最新北师版初中数学九年级下册综合滚动习题圆的有关性质

复习《圆的有关性质》学情分析：本节课主要回顾和复习的是圆的有关性质，其中圆的有关概念；垂径定理及推论；圆心角、弧、弦之间的关系；圆周角定理及推论构成本节课的教学内容；而垂径定理及推论，圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理及推论则是学业水平考试的重点、高频考点、热点。

垂径定理及推论，圆心角、弧、弦之间的关，圆周角定理及推论的题型会在填空、选择、解答题中出现，因此，在教学过程和课后的巩固连续中必须掌握这一部分内容。

教学目标：1 回顾圆的有关慨念；2 回顾垂径定理及推论；3 回顾圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论；4 回顾圆周角定理及推论。

教学重点：1 回顾并掌握圆的有关慨念；2 回顾并掌握垂径定理及推论；3 回顾并掌握圆心角、弧、玄之间的关系定理及推论；4 回顾并掌握圆周角定理及推论教学难点：运用所掌握的圆的有关概念；垂径定理及推论；圆心角、弧、弦之间的关系；圆周角定理及推论来解决实际问题。

核心考点：1 垂径定理及推论；2 圆心角、弧、弦之间的关系；3 圆周角定理及推论；教学过程：一、近三年考情分析二、中考考点聚焦考点1圆的轴对称性(2)圆的性质：①圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心．②圆具有旋转不变性．【练习题1】1．如图23－1，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，以下说法：①CE ＝DE ；②BE ＝OE ；③CB ︵＝BD ︵；④AC ︵＝AD ︵.其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．如图23－2，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8(3)垂径定理及其推论(1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的________也相等．(2)推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．【练习题2】4．如图23－3，已知在⊙O 中，AB ＝BC ，且AB ︵∶AMC ︵＝3∶4，则∠AOC 的度数为________图23－3图23－43．已知：如图23－4，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是BE ︵上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 等于()考点2 圆心角、弧、弦之间的关系A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°【练习题3】5. 如图23－5，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠BOC ＝140°，则∠BAC 等于( )A ．60°B ．70°C ．120°D ．140°图23－5 图23－66．如图23－6，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35°，考点3 圆周角定理则∠B的度数是()A．35°B．45°C．55°D．65°三当堂效果检测1．如图23－12，AB是⊙O的直径，C，D为圆上的两点，∠AOC＝130°，则∠D等于()A．25°B．30°C．35°D．50°2．[2015·玉溪模拟]如图23－11，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立．．．的是( )图23－11A．∠A＝∠D B．CE＝DEC．∠ACB＝90° D．CE＝BD5．[2016·娄底]如图23－13，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为()A．20°B．40°C．50°D．70°图23－13四、教学反思：在教学过程中，过分注重学生学习过程的引导和帮助，使得学生过多的依赖教师的帮助和引导。

1 最新九年级下册关于圆的练习试题 1、

（备用图） 2 2、 3 3、 4 4、 5 5、 6 6、 7 7、 8 8、

（备用图） 9 9、

（备用图） 10 10、 11 11、 12 12、 13 13、如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，△P的

圆心P在线段BC上，且△P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ． 14 14、如图，两个半径均为的⊙O1与⊙O2

相交于A、B两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部

分的面积为 ．（结果保留π） 15 15、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，以AB为直径作⊙O，恰与另一腰CD相切于点E，连接OD、OC、BE． （1）求证：OD∥BE； （2）若梯形ABCD的面积是48，设OD=x，OC=y，且x+y=14，求CD的长． 16 16、 17 17、 18 18、 19 19、 20 20、 21 21、 22

22、 23、 23 24、 24 25、 25 26、 26 27、 27 28、 28 29、 29 30、 30 31、 31 32、 32 33、 33 34、 34 35、 35 36、 36 37、 37 38、 38 39、 39 40 41

题型全解4 五大性质定理之圆周角定理【知识梳理】1.三个知识点（1）圆周角与圆周角关系：等弧或同弧所对的各个圆周角都相等；即：①∵BĈ=BC ̂，∴∠A=∠D ；②∵AD ̂=AD ̂，∴∠B=∠C ； 注意：不是同弦或等弦，因为一条弦所对的圆周角有两个，相等或互补即：弦BC 所对的圆周角有：∠E 、∠A 、∠D ，其中∠A=∠D ，∠A+∠E=180°（∠D+∠E=180°）（2）圆周角定理与垂径定理综合运用（3）圆周角与直径关系：直径所对的圆周角是90°（或90°的圆周角所对的弦是直径）即：BC 是直径，则∠A=90°；反之也成立：∠A=90°，则BC 是直径；注意：①熟悉两种添辅助线方法：①题中出现直径，常作直径所对的圆周角――直角；②若没有直径的，作直径、延长半径成直径；②拓展：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形D C BA OC B AO 两切线,全等两圆心;连半径证垂直；作垂直证半径321的关系：∠1+∠2=180°；∠2=∠3关系（4）圆内接四边形对角（圆周角）关系：①圆内接四边形的对角的度数和等于180°;②任何一个外角都等于它的内对角; 即：∠C+∠BAD=180°或∠C=∠DAE ；拓展1：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。

