高一数学第三章数列复习小结基本训练题

Ming Sheng Education责任教育专Ming Sheng Education责任教育专Ming Sheng Education责任教育专Ming Sheng Education责任教育专Ming Sheng Education 责任教育专例题分析例：在等差数列{n a }中，已知81248,168S S ==，求1,a和d 已知6510,5a S ==，求8a 和8S变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102030,50a a ==.（1）求通项公式{}n a ；（2）若242n S =，求n .Ming Sheng Education 责任教育专家例：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=-，221n n b a =-，其中*.n N ∈（1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求证：在数列{}n a 中对于任意的*n N ∈，都有1n n a a +>.（3）设nb nc =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由.跟踪训练：已知数列{n a }中，135a =，数列112,(2,)nn a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足1()1n n b n N a *=∈-（1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项.例：在等差数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知.0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围；（II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。

.数 列一．数列的概念：（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； （2）数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为__（答：n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n +++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}nb 为等差数列。

2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d <≤） 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，求1a ，n （答：13a =-，10n =）； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）. 三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

第三章 数列一、数列的概念1、数列：按照一定次序排列的一列数（与顺序有关）2、通项公式：数列的第n 项a n 与n 之间的函数关系用一个公式来表示。

（通项公式不唯一）3、数列的表示:(1) 列举法:如1,3,5,7,9……; (2) 图解法:由(n,a n )点构成;(3) 解析法:用通项公式表示,如a n =2n+1(4) 递推法:用前n 项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a 1=1,an=1+2a n-14、数列分类：有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列，有界数列，无界数列5、任意数列{a n }的前n 项和的性质 Sn= a 1+ a 2+ a 3+ ……+ a n ()()⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n6、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+11n nn n a a a a 考虑数列的单调性二、数列通项的求法1、 由等差，等比定义，写出通项公式2、 利用迭加a n -a n-1=f(n)、迭乘a n /a n-1=f(n)、迭代3、一阶递推q pa a n n +=+1,我们通常将其化为()()A a p A a n n -=-+1看成{b n }的等比数列4、利用换元思想5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，用归纳法证明6、对含a n 与S n 的题，进行熟练转化为同一种解题 三、等 差 数 列1．定义：)()(1∙+∈=-N n d a a n n 常数2．通项：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+= 3．前n 项的和：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=4．中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5．性质: ()()nm a a d d n m a a nm n m --=-+=,1()q p m n m q p a a a q p m a a a a n m q p +=+=+=++=+2,2,,,2则若则若在等差数列中(){}{}{}{}{}.,,,,,,,,,3211121d d d pd b a q a pa d d b a n n n n n n ±±+且公差分别为列也为等差数则数列且公差分别为均为等差数列若（4）在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等差数列，公差为md 。

基础测试1．一架飞机起飞时；第一秒滑跑2.3米；以后每秒比前一秒多滑跑4.6米；离地的前一秒滑跑66.7米；则滑跑的时间一共是（）（A ） 15秒 （B ）16秒 （C ）17秒 （D ）18秒答案：A2．某工厂去年产值是a ；计划在今后五年内；每年比上一年产值增长10%；从今年起到第五年末这个工厂的总产值是（）（A ）1.14a （B ）5a （C ）10×5－1) a （D ）11×5－1) a答案：D3．若数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ；则{}n a 是（）（A ）等比数列 （B ）不是等比数列（C ）可以是等比数列；也可以是等差数列（D ）可是等比数列；但不可能是等差数列答案：C4．已知a ＞b ＞0；A 是a ；b 的等差中项；G 是a ；b 的等比中项；且G ＞0；若A=2G ； 则=ba ___________ (答案：347+)5．已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧+13n n ；则这个数列的前n 项和=n S ______________. (答案：()13212121+⋅-++n n n ) 6．已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50；则当n=______时；S n 的值最小；S n的最小值是__________。

