陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《三角恒等变形》小结导学案 北师大版必修4

第三章三角恒等变形章末复习课网络构建核心归纳1．两角和与差的三角函数公式的理解(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．要点一三角函数求值问题三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．【例1】 已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，且π2＜α＜π，sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解 sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2cos αsin α－cos α22sin α－cos α＝22cos α.∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝－12，∴tan α＝－3，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－1010，∴sin 2α－2cos 2αsin⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1010＝－255. 【训练1】 已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4 tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值．解 ∵3sin β＝sin(2α＋β)，即3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 整理得2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α. 即tan(α＋β)＝2tan α. 又∵4tan α2＝1－tan 2α2，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝12，tan(α＋β)＝2tan α＝2×12＝1.∵α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β＝π4.要点二 三角函数的化简与证明由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数的化简与证明中，应充分利用所学的三角函数的和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子的特点，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数的化简与证明． 化简三角函数式的要求： 1．能求出值的应求出值； 2．使三角函数的种数尽量少； 3．使项数尽量少；4．尽量使分母不含三角函数； 5．尽量使被开方数不含三角函数；6．次数尽量低．【例2】 求证：tan 32x －tan x 2＝2sin xcos x ＋cos 2x .证明 ∵左边＝tan 32x －tan x2＝sin 32x cos 32x －sin x2cos x2＝sin 32x cos x 2－sin x 2cos 32x cos x 2cos 32x＝sin x12cos 2x ＋cos x ＝2sin x cos x ＋cos 2x＝右边．∴tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x.【训练2】 求证：3sin 240°－1cos 240°＝32sin 10°.证明 ∵左边＝32sin 40°2－1cos 40°2＝3cos 40°2－sin 40°2sin 240°cos 240°＝3cos 40°＋sin 40°3cos 40°－sin 40°sin 240°cos 240°＝4×22×32cos 40°＋12sin 40°32cos 40°－12sin 40°2sin 40°cos 40°2＝16sin 100°sin 20°sin 280°＝16sin 80°sin 20°sin 280°＝16sin 20°si n 80°＝32sin 10°cos 10°cos 10°＝32sin 10°＝右边．∴原式成立．要点三 整体换元的思想在三角恒等变形中的应用在三角恒等变形中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来．【例3】 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值． 解 设sin x ＋cos x ＝t ，则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫22sin x ＋22cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴t ∈[－2，2]，∴sin x ·cos x ＝sin x ＋cos x2－12＝t 2－12.∵f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ∴g (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2]． 当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1.此时，由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z .当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12.此时，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1.解得x ＝2k π＋π4，k ∈Z .综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－1；当x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，f (x )max＝2＋12.【训练3】 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域． 解 令sin x －cos x ＝t ，则由t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4知t ∈[－2，2]，又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2. ∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －122＋54.当t ＝12时，y max ＝54；当t ＝－2时，y min ＝－2－1.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，54.要点四 构建方程(组)的思想在三角恒等变形中的应用方程(组)思想是中学重要的思想方法之一．借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一．【例4】 已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15.(1)求证：tan A ＝2tan B ; (2)设AB ＝3，求AB 边上的高．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇒tan A tan B＝2. ∴tan A ＝2tan B .(2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－34. 将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得 2tan 2B －4tan B －1＝0，解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62.∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6. 设AB 边上的高为CD ，则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CDtan B ＝3CD2＋6，由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6. ∴AB 边上的高等于2＋ 6.【训练4】 已知sin(α＋β)＝35，sin(α－β)＝－23，则tan αtan β等于( ) A.115 B.25 C.119D ．－119解析 由已知sin(α＋β)＝35，sin(α－β)＝－23，得sin αcos β＋cos αsin β＝35，sin αcos β－cos αsin β＝－23，两式分别相加减得sin αcos β＝－130，cos αsin β＝1930.∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝－119. 答案 D基础过关1．cos 2 014°cos 1 586°－sin 2 014°sin 1 586°等于( ) A ．0 B.12 C.22D ．1解析 原式＝cos(2 014°＋1 586°)＝cos 3 600°＝1. 答案 D2．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取得的值是( ) A.43 B.34 C.53D.12解析 ∵0<θ<π2，∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，又sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，所以1<sin θ＋cos θ≤ 2. 答案 A3．函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．πD ．2π解析 ∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π，故选C.答案 C4．设tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)的值是________．解析 ∵α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，∴tan(α＋π4)＝25－141＋25×14＝3202220＝322.答案 3225．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则B ＝________.解析 tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－33－tan B1－tan 2B ，所以tan 3B ＝33，所以tan B ＝3， 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝π3.答案 π36．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.7．已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 (1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝2. (2)f (x )的最小正周期为π. 由正弦函数的性质得令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .能力提升8．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图像的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π3，－32 B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π6，－32 C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2π3，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3 解析 y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32，令2x＋π3＝k π，(k ∈Z )x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6，∴函数图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎪⎫56π，－32. 答案 B9．设向量a ＝(cos 55°，sin 55°)，b ＝(cos 25°，sin 25°)，若t 为实数，则|a －t b |的最小值是( ) A.12 B ．1 C.32D ．1＋3解析 |a －t b |＝a －t b2＝a 2－2t a ·b ＋t 2b 2 ＝1－2t a ·b ＋t 2＝t 2－2t cos 55°cos 25°＋sin 55°sin 25°＋1＝t 2－2cos 55°－25°t ＋1＝t 2－3t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －322＋14， |a －t b |的最小值为12.答案 A10．若方程3sin x ＋cos x ＝a 在[0,2π]上恰有两个不同的实数解，则a 的取值范围为________． 解析 a ＝2(32sin x ＋12cos x )＝2sin(x ＋π6)， ∵x ∈[0,2π]，∴x ＋π6∈[π6，13π6]，∴2sin(x ＋π6)∈[－2,2]，由于3sin x ＋cos x ＝a 有两个不同实数解， ∴a ∈(－2,1)∪(1,2)． 答案 (－2,1)∪(1,2)11．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析 依题设及三角函数的定义得：cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0＜β＜π，∴π2＜β＜π，π2＜α＋β＜π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.答案 3＋821512．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.13．(选做题)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x .(1)求f (x )的周期和单调递增区间． (2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上有解，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，周期T ＝π；令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以f (x )的值域为[2,3]．而f(x)＝m＋2，所以m＋2∈[2,3]，即m∈[0,1]．【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。