四点共圆有三个性质:(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;如∠1=∠2;(2)圆内接四边形的对角互补; 如∠DAB+∠DCB=180°;(3)圆内接四边形的外角等于内对角,如∠FBC=∠ADC;(4)△DEC ∽△AEB 、△DEA ∽△CEB;(5) 以上性质逆用,即可判定四点共圆;(6)托勒密定理若ABCD 四点共圆(ABCD 按顺序都在同一个圆上)，那么AB ×DC+BC ×AD=AC ×BD即圆内接四边形中,两组对边的乘积和,会等于两条对角线的乘积.(7)相交弦定理： AE ×CE=BE ×DE;【典型例题】1．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C 的度数为______ED B A O F21ED CB A解析：∠C=∠B=24°̂=CD̂，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB= ．2．如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB解析：∵弧CB=弧CD，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．3．如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD•CDD. AD•AB=AC•BD解析：如图，∠ADC=∠ADB，A、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；B、∵AD=DE，∴=，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；C、∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；D、∵AD•AB=AC•BD，∴AD：BD=AC：AB，但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．故选D．24．直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．解析：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°，∴弦AB所对的圆周角是30°或150°．5. 已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是____解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=5√3，∴tan∠1=AD/OD=√3，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是________解析：∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°7．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是_____解析：∵A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，OA ⊥BC ，∴弧AC=弧AB ，∴∠ADC=12∠AOB （等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB=70°，∴∠ADC=35°．8．如图，点A ，B ，C ，D 都在半径为2的⊙O 上，若OA ⊥BC ，∠CDA=30°，则弦BC=____【分析】根据垂径定理得到CH=BH ，=，根据圆周角定理求出∠AOB ，根据正弦的定义求出BH ，计算即可． 解：∵OA ⊥BC ，∴CH=BH ，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB •sin ∠AOB=√3，∴BC=2BH=2√3，9．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB 的长为___5√3【分析】连接OC 、OA ，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB 即可．解：连接OC 、OA ，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB 为弦，点C 为的中点，∴OC ⊥AB ， 在Rt △OAE 中，AE=，∴AB=5√3，10.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C=30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB=AB ，则PA 的长为_______解析：连接OA 、OB 、OP ，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB ，∴∠PAB=∠APB=30°∴∠ABP=120°，∵PB=AB ，∴OB ⊥AP ，AD=PD ，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt △PBD 中，PD=cos30°•PB=√32×5=5√32，∴AP=2PD=5√3，11．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是________解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°﹣32°=58°12．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为______解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC于点D，则OD的长为解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．14．如图，⊙A 过点O （0，0），C （√3，0），D （0，1），点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是__________解析：连接DC ，∵C （√3，0），D （0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=√3，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，15．如图，⊙O 的半径为1，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，点D 、E 在圆上，四边形BCDE 为矩形，这个矩形的面积是_______解析：连接BD ，∵∠E=90°，可知BD 是直径，作OM ⊥BC 于点M ，易知∠BOM=∠A=60°，∵OB=1，∴OM=12，BM=√32，∴BC=√3，CD=2OM=1，∴S 矩形BCDE =√316.如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC=24，AH=18，⊙O 的半径OC=13，则AB=______解析：求线段长，要么针勾股定理，要么相似，由图形及题目条件判断，首先考虑相似，由于求AB ，且知AH 的长，我们选△ABH 跟某个三角形相似，由于△ABH 是直角三角形，所以需构造一个直角三角形，且含AC 为边的直角三角形与△ABH 相似，所以连OA 并延长AO 交⊙O 于点M ，连MC ，由于AM 是直径，∴∠ACM=90°，∵AĈ=AC ̂，∴∠B=∠AMC ，∴△ABH ∽△AMC ，∴AB AM =AH AC ，即AB 26=1824，∴AB=392 M A B C D E OH O A B CMA B C D E O O ED C B A H H O A B C O M C B A17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．解析：（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，∴S菱形ABFC=8．∴S半圆=•π•42=8π．18．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=72°，则∠DCE= ．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠DCE=∠A=72°19．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD=______解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，20．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是_______解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，21．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为________解析：∵∠BOC=40°，∴∠OBC=70°，∴∠D=180°-70°=110°22. 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP//AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC=PA ·BC解析：连接BD ，∵DP//AC ，∴∠PDA=∠DAC ，∵∠DAC=∠DBC ，∴∠PDA=∠DBC ，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠DAP=∠DCB ，∴△PAD ∽△DCB ，∴PA ：DC=AD ：BC ，即AD ·DC=PA ·BCD B。

