π2)，则tan 2α＝________，β＝________. 解析 (1)原式＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40°＝3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3，故选C.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，得32sin α＋32cos α＝－435，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.又－π2<α<0，所以－π3<α＋π6<π6， 于是cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝33－410.(3)∵cos α＝17，0<α<π2， ∴sin α＝437，tan α＝43， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. ∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， ∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， ∴β＝π3. 答案 (1)C (2)33－410 (3)－8347 π3考点三 三角变换的简单应用【例3】 已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A ，1＋sin A )是共线向量. (1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2的最大值.解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝34.又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3.(2)y ＝2sin 2 B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B2＝2sin 2B ＋cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1.因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以当2B －π6＝π2时，函数y取得最大值，此时B ＝π3，y max ＝2.规律方法 解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.【训练3】 (2017·合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值.解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.因为α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π4， 所以α－π4＝π2，故α＝3π4. 因此tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.[思想方法]1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等. 2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.[易错防范]1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，π)范围内，sin α＝22所对应的角α不是唯一的.3.在三角求值时，往往要借助角的范围求值.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝()A.－32 B.32 C.－12 D.12解析sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝1 2.答案 D2.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是()A.－1B.0C.1D.2 解析原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°＝1＋1＝2.答案 D3.(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝()A.－31010 B.31010 C.－35 D.35解析因为α是第二象限角，且tan α＝－13，所以sinα＝1010，cosα＝－31010，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝⎛⎭⎪⎫－31010＝－35，故选C.答案 C4.(2016·河南六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A.a ＜c ＜bB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b解析 由题意可知，a ＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 25°， ∴c ＜a ＜b . 答案 D5.(2016·肇庆三模)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A.－195B.－519C.－3117D.－1731解析 由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝725. ∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731. 答案 D 二、填空题6.(2016·石家庄模拟)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6的值是________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2×19－1＝－79.答案 －797.(2017·杭州月考)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则sin θ＝________；tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 由题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ·sin π4＋cos θcos π4＝35，cos θcos π4－sin θsin π4＝45，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－152，cos θ＝752，∴tan θ＝－17，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θtan π4＝－17－11－17×1＝－43. 答案 －210 －438.已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan 2θ＝________.解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，①θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan 2θ＝2tan θ1－tan 2 θ＝－247. 答案 －247 三、解答题9.(2017·镇海中学模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(2，－1). (1)若a ⊥b ，求sin θ－cos θsin θ＋cos θ的值；(2)若|a －b |＝2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值.解 (1)由a ⊥b 可知，a ·b ＝2cos θ－sin θ＝0， 所以sin θ＝2cos θ，所以sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝2cos θ－cos θ2cos θ＋cos θ＝13.(2)由a －b ＝(cos θ－2，sin θ＋1)可得， |a －b |＝（cos θ－2）2＋（sin θ＋1）2＝ 6－4cos θ＋2sin θ＝2，即1－2cos θ＋sin θ＝0.又cos 2θ＋sin 2θ＝1，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，cos θ＝45.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(sin θ＋cos θ)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝7210.10.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，求α－β的值. 解 法一 由cos α＝－55，π<α<3π2，得sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，于是tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2×13＝1. 又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2， 因此，α－β＝5π4.法二 由cos α＝－55，π<α<3π2得sin α＝－255. 由tan β＝13，0<β<π2得sin β＝110，cos β＝310.所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ ⎝⎛⎭⎪⎫－255⎝ ⎛⎭⎪⎫310－⎝ ⎛⎭⎪⎫－55⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－22.又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2016·云南统一检测)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( ) A.－18B.－116C.116D.18解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18.答案 A12.(2017·武汉调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( ) A.[－2，1] B.[－1，2] C.[－1，1]D.[1，2]解析 ∵sin αcos β－cos αsin β＝1，∴sin(α－β)＝1， ∵α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，由⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π⇒π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤54π，∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C. 答案 C13.已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156. 答案2－15614.已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ，23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围.解 (1)因为f (x )＝a ·b ＋λ＝(cos ωx －sin ωx )(－cos ωx －sin ωx )＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴， 可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z ). 又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6＋λ.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53×π4－π6＋λ＝0，所以λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53×π4－π6＝－2sin π4＝－2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6≤1，得－1－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2≤2－ 2.故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的取值范围为[－1－2，2－2].15.(2016·西安模拟)如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S . (1)求S 关于θ的函数关系式. (2)求S 的最大值及相应的θ角.解 (1)分别过P ，Q 作PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，则四边形QEDP 为矩形.由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt △OEQ 中，OE ＝33QE ＝33PD ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ，S ＝MN ·PD ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－33sin θ·sin θ＝sin θcos θ－33sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.(2)由(1)得S ＝12sin 2θ－36(1－cos 2θ)＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36＝33sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－36，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.当θ＝π6时，S max ＝36(m 2).。