第2课时 化简、证明问题讲一讲1．化简下列各式：(1)1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°； (2)sin x 1－cos x ·tan x －sin x tan x ＋sin x (x ≠k π2，k ∈Z )．[尝试解答](1)原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 250° ＝（sin 40°－cos 40°）2cos 40°－|cos 50°|＝|sin 40°－cos 40°|cos 40°－cos 50°＝cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.(2)原式＝sin x1－cos x ·sin xcos x－sin x sin xcos x＋sin x＝sin x 1－cos x ·1－cos x1＋cos x＝sin x 1－cos x ·（1－cos x ）2（1＋cos x ）（1－cos x ）＝sin x 1－cos x·（1－cos x ）21－cos 2x＝sin x 1－cos x ·1－cos x |sin x |＝sin x |sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （x 为第一、二象限角），－1 （x 为第三、四象限角）.利用同角三角函数基本关系式化简三角函数式时应注意把握以下几点：(1)化简结果要求：①项数尽量少；②次数尽量低；③分母、根式中尽量不含三角函数；④能求值的求出值．(2)化简策略：①弦切互化，即若同一式子中既含“弦”(正弦、余弦)，又含“切”(正切)，则运用商数关系及其变形，要么把“弦”化为“切”，要么把“切”化为“弦”进行求解．②对于含有根号的，常把根号下的式子化为完全平方式，然后开方．注意开方时应先加绝对值，再考虑去绝对值符号，这样可以减少失误．③对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或实施“1”的代换(即1＝sin 2α＋cos 2α)，以降低函数次数，达到化简的目的．练一练1．化简：(1)tan 130° 1sin 2130°－1；(2)1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2(0<α<π2)．解：(1)原式＝tan(180°－50°) 1sin 2（180°－50°）－1＝－tan 50° 1sin 250°－1＝－tan 50°1－sin 250°sin 250°＝－tan 50°|cos 50°sin 50°|＝－sin 50°cos 50°·cos 50°sin 50°＝－1. (2)原式＝sin2α2＋2sin α2cos α2＋cos 2α2＋sin2α2－2sin α2cos α2＋cos 2α2＝（sin α2＋cos α2）2＋（sin α2－cos α2）2＝|sin α2＋cos α2|＋|sin α2－cos α2|.∵0<α<π2，∴0<α2<π4.∴sin α2＋cos α2>0，sin α2－cos α2<0.∴原式＝(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝2cos α2.讲一讲2．求证：sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α.[尝试解答]法一：左边＝（sin α－cos α＋1）（sin α＋cos α＋1）（sin α＋cos α－1）（sin α＋cos α＋1）＝（sin α＋1）2－cos 2α（sin α＋cos α）2－12 ＝sin 2α＋2sin α＋1－1＋sin 2α1＋2sin αcos α－1＝2sin α（1＋sin α）2sin αcos α＝1＋sin αcos α＝右边．∴原等式成立．法二：∵(sin α＋cos α－1)(1＋sin α) ＝(sin α－1)(1＋sin α)＋cos α(1＋sin α) ＝sin 2α－1－cos α(1＋sin α) ＝－cos 2α＋cos α(1＋sin α) ＝cos α(sin α－cos α＋1) ∴sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin αcos α证明三角恒等式常用的方法有：(1)由繁到简，从结构复杂的一边入手，经过适当的变形、配凑，向结构简单的一边化简． (2)从已知或已证的恒等式出发，根据定理、公式进行恒等变形，推导出求证的恒等式． (3)比较法，证明待证等式的左、右两边之差为0. (4)化简左右两边得相同的结果． 练一练2. 求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ(1＋1tan θ)＝1sin θ＋1cos θ. 证明：左边＝sin θ(1＋sin θcos θ)＋cos θ(1＋cos θsin θ)＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝(sin θ＋cos 2θsin θ)＋(cos θ＋sin 2θcos θ)＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边．∴等式成立.求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[证明]法一：左边＝sin αcos αsin αsin αcos α－sin α＝sin 2αsin α－sin αcos α＝1－cos 2αsin α（1－cos α） ＝（1＋cos α）（1－cos α）sin α（1－cos α）＝1＋cos αsin α.右边＝sin αcos α＋sin αsin αcos αsin α＝sin α（1＋cos α）sin 2α ＝1＋cos αsin α.∴左边＝右边，原等式成立．法二：∵左边＝tan αsin α（tan α＋sin α）（tan α－sin α）（tan α＋sin α）＝tan αsin α（tan α＋sin α）tan 2α－sin 2α＝tan αsin α（tan α＋sin α）tan 2α－tan 2αcos 2α ＝tan αsin α（tan α＋sin α）tan 2α（1－cos 2α） ＝tan αsin α（tan α＋sin α）tan 2αsin 2α ＝tan α＋sin αtan αsin α＝右边．∴原等式成立．法三：∵右边＝tan 2α－sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α（1－cos 2α）（tan α－sin α）tan αsin α ＝tan 2αsin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．法四：∵左边－右边＝（tan αsin α）2－（tan 2α－sin 2α）（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2αsin 2α－tan 2α＋sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α ＝sin 2α－tan 2α（1－sin 2α）（tan α－sin α）tan αsin α ＝sin 2α－sin 2αcos 2αcos 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝sin 2α－sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝0. ∴左边＝右边，原等式成立．1．化简tan π51－sin2π5的结果是( ) A ．sin π5 B ．－sin π5C ．cos π5D ．－cos π5解析：选A 原式＝tan π5|cos π5|.∵0<π5<π2，cos π5>0，∴原式＝sinπ5cosπ5cos π5＝sin π5.2．化简cos θ1＋cos θ－cos θ1－cos θ可得( )A ．－2tan 2 θ B.2tan 2θC ．－2tan θ D.2tan θ解析：选A 原式＝cos θ[（1－cos θ）－（1＋cos θ）]（1＋cos θ）（1－cos θ）＝－2cos 2θ1－cos 2θ＝－2(cos θsin θ)2＝－2tan 2θ. 3．设0≤x ≤2π，且1－2sin x cos x ＝sin x －cos x ，则( ) A ．0≤x ≤π B.π4≤x ≤7π4C.π4≤x ≤5π4 D.π2≤x ≤3π2解析：选C1－2sin x cos x＝|sin x －cos x |， 由已知得|sin x －cos x | ＝sin x －cos x ， ∴sin x －cos x ≥0. ∴π4≤x ≤5π4. 4.1－2sin 2cos 2＝________． 解析：∵2是第二象限角，∴原式＝sin 22－2sin 2cos 2＋cos 22 ＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 答案：sin 2－cos 25．化简sin 2β＋cos 4β＋sin 2βcos 2β的结果是________． 解析：原式＝sin 2β＋cos 2β(cos 2β＋sin 2β)＝sin 2β＋cos 2β＝1. 答案： 16．求证：sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos xtan 2x －1＝sin x ＋cos x . 证明：左边＝sin 2x sin x －cos x －sin x ＋cos xsin 2xcos 2x －1 ＝sin 2x sin x －cos x －cos 2x （sin x ＋cos x ）sin 2x －cos 2x ＝sin 2x sin x －cos x －cos 2x sin x －cos x＝sin 2x －cos 2x sin x －cos x ＝sin x ＋cos x ＝右边． ∴等式成立．一、选择题1．已知tan α＝2.则cos 2α1－cos α＋cos 2α1＋cos α＝( )A ．1B ．2 C.12 D ．±2 解析：选C cos 2α1－cos α＋cos 2α1＋cos α＝cos 2α（1＋cos α＋1－cos α）（1－cos α）（1＋cos α）＝2cos 2αsin 2α＝2tan 2α＝12. 2．若π2<x <π，则cos x |cos x |＋1－cos 2x sin x 的值是( )A ．0B ．－1C ．2D ．－2解析：选A ∵π2<x <π，∴原式＝cos x －cos x ＋|sin x |sin x＝－1＋sin xsin x＝0.3．若sin 2θ＋cos 4θ＝1，则sin θ－cos θ＝( )A．1 B．±1C. 2 D．± 2解析：选B 由sin2θ＋cos4θ＝1，得cos4θ＝1－sin2θ＝cos2θ. ∴cos4θ－cos2θ＝0，cos2θ(cos2θ－1)＝0.∴cos2θsin2θ＝0，sin θcos θ＝0，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1.故sin θ－cos θ＝±1.4．已知tan α－1cos α＝－3，则cos αsin α＋1＝( )A. 3 B．－ 3 C. 2 D．－ 2解析：选A ∵tan α－1cos α＝sin αcos α－1cos α＝sin α－1cos α＝－3，∴1－sin αcos α＝3，∴cos αsin α＋1＝cos α（1－sin α）1－sin2α＝1－sin αcos α＝ 3.二、填空题5．(1＋tan2θ)cos2θ＝________．解析：原式＝cos2θ＋tan2θcos2θ＝cos2θ＋sin2θ＝1.答案：16．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则化简sin α1－sin2α＋1－cos2αcos α的结果是________．解析：由题意知，角α是第二或第四象限的角．则原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：07．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________．解析：由已知可得(cos α＋2sin α)2＝5，即4sin 2α＋4sin αcos α＋cos 2α＝5(sin 2α＋cos 2α)， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0， ∴tan α＝2. 答案：28．化简1－sin 6θ－cos 6θ1－sin 4θ－cos 4θ＝________． 解析：原式＝1－[（sin 2θ）3＋（cos 2θ）3]1－[（sin 2θ）2＋（cos 2θ）2]＝1－（sin 2θ＋cos 2θ）（sin 4θ－sin 2θcos 2θ＋cos 4θ）1－[（sin 2θ＋cos 2θ）2－2sin 2θcos 2θ] ＝1－[（sin 2θ＋cos 2θ）2－3sin 2θcos 2θ]2sin 2θcos 2θ ＝3sin 2θcos 2θ2sin 2θcos 2θ＝32. 答案：32三、解答题9．若sin αtan α<0，化简 1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α.解： 1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝ （1－sin α）2（1＋sin α）（1－sin α）＋（1＋sin α）2（1－sin α）（1＋sin α）＝ （1－sin α）21－sin 2α＋ （1＋sin α）21－sin 2α ＝ （1－sin α）2cos 2α＋ （1＋sin α）2cos 2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|.∵|sin α|≤1，∴1－sin α≥0，1＋sin α≥0. 又∵sin αtan α<0， ∴α是第二、三象限角， 从而cos α<0.∴原式＝1－sin α－cos α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.10．证明：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α.证明：左边＝cos α＋cos 2α－sin α－sin 2α（1＋sin α）（1＋cos α）＝（cos α－sin α）（1＋sin α＋cos α）1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝2（cos α－sin α）（1＋sin α＋cos α）1＋sin 2α＋cos 2α＋2sin α＋2cos α＋2sin αcos α ＝2（cos α－sin α）（1＋sin α＋cos α）（1＋sin α＋cos α）2＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝右边．。