北师大版九年级数学下册第三章 圆综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（ ）A ．5厘米B ．4厘米C ．132厘米D ．134厘米 2、如图，ABC 内接于⊙O ，110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒，BD 为⊙O 的直径，且BD ＝2，则DC ＝（ ）C DA．1 B．123、矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P在边AB上，且AP＝3，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B、C均在⊙P内B．点B在⊙P上、点C在⊙P内C．点B、C均在⊙P外D．点B在⊙P上、点C在⊙P外4、如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，将Rt△ABC延直线l由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A第一次滚动到图2位置时，顶点A所经过的路径的长为（）AB C D．（π5、已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定6、如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数为（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7、如图，O 中的半径为1，ABC 内接于O ．若50A ∠=︒，70B ∠=︒，则AB 的长是（ ）A ．32 B C D 8、若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）A ．6，B ．6，C ． 6D ．6，39、如图，O 的半径为10cm ，AB 是O 的弦，OC AB ⊥于D ，交O 于点C ，且CD =4cm ，弦AB 的长为（ ）A ．16cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm10、一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角45ACB ∠=︒，则这个人工湖的直径AD 为（ ）m ．A．502B．1002C．503D．200第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点D为边长是ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 ____．2、16.如图，平行四边形ABCD中，∠ACB= 30°，AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F，点P在OF上，连接AE，PA，PB.若PA = PB，现有以下结论：①△PAB为等边三角形；②△PEB∽△APF；③∠PBC - ∠PAC= 30°；④EA = EB + EP其中一定正确的是______（写出所有正确结论的序号）3、用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．4、一个扇形的半径为4，圆心角为135°，则此扇形的弧长为 _____．5、如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则ABC的面积是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知等边ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连接DB，DC，过点C作AB的平行线，交BD 的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB的长为6，求CE的长．2、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，连接AC ，过A 作AF AC ⊥，交⊙O 于点F ，连接DF ，过B 作BG DF ⊥，交DF 的延长线于点G ．（1）求证：BG 是⊙O 的切线；（2）若30DFA ∠=︒，DF =4，求FG 的长．3、已知矩形ABCD ，6AB =，8AD =，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()0360a a ︒<<︒，得到矩形AEFG ．（1）当点E在BD上时，求证：AF BD∥；=时，求a值；（2）当GC GB（3）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90︒的过程中，求CD绕过的面积．4、如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB 的长．5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧CD的长．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据题意先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．【详解】解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，∴AC=8-2=6厘米，过点O作OB⊥AC于点B，则AB=12AC=12×6=3厘米，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中，OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，解得r =134厘米． 故选：D ．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2、C【分析】根据三角形内角和定理求得A ∠，根据同弧所对的圆周角相等可得30D A ∠=∠=︒，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得DC 的长【详解】 解：110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒30A ∴∠=︒BC BC =∴30D A ∠=∠=︒ BD 为⊙O 的直径，90BCD ∴∠=︒在Rt BCD ，30D ∠=︒， BD ＝2， ∴12BC BD ==1DC ∴故选C【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得30D A ∠=∠=︒是解题的关键．3、D【分析】如图所示，连接DP，CP，先求出BP的长，然后利用勾股定理求出PD的长，再比较PC与PD的大小，PB与PD的大小即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接DP，CP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∵AP=3，AB=8，∴BP=AB-AP=5，∵5PD==，∴PB=PD，>=，∴PC PB PD∴点C在圆P外，点B在圆P上，故选D．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．4、C【分析】根据题意，画出示意图，确定出点A 的运动路径，再根据弧长公式即可求解．【详解】解：根据题意可得，Rt △ABC 的运动示意图，如下：Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴60ACB ∠=︒，2BC =，AB =由图形可得，点A 的运动路线为，先以C 为中心，顺时针旋转120︒，到达点1A ，经过的路径长为120121803ππ⨯=，再以1B 为中心，顺时针旋转150︒，到达点2A ，顶点A 所经过的路径的长为23π=故选：C【点睛】 此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点A 的运动路线．