教材习题点拨练习1.证明:(1)cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos π2cos α＋sin π2sin α＝0×cos α＋1×sin α＝sin α. (2)cos(2π－α)＝cos 2πcos α＋sin 2πsin α＝1×cos α＋0×sin α＝cos α. 2.解:∵cos α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin α＝1－cos 2α＝45.∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35＋22×45＝210. 3.解:∵sin θ＝1517，θ是第二象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－817.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3 ＝cos θcos π3＋sin θsin π3＝⎝⎛⎭⎫－817×12＋1517×32 ＝153－834. 4.解:∵sin α＝－23，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴cos α＝1－sin 2α ＝－1－⎝⎛⎭⎫－232＝－53. 又∵cos β＝34，β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴sin β＝－1－cos 2β ＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74. ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝34×⎝⎛⎭⎫－53＋⎝⎛⎭⎫－74×⎝⎛⎭⎫－23＝27－3512. 练习1.解:(1)sin 15°＝sin (45°－30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝6－24； (2)cos 75°＝cos (45°＋30°) ＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝6－24； (3)sin 75°＝sin (45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝6＋24； (4)tan 15°＝tan (45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝2－ 3.2.解:∵cos θ＝－35，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin θ＝1－cos 2θ ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45； 所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝sin θcos π3＋cos θsin π3＝45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝4－3310.3.解:因为sin θ＝－1213，θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ ＝－1－⎝⎛⎭⎫－12132＝－513， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ ＝cos π6cos θ－sin π6sin θ＝32×⎝⎛⎭⎫－513－12×⎝⎛⎭⎫－1213 ＝12－5326. 4.解:tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝3＋11－3＝－2. 5.解:(1)原式＝sin (72°＋18°)＝sin 90°＝1； (2)原式＝cos (72°－12°)＝cos 60°＝12；(3)原式＝tan (12°＋33°)＝tan 45°＝1； (4)原式＝sin (14°－74°)＝sin (－60°) ＝－sin 60°＝－32； (5)原式＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°) ＝－cos (34°＋26°) ＝－cos 60°＝－12；(6)原式＝－sin 20°cos 70°－cos 20°sin 70° ＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°) ＝－sin (20°＋70°)＝－sin 90°＝－1.6.解:(1)原式＝cos π3cos x －sin π3sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ； (2)原式＝2⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6； (3)原式＝2⎝⎛⎭⎫22sin x －22cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π4－cos x sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4； (4)原式＝22⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x＝22⎝⎛⎭⎫cos π3cos x －sin π3sin x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x . 7.解:由已知，得sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35.所以sin(α－β－α)＝35.所以sin(－β)＝35.所以sin β＝－35.又因为β是第三象限角， 所以cos β＝－1－sin 2β ＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4 ＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－22＋⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－22＝7210.练习1.解:∵cos α8＝－45，8π<α<12π，∴π<α8<32π∴sin α8＝－1－cos 2α8＝－1－⎝⎛⎭⎫－452＝－35. ∴sin α4＝2sin α8cos α8＝2425，cos α4＝2cos 2α8－1＝725， tan α4＝sinα4cos α4＝247. 2.解:由sin(α－π)＝35，得sin α＝－35，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝725.3.解:由sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0，从而有cos α＝－12.∴sin α＝32，tan α＝－ 3. 4.解:由tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝13， ∴tan 2α＋6tan α－1＝0. ∴tan α＝－3±10.5.解:(1)原式＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14； (2)原式＝cos π4＝22；(3)原式＝12×2tan 22.5°1－tan 222.5°＝12tan 45°＝12； (4)原式＝cos 45°＝22. 习题3.1A 组1.解:(1)∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝cos 3π2cos α＋sin 3π2sin α＝－sin α，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＝sin3π2cos α－cos 3π2sin α＝－cos α， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α.(3)∵cos(π－α)＝cos πcos α＋sin πsin α＝－cos α，∴cos(π－α)＝－cos α.(4)∵sin(π－α)＝sin πcos α－cos πsin α ＝sin α，∴sin(π－α)＝sin α.2.解:∵cos α＝35，且0<α<π，∴sin α＝1－cos 2α＝45.∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6 ＝4＋3310. 3.解:∵sin α＝23，cos β＝－34，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴cos α＝－53，sin β＝－74. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×⎝⎛⎭⎫－74 ＝35－2712. 4.解:∵α，β都是锐角， ∴0<α＋β<π.又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋437×5314＝12.5.解:∵60°<α<150°， ∴90°<α＋30°<180°. 又∵sin(α＋30°)＝35，∴cos(α＋30°)＝－45.于是cos α＝cos[(30°＋α)－30°]＝cos(α＋30°)cos 30°＋sin(α＋30°)sin 30° ＝3－4310. 6.解:(1)sin ⎝⎛⎭⎫－7π12＝－sin 712π ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3 ＝－sin π4cos π3－cos π4sin π3＝－22×12－22×32＝－6＋24； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－61π12＝cos 61π12 ＝cos ⎝⎛⎭⎫5π＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π12 ＝－cos π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－π6 ＝－cos π4cos π6－sin π4sin π6＝－22×32－22×12＝－6＋24； (3)tan 35π12＝tan ⎝⎛⎭⎫3π－π12 ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π12＝－tan π12 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π4－π6 ＝tan π6－tan π41＋tan π6tan π4＝33－11＋33＝3－2.7.解:∵sin α＝23且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α ＝－1－⎝⎛⎭⎫232＝－53. 又∵cos β＝－34，β是第三象限角，∴sin β＝－1－cos 2β ＝－1－⎝⎛⎭⎫－342＝－74.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝－53×⎝⎛⎭⎫－34－23×⎝⎛⎭⎫－74 ＝35＋2712， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝23×⎝⎛⎭⎫－34－⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－74 ＝－6＋3512.8.