(答案：16；－392) 7．已知等差数列为{}n a 中；a 1=1；S 10=100（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从数列{}n a 中依次取出第1；3；32；…；3n －1 项；组成数列{}n b ；求数列{}n b 的前n 项和。

（答案： （1）a n =2 n －1 ； （2） S bn =3n －n －1．点评：7．由于1；3；32；…；3n －1 都是数列{}n a 中的项；所以它们都满足a n =2n －1故1321-⨯=-n n b ．以下再对等比数列{}132-⨯n 及常数列1；1；…；分别求其前n 项和即可．）8．有三个数成等差数列；前两数和的3倍等于第三个数的2倍；若第二个数减去2（仍作第二项）；则三数成等比数列；求此三个数。

高一数学第三章数列复习小结基本训练题一、选择题1．已知数列｛na｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n项和为0 B．nＣ．n a1Ｄ．a1n2．已知数列｛na｝的前n项和nS=3na-2,那么下面结论正确的是B．此数列为等比数列Ｄ．此数列从第二项起是等差数列3．已知等比数列｛na｝中，na=2×31-n,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和nS的值为Ａ．3n-1B．3(3n-1)Ｃ．419-nＤ．4)19(3-n4．实数等比数列｛na｝，nS＝naaa+++21，则数列｛nS｝中B．必有一项为零Ｄ．可以有无数项为零5．如果数列｛na｝的前n项和323-=nnaS,那么这个数列的通项公式是na=2(n2+n+1)B．na=3·２nna=3n+1Ｄ．na=2·3n6．已知等差数列的第k,n,p项构成等比数列的连续3项，如果这个等差数列不是常数列，则等比数列的公比为Ａ．nkpn--B．kpnp--Ｃ．pnkn--Ｄ．pknk--7．数列｛na｝，｛nb｝满足nanb=1,na=n2+3n+2,则｛nb｝的前10项之和为Ａ．31B．125Ｃ．21Ｄ．127二、填空题8．2，x,y,z,18成等比数列，则x= .9．已知数列｛na｝的前n项和nS=n3,则876aaa++＝ .10．三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是 .11．一个数列的前n 项和为n S =1—2+3-4+…+(—1)1+n n ,则S 17＋Ｓ33＋Ｓ50＝12．一个数列｛n a ｝，当n 为奇数时，n a =5n +1,当n 为偶数时，22nn a =，则这个数列前2m 项的和为 .13．已知正项等比数列｛n a ｝共有2m 项，且2a ·4a =9(3a ＋4a )，1a ＋2a ＋3a ＋…＋m a 2=4(2a ＋4a ＋6a ＋…＋m a 2),则1a = ,公比q = . 14．k 为正偶数，p (k )表示等式)214121(21114131211kk k k k +++++=--++-+-则p (2)表示等式 ,p (4)表示等式 .15、若数列{}n a 的前n 项和n S =322+-n n ，则其通项公式=n a ____.三、解答题16．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数．17.某城市1996年底人口为20万，大约住房面积为8ｍ2，计划到2000年底人均住房面积达到10ｍ2，如果该市人口平均增长率控制在1%，那么要实现上述计划，每年该市要平均新建住房面积多少万平方米?(结果以万平方米为单位，保留两位小数)18．7个实数排成一排，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且奇数项的和与偶数项的积之差为42，首末两项与中间项之和为27，求中间项．19．已知等差数列｛n a ｝的第2项为8，前10项的和为185，从数列｛n a ｝中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项按原来顺序排成一个新数列｛n b ｝，求数列｛n b ｝的通项公式及前n 项和公式n S ．20．已知n n x a x a x a x a x f ++++= 33221)(，且1a ，2a ，3a ，…，n a 组成等差数列(n 为正偶数)，又f (1)=n 2，ｆ（－１）＝ｎ，求数列的通项n a ．数列复习小结基本训练题参考答案1．C 2．B 3．D 4．D 5．D 6．A 7．B 8．±32 9．387 10．4，8，16或16，8，4 11．1 12．22512-+++m m m 13．108；3114．)441241(24131211;2212211+++=-+-+⨯=-15． ⎩⎨⎧-=344n a n )2()1(≥=n n16．8，2，—4或—4，2，8 17．约12．03万m 218．219．62231-+⨯=+n S n n 20．12-=n a n。