5、A【分析】圆的半径为,r 圆心到直线的距离为,d 当d r ＞时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当d r =时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，d r ＜时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．【详解】解：∵⊙O 的半径等于r 为8，圆心O 到直线l 的距离为d 为6，∴d r ＞，∴直线l 与O 相离，∴直线l 与⊙O 的公共点的个数为0，故选A ．【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．6、D【分析】由∠ACB =40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB 的度数．【详解】解：∵∠ACB =40°，∴∠AOB =2∠ACB =80°．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．7、B【分析】连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，由三角形内角和求出C ∠，由圆周角定理可得2AOB C ∠=∠，由OA OB =得AOB 是等腰三角形，即可知12AOD AOB ∠=∠，12AD BD AB ==，根据三角函数已可求出AD ，进而得出答案．【详解】如图，连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，∵50A ∠=︒，70B ∠=︒，∴180507060C ∠=︒-︒-︒=︒，∴2120AOB C ∠=∠=︒，∵OA OB =，∴AOB 是等腰三角形， ∴1602∠=∠=︒AOD AOB ，12AD BD AB ==， ∴30DAO ∠=︒，∴12OD =，AD ==∴2AB AD ==故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．8、B【分析】如图1，⊙O 是正六边形的外接圆，连接OA ，OB ，求出∠AOB =60°，即可证明△OAB 是等边三角形，得到OA=AB=6；如图2，⊙O1是正六边形的内切圆，连接O1A，O1B，过点O1作O1M⊥AB于M，先求出∠AO1B＝60°，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图1，⊙O是正六边形的外接圆，连接OA，OB，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°÷6=60°，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=6；（2）如图2，⊙O1是正六边形的内切圆，连接O1A，O1B，过点O1作O1M⊥AB于M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AO1B＝60°，∵O1A= O1B，∴△O1AB是等边三角形，∴O1A= AB=6，∵O1M⊥AB，∴∠O1MA＝90°，AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝BM，∴O1M故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形与圆的知识是解题的关键．9、A【分析】如图所示，连接OA，由垂径定理得到AB=2AD，先求出6cm=-=，即可利用勾股定理求出OD OC CDAD，即可得到答案．8cm【详解】解：如图所示，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AB=2AD，∠ODA=90°，CD=，∵4cm∴6cm=-=，OD OC CD∴8cmAD==，∴216cm==，AB AD故选：A．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．10、B【分析】连接BD，利用同弧所对圆周角相等以及直径所对的角为直角，求证ADB∆为等腰直角三角形，最后利用勾股定理，求出AD即可．【详解】解：连接BD，如下图所示：ACB ∠与ADB ∠所对的弧都是AB ．45ADB ACB ∴∠=∠=︒．ABD ∠所对的弦为直径AD ，90ABD ∴∠=︒．又45ADB ∠=︒，ADB ∴∆为等腰直角三角形，在ADB ∆中，100AB DB ==，∴由勾股定理可得：AD ===故选：B ．【点睛】本题主要是考查了圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角和勾股定理，熟练运用圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角，得到对应的直角三角形，再用勾股定理求解边长，是解决本题的主要思路．二、填空题1、【分析】根据题意作等边三角形ABC 的外接圆，当点D 运动到AB 的中点时，四边形ADBC 的面积S 的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可．【详解】解：根据题意作等边三角形ABC 的外接圆，D 在运动过程中始终保持∠ADB ＝120°不变，D ∴在圆上运动，当点D 运动到AB 的中点时，四边形ADBC 的面积S 的最大值，过点D 作AB 的垂线交于点E ，如图：4120AB ADB =∠=︒，30,DBE BE ∴∠=︒=12DE BD ∴=， 在Rt BDE 中，222BD DE BE =+，解得：2DE =，12ABDS AB DE ∴=⋅= 过点A 作BC 的垂线交于F ，12BF BC ∴==6AF ∴=， 162ABC S ∴=⨯⨯==4ABC ABD ADBC S S S ∴+=四边形故答案是：【点睛】本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质．2、①③④【分析】根据等边三角形的性质、垂直平分线的性质逐项进行分析即可．【详解】连接PC①∵AC 的垂直平分线分别交AC ，BC ，AD 于点O ，E ，F∴PA =PC ，EF ⊥AC ，EA =EC∵PA =PB ，∴PA =PB =PC∴点A 、B 、C 在以P 为圆心的圆上∴260APB ACB ∠=∠=︒∴△PAB 为等边三角形；故①正确；②∵∠ACB = 30°，EF ⊥AC ，EA =EC∴60AEO CEO ∠=∠=︒∴=120PEB ∠︒∵△PAB 为等边三角形∴60APB ABP ∠=∠=︒∴180120APF APB BPE BPE ∠=-∠-∠=︒-∠∴PEB APF ∠≠∠，故②错误；③∵平行四边形ABCD 中∴AD ∥BC∴60AFE CEO ∠=∠=︒，180ABC BAD ∠+∠=︒,30ACB CAD ∠∠==︒ ∴△AEF 为等边三角形∵60APB BAP ∠=∠=︒,180ABC BAD ∠+∠=︒∴PBC ABC ABP ∠=∠-∠18060BAD =︒-∠-︒120()BAP FAP =︒-∠+∠120(60)FAP =︒-︒+∠60FAP =︒-∠∵30FAP CAD PAC PAC ∠=∠-∠=︒-∠∴60(30)30PBC PAC PAC ∠=︒-︒-∠=∠+︒即∠PBC - ∠PAC = 30°，故③正确；∵△AEF 、△PAB 为等边三角形∴(ABE APF SAS ≅∴BE PF =∵EF =EP +PF =EA∴EA =EB +EP ，故④正确；综上，一定正确的是①③④故答案为：①③④【点睛】本题综合考查等边三角形的性质与判定、相似三角形的判定、圆周角定理、平行四边形的性质，解题的关键是根据PA =PB =PC 得到点A 、B 、C 在以P 为圆心的圆上．3、1【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r ，列出方程求解即可得．【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为：12222ππ⨯⨯=，∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π设圆锥的底面圆的半径为r，则：22rππ=，解得：1r=，故答案为：1．