第1课时同角三角函数的关系式1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系,理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1;=tan x,体会由特殊到一般的数学思想方法.2.能利用同角三角函数的基本关系解题,例如已知某个任意角的正弦、余弦、正切值中的一个,求其余两个.3.通过简单运用,理解公式的结构及其功能,提高三角恒等变形的能力.“物以类聚,人以群分”,之所以“分群”“分类”是因为同类之间有很多的共同点,彼此紧密联系.我们现在研究的三角函数,如角的正弦、余弦、正切之间有什么联系?问题1:同角三角函数基本关系式sin2α+cos2α= ;tan α= ;tan α²=1.问题2:在上述问题中,“同角”的含义:(1)角相同;(2)角α是使得函数有意义的角,关系式都成立,与角的表达式.问题3:常用的同角三角函数关系式中平方关系和商数关系的变形有哪些?1-cos2α= ,1-sin2α= ,(sin α+cos α)2=1+ ,(sin α-cos α)2=1- ,sin α= ,cos α= .问题4:同角三角函数关系式可以解决什么问题?利用这两个公式,可以由已知的个三角函数值求出同角的其余个三角函数值,还可以进行同角三角函数式的恒等变换,化简三角函数式或证明三角恒等式.1.下列各项中可能成立的一项是().A.sin α=且cos α=B.sin α=0且cos α=-1C.tan α=1且cos α=-1D.α在第二象限时,tan α=-2.若cos(2π-α)=,且α∈(-,0),则sin(π-α)=().A.-B.-C.-D.±3.已知tan α=-3,则的值为.4.化简.平方关系在求值中的应用已知-<x<0,sin x+cos x=.求sin x cos x和sin x-cos x的值.同角三角函数式的化简与证明(1)化简:.(2)求证:=.同角三角函数关系式的综合运用已知sin α+cos α=,α∈(0,π),求tan α.若cos x-sin x=,则cos3x-sin3x= .化简:.已知sin θ cos θ=,求sin θ+cos θ的值.1.若sin αcos α=,0<α<,则sin α+cos α的值是().A.B.C.-D.2.已知sin α,cos α是方程2x2-x-m=0的两根,则m=().A. B. C. D.43.已知α为第二象限角,则cos α²+sin α²= .4.已知cos α=,α∈(0,π),求的值.已知α是第三象限角,sin α=-,则tan α= .考题变式(我来改编):答案第1课时同角三角函数的关系式知识体系梳理问题1:1cot α问题2:(2)任意无关问题3:sin2αcos2α2sin α²cos α2sin α²cos αtan α²cos α问题4:一两基础学习交流1.B A中不满足平方关系;C中由tan α=1且cos α=-1得,sin α=-1,不满足平方关系;D中不满足商数关系.2.B cos(2π-α)=cos α=,又α∈(-,0),∴sin α=-=-=-.∴sin(π-α)=sin α=-.3.2由tan α=-3,知cos α≠0,所以====2.4.解:原式====-1.重点难点探究探究一:【解析】(法一)由sin x+cos x=,平方可得sin2x+2sin x cos x+cos2x=,即2sin x cos x=-,∴sin x cos x=-,∴(sin x-cos x)2=1-2sin x cos x=.又∵-<x<0,∴sin x<0,cos x>0,∴sin x-cos x<0,sin x-cos x=-.(法二)联立方程解得cos x=-或cos x=,∵-<x<0,∴∴sin x cos x=-,sin x-cos x=-.【小结】在三角函数求值中,已知sin x+cos x,sin x cos x,sin x-cos x中的一个可利用方程的思想求出另外两个的值,即“知一求二”.解题时,要特别注意开方后对正负的取舍.探究二:【解析】(1)原式====cos 80°.(2)(法一)由cos x≠0知1+sin x≠0,于是左=====右,证毕.(法二)由1-sin x≠0,cos x≠0,于是右=====左,证毕.(法三)左-右=-===0,所以=.【小结】①脱掉根号的过程就是同角三角函数关系公式的应用过程;②对于去掉根号后的含绝对值的式子,需根据绝对值内的式子符号的正负情况,做好分类讨论,去掉绝对值符号.探究三:【解析】由sin α+cos α=,得sin αcos α=-,∴=-,∴=-,∴60tan2α+169tan α+60=0,解得tan α=-或tan α=-.[问题]上述解法正确吗?[结论]不正确.从sin α+cos α与sin αcos α的值可知,sin α与cos α应为异号,而结合α∈(0,π)与sin α+cos α=,可知sin α>0,故必有cos α<0,且|sin α|>|cos α|,故tan α<0,且|tan α|>1,这种已知条件隐含着角的范围的问题,很容易被忽视,应引起充分重视.于是,正确解法如下:由sin α+cos α=得,sin αcos α=-.又α∈(0,π),∴sin α>0,cos α<0.而(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,∴sin α-cos α=.由sin α+cos α=和sin α-cos α=,解得sin α=,cos α=-,∴tan α==-.【小结】已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中任何一个都可以结合平方关系求出另外两个值,在求解过程中注意乘方、因式分解和配方的应用.思维拓展应用应用一:由cos x-sin x=得sin x cos x=,cos3x-sin3x=(cos x-sin x)(1+sin x cosx)=²(1+)=.应用二:(法一)原式===.(法二)原式======.(法三)原式=====.应用三:∵sin θ cos θ=,∴1+2sin θ cos θ=,∴sin2θ+cos2θ+2sin θ cos θ=,即(sin θ+cos θ)2=,∴sin θ+cos θ=±.基础智能检测1.D∵0<α<,∴sin α>0,cos α>0,∴sin α+cosα====.2.A由韦达定理得①式两边平方得1+2sin α cos α=,把②代入得1+2²(-)=,即m=.3.0原式=cos α+sin α=cos α+sin α=cos α+sin α=0.4.解:由题意知sin α=,∴==.全新视角拓展cos α=-=-,所以tan α==.思维导图构建sin2α+cos2α=1tan α²cot α=1。