基础测试（90分钟；满分100分）（一）选择题（每小题4分；共40分）1．已知数列｛a n ｝中；a 1＝a 2＝1；a n ＋2＝a n ＋1＋a n 对所有自然数n 都成立；则a 10＝（ ）． （A ）34 （B ）55 （C ）89 （D ）100【提示】由a 1；a 2 算出a 3；再由a 2；a 3 算出a 4；以此类推算出a 10 ．【答案】（B ）．2．数列1；3；7；15；…的通项公式a n 等于（ ）．（A ）2n （B ）2n ＋1 （C ）2n －1 （D ）2n －1【提示】排除法．由已知；各项均为奇数．所以（A ）、（D ）不正确．对于（B ）；由于n ＝1时；21＋1＝3．所以（B ）也不正确．也可以直接归纳出2n －1．【答案】（C ）．3．已知等差数列的公差为d ；它的前n 项和S n ＝－n 2；那么（ ）．（A ）a n ＝2 n －1；d ＝－2 （B ）a n ＝2 n －1；d ＝2（C ）a n ＝－2 n ＋1；d ＝－2 （D ）a n ＝－2 n ＋1；d ＝2【提示】由S n ＝－n 2 知；a 1＝S 1＝－1；a 2＝S 2－a 1＝－3；从而d ＝－2；且a n ＝a 1＋（n －1）d ＝－1＋（n －1）·（－2）＝－2 n ＋1．【答案】（C ）．4．某细菌在培养过程中；每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）；经过3小时；这种细菌由一个可分裂成（ ）．（A ）511 （B ）512 （C ）1023 （D ）1024【提示】此为a 1＝1；q ＝2的等比数列．由于经过第一个20分钟；对应着n ＝2；所以经过3小时；对应着n ＝10．故所求为a 10 ．【答案】（B ）．5．一架飞机起飞时；第一秒滑跑2.3米；以后每秒比前一秒多滑跑4.6米；离地的前一秒滑跑66.7米；则滑跑的时间一共是（ ）．（A ）15秒 （B ）16秒 （C ）17秒 （D ）18秒【提示】此为a 1＝2.3；d ＝4.6的等差数列；已知a n ＝66.7；求n ．【答案】（A ）．6．在a 和b （a ≠b ）两数之间插入n 个数；使它们与a 、b 组成等差数列；则该数列的公差为（ ）．（A ）n a b - （B ）1+-n a b （C ）1+-n b a （D ）2+-n a b 【提示】b ＝a ＋[（n ＋2）－1]d ．【答案】（B ）．7．数列｛a n ｝中；a n ＝－2 n ＋100；当前n 项和S n 达到最大值时；n 等于（ ）． （A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）49或50【提示】令a n ＝－2 n ＋100≥0；得n ≤50．即a 49 以前各项均为正数；a 50＝0；故S 49 或S 50 最大．【答案】（D ）．8．等比数列｛a n ｝的首项a 1＝－1；前n 项和为S n ；若510S S ＝3231；则510a a 等于（ ）． （A ）－321 （B ）－21 （C ）321 （D ）21 【提示】由已知可求得q ＝－21． 【答案】（A ）． 9．已知数列｛a n ｝的通项公式a n ＝)2(1+n n ；则它的前8项和S 8 等于（ ）． （A ）109 （B ）209 （C ）4528 （D ）4529 【提示】a n ＝21（n 1－21+n ）；S n ＝21（1＋21－11+n －21+n ）． 【答案】（D ）．10．等差数列｛a n ｝中；a 1＞0；S 5＝S 11；则第一个使a n ＜0的项是（ ）．（A ）a 7 （B ）a 8 （C ）a 9 （D ）a 10【提示】由S 5＝S 11 得2 a 1＋15 d ＝0；又a 1＞0；所以d ＜0．而2 a n ＝2 a 1＋2（n －1）d ＝（2 n －17）d ＜0；所以2 n －17＞0即n ＞8.5．【答案】（C ）． （二）填空题（每小题5分；共30分）11．0.98是数列｛122+n n ｝中的第__________项． 