【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键．4、3π【分析】根据弧长的计算公式计算即可．【详解】解：扇形弧长为：1354180π︒⋅⋅︒＝3π．故填：3π．【点睛】本题主要考查了扇形的弧长计算，牢记扇形的弧长公式成为解答本题的关键．5、6【分析】根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案．【详解】解：连接DO，EO，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=2，AF=AE=3又∵∠C=90°，∴四边形OECD是矩形，又∵EO=DO，∴矩形OECD是正方形，设EO=x，则EC=CD=x，在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2故（x+2）2+（x+3）2=52，解得：x=1，∴BC=3，AC=4，×3×4=6.∴S△ABC=12故答案为：6．【点睛】本题主要考查三角形内切圆与内心，根据题意得出四边形OECF是正方形以及运用方程思维和勾股定理进行分析是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）3【分析】（1）由题意连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB=30°，则∠OCE=90°，结论得证；BC＝3．（2）根据题意由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，进而即可求出CE=12【详解】解：（1）证明：如图连接OC 、OB ．∵ABC ∆是等边三角形∴ 60A ABC ∠=∠=∵//AB CE∴ 60BCE ABC ︒∠=∠=又 ∵OB OC =∴30OBC OCB ︒∠=∠=∴90OCE OCB BCE ︒∠=∠+∠=∴OC CE ⊥∴CE 与⊙O 相切；（2）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴180A BCD ︒∠+∠=∴120BDC ︒∠=∵D 为BC 的中点，∴30DBC BCD ∠=∠=︒∴90ABE ABC DBC ∠=∠+∠=︒∵//AB CE∴90E ∠=︒ ∴11322CE BC AB === 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．2、（1）见解析；（2）2FG=【分析】（1）由题意根据切线的判定证明半径OB⊥BG即可BG是⊙O的切线；（2）根据题意连接CF，根据圆周角定理和中位线性质得出12OE DF=，进而依据等边三角形和四边形BEDG是矩形进行分析即可得出FG的长．【详解】解：（1）证明：∵ C，A，D，F在⊙O上，∠CAF=90°，∴ ∠D=∠CAF=90°．∵ AB⊥CE，BG⊥DF，∴ ∠BED=∠G=90°．∴ 四边形BEDG中，∠ABG=90°．∴ 半径OB⊥BG．∴ BG是⊙O的切线．（2）连接CF，∵ ∠CAF=90°，∴ CF是⊙O的直径．∴ OC =OF ．∵ 直径AB ⊥CD 于E ，∴ CE =DE ．∴ OE 是△CDF 的中位线． ∴ 122OE DF ==．∵ AD AD =，∠AFD =30°，∴ ∠ACD =∠AFD =30°．∴ 9060CAE ACE ∠=︒-∠=︒．∵ OA =OC ，∴ △AOC 是等边三角形．∵ CE ⊥AB ，∴ E 为AO 中点，∴ OA =2OE =4，OB =4．∴ 6BE BO OE =+=．∵ ∠BED =∠D =∠G =90°，∴ 四边形BEDG 是矩形．∴ DG =BE =6．∴ 2FG DG DF =-=．【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握切线的判定和圆周角定理和中位线性质以及等边三角形和矩形性质是解题的关键.3、（1）见解析；（2）旋转角α为 60°或者 300°；（3）9π【分析】（1）由旋转的性质及等腰三角形性质得∠AEB ＝∠ABE ，由△AEF ≌△BAD 可得∠EAF ＝∠ABD ，从而有∠AEB ＝∠EAF ，故由平行线的判定即可得到结论；（2）分点G 在AD 的右侧和AD 的左侧两种情况；均可证明△GAD 是等边三角形，从而问题解决；（3）由S 阴影＝S 扇形ACF －S 扇形ADG ，分别计算出两个扇形的面积即可求得阴影部分面积．【详解】（1）连接AF ，由旋转可得，AE ＝AB ，EF =BC ，∠AEF =∠ABC =90゜∴∠AEB ＝∠ABE ，又∵四边形ABCD 是矩形∴∠ABC =∠BAD =90゜，BC =AD∴EF =AD ，∠AEF =∠BAD =90゜在△AEF 和△BAD 中AE AB AEF BAD EF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△BAD （SAS ），∴∠EAF ＝∠ABD ，∴∠AEB ＝∠EAF ，∴AF ∥BD（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝12AD＝12AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．∴旋转角α为60°或者300°（3）如图3，∵S 扇形ACF＝22909010360360AC＝25π，S扇形ADG＝2290908360360ADππ⋅⋅⋅⋅=＝16π，∴S阴影＝S扇形ACF－S扇形ADG＝25π－16π＝9π．即阴影部分的面积为9π【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积，线段垂直平分线的判定等知识，涉及的知识点较多，灵活运用这些知识是解题的关键，（2）小问注意分类讨论．4、16AB=【分析】连接OA，根据⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2可求出OM的长，由勾股定理求出AM的长，再由垂径定理求出AB的长即可．【详解】解：如图，连接OA．∵OM：MC＝3：2，OC＝10，∴OM＝331055OC=⨯=6．∵OC⊥AB，∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，∴AM=8．∴AB＝2AM =16．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．5、（1）作图见解析；（2【分析】（1）由于D点为⊙O的切点，即可得到OC=OD，且OD⊥AB，则可确定O点在∠A的角平分线上，所以应先画出∠A的角平分线，与BC的交点即为O点，再以O为圆心，OC为半径画出圆即可；（2）连接CD和OD，根据切线长定理，以及圆的基本性质，求出∠DCB的度数，然后进一步求出∠COD的度数，并结合三角函数求出OC的长度，再运用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图所示，先作∠A的角平分线，交BC于O点，以O为圆心，OC为半径画出⊙O即为所求；（2）如图所示，连接CD和OD，由题意，AD为⊙O的切线，∵OC⊥AC，且OC为半径，∴AC为⊙O的切线，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵CD=BD，∴∠B=∠DCB，∵∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，即：3∠DCB=90°，∴∠DCB=30°，∵OC=OD，∴∠DCB=∠ODC=30°，∴∠COD=180°-2×30°=120°，∵∠DCB=∠B=30°，∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∵AO平分∠BAC，∴∠CAO=∠DAO=30°，∴在Rt△ACO中，tan6=∠==OC AC CAO∴CD==．【点睛】本题考查复杂作图-作圆，以及圆的基本性质和切线长定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键．。