解:因为cos B ＝35，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45且B 为锐角，B ∈(45°，90°). ∵sin A ＝513<12，∴0<A <30°或150°<A <180°(不可能) ∴0<A <30°，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213.∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴C ＝180°－(A ＋B ) ∴cos C ＝cos[180°－(A ＋B )] ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－1665.9.解:∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin θ＝35， ∴cos θ＝－45，tan θ＝－34.又∵tan φ＝12，∴tan(θ＋φ)＝tan θ＋tan φ1－tan θtan φ＝－211，tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－2.10.解:由已知，得tan α＋tan β＝－32，tan α＋tan β＝－72.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－321－⎝⎛⎭⎫－72＝－13. 11.解:tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan （α＋β）＋tan （α－β）1－tan （α＋β）tan （α－β）＝3＋51－3×5＝－47；tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝tan （α＋β）－tan （α－β）1－tan （α＋β）tan （α－β）＝3－51＋3×5＝－18.12.解:由题设有BD ∶AD ＝13，DC ∶AD ＝12.设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β， 则tan α＝BD AD ＝13，tan β＝DC AD ＝12.所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝1. 又0°<∠BAC <180°， 因此∠BAC ＝45°. 13.解:(1)原式 ＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6； (2)原式＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝3⎝⎛⎭⎫sin π3cos x －cos π3sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ；(3)原式＝2⎝⎛⎭⎫32sin x 2＋12cos x 2＝2⎝⎛⎭⎫sin x 2cos π6＋cos x 2sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6；(4)原式＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤cos π3sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋sin π3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫7π12－x ； (5)原式＝sin (360°－13°)cos (180°－32°)＋sin (90°－13°)cos (90°－32°) ＝－sin 13°(－cos 32°)＋cos 13°sin 32° ＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32° ＝sin (13°＋32°)＝sin 45°＝22； (6)原式＝sin (180°－16°)sin (180°＋44°)＋sin (180°＋74°)sin (360°－46°)＝sin 16°(－sin 44°)＋(－sin 74°)(－sin 46°)＝－sin 16°sin 44°＋sin (90°－16°)sin (90°－44°)＝－sin 16°sin 44°＋cos 16°cos 44°＝cos (44°＋16°)＝cos 60°＝12；(7)原式＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin(α＋β－β＋γ)＝sin(α＋γ)； (8)原式＝sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(β－γ) ＝－cos(α－β＋β－γ)＝－cos(α－γ)； (9)原式＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋tan 5π121－tan π4tan5π12＝tan π4＋tan 5π121－tan π4tan5π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋5π12＝tan 23π＝－3； (10)原式＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βsin αsin β＋cos αcos β ＝sin （β－α）cos （β－α）＝tan(β－α). 14.解:因为sin α＝0.80，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝1－0.802＝0.60.所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×0.80×0.60＝0.96，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×0.802＝－0.28.15.解:因为cos φ＝－33，180°<φ<270°， 所以sin φ＝－1－cos 2φ ＝－1－⎝⎛⎭⎫－332＝－63. 所以sin 2φ＝2sin φcos φ ＝2×⎝⎛⎭⎫－63×⎝⎛⎭⎫－33＝223， cos 2φ＝2cos 2φ－1＝2×⎝⎛⎭⎫－332－1 ＝－13， tan 2φ＝sin 2φcos 2φ＝－2 2. 16.解:设底角为α，顶角为β，则2α＋β＝π，且sin α＝513. ∵α为等腰三角形的底角，∴0<α<π2. ∴cos α＝1213. ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝120169. cos β＝cos(π－2α)＝－cos 2α＝－1＋2sin 2α＝－119169. tan β＝sin βcos β＝－120119. 17.解:∵tan α＝17，tan β＝13， ∴tan 2β＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34. ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝17＋341－17×34＝1. 18.解:∵cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α＝13， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴sin α＝－223. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－429， cos 2α＝－79. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4 ＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4 ＝22⎝⎛⎭⎫－79＋429＝8－7218. 19.解:(1)原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α；(2)原式＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ； (3)原式＝12sin 2x cos 2x ＝14sin 4x ； (4)原式＝1＋tan θ－1＋tan θ（1－tan θ）（1＋tan θ）＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. B 组1.证明:(1)左边＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α＝2sin αcos 2α＋(1－2sin 2α)sin α＝2sin α(1－sin 2α)＋sin α－2sin 3α＝2sin α－2sin 3α＋sin α－2sin 3α＝3sin α－4sin 3α＝右边，所以sin 3α＝3sin α－4sin 3α.(2)左边＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α＝(2cos 2α－1)cos α－2sin 2αcos α＝2cos 3α－cos α－2(1－cos 2α)cos α＝4cos 3α－3cos α＝右边，所以cos 3α＝4cos 3α－3cos α.2.解:由已知tan A ＋tan B ＝－p ，tan A tan B ＝p ＋1，又∵C ＝180°－(A ＋B )，∴tan C ＝tan[180°－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－－p 1－（p ＋1）＝－1. 又∵∠C 为三角形内角，∴∠C ＝34π. 3.解:反映一般规律的等式:sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34. 证明如下:左边＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos(30°＋α)[cos(30°＋α)＋sin α]＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α· ⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α＋sin α＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α· ⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α ＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α ＝34(sin 2α＋cos 2α) ＝34＝右边， 故sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34. 4.解:由题图知，∠P 1OP 2＝α＋β， OP 1→·OP 2→＝1×1×cos ∠P 1OP 2＝cos(α＋β).又因为OP 1→·OP 2→＝(cos α，sin α)·(cos β，－sin β)＝cos αcos β－sin αsin β， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.。