第三章 三角恒等变形1 同角三角函数关系巧运用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化，下面结合常见的应用类型举例分析，体会其转化作用，展现同角三角函数关系的巧运用． 一、知一求二例1 已知sin α＝255，π2≤α≤π，则tan α＝_______________________.解析 由sin α＝255，且sin 2α＋cos 2α＝1得cos α＝±55， 因为π2≤α≤π，可得cos α＝－55，所以tan α＝sin αcos α＝－2.答案 －2点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用平方关系求另一弦函数值，再求切函数值，需要注意的是利用平方关系时，若没有角度的限制，要注意分类讨论． 二、“1”的妙用例2 证明：1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x ＝32.证明 因为sin 2x ＋cos 2x ＝1，所以1＝(sin 2x ＋cos 2x )3,1＝(sin 2x ＋cos 2x )2， 所以1－sin 6x －cos 6x 1－sin 4x －cos 4x＝2x ＋cos 2x 3－sin 6x －cos 6x 2x ＋cos 2x2－sin 4x －cos 4x＝3sin 4x ·cos 2x ＋3cos 4x ·sin 2x 2sin 2x cos 2x＝2x ＋cos 2x2＝32. 即原命题得证．点评 本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解． 三、齐次式型求值例3 已知tan α＝2，求值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)2sin 2α－3cos 2α＝________.解析 (1)因为cos α≠0，分子分母同除以cos α， 得2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)2sin 2α－3cos 2α＝2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α， 因为cos 2α≠0，分子分母同除以cos 2α， 得2sin 2α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan 2α＋1＝2×22－322＋1＝1. 答案 (1)－1 (2)1点评 这是一组在已知tan α＝m 的条件下，求关于sin α、cos α的齐次式值的问题．解这类问题需注意以下几点：(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．(2)因为cos α≠0，所以分子、分母可同时除以cos nα(n ∈N ＋)．这样可以将所求式化为关于tan α的表达式，整体代入tan α＝m 的值求解.2 三角恒等变形中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变形离不开角之间的变换．观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变形的一种常用技巧． 一、利用条件中的角表示目标中的角例1 设α、β为锐角，且满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．分析 利用变换β＝α－(α－β)沟通条件与欲求之间的关系． 解 ∵α、β为锐角，且tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－ tan 2α－β1＋tan 2α－β＝－1010， cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，sin α＝1－cos 2α＝35.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝_______________________.分析 要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝135，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α.解析 由sin 3αsin α＝α＋αsin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135，∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135，∴cos 2α＝45.∵α为第四象限的角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )，∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， ∴2α可能在第三、四象限， 又∵cos 2α＝45，∴2α在第四象限，∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案 －34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．分析 转化为已知一个角⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现⎝⎛⎭⎪⎫π4－x 这个角的三角函数．解 原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，且0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4 求函数f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值．分析 观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x )．解 f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos[(x －20°)＋60°]＝12sin(x －20°)－32sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60° ＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝22sin(x －65°)， 当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22.3 三角函数化简求值的“主角”——“变角”三角函数化简求值是学习三角的一个重要内容，而“变角”是化简的重要形式，是化简求值这场大戏中的主角，它的表演套路主要有以下几招： 第一招 单角化复角例1 已知sin α＝12，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为________．解析 因为sin α＝12，α为第二象限的角，所以cos α＝－32，所以tan α＝－33. 所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝－3－－331＋－3－33＝－2332＝－33.答案 －33点评 将单角用已知复角表示时，需要将复角进行适当的组合、拆分，常见的拆分组合形式如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．第二招 复角化单角 例2 化简：α＋βsin α－2cos(α＋β)． 解 原式＝α＋β－α＋βαsin α＝sin[α＋α＋β－α＋βαsin α ＝sα＋βα－α＋βαsin α＝α＋β－αsin α＝sin βsin α. 点评 由于该式含有2α＋β和α＋β，这两个角都是复角，而化简的要求为最终结果皆为单角，所以化简的思路就是利用两角和与差的正弦或余弦公式展开即可． 第三招 复角化复角例3 已知π4<α<34π，0<β<π4，cos(π4＋α)＝－35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．解 因为π4<α<34π，π2<π4＋α<π，所以sin(π4＋α)＝1－cos2π4＋α＝45. 又因为0<β<π4，34π<34π＋β<π，所以cos(34π＋β)＝ －1－sin23π4＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin[(π4＋α)＋(3π4＋β)]＝－[sin(π4＋α)cos(3π4＋β)＋cos(π4＋α)sin(3π4＋β)]＝－[45×(－1213)＋(－35)×513]＝6365.点评 由已知条件求出sin α或cos α过程较繁琐，故需要找到α＋β与π4＋α和3π4＋β的关系，即是将所求复角化为已知复角，再结合题目中等式关系和角的范围限制具体求解.4 三角恒等变形的几个技巧三角函数是高考的热点，素以“小而活”著称．除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧．下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助． 一、灵活降幂例1 3－sin 70°2－cos 210°＝________. 解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2. 答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等．二、化平方式 例2 化简求值：12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π))． 解 因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝12－12 1＋cos 2α2＝ 12－12cos α ＝sin2α2＝sin α2. 点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2. 三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余． 四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________．解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋－12＝3414＝3. 答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cosθ的二次齐次弦式比．五、分子、分母同乘以2nsin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n －1α的值例5 求值：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 解 原式＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.5 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x2－sin 2x的最值．解 原函数变形得：f (x )＝2x ＋cos 2x2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin 2x ＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14. 例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合． 解 原函数化简得：y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2.当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x＝k π＋58π，k ∈Z }．点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值． 二、利用正弦、余弦函数的有界性求解 例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域．解 原函数整理得sin x ＝y ＋1y －.∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋1y －≤1，解出y ≤13或y ≥3. 即函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13∪[3，＋∞)． 例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域．解 原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3， ∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3， ∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y 2. ∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得：－12－2615≤y ≤－12＋2615. 即值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2615，－12＋2615. 点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋bc cos x ＋d的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值．三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式．解 y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋2a ＋1.当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1.当－1≤a2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a <－，－a22－2a －－2≤a，1－4a a点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1,1]上的最值问题解决．例6 试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值．解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2， 2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值．注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cosx ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2)．四、利用函数的单调性求解 例7 求函数y ＝＋sin x ＋sin x2＋sin x的最值．解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝x ＋2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1x ＋，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1,3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t在[1,3]上为增函数．故当t ＝1即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 在Rt△ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求PQ的最小值．解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ，∵AG AB ＝h －xh，即x cos θa ＝a sin θ－x a sin θ，∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ， ∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ＋sin θcos θ2.从而P Q ＝sin θ2cos θ·＋sin θcos θ2sin 2θ＝＋sin 2θ24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ4＋1sin 2θ.易知函数y ＝1t ＋t4在区间(0,1]上是减少的，所以当sin 2θ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q min ＝94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题，可以通过适当换元转化为简单的代数函数后，利用函数单调性巧妙解决．6 《三角恒等变形》一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值． [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)．所以α＋β＝π4或3π4.[剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的．这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值． [正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.温馨点评 根据条件求角，主要有两步：求角的某种三角函数值；确定角的二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值．[错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6 ①tan αtan β＝7 ②∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角．上述解法忽视了这一隐含条件．[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)， ∴π2<α<π，π2<β<π.∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .[错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理．本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确．[正解] 由cos B ＝513>0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin B ＝1213.由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12.∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B >π3.故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾．∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x 的奇偶性．[错解] f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x2cos x 2－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2x 21＋2sin x2cos x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x2＋sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x 2，由此得f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数．[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错． [正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得 sin x ＋cos x ≠－1，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－1，从而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≠－22，所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π，且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称． 所以函数f (x )为非奇非偶函数．五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值． [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数， ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2.∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝±1，∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] 因为x ＋θ与x －θ是不同的角，所以函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理．[正解] 因为f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数，所以f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立．即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立． ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立． 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立． ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝0，∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .温馨点评 注意公式a sin x ＋b cos x ＝\r(a 2＋b2x ＋φ的左端是同角x .当三角函数式不符合这一特征时，不能使用该公式.,例如：函数f x ＝x ＋θ＋\x －θx ∈R 的最大值不是2.7 平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想．这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解． 一、平面向量平行与三角函数交汇例1 已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .若f (x )是y 关于x 的函数，则f (x )的最小正周期为________．解析 由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1 ＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.答案 π点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解． 二、平面向量垂直与三角函数交汇例2 已知向量a ＝(4,5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，若a ⊥b ，则cos(2α＋π4)＝________. 解析 因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0， 解得sin α＝35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝45.cos 2α＝1－2sin 2α＝725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，于是cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－17250.答案 －17250点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理． 三、平面向量夹角与三角函数交汇例 3 已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2,0)的夹角为π3，则θ＝________.解析 由条件得|m |＝sin 2θ＋－cos θ2＝2－2cos θ，|n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n |m ||n |＝2sin θ22－2cos θ＝12，整理得2cos 2θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去)．因为0<θ<π，所以θ＝2π3.答案2π3点评 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解． 四、平面向量的模与三角函数交汇例4 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________． 解析 由条件可得|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝3cos θ－sin θ， 则|2a －b |＝ |2a －b |2＝ 4a 2＋b 2－4a ·b ＝8－3cos θ－sin θ＝8－θ＋π6≤4，所以|2a －b |的最大值为4. 答案 4点评 解答平面向量的模与三角函数交汇的题目一般要用到向量的模的性质|a |2＝a 2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解． 五、平面向量数量积与三角函数交汇例5 若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3)(－2<x <10)的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( ) A ．－32 B ．－16 C ．16D ．32解析 由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图像交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32，答案 D点评 平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决．(2)给出三角函数图像，求图像上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角．。