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系<⇒点C在圆内；1、点在圆内⇒d r=⇒点B在圆上;2、点在圆上⇒d r>⇒点A在圆外;3、点在圆外⇒d r三、直线与圆的位置关系>⇒无交点；1、直线与圆相离⇒d r=⇒有一个交点；2、直线与圆相切⇒d r<⇒有两个交点；3、直线与圆相交⇒d r四、圆与圆的位置关系>+；外离（图1）⇒无交点⇒d R r=+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r-<<+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r=-;内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r<-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1:（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即:①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积；【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交.4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.A．－1≤x≤1 B．≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2【思路点拨】关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．【答案】C；有公共点时，0≤OP≤，举一反三：类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且CF CB =，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【思路点拨】主要用垂径定理及其推论进行证明． 【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【总结升华】在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO 交BC 于点D,过O 作OE ⊥BC 于E.则三角形ABD 为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt △ODE 中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10 OE 垂直平分BC ，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm. （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm 3173..【答案与解析】 （1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3)324AB cm ∴==∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【总结升华】四边形ABCD中，AD长为7支香烟的直径之和，易求；求AB长，只要计算出如图（2）中的O1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．【答案与解析】解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S △ACF +S △OFD =S △AOD =×6×3=9， 即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．ABC D BC DB DC DA +=如图，△是等边三角形，是上任一点，求证：.【思路点拨】由已知条件，等边△ABC 可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB ＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.【答案与解析】延长DB 至点E ，使BE ＝DC ，连结AE∵△ABC 是等边三角形∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°，AB ＝AC∴∠ADB ＝∠ACB ＝60°∵四边形ABDC 是圆内接四边形∴∠ABE ＝∠ACD在△AEB 和△ADC 中，∴△AEB ≌△ADC∴AE ＝AD∵∠ADB ＝60°∴△AED 是等边三角形∴AD ＝DE ＝DB ＋BE∵BE ＝DC∴DB ＋DC ＝DA.【总结升华】本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.。