教材习题点拨练习1．证明：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos π2cos α＋sin π2sin α＝0×cos α＋1×sin α＝sin α. (2)cos(2π－α)＝cos 2πcos α＋sin 2πsin α＝1×cos α＋0×sin α＝cos α. 2．解：∵cos α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin α＝1－cos 2α＝45.∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35＋22×45＝210. 3．解：∵sin θ＝1517，θ是第二象限角，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－817.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3 ＝cos θcos π3＋sin θsin π3＝⎝⎛⎭⎫－817×12＋1517×32 ＝153－834. 4．解：∵sin α＝－23，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴cos α＝1－sin 2α ＝－1－⎝⎛⎭⎫－232＝－53. 又∵cos β＝34，β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴sin β＝－1－cos 2β ＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74. ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝34×⎝⎛⎭⎫－53＋⎝⎛⎭⎫－74×⎝⎛⎭⎫－23＝27－3512. 练习1．解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝6－24； (2)cos 75°＝cos (45°＋30°) ＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝6－24； (3)sin 75°＝sin (45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝6＋24； (4)tan 15°＝tan (45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝2－ 3.2．解：∵cos θ＝－35，θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin θ＝1－cos 2θ ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45； 所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝sin θcos π3＋cos θsin π3＝45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝4－3310.3．解：因为sin θ＝－1213，θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ ＝－1－⎝⎛⎭⎫－12132＝－513， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ ＝cos π6cos θ－sin π6sin θ＝32×⎝⎛⎭⎫－513－12×⎝⎛⎭⎫－1213 ＝12－5326. 4．解：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4 ＝3＋11－3＝－2. 5．解：(1)原式＝sin (72°＋18°)＝sin 90°＝1； (2)原式＝cos (72°－12°)＝cos 60°＝12；(3)原式＝tan (12°＋33°)＝tan 45°＝1； (4)原式＝sin (14°－74°)＝sin (－60°) ＝－sin 60°＝－32； (5)原式＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°) ＝－cos (34°＋26°) ＝－cos 60°＝－12；(6)原式＝－sin 20°cos 70°－cos 20°sin 70° ＝－(sin 20°cos 70°＋cos 20°sin 70°) ＝－sin (20°＋70°)＝－sin 90°＝－1.6．解：(1)原式＝cos π3cos x －sin π3sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ； (2)原式＝2⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6； (3)原式＝2⎝⎛⎭⎫22sin x －22cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos π4－cos x sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4； (4)原式＝22⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x＝22⎝⎛⎭⎫cos π3cos x －sin π3sin x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x . 7．解：由已知，得sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35.所以sin(α－β－α)＝35.所以sin(－β)＝35.所以sin β＝－35.又因为β是第三象限角， 所以cos β＝－1－sin 2β ＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 所以sin ⎝⎛⎭⎫β＋5π4 ＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－22＋⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－22＝7210.练习1．解：∵cos α8＝－45，8π<α<12π，∴π<α8<32π∴sin α8＝－1－cos 2α8＝－1－⎝⎛⎭⎫－452＝－35. ∴sin α4＝2sin α8cos α8＝2425，cos α4＝2cos 2α8－1＝725， tan α4＝sinα4cos α4＝247. 2．解：由sin(α－π)＝35，得sin α＝－35，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝725.3．解：由sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0，从而有cos α＝－12.∴sin α＝32，tan α＝－ 3. 4．解：由tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝13， ∴tan 2α＋6tan α－1＝0. ∴tan α＝－3±10.5．解：(1)原式＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14； (2)原式＝cos π4＝22；(3)原式＝12×2tan 22.5°1－tan 222.5°＝12tan 45°＝12； (4)原式＝cos 45°＝22. 习题3.1A 组1．