2019-2020年高中数学 第三章 三角恒等变形章末小结与测评教学案 北师大版必修4一、三角恒等变形公式 1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；商数关系：tan α＝sin αcos α.(2)应用：①已知角α的一个三角函数值可以知一求二，注意依据三角函数值确定角α的终边所在的象限．②在三角函数式的化简、求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，sin 2α＋cos 2α＝1；切化弦；sin α±cos α平方整体代换．2．和(差)角公式(1)公式C α－β，C α＋β的公式特点：同名相乘，符号相反；公式S α－β，S α＋β的公式特点：异名相乘，符号相同；T α±β的符号规律为“分子同，分母反”．(2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律，公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数．3．二倍角公式(1)分别令公式C α＋β，S α＋β，T α＋β中的α＝β，即得公式C 2α，S 2α，T 2α.(2)“二倍”关系是相对的，只要两个角满足比值为2即可．倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运算规律．(3)公式变形升幂公式：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.4．半角公式半角公式实际上是二倍角公式的变形，应用公式求值时要由α2所在的象限确定相应三角函数值的符号．二、公式的应用途径(1)正用公式：从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件进行推算逐步达到目的．(2)逆用公式：逆向转换、逆用公式，换个角度思考问题，逆向思维的运用往往会使解题思路茅塞顿开．(3)变形应用公式：思考问题时因势利导、融会贯通、灵活应用变形结论．如 ①1－sin 2α＝cos 2α，1－cos 2α＝sin 2α；②tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， 1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan （α＋β）；③sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α；④sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2；⑤2tan α＝tan 2α(1－tan 2α)等． 三、常见的三角恒等变形(1)应用公式进行三角函数式的求值，包括给角求值和给值求值和给值求角三种类型． (2)应用公式进行三角函数式的化简． (3)应用公式进行三角函数式的证明． 注意的问题 (1)“1”的代换在使用公式进行三角恒等变换的过程中，“1”的代换技巧往往使得变换过程“柳暗花明”．例如，1＝sin 2α＋cos 2α，1＝tan π4，1＝cos 2α＋2sin 2α，1＝2cos 2α－cos 2α等．(2)辅助角公式辅助角公式几乎高考必考，即a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(tan φ＝ba)．常见的有以下几个：sin α±cos α＝2sin(α±π4)，3sin α±cos α＝2sin(α±π6)，sin α±3cos α＝2sin(α±π3)．四、三角恒等变形技巧常用的技巧有：从“角”入手，即角的变化；从“名”入手，即函数名称的变化；从“幂”入手，即升降幂的变化；从“形”入手，即函数式结构的变化．[典例1] (江苏高考)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．[解析] 因为α为锐角，cos(α＋π6)＝45，所以sin(α＋π6)＝35，sin2(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝725，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝22×1725＝17250. [答案]17250[借题发挥] 1.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．2．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α－β＝α＋(α－β)，β＝α＋β2－α－β2，(3π4＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)，(α＋π4)＋(β－π4)＝α＋β，只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细地观察，往往会发现角与角之间的关系，从而简化解题过程．[对点训练]1．已知sin(π4－α)sin(π4＋α)＝26(0<α<π2)，求sin 2α的值．解：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎦⎥⎤π4＋α，∴26＝sin(π4－α)sin(π4＋α)＝sin(π4＋α)cos(π4＋α) ＝12sin(π2＋2α) ＝12cos 2α， ∴cos 2α＝23.∵0<α<π2，∴0<2α<π，∴sin 2α＝73.[典例2] 已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，0°<α<90°，0°<β<90°，求β.[解] ∵0°<α<90°，且tan α＝sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝17，sin α＝437.∵cos(α＋β)＝－1114，0°<α＋β<180°，∴sin(α＋β)＝1－（－1114）2＝5314.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－1114)×17＋5314×437＝12.又∵0°<β<90°，∴β＝60°.[借题发挥] 1.“给值求角”的一般规律是先求出所求角的一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后根据三角函数值和角的范围求出角．2．确定的所求角的范围最好是所求三角函数的一个单调区间．例如，若所求角的范围是(0，π2)，选择求所求角的正弦或余弦函数值均可；若所求角的范围为(0，π)，选择求所求角的余弦函数值；若所求角的范围是(－π2，π2)，选择求所求角的正弦函数值．[对点训练]2．在△ABC 中，如果4sin A ＋2cos B ＝1，2sin B ＋4cos A ＝33，则角C 的大小为________． 解析：由4sin A ＋2cos B ＝1， 2sin B ＋4cos A ＝33， 两边平方相加得sin(A ＋B )＝12.如果A ＋B ＝π6，则B <π6，∴cos B >12与条件4sin A ＋2cos B ＝1矛盾．∴A ＋B ＝5π6，C ＝π6.答案：π6[典例3] 化简：2cos 2α－12tan （π4－α）sin 2（π4＋α）.[解] 法一：原式＝2cos 2α－12sin （π4－α）cos （π4－α）·sin 2（π4＋α）＝2cos 2α－12sin （π4－α）cos （π4－α）·cos 2（π4－α）＝2cos 2α－1sin （π2－2α）＝cos 2αcos 2α＝1.法二：原式＝cos 2α2×1－tan α1＋tan α（22sin α＋22cos α）2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1. [借题发挥]1．三角函数式的化简是高考命题的热点，常常与三角函数的图像和性质综合出题，题型灵活多变．化简三角函数式的常用方法有：①直接应用公式；②切化弦；③异角化同角；④特殊值与特殊角的三角函数互化；⑤通分、约分；⑥配方、去根号．2．由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数式的化简与证明中， 应充分利用所学的三角函数的基本关系式和和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子中的差异，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数式的化简与证明．[对点训练]3．求证：tan （α＋β）－tan α1＋tan βtan （α＋β）＝sin 2β2cos 2α. 证明：tan(α＋β)－tan α＝sin （α＋β）cos （α＋β）－sin αcos α＝sin （α＋β）cos α－sin αcos （α＋β）cos （α＋β）cos α＝sin βcos （α＋β）cos α.1＋tan βtan(α＋β)＝1＋sin βcos β·sin （α＋β）cos （α＋β）＝cos βcos （α＋β）＋sin βsin （α＋β）cos βcos （α＋β）＝cos （α＋β－β）cos βcos （α＋β）＝cos αcos βcos （α＋β）.∴左边＝sin βcos βcos （α＋β）cos 2αcos （α＋β）＝sin 2β2cos 2α＝右边．[典例4] (山东高考)已知向量m ＝(sin x ，1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A >0)，函数f (x )＝m·n的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．[解] (1)f (x )＝m·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x＝A (32sin 2x ＋12cos 2x ) ＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin(4x ＋π3)的图像．因此g (x )＝6sin(4x ＋π3)．因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3，6]．[借题发挥]1．以向量为背景，综合考查向量、三角恒等变形、三角函数的性质是近几年高考的热点问题．解决此类问题要注意三角恒等变形中由于消项、约分、合并等原因，可能使函数定义域发生变化，所以要在变换前注意三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题．2．三角函数的图像和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变形，将三角函数的表达式变形化简转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．[对点训练]4．(广东高考)已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2，所以A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π3＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，f ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝－2sin α＝－3017，所以sin α＝1517，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，所以cos β＝45，因为β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．计算sin 21°cos 9°＋sin 69°sin 9°的结果是( ) A.32 B.12C ．－12D ．－32解析：选B 原式＝sin 21°cos 9°＋sin(90°－21°)sin 9° ＝sin 21°cos 9°＋cos 21°sin 9° ＝sin 30°＝12.2．(辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－22C.22D ．1 解析：选A ∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2， ∴sin 2α＝－1.3．(重庆高考)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：选A 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2.则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31－2＝－3.4．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.54C ．1 D.34解析：选D 原式＝2tan α－1tan α＋2＝2×2－12＋2＝34. 5．(山东高考)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45 C.74 D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.6．已知sin(π4－x )＝35，则sin 2x 的值为( )A.725B.1625 C.1425 D.1925解析：选A sin 2x ＝cos(π2－2x ) ＝cos 2(π4－x )＝1－2sin 2(π4－x )＝1－1825＝725.7．若α，β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β的值为( )A.255B.2525C.255或2525 D ．－2525解析：选B 由sin α＝255，α为锐角知cos α＝55.∵sin α＝255>sin(α＋β)＝35，∴α＋β∈(π2，π)，∴cos(α＋β)＝－45.∴cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin αsin (α＋β)＝2525.8．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x 的图像的一个对称中心是( ) A ．(π3，－32) B ．(2π3，－32)C ．(2π3，32)D ．(π3，32)解析：选D y ＝12sin 2x ＋3（1＋cos 2x ）2＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32 ＝sin(2x ＋π3)＋32，当x ＝π3时，sin (2×π3＋π3)＝0.∴(π3，32)是函数图像的一个对称中心．9．(江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A.15B.14C.13D.12解析：选D 法一：∵tan θ＋1tan θ＝1＋tan 2θtan θ＝4，∴4tan θ＝1＋tan 2θ， ∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2 θ＋cos 2θ＝2tan θ1＋tan 2θ＝2tan θ4tan θ＝12. 法二：∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2sin 2θ∴4＝2sin 2θ，故sin 2θ＝12.10．函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x cos x sin 65π的递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π10，k π＋35π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π20，k π＋720π(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π10，2k π＋35π(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－25π，k π＋π10(k ∈Z ) 解析：选D y ＝cos 2x cos π5＋sin 2x sin π5＝cos(2x －π5)．∴2k π－π≤2x －π5≤2k π，k ∈Z .∴k π－25π≤x ≤k π＋π10，k ∈Z .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．已知cos α＝－45，α∈(π2，π)，则tan(π4＋α)等于________．解析：由已知得tan α＝－34，所以tan(π4＋α)＝1－341＋34＝17.答案：1712．