北师大版九年级数学下册第三章圆综合测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）A．直径所对圆周角为90︒B．如果点A在圆上，那么点A到圆心的距离等于半径C．直径是最长的弦D．垂直于弦的直径平分这条弦2、如图，点A，B，C都在⊙O上，连接CA，CB，OA，OB．若∠AOB=140°，则∠ACB为（）A．40°B．50°C．70°D．80°3、如图，在Rt ABC中，390,4,tan4ACB AC A∠===．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A．1 B．75C．32D．24、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立是（）A．弧AC＝弧AD B．弧BC＝弧BD C．CE＝DE D．OE＝BE5、如图，O的半径为10cm，AB是O的弦，OC AB⊥于D，交O于点C，且CD=4cm，弦AB的长为（）A．16cm B．12cm C．10cm D．8cm6、如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A ．3B ．4C ．D ．7、下列说法正确的是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧C ．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等D ．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径8、如图，ABC 中，50ABC ∠=︒，74ACB ∠=︒，点O 是ABC 的内心．则BOC ∠等于（ ）A ．124°B ．118°C ．112°D ．62°9、如图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，其中点C ，D ，E 在AB 上，点F ，N 在半圆上．若10AB =，则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是（ ）A ．25B ．50C ．30π-D ．502π-10、如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为点 E ，若 ⊙O 的半径为5，CD =8，则AE 的长为（ ）A ．3B ．2C ．1D 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长为8π，则正六边形的边长为________．2、如图，AB 、CD 为一个正多边形的两条边，O 为该正多边形的中心，若∠ADB ＝12°，则该正多边形的边数为 _____．3、已知⊙O 的半径为10，直线AB 与⊙O 相切，则圆心O 到直线AB 的距离为______．4、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，分别以点A 、C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若6AC =，35CAB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）5、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，CF ，BE 交于点P ，4AC =cm ，3BC =cm ，5AB =cm ，则CPB △的面积为_______cm 2．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣3x ﹣3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线2y x bx c =++经过A ，C 两点，且与x 轴交于另一点B （点B 在点A 右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B 坐标；（2）试探究ABC ∆的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M 是线段BC 上一动点，过点M 的直线EF 平行y 轴交x 轴于点F ，交抛物线于点E ．求BCE ∆面积 的最大值，并求出此时M 点的坐标．2、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，以CD 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点E ，F 两点，过点F 作FG ⊥AB 于点G ．（1）求证：FG 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝3，CD ＝2.5，求FG 的长．3、如图，点O ，B 的坐标分别是（0，0），（3，0）．将△OAB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△OA 1B 1．（1）画出平面直角坐标系和三角形△OA 1B 1；（2）求旋转过程中点B 走过的路径的长．4、如图，AB 为O 的直径，弦,DA BC 的延长线相交于点P ，且BC PC =求证：2BAD P ∠=∠．5、如图1，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，OB ＝OC ＝3OA ．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E的坐标为（0，7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线y＝kx﹣2k﹣5（k≠0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，△FGH面积最小，并求出面积的最小值；（3）如图3，已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿直线l方向平移，平移过程中抛物线与直线l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在唯一的一点P，使∠EPF＝90°，求m的值．-参考答案-一、单选题1、A【分析】定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.【详解】A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为90 ，A选项符合要求；B、C选项，根据圆的定义可以得到；D选项，是垂径定理；故选：A【点睛】本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.2、C【分析】根据圆周角的性质求解即可．【详解】解：∵∠AOB=140°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得，∠ACB=70°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题关键是明确同弧所对的圆周角是圆心角的一半．3、B【分析】利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用cosBC BEBAB BC==，求出BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．【详解】解：在Rt ABC中，390,4,tan4 ACB AC A∠===，∴BC=3，5AB=，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，∵cosBC BEBAB BC==，∴353BE =，解得95 BE=，∵CB=CD，CE⊥AB，∴1825 BD BE==，∴187555 AD AB BD=-=-=，故选：B．【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．4、D【分析】根据垂径定理解答．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，∴弧AC＝弧AD，弧BC＝弧BD，CE＝DE，故选：D．【点睛】此题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，熟记定理是解题的关键．5、A【分析】如图所示，连接OA，由垂径定理得到AB=2AD，先求出6cmOD OC CD=-=，即可利用勾股定理求出AD，即可得到答案．8cm【详解】解：如图所示，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AB=2AD，∠ODA=90°，CD=，∵4cm∴6cm=-=，OD OC CD∴8cmAD==，∴216cm==，AB AD故选：A．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．6、D【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，根据垂径定理、勾股定理得：OM=ON=4，再根据四边形MONP是正方形，故可求解．作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，∵OB=5，BM= 142AB=，∴OM3=∵AB=CD=8，∴ON=OM=4，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．7、C根据圆心角、弧、弦的关系对AC进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据对称轴的定义对D进行判断．【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以本选项错误；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以本选项错误；C、等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以本选项正确；D、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．8、B【分析】根据三角形内心的性质得到∠OBC=12∠ABC=25°，∠OCB=12∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数．【详解】解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC=12×50°=25°，∠OCB=12∠ACB=12×74°=37°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．9、A【分析】连接ON，OF，根据题意可得：ON=OF=5，设CN=x，EF=y，由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，y2+(y-DO)2=25②，然后①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，从而得到y-DO=x，再代入②，即可求解．【详解】解：如图，连接ON，OF，AB ，∵直径10∴ON=OF=5，设CN=x，EF=y，由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，y2+(y-DO)2=25②，①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，因为x+y＞0，所以x+DO-y=0，即y-DO=x，代入②，得x2+y2=25，即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是25．故选：A【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的基本性质，勾股定理等知识是解题的关键．10、B【分析】连接OC ，由垂径定理，得到CE =4，再由勾股定理求出OE 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：连接OC ，如图∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点 E ，CD =8， ∴118422CE CD ==⨯=，∵5AO CO ==，∴3OE ，∴532AE =-=；故选：B ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出3OE =．二、填空题1、4【分析】由周长公式可得⊙O半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF中心角为60︒，即可知正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF边长．【详解】∵⊙O的周长为8π∴⊙O半径为4∵正六边形ABCDEF内接于⊙O∴正六边形ABCDEF中心角为36060 6︒=︒∴正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的∴正六边形ABCDEF边长为4.故答案为：4．【点睛】本题考查了正多边形的中心角公式，正n边形的每个中心角都等于360n︒，由中心角为60︒得出正六边形ABCDEF为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．2、15【分析】根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角∠AOB＝24°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，∵∠ADB＝12°，∴∠AOB＝2∠ADB＝24°，而360°÷24°＝15，∴这个正多边形为正十五边形，故答案为：15．