【提示】令122+n n ＝0.98． 【答案】n ＝7．12．已知数列｛a n ｝中；a 3；a 10 是方程x 2－3 x －5＝0的两根；若｛a n ｝是等差数列；则a 5＋a 8＝___________________；若｛a n ｝是等比数列；则a 6·a 7＝______________．【提示】a 3＋a 10＝3；a 3a 10＝－5．再利用已知与所求中的关系可求．【答案】a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3；a 6·a 7＝a 3·a 10＝－5．13．在等比数列｛a n ｝中；若其中三项a 1、a 2、a 4 又成等差数列；则公比是_____________．【提示】由已知；得2（a 1q ）＝a 1＋a 1q 3 即q 3－2 q ＋1＝0．【答案】1或251±-． 14．等差数列｛a n ｝的公差d ＞0．已知S 6＝51；a 2·a 5＝52．则S 7＝_______________． 【提示】列出a 1 和d 的方程组；求a 1 和d ．进而求S 7 ．或由S 6＝2)(661a a +＝3（a 2＋a 5）＝51；得方程组⎩⎨⎧=⋅=+52175252a a a a ；求出a 2；a 5；进而求S 7 ．【答案】70．15．已知数列｛a n ｝中；a 1＝－60；a n ＋1＝a n ＋3；那么|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝_____________．【提示】令a n ＝－60＋（n －1）×3≤0；得n ≤21．所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30；再求S 21＝221)(211⋅+a a ；a 22＋…＋a 30＝29)(3022⋅+a a ． 【答案】765．16．已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0；且a 1、a 3、a 9 成等比数列；则1042931a a a a a a ++++＝___________．【提示】由已知推出a 1＝d （d ≠0）；并代入所求式中；消去d 即可． 【答案】1613． （三）解答题（第17至19题每小题7分；第20小题9分；共30分）17．已知数列｛a n ｝是等差数列；数列｛b n ｝的通项为b n ＝n1（a 1＋a 2＋…＋a n ）；（n ＝1；2；…）求证：数列b n 也是等差数列． 【提示】b n ＝n 1[na 1＋2)1(d n n -]＝a 1＋21-n ·d ；再证明b n ＋1－b n ＝常数． 18．设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ；若S 3＋S 6＝2 S 9 ．求数列的公比q ．【提示】由条件可得关于q 的方程2 q 6－q 3－1＝0． 【答案】q ＝－243． 19．在33和25中间插入两个数；使前三个数成等差数列；后三个数成等比数列．求这两个数．【提示】设此二数为33＋d ；33＋2 d ；则（33＋2 d ）2＝25（33＋d ）．解得d 1＝－24；d 2＝ －411． 【答案】此二数为9；－15或4121；255． 20．用若干台拖拉机耕地；若同时投入工作；耕完一片地需要24小时；但它们是每隔相等时间顺序投入工作；每一台投入工作后都工作到耕完为止；如果第一台拖拉机工作时间是最末一台工作时间的5倍；求用这种方法耕完这片土地需要的时间． 【提示】由题设知；每台拖拉机每小时的工作量是n241．设第一台工作时数为a 1 小时；第二台工作时数为a 2 小时；…；最末一台工作时数为a n 小时；则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=12424245211n a na n a a a n n ；解得a 1＝40． 【答案】40小时．。