解：(1)∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝cos 3π2cos α＋sin 3π2sin α＝－sin α，∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＝sin3π2cos α－cos 3π2sin α＝－cos α， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α.(3)∵cos(π－α)＝cos πcos α＋sin πsin α＝－cos α，∴cos(π－α)＝－cos α.(4)∵sin(π－α)＝sin πcos α－cos πsin α ＝sin α，∴sin(π－α)＝sin α.2．解：∵cos α＝35，且0<α<π，∴sin α＝1－cos 2α＝45.∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6 ＝4＋3310. 3．解：∵sin α＝23，cos β＝－34，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴cos α＝－53，sin β＝－74. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×⎝⎛⎭⎫－74 ＝35－2712. 4．解：∵α，β都是锐角， ∴0<α＋β<π.又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－1114×17＋437×5314＝12.5．解：∵60°<α<150°， ∴90°<α＋30°<180°. 又∵sin(α＋30°)＝35，∴cos(α＋30°)＝－45.于是cos α＝cos[(30°＋α)－30°]＝cos(α＋30°)cos 30°＋sin(α＋30°)sin 30° ＝3－4310. 6．解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－7π12＝－sin 712π ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π3 ＝－sin π4cos π3－cos π4sin π3＝－22×12－22×32＝－6＋24； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－61π12＝cos 61π12 ＝cos ⎝⎛⎭⎫5π＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π12 ＝－cos π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－π6 ＝－cos π4cos π6－sin π4sin π6＝－22×32－22×12＝－6＋24； (3)tan 35π12＝tan ⎝⎛⎭⎫3π－π12 ＝tan ⎝⎛⎭⎫－π12＝－tan π12 ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π4－π6 ＝tan π6－tan π41＋tan π6tan π4＝33－11＋33＝3－2.7．解：∵sin α＝23且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α ＝－1－⎝⎛⎭⎫232＝－53. 又∵cos β＝－34，β是第三象限角，∴sin β＝－1－cos 2β ＝－1－⎝⎛⎭⎫－342＝－74.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝－53×⎝⎛⎭⎫－34－23×⎝⎛⎭⎫－74 ＝35＋2712， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝23×⎝⎛⎭⎫－34－⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－74 ＝－6＋3512.8．解：因为cos B ＝35，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45且B 为锐角，B ∈(45°，90°)．∵sin A ＝513<12，∴0<A <30°或150°<A <180°(不可能) ∴0<A <30°，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213.∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴C ＝180°－(A ＋B ) ∴cos C ＝cos[180°－(A ＋B )] ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－1665.9．解：∵θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin θ＝35， ∴cos θ＝－45，tan θ＝－34.又∵tan φ＝12，∴tan(θ＋φ)＝tan θ＋tan φ1－tan θtan φ＝－211，tan(θ－φ)＝tan θ－tan φ1＋tan θtan φ＝－2.10．解：由已知，得tan α＋tan β＝－32，tan α＋tan β＝－72.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－321－⎝⎛⎭⎫－72＝－13. 11．解：tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝tan （α＋β）＋tan （α－β）1－tan （α＋β）tan （α－β）＝3＋51－3×5＝－47；tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝tan （α＋β）－tan （α－β）1－tan （α＋β）tan （α－β）＝3－51＋3×5＝－18.12．解：由题设有BD ∶AD ＝13，DC ∶AD ＝12.设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β， 则tan α＝BD AD ＝13，tan β＝DC AD ＝12.所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝1. 又0°<∠BAC <180°， 因此∠BAC ＝45°. 13．解：(1)原式 ＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝65⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6； (2)原式＝3⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝3⎝⎛⎭⎫sin π3cos x －cos π3sin x＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ； (3)原式＝2⎝⎛⎭⎫32sin x 2＋12cos x 2＝2⎝⎛⎭⎫sin x 2cos π6＋cos x 2sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6；(4)原式＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤cos π3sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋sin π3cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫7π12－x ； (5)原式＝sin (360°－13°)cos (180°－32°)＋sin (90°－13°)cos (90°－32°) ＝－sin 13°(－cos 32°)＋cos 13°sin 32° ＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32° ＝sin (13°＋32°)＝sin 45°＝22； (6)原式＝sin (180°－16°)sin (180°＋44°)＋sin (180°＋74°)sin (360°－46°)＝sin 16°(－sin 44°)＋(－sin 74°)(－sin 46°)＝－sin 16°sin 44°＋sin (90°－16°)sin (90°－44°)＝－sin 16°sin 44°＋cos 16°cos 44°＝cos (44°＋16°)＝cos 60°＝12；(7)原式＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin(α＋β－β＋γ)＝sin(α＋γ)； (8)原式＝sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(β－γ) ＝－cos(α－β＋β－γ)＝－cos(α－γ)； (9)原式＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋tan 5π121－tan π4tan5π12＝tan π4＋tan 5π121－tan π4tan5π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋5π12＝tan 23π＝－3； (10)原式＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βsin αsin β＋cos αcos β ＝sin （β－α）cos （β－α）＝tan(β－α)． 14．解：因为sin α＝0.80，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以cos α＝1－0.802＝0.60.所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×0.80×0.60＝0.96，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×0.802＝－0.28.15．解：因为cos φ＝－33，180°<φ<270°， 所以sin φ＝－1－cos 2φ ＝－1－⎝⎛⎭⎫－332＝－63. 所以sin 2φ＝2sin φcos φ ＝2×⎝⎛⎭⎫－63×⎝⎛⎭⎫－33＝223， cos 2φ＝2cos 2φ－1＝2×⎝⎛⎭⎫－332－1 ＝－13， tan 2φ＝sin 2φcos 2φ＝－2 2. 16．解：设底角为α，顶角为β，则2α＋β＝π，且sin α＝513. ∵α为等腰三角形的底角，∴0<α<π2. ∴cos α＝1213. ∴sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝120169. cos β＝cos(π－2α)＝－cos 2α＝－1＋2sin 2α＝－119169. tan β＝sin βcos β＝－120119. 17．解：∵tan α＝17，tan β＝13， ∴tan 2β＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34. ∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝17＋341－17×34＝1. 18．解：∵cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α＝13， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴sin α＝－223. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－429， cos 2α＝－79. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4 ＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4 ＝22⎝⎛⎭⎫－79＋429＝8－7218. 19．解：(1)原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α；(2)原式＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ； (3)原式＝12sin 2x cos 2x ＝14sin 4x ； (4)原式＝1＋tan θ－1＋tan θ（1－tan θ）（1＋tan θ）＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. B 组1．证明：(1)左边＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α＝2sin αcos 2α＋(1－2sin 2α)sin α＝2sin α(1－sin 2α)＋sin α－2sin 3α＝2sin α－2sin 3α＋sin α－2sin 3α＝3sin α－4sin 3α＝右边，所以sin 3α＝3sin α－4sin 3α.(2)左边＝cos(2α＋α)＝cos 2αcos α－sin 2αsin α＝(2cos 2α－1)cos α－2sin 2αcos α＝2cos 3α－cos α－2(1－cos 2α)cos α＝4cos 3α－3cos α＝右边，所以cos 3α＝4cos 3α－3cos α.2．解：由已知tan A ＋tan B ＝－p ，tan A tan B ＝p ＋1，又∵C ＝180°－(A ＋B )，∴tan C ＝tan[180°－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－－p 1－（p ＋1）＝－1. 又∵∠C 为三角形内角，∴∠C ＝34π. 3．解：反映一般规律的等式：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34. 证明如下：左边＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos(30°＋α)[cos(30°＋α)＋sin α]＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α· ⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α＋sin α＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α· ⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α ＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α ＝34(sin 2α＋cos 2α) ＝34＝右边， 故sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34. 4．解：由题图知，∠P 1OP 2＝α＋β， OP 1→·OP 2→＝1×1×cos ∠P 1OP 2＝cos(α＋β)．又因为OP 1→·OP 2→＝(cos α，sin α)·(cos β，－sin β)＝cos αcos β－sin αsin β， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.。