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么cos 2θ的值为________．解析：(sin θ2＋cos θ2)2＝1＋sin θ＝43，sin θ＝13，cos 2θ＝1－2sin 2θ＝79.答案：7913．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，当A 为________时，cos A ＋2cos B ＋C2取得最大值，且这个最大值为________．解析：cos A ＋2cosB ＋C2＝cos A ＋2sin A2＝1－2sin 2A 2＋2sin A2＝－2sin 2A 2＋2sin A2－1 ＝－2(sin A 2－12)2＋32，当sin A 2＝12，即A ＝60°时，得(cos A ＋2cos B ＋C2)max ＝32. 答案：60° 3214．已知α是第二象限角，且sin α＝154，则sin （α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1＝________．解析：∵α为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－14.sin （α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1＝22（sin α＋cos α）2cos α（sin α＋cos α）＝222cos α＝－ 2.答案：－ 2三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)化简sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)．解：法一：原式＝sin[（α＋β）＋α]sin α－2cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos α＋cos （α＋β）sin αsin α－2cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos αsin α－cos(α＋β)＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α.法二：原式＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β－2（cos αcos β－sin αsin β）sin αsin α＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β－sin 2αcos β＋2sin 2αsin βsin α.＝（1－2sin 2α）sin β＋2sin 2αsin βsin α＝sin βsin α. 16．(本小题满分12分)已知sin(5π＋α)＝－35，且α∈(π2，π)，tan β＝12.(1)求tan(α－β)的值； (2)求sin(2α＋π3)的值．解：(1)由条件得sin α＝35.又α∈(π2，π)，所以tan α＝－34.故tan (α－β)＝－34－121＋（－34）×12＝－2.(2)由条件得sin α＝35.又α∈(π2，π)，得cos α＝－45.所以sin 2α＝2×35×(－45)＝－2425，cos 2α＝(－45)2－(35)2＝725.故sin(2α＋π3)＝－2425×12＋725×32＝73－2450.17．(本小题满分12分)(北京高考)已知函数f (x )＝（sin x －cos x ）sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{}x ∈R |x ≠k π，k ∈Z . 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．18．(安徽高考)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解：本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角公式、三角函数周期公式以及三角函数的单调性等知识，意在考查转化与化归思想的应用．(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上单调递减．模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)1．已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α的值等于( )A ．－35 B.35C.45 D ．－45 解析：选C sin α＝4（－3）2＋42＝45. 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32且|φ|＜π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3解析：选D 由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以tan φ＝ 3.3．已知cos α＝35，0＜α＜π，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.15B.17C ．－1D ．－7解析：选D 因为cos α＝35＞0，0＜α＜π，所以0＜α＜π2，sin α＞0，所以sin α＝45，故tan α＝43，所以tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan α·tan π4＝43＋11－43＝－7. 4．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C y ＝cos 2x 的图像向左平移12个单位后即变成y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝cos(2x ＋1)的图像．5．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则k 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－2)D ．(－2，2)解析：选B 当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同夹角为0°，所以要使a与b 的夹角为锐角，则有a ·b ＞0且a ，b 不共线．由a ·b ＝2＋k ＞0得k ＞－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.7．函数y ＝sin (ωx ＋φ)(x∈R ，且ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4解析：选C ∵T ＝4×2＝8，∴ω＝π4.又∵π4×1＋φ＝π2，∴φ＝π4.8．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)等于( ) A.225 B ．－25 C.25 D ．－225解析：选B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos(π－α)＝22sin α＋22cos α＋22cos α＝22sin α＋2cos α. ∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－35.∴22sin α＋2cos α＝22×45－2×35＝－25.10．如图，边长为1的正方形ABCD 的顶点A ，D 分别在x 轴、y 轴正半轴上移动，则的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．πD ．411．设函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )A ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减B ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减 C ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增 D ．f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增 解析：选A y ＝sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＝2sin (ωx ＋φ＋π4)，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π4，所以y ＝2cos 2x ，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减．.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 13．已知cos x ＝2a －34－a ，x 是第二、三象限的角，则a 的取值范围为________．解析：－1＜cos x ＜0，－1＜2a －34－a ＜0，⎩⎪⎨⎪⎧2a －34－a ＜0，2a －34－a ＞－1.∴－1＜a ＜32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，32 14．已知e 1、e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：由题意知：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54. 答案：5415．y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6的定义域为________． 解析：∵2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6≥0，∴2k π－π2≤3x ＋π6≤2k π＋π2，∴23k π－2π9≤x ≤23k π＋π9(k ∈Z )，函数的定义域为{x |23k π－29π≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z }．答案：{x |23k π－29π≤x ≤23k π＋π9，k ∈Z }16．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β； ②若函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期是4π，则a ＝12；③函数y ＝sin 2x －sin xsin x －1是奇函数；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．解析：α＝390°＞30°＝β，但sin α＝sin β，所以①不正确；函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －π3的最小正周期为T ＝2π|a |＝4π，所以|a |＝12，a ＝±12，因此②不正确；③中函数定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然不关于原点对称，所以③不正确；由于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin(π2－x )＝－cos x ，它在(0，π)上单调递增，因此④正确．答案：④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)化简：sin （540°－x ）tan （900°－x ）·1tan （450°－x ）tan （810°－x ）·cos （360°－x ）sin （－x ）.解：原式＝sin （180°－x ）tan （－x ）·1tan （90°－x ）tan （90°－x ）·cos x sin （－x ）＝sin x －tan x·tanx ·tan x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1tan x ＝sin x .18．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求式子sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ()α＋π·tan （α－π）cos （3π－α）的值．解：(1)∵|OP |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1，∴点P 在单位圆上，由正弦函数定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α.由(1)得sin α＝－35，P 在单位圆上，∴由已知得cos α＝45，∴原式＝54.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin(2x －π6)＋2cos 2x .(1)求f (x )的最小值及最小正周期； (2)求使f (x )＝3的x 的取值集合．解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x ＝sin 2x ·cos π6＋cos 2x sin π6＋sin2x ·cos π6－cos 2x ·sin π6＋cos 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，∴f (x )min ＝2×(－1)＋1＝－1， 最小正周期T ＝2π|ω|＝2π2＝π.(2)∵f (x )＝3，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，∴2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋π6，k ∈Z ，∴使f (x )＝3的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，整理得x ＋2y ＝0.∴y ＝－12x .即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 由(1)知x ＝－2y ，将其代入上式， 整理得y 2－2y －3＝0. 解得y 1＝3，y 2＝－1. 当y ＝3时，x ＝－6，21．(本小题满分12分)如图，函数y ＝2sin(πx ＋φ)，x ∈R (其中0≤φ≤π2)的图像与y轴交于点(0，1)．(1)求φ的值；(2)求函数y ＝2sin(πx ＋φ)的单调递增区间； (3)求使y ≥1的x 的集合． 解：(1)因为函数图像过点(0，1)， 所以2sin φ＝1，即sin φ＝12.因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6.(2)由(1)得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，∴当－π2＋2k π≤πx ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－23＋2k ≤x ≤13＋2k ，k ∈Z 时，y ＝2sin(πx ＋π6)是增函数，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋2k ，13＋2k ，k ∈Z .(3)由y ≥1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6≥12，∴π6＋2k π≤πx ＋π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ， 即2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z ，∴y ≥1时，x 的集合为{x |2k ≤x ≤23＋2k ，k ∈Z }．22．(本小题满分12分)已知M (1＋cos 2x ，1)，N (1，3sin 2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，且y ＝ (O 为坐标原点)．(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图像可由y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像经过怎样的变换而得到；(3)函数y ＝g (x )的图像和函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求y ＝g (x )的表达式，并比较g (1)和g (2)的大小．