【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．3、10【分析】根据直线AB和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径即可得问题答案．【详解】解：∵⊙O的半径为10，直线AB与⊙O相切，∴圆心到直线AB的距离等于圆的半径，∴d=10；故答案为：10；【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．同时注意圆心到直线的距离应是非负数．4、74π##【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO 和扇形CFO 的面积之和．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴6AC BD ==，OA OC OB OD ===，AB CD ∥，∴3OA OC ==，35ACD CAB ∠=∠=︒， ∴图中阴影部分的面积为：2353723604ππ⨯⨯=． 故答案为：74π．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5、1.5【分析】根据BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，CF ，BE 交于点P ，得出点P 是ABC ∆的内心，并画出ABC ∆的内切圆，再根据切线长定理列出方程组，求出BCP ∆的边BC 上的高，进而求出其面积．【详解】解：BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，CF ，BE 交于点P ，∴点P 是ABC ∆的内心． 如图，画出ABC ∆的内切圆，与BC 、AC 、AB 分别相切于点G 、M 、N ，且连接PG ，设CG x =，BG y =，AF z =，得方程组：354x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 1PG x ∴==，CPB ∴∆的面积21131 1.5()22BC PG cm =⨯⨯=⨯⨯=． 故答案为：1.5．【点睛】此题主要考查三角形内切圆的应用，解题的关键是熟知三角形内切圆的性质，根据其性质列出方程组求解．三、解答题1、（1）抛物线解析式为223y x x =--，B 点坐标为（3，0）；（2）△ABC 外接圆圆心在直线1x =上，其坐标为（1，14-）；（3）BCE S 的最大值为278，此时M 点的坐标为（32，32-）． 【分析】（1）先由一次函数解析式求出AC 的坐标，然后把AC 的坐标代入抛物线解析式中求解出抛物线解析式，然后求出B 点坐标即可；（2）设△ABC 外接圆圆心为P ，点P 的坐标为（m ，n ），又A 点坐标为（-1，0），B 点坐标为（3，0），得到抛物线的对称轴为直线1x =，根据外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，推出点P 在直线1x =上，即m =1，PB =PC ，再由PB =PC =224441n n n +=+++，由此求解即可；（3）先求出直线BC 的解析式为3y x =-，设M 的坐标为（t ，t -3），则E 点坐标为（t ，223t t --），则()22239323324ME t t t t t t ⎛⎫=----=-+=--+ ⎪⎝⎭，根据=BCE MCE MBE S S S +△△△32ME =23327228t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵直线33y x =--与x 轴交于点A 、与y 轴交于点C ，∴A 点坐标（-1，0），C 点坐标为（0，-3），∵抛物线2y x bx c =++经过A 、C 两点，∴103b c c -+=⎧⎨=-⎩， ∴23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为223y x x =--，当0y =时，2230x x --=，解得1x =-或3x =，∴B 点坐标为（3，0）；（2）设△ABC 外接圆圆心为P ，点P 的坐标为（m ，n ），∵A 点坐标为（-1，0），B 点坐标为（3，0），∴抛物线的对称轴为直线1x =，∵外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，∴点P 在直线1x =上，即m =1，PB =PC ，∵PB =PC =224441n n n +=+++， ∴14n =-， ∴点P 的坐标为（1，14-）； （3）设直线BC 的解析式为1y kx b =+， ∴11303k b b +=⎧⎨=-⎩， 1313k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =-，设M 的坐标为（t ，t -3），则E 点坐标为（t ，223t t --），∴()22239323324ME t t t t t t ⎛⎫=----=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∴=BCE MCE MBE S S S +△△△()()1122M C B M ME x x ME x x =⋅-+⋅- ()12B C ME x x =⋅- 32ME =， 23327228t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∴当32t=时，BCES有最大值，最大值为278，∴此时M点的坐标为（32，32-）．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，三角形外接圆圆心坐标，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．2、（1）证明见解析；（2）6 5【分析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OFC，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，即可求解；（2）连接DF，根据勾股定理得到BC，根据圆周角定理得出∠DFC＝90°，根据三角形函数的定义即可得出结论．【详解】（1）证明：如图，连接OF，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠OCF，∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°，∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∵OF为半径，∴FG是⊙O的切线；（2）解：如图，连接DF，∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5，∴BC，∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，∵DB＝DC，∴BF＝12BC＝2，∵sin∠ABC＝AC FGAB FB=，即352FG=，∴FG＝65．【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正弦的定义，准确分析计算是解题的关键．3、（1）见解析；（2）3 2π【分析】（1）根据点O的坐标确定直角坐标系，根据旋转的性质确定点A1、B1，顺次连线即可得到△OA1B1；（2）利用弧长公式计算即可．【详解】解：（1）如图，△OA1B1即为所求三角形；（2）旋转过程中点B走过的路径的长=9033 1802ππ⨯=．【点睛】此题考查了旋转作图，弧长的计算公式，正确掌握旋转的性质及弧长的计算公式是解题的关键．4、见解析【分析】如图：连接AC，根据AB为O的直径可得∠ACB=90°，即AC⊥BP.再根据BC=PC可知AC为BP的垂直平分线可得AB=AP，根据等腰三角形的性质得到∠P=∠B，最后由三角形外角的性质即可证明．【详解】证明：如图：连接AC，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BP.∵BC=PC，∴AC为BP的垂直平分线，∴AB=AP，∴∠P=∠B，∴∠BAD=∠P+∠B=2∠P．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂直平分线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，根据题意作出辅助线、构造出圆周角是成为解答本题的关键．5、（1）y＝-x2+2x+3；（2）k=-2，面积最小为（3）m【分析】（1）令x =0，解得y =b ，求出OB ＝OC ＝b ，OA =13b ，得到A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0），把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b 即可求解； （2）设直线EH 的解析式为y =nx +7，联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+=，根据直线EH 与函数只有一个交点，求出H （2，3），再得到直线GH 过定点M （2，-5），利用S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x -，求出()12x x -的最小值即可求解； （3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90°，设点E ，F 的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），求出平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+2m +2，联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=，求出x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --，y 1+y 2=4m -6，表示出点R （m -1，2m -3），求出()12x x -2，利用PR =12EF ，得到EF 2=4PR 2，列出关于m 的方程即可求解．【详解】（1）∵y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，令x =0，解得y =b∴CO =b∴OB ＝OC ＝b ，OA =13b ∴A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0） 把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b 得22209302ab ab b ab ab b ⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为y ＝-x 2+2x +3；（2）∵点E 的坐标为（0，7），可设直线EH 的解析式为y =nx +7联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+= ∵直线EH 与函数只有一个交点，且在对称轴右侧∴△=()224140n --⨯⨯=解得n 1=-2，n 2=6（舍去）∴直线EH 的解析式为y =-2x +7解方程2440x x -+=得x 1=x 2=2∴H （2，3）∵直线GH 解析式y ＝kx ﹣2k ﹣5=k （x -2）-5∴直线GH 过定点M （2，-5）如图，连接HM∵H （2，3）∴HM ⊥x 轴，MH =8设F （x 2，y 2）、G （x 1，y 1）联立()22523y k x y x x ⎧=--⎨=-++⎩，得到()22280x k x k +---= ∴x 1+x 2=2-k ，x 1x 2=-2k -8∵S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x - 故当()12x x -最小时，S △FGH 最小∵()12x x -2=()()()()222121242428232x x x x k k k +-=----=++ 故当k =-2时，()12x x -2的最小值为32故()12x x -∴此时S △FGH 最小为4()12x x -=（3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90° 如图，R 与x 轴相切时，切点为点P ，∵y ＝-x 2+2x +3=-（x -1）2+4设点E ，F 的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），当平移后的抛物线的顶点的横坐标为m 时，则抛物线向右平移了m -1个单位，故相应地纵坐标向上平移了2（m -1）=个单位，则平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+4+2（m -1）=-（x -m ）2+2m +2联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=∴x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --∴y 1+y 2=2（x 1+x 2）-2=4m -6，则点R （m -1，2m -3），()12x x -2=()212124x x x x +-=（2m +2）2-4（223m m --）=16，PR =12EF 则EF 2=4PR 2∵EF 2=()12x x -2+()12y y -2=5()12x x -2=5×16=4PR 2∵PR =2m -3∴5×16=4×（2m -3）2解得m∴当m m【点睛】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知圆的切线的性质、勾股定理、二次函数的图像与性质、一元二次方程相关性质．。