第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切一、选择题1. 已知锐角α满足cos 2α＝cos 错误!,则sin 2α等于( ）A.错误! B．－错误!C.错误! D．－错误!解析由cos 2α＝cos 错误!得（cos α－sin α)（cos α＋sin α)＝错误!（cos α＋sin α)由α为锐角知cos α＋sin α≠0。

∴cos α－sin α＝错误!，平方得1－sin 2α＝错误!。

∴sin 2α＝错误!。

答案 A2．若错误!＝错误!，则tan 2α等于()．A.错误!B．－错误!C。

错误!D．－错误!解析错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴tan α＝2，∴tan 2α＝错误!＝错误!＝－错误!，故选D。

答案 D3．已知α，β都是锐角，若sin α＝错误!，sin β＝错误!，则α＋β＝（）．A。

错误! B.错误!C.错误!和错误! D．－错误!和－错误!解析由α,β都为锐角，所以cos α＝1－sin2α＝错误!,cos β＝错误!＝错误!。

所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝错误!,所以α＋β＝错误!。

答案 A4．已知sin θ＋cos θ＝错误!错误!，则sin θ－cos θ的值为（)．A。

错误!B．－错误! C.错误!D．－错误!解析∵sin θ＋cos θ＝错误!，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝错误!,∴sin 2θ＝错误!，又0<θ〈错误!，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－错误!＝－错误!＝－错误!。

答案 B5．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg错误!，且α＋β＝错误!，则实数a的值为(）．A．1 B.错误!C．1或错误!D．1或10解析tan(α＋β）＝1⇒错误!＝错误!＝1⇒lg2a＋lg a＝0，所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或错误!.答案 C6．已知cos错误!＋sin α＝错误!,则sin错误!的值是( ）．A．－错误! B。