解：(1)y ＝f (x )＝＝(1＋cos 2x ，1)·(1，3sin 2x ＋a )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a . (2)x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，所以f (x )的最大值为3＋a ＝4，解得a ＝1，此时f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2，其图像可由y ＝2sin(x ＋π6)的图像经纵坐标不变横坐标缩小为原来的12倍，再将所得图像向上平移2个单位得到．(3)设M (x ，y )为y ＝g (x )的图像上任一点，由函数y ＝g (x )的图像和函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，得M (x ，y )关于x ＝1的对称点M ′(2－x ，y )在y ＝f (x )的图像上，所以y ＝g (x )＝f (2－x )＝2sin[2(2－x )＋π6]＋1＋a ＝2sin(－2x ＋4＋π6)＋1＋a ，g (1)＝2sin(2＋π6)＋1＋a ，g (2)＝2sin π6＋1＋a ＝2sin 5π6＋1＋a .∵π2＜2＋π6＜5π6＜π， ∴g (1)＞g (2)．2019-2020年高中数学 第三章 三角恒等变形章末综合检测 新人教A 版必修4一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12等于( )A ．－32B ．－12C.12D ．32解析：选 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32. 2. 函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )A ．2πB ．3π2C ．πD ．π2解析：选A.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以T ＝2π.3．若向量a ＝(2cos α，－1)，b ＝(2，tan α)，且a ∥b ，则sin α＝( )A.22 B ．－22 C.π4 D ．－π4 解析：选B.因为向量a ＝(2cos α，－1)，b ＝(2，tan α)，且a ∥b ，所以2cos α·tan α＝－2，即2cos α·sin αcos α＝－2，解得sin α＝－22.4．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( ) A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为－12C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1解析：选D.f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为－π2≤x ≤π2，所以－π6≤x ＋π3≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，所以－1≤f (x )≤2.5．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )A ．－12B ．12C ．－32 D ．32解析：选B.sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－17°)sin(270°＋43°)＝sin 17°(－sin 43°)＋(－cos 17°)·(－cos 43°)＝cos 60°＝12.6．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( )A.1tan 2α B ．tan 2α C.1tan αD ．tan α 解析：选 B.1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α＝2sin 2αcos 2α＋2sin 22α2sin 2αcos 2α＋2cos 22α＝2sin 2α（cos 2α＋sin 2α）2cos 2α（sin 2α＋cos 2α）＝tan 2α.7．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c解析：选A.a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°＝sin(17°＋45°)＝sin 62°，b ＝2cos 213°－1＝cos 26°＝sin 64°，c ＝32＝sin 60°，在区间(0°，90°)上，函数y ＝sin x 是增函数，所以sin 60°<sin 62°<sin 64°，即c <a <b .8．已知tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )A. 2 B ．－22C ．2D ．2或－22解析：选B.因为tan 2θ＝－22且π<2θ<2π，所以3π2<2θ<2π，得3π4<θ<π.由tan 2θ＝－22得2tan θ1－tan 2θ＝－22，整理得2tan 2θ－tan θ－2＝0，解得tanθ＝2(舍去)或tan θ＝－22. 9．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )A.33 B ．－33C.539D ．－69解析：选C.因为0<α<π2，所以π4<α＋π4<3π4，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223；因为－π2<β<0，所以π4<π4－β2<π2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝ 1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. 10．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cosA )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 的值为( )A.π6 B ．π3 C.2π3 D ．5π6解析：选C.由m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，得m ·n ＝3sin A cos B ＋sin B ·3cos A ＝3sin(A ＋B )＝3sin(π－C )＝3sin C ， 而cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，则由m ·n ＝1＋cos(A ＋B )得3sin C ＝1－cos C ，即32sin C ＋12cos C ＝12⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12，而C 为△ABC 的一个内角，所以π6<C ＋π6<7π6，得C ＋π6＝5π6，解得C ＝2π3.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11.3tan 15°＋13－tan 15°的值是________．解析：3tan 15°＋13－tan 15°＝tan 15°＋331－33tan 15°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 30°tan 15° ＝tan(15°＋30°)＝tan 45°＝1. 答案：112．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2<θ<3π4，则cos 2θ的值是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝15，sin 2θ＋cos 2θ＝1，消去cos θ得sin 2θ－15sin θ－1225＝0，因为π2<θ<3π4，所以sin θ>0， 所以sin θ＝45，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－725.答案：－72513．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝____________．解析：根据诱导公式，将已知条件的两个式子化简，联立得⎩⎪⎨⎪⎧－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝3，sin β＝13，由tan α＝3和sin 2α＋cos 2α＝1得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝3，cos 2α＋sin 2α＝1，结合α为锐角解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010，所以sin α＝31010.答案：3101014．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－513，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是35，则cos α＝________．解析：由题意，知cos β＝－513，sin(α＋β)＝35，又因为α，β∈(0，π)，所以sin β＝1213，cos(α＋β)＝－45.所以cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋1213×35＝2065＋3665＝5665. 答案：566515．已知sin α－sin β＝63，cos α＋cos β＝33，则cos 2α＋β2＝________． 解析： (sin α－sin β)2＝23，(cos α＋cos β)2＝13，两式展开相加得2－2sin αsin β＋2cos αcos β＝1⇒1＋cos(α＋β)＝12⇒cos(α＋β)＝－12⇒cos 2α＋β2＝14.答案：14三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)已知f (α)＝sin 2（π－α）·cos （2π－α）·tan （－π＋α）sin （－π＋α）·tan （－α＋3π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α（－sin α）（－tan α）＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin αcos α＝18.可知(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.又因为π4<α<π2，所以cos α<sin α，即cos α－sin α<0.所以cos α－sin α＝－32. (3)因为α＝－31π3＝－6×2π＋5π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3·sin ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝cos 5π3·sin 5π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3·sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3 ＝cos π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34.17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：由条件知cos α＝210，cos β＝255，且α，β为锐角，所以sin α＝7210，sin β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.(2)tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝43，所以tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝－1， 因为α，β为锐角，所以0<α＋2β<3π2，所以α＋2β＝3π4.18．(本小题满分10分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．解：(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，所以sin 2θ＝45.又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝255，cos θ＝55.(2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，所以cos φ＝sin φ.所以cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.又因为0<φ<π2，所以cos φ＝22.19．(本小题满分12分)已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )(其中ω>0)，n ＝(f (x )，cos ωx )，m ⊥n ，且函数f (x )的图像任意两相邻对称轴间距为32π.(1)求ω的值；(2)探讨函数f (x )在(－π，π)上的单调性．解：(1)由题意，得m ·n ＝0，所以f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝cos 2ωx ＋12＋3sin 2ωx 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12. 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π，又ω＞0，所以ω＝13.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6＋12，因为x ∈(－π，π)，所以－π2＜23x ＋π6＜5π6，当－π2＜23x ＋π6＜π2，即－π＜x ＜π2时，函数f (x )是递增的；当π2≤23x ＋π6＜5π6，即π2≤x ＜π时，函数f (x )是递减的． 综上可知，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，π2上是递增的，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π上是递减的． 20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋34. (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，求函数f (x )的值域； (2)将函数y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数g (x )的表达式及对称轴方程．解：(1)f (x )＝sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋34＝sin x ⎝⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3＋34 ＝12sin x cos x －32sin 2x ＋34＝14sin 2x －32×1－cos 2x 2＋34＝14sin 2x ＋34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由－π3≤x ≤π6，得－π3≤2x ＋π3≤2π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，－34≤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12，所以f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12. (2)由(1)知f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将函数y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位后，得到y＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，所以g (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3，当4x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )时，g (x )取最值，所以x ＝k π4＋5π24(k ∈Z )，所以函数的对称轴方程是x ＝k π4＋5π24(k ∈Z )．。