数列综合练习1．已知函数 f （x ）=（ a ＞ 0，a ≠1），数列 {a n } 知足 a n =f （ n ）（ n ∈N *），且 {a n }是单一递加数列，则实数a 的取值范围（ ）A ．[7，8）B ．（ 1，8）C ．（4，8）D ．（4，7）2．设 {a n } 的首项为 a 1，公差为﹣ 1 的等差数列， S n 为其前 n 项和，若S 1， S 2， S 4 成等比数列，则a 1=（）A ．2B ．﹣ 2C ．D ． ﹣3．设 n 是等差数列 {a n项和，若，则=（）S } 的前 nA ．1B ．﹣ 1C ． 2D ．4．阅读图的程序框图，该程序运转后输出的k 的值为（）A ．5B ．6C ． 7D ． 85．设 S n 为等比数列 {a n } 的前 n 项和， 8a 2+a 5=0，则 等于（）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣116．数列 {a n } 知足 a 1=2， a n =，其前 n 项积为 T n ，则 T 2016=（）A ．B ． ﹣C ． 1D ．﹣17．已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，知足 a n+2=2a n+1﹣ a n ，a 6=4﹣ a 4，则 S 9=（ ）A ．9B ．12C ． 14D ．18 8．已知 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和， S 7=28 ， S 11=66 ，则 S 9 的值为（ ） A ．47B ．45C ． 38D ．549．在等比数列 {a n } 中，，则 a 3=（）A ．±9B ． 9C ． ±3D ． 310．在等差数列 {a n } 中， 4（ a 3+a 4+a 5）+3（ a 6+a 8+a 14+a 16） =36 ，那么该数列的前 14 项和为（ ）A ．20B ．21C ． 42D ．8411． 设 {a n } 是首项为 a 1，公差为﹣ 1 的等差数列， S n 为其前 n 项和，若 S 1， S 2， S 4 成等比数列，则 a 1的值为_________a n （ n ∈N *），12．某企业推出了下表所示的QQ 在线等级制度，设等级为 n 级需要的天数为等级 等级图标 需要天数 等级 等级图标 需要天数1 5 7 77 2128963 21 12 1924 32 16 320 545 32 1152 6 60482496等 50需要的天数 a 50=_________ ．13．数列 {a} 等比数列， a +a=1， a +a = 2， a +a +a = _________ ．n 23345 6 714．已知数列 {a n } 中， a n+1=2a n ， a 3=8， 数列 {log 2a n } 的前 n 和等于 _________ ．15．已知数列 {a n } 的前 n 和 S n ，并 足 a n+2=2a n+1 a n ， a 6=4 a 4， S 9= _________．16． 等差数列 n n ，已知 a 2 4 4 10_________ ．{a } 的前 n 和 S +a =6 ， S =10． a =17． S n 是等比数列 {a n } 的前 n 和， S 3，S 9， S 6 成等差数列，且 a 2+a 5=2a m ， m= _________ ．18．已知数列 {a n } 的前 n 和 S n = a n+2（ n ∈N * ），数列 {b n } 足 b n =2na n ．（ 1）求 数列 {b n } 是等差数列，并求数列 {a n } 的通 公式；（ 2） 数列 {a n } 的前 n 和 T n ， 明： n ∈N *且 n ≥3 ， T n ＞（ 3） 数列 {c n n （ c n 3n ）=（ 1）n ﹣ 1*）， 能否存在整数 λ，使得} 足 aλn （ λ 非零常数， n ∈N随意 n ∈N *，都有 c n+1＞ c n ．19．在等差数列 {a n } 中， a 1=3，其前 n 和 S n ，等比数列 {b n } 的各 均 正数， b 1=1，公比 q ，且 b 2+S 2=12，．（Ⅰ）求 a n 与 b n ；（Ⅱ） c n =a n ?b n ，求数列 {c n } 的前 n 和 T n ．20．已知等差数列 {a n } 足 a 3+a 4=9，a 2+a 6=10 ；又数列 {b n } 足 nb 1+（ n 1） b 2+⋯+2b n ﹣1+b n =S n ，此中 S n 是首 1，公比 的等比数列的前 n 和． （ 1）求 a n 的表达式；（ 2）若 c n = a n b n ， 数列 {c n } 中能否存在整数 k ，使得 随意的正整数n 都有 c n ≤c k 建立？并 明你的 ．22n+q （ p ， q ∈R ）， n ∈N*21．已知等差数列 {a n } 的前 n 和 s n =pm （ I ）求 q 的 ；（Ⅱ）若 a 3=8 ，数列 {b n }} 足 a n =4log 2b n ，求数列 {b n } 的前 n 和．22．已知等比数列 {a n } 足 a 2=2 ，且 2a 3+a 4=a 5， a n ＞ 0． （ 1）求数列 {a n } 的通 公式；n（ 2） b n =（ 1） 3a n +2n+1 ，数列 {b n } 的前 和 T n ，求 T n ．23．已知有 数列 a n 共有 2k( k ≧ 2，k ∈ Z) ，首 a 1=2。

必修五 数列 复习资料一、等差数列（一）通项公式：d m n a a d n a a m n n )()1(1-+=−−−→−-+= （二）前n 项和的公式：2)(2)1(11n n a a n d n n n a S +=-+= （三）等差中项211+-+=n n n a a a二、等比数列 （一）通项公式：m n m n n n q a a q a a --=−−−→−=11 （二）前n 项和的公式：q q a a q q a S n n --=--=11)1(11n （三）等比中项：21++∙±=n n n a a a三、解题技巧数列求和的常用方法：（一）拆项分组法：把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转换为特殊数列求和（二）错项相减法：适用于差比数列：即把每一项乘上数列中等比数列的公比q 。

向后错一项，在对应同次项相减（三）裂项相消法：即)11(1111++-=∙n n n n a a d a a一、选择题1、在－9和3之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成和为－21的等差数列，则n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．72、在等差数列{a n }中，14812152a a a a a ---+=， 则313a a +=（ ）A ．4B ．4-C ．8D ．8-3、一个三角形的三个内角A ，B ，C 成等差数列，那么()tan A C +的值是（ ）A ．3B ．3-C ．33-D ．不确定 4、已知{a n }是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．205、若1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ）A.3,9b ac ==B. 3,9b ac =-=C.3,9b ac ==-D. 3,9b ac =-=-6、等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和S 9=（ ）A ．66B ．99C ．144D ．297知识归纳习题详解7、设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（ ）Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．488、在等差数列{}n a 中，若34567a +a +a +a +a =450,则28a +a =( )A.45B.75C.180D.3009、在等差数列｛a n ｝中，若4612a a +=，n S 是数列｛a n ｝的前n 项和，9S 则的值为A.48B.54C.60D.6610、在等差数列 {}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ）A ．9B ．12C ．16D ．1711、等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若24=2=10S S ，，则6=S （ ）A ．12B ．18C ．24D ．4212、等比数列{n a }的各项均为正数，且569a a ⋅=，则3132310log log ...log a a a +++= （ ）.A ．12B ．10C ．31log 5+D ．32log 5+二、填空题13、已知等比数列{a n }的前10项和为32，前20项和为56，则它的前30项和为 ．14、两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a =__________. 15、数列{}n a 的前ｎ项的和S n =3n 2＋ n ＋1，则此数列的通项公式a n =__ ．三、计算题16、数列{}n a 中，21=a ，n a a n n 21+=-，()1>n ，求其通项公式n a ．17、在等差数列{}n a 中，11232,12.a a a a =++=(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 令3,nn n b a =⋅求数列{}n b 的前n 项和n S 。

2019-2020高一数学数列复习 （一）数列的概念及等差数列一、知识梳理1．数列的递推公式常用结论（1）若数列{}a n 的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N ＋.即a n ＝S n －S n －1的应用前提是n ≥2，n ∈N ＋.2.等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．3．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝（a 1＋a n ）n2． 4．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N +)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N +)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．常用结论1．等差数列的函数性质(1)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.可以通过对称轴求等差数列前n 项和的最值。