第十课时三角恒等变换复习小结一、教学目标：1、知识目标：初步了解三角恒等变换公式的框图；熟悉公式之间的内在联系，并能用主要公式求三角函数值及三角函数的性质；2、能力目标：培养学生观察、分析、综合等能力；通过构造角，转化条件解决较为简单的三角函数综合题；3、情感目标：通过复习，提高学生对三角变换的应用能力；从而提高学生应用数学知识解决问题的意识；二、教学重点、难点：强化公式的记忆，并利用公式解决三角函数综合题；三、教学方法：利用较为常见的变换加强对公式的记忆，引导学生并通过学生的交流来达到用三角恒等变换解决三角函数问题的基本目标；从而对全章有个整体认识。

四、教学过程：教学环节教学内容师生互动设计意图知识结构的复习阅读课本P153知识结构框图，并根据箭头方向回忆并讨论公式推导的简单方法；学生：分小组简单讨论各公式的推导过程。

熟悉公式之间的关系，加深公式的记忆。

强化练习ααcossin⋅= ；=75sin=15cos2；=-15cos15sin22=+xx cossin；=-xx cos3sin学生回答为以下例题做准备，并强化公式的简单应用。

例题选讲例1：若171cos=α，5147)cos(-=+βα。

且βα,都为锐角。

求：βcos的值。

学生：板书，观察学生板书中的问题。

教师：纠正学生板书中的问题。

通过例1，学会构造角的基本方法，并注意求三角函数值时要特别关注角的范围；例题选讲例2：已知：,222tan-=α且24παπ<<求：)4sin(21sin2cos22απαα+--的值。

学生：提出解题方法。

教师：分析思路的全过程，演示解题全过程。

提高学生观察问题、分析问题的能力，以及综合运用三角恒等变换的变形能力例题选讲例3：已知函数：)(,cos3sin)(Rxxxxf∈-=求：)(xf的最小正周期及单调递增区间。

教师：分析思路，引导学生回忆形如()ϕω+=xAy sin的形式的三角函数的性质，并体会三角恒等变换在解决综合问题中的应用价值。

第3章三角恒等变形三角恒等变形错误!未定义书签。

【例1】已知ｔan=-错误!，且错误!〈<π，求错误!未定义书签。

的值.［解］错误!=错误!＝２错误!未定义书签。

cosα。

∵taｎ错误!=错误!未定义书签。

＝-错误!,∴tan α＝-３，∵α∈错误!，∴coｓα=-错误!未定义书签。

,∴错误!=2错误!未定义书签。

cos α=2错误!未定义书签。

×错误!=－错误!.三角函数求值主要有三种类型,即：(１)“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式。

(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角。

当然在这个过程中要注意角的范围.(3)“给值求角”,本质上还是“给值求值＂，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．1.已知0<α＜错误!，０＜β＜错误!,且3siｎβ＝ｓiｎ(2α＋β),4taｎ错误!未定义书签。

＝１-tan2错误!未定义书签。

，求α＋β的值.ﻬ[解]∵3sin β=siｎ（2α+β），即３sｉn［（α+β)－α]=sin[(α＋β)＋α］，整理得2ｓiｎ(α＋β)cos α＝4ｃoｓ(α＋β)ｓｉｎα。

即tan(α+β)=2tan α.又∵4tan 错误!=1－tan 2错误!, ∴t ａn α＝错误!=错误!,ta ｎ(α＋β) ＝2t ａn α=2×错误!未定义书签。

=１. ∵α+β∈错误!未定义书签。

,∴α＋β＝π4.【例2】 化简错误[解］ 原式=错误!未定义书签。

＝＼ｆ(２si ｎ ５0°+c ｏｓ １0°×＼f(c ｏs 10°＋3sin 10°，co ｓ 1０°）,2cos 25°)=错误!未定义书签。

陕西省榆林育才中学高中数学 第3章《三角恒等变形》3二倍角的三角函数（2）导学案 北师大版必修4【学习目标】1． 能利用倍角公式推导半角公式，掌握半角公式的结构特征．2． 灵活应用倍角公式和半角公式进行三角函数的求值、化简和证明．【重点难点】倍角公式和半角公式及其应用．【使用说明】 复习回顾倍角公式，在倍角公式中用2α代替α根据提示推导半角公式，熟记公式的结构特征并灵活应用．【自主学习】1． 复习回顾： sin 2α＝___________________；cos2α＝__________________＝___________________＝____________________；tan 2α＝__________________．2． 新知探索：在二倍角公式2cos 212sin αα=-和2cos 22cos 1αα=-中，用2α代替α得： cos α＝___________________和cos α＝____________________． 由此得：sin 2α＝__________________；cos 2α＝___________________． 用上面两个公式两边分别相除，可得：tan 2α＝_________________．又根据正切函数的定义，还可得：sin sin 2cos 222tan 2cos cos 2cos 222ααααααα⋅===⋅___________；sin sin 2sin 222tan 2cos cos 2sin 222ααααααα⋅===⋅____________．以上得到的五个有关半角的三角函数公式，称之为半角公式． 在这些公式中，根号前面的符号由2α所在象限相应的三角函数值的符号确 定，如果2α所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号．2．已知等腰三角形顶角的余弦值等于513，求这个三角形底角的正弦、余弦和正切值．3． 求证： (1) 12tan tan tan 2A A A -=-； (2) 21sin 2cos ()42παα-=+．【课堂检测】【课后训练】1． 填空： (1) sin 8π＝__________，cos 8π＝__________，tan 8π＝__________；(2) 已知4sin ,180270,5αα=-<<则tan2α＝__________． 2．已知tan 2α=，α是锐角，求tan2α的值．3．求证：(1) sin (1cos 2)sin 2cos θθθθ+=； (2) 21sin 2cos ()42παα+=-．。