2．记住常用结论(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n.二、考点分析考点一 a n 与S n 关系的应用角度一 利用a n 与S n 的关系求通项公式a n例1 已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{}a n 的通项公式为a n ＝________．变式： 若将本例中的“S n ＝13a n ＋23”改为“S n ＝n 2－2n ＋2”，结论如何？角度二 利用a n 与S n 的关系求S n例2 设S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ≠0，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．考点二由数列的递推关系求通项公式(多维探究)角度一 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n例3 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式．根据形如a n ＋1＝a n ·f (n )(f (n )是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出a na 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．角度二 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n例4 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N +)，求数列{a n }的通项公式．根据形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出a n －a 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．角度三 形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求a n例5 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．根据形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p 的等比数列{a n＋x }，即将原递推关系式化为a n ＋1＋x ＝p (a n ＋x )的形式，再求出数列{a n ＋x }的通项公式，最根据形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C (A ，B ，C 为常数)的递推关系式求通项公式时，一般对递推式两边同时取倒数，当A ≠C 时，化为1a n ＋1＋x ＝C A ⎝⎛⎭⎫1a n ＋x 的形式，可构造公比为CA 的等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋x ，其中用待定系数法求x 是关键，当A ＝C 时，可构成一个等差数列． 考点三 等差数列基本量的计算例7 (1)(一题多解)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＝76，a 3＋a 6＝56，则公差d ＝( )A.16B ．112C ．－16D ．－112(2) 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．考点四 等差数列的判定与证明例8 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1.数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1－2b n ＝8a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 为等差数列，并求{b n }的通项公式．定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．考点五 等差数列性质的应用角度一 等差数列项的性质的应用例9 等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( )A ．20B ．22C ．24D ．－8角度二 等差数列前n 项和性质的应用例10 已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )A ．100B ．120C ．390D ．540考点六 等差数列前n 项和的最值问题例11 (一题多解)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【迁移探究】 (变条件)将本例中“a 1＝13，S 3＝S 11”改为“a 1＝20，S 10＝S 15”，则n 为何值？求等差数列前n 项和S n 及最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .（二）等比数列及数列求和一、知识梳理1．等比数列的有关概念(1)等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔G 2＝ab ．“a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件．2．等比数列的有关公式通项公式：a n ＝a 1q n －1．3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N +(1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ．(2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列．(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)．4．数列求和方法(1)等差数列求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ． (2)等比数列求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.5．数列求和的常用方法(1)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (3)分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．(4)并项求和法一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．(5)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．常用结论记住常用的裂项公式(1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--121121n n . (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .二、考点分析考点一 等比数列基本量的运算例1 (1)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2 (2)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. ①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .解决等比数列有关问题的2种常用思想考点二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn . (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n}的通项公式．等比数列的判定方法角度一等比数列项的性质例3 (1)若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．(2)等比数列{a n}的前n项和为S n，若a n>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝________．角度二等比数列前n项和的性质例4 (一题多解)等比数列{a n}中，前n项和为48，前2n项和为60，则其前3n项和为________．考点四分组转化求和例5 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足关于x的不等式a1x2－S2x＋2<0的解集为(1，2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝a2n＋2a n－1，求数列{b n}的前n项和T n.分组转化法求和的常见类型若a n＝b n±c n，且{b n}，{c n}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n}的前n项和；考点五 错位相减法求和例6：已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．求数列，通项公式；令，求数列的前n 项和．运用错位相减法求和的关键：一是判断模型，即判断数列{a n }，{b n }一个为等差数列，一个为等比数列；二是错位相减，如本题先把①式两边同乘以－3得到②式，再把两式错位相减；三是注意符号，相减时要注意最后一项的符号．考点六 裂项相消法求和例7：已知等差数列}{n a 满足：,19,7104==a a 其中前n 项和为n S （1）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和n S （2）若11+=n n n a a b ，求数列}{n b 前n 项和n T2019-2020高一数学数列复习答案（一）数列的概念及等差数列考点一：的关系与n n S a角度一：n n n a S a 的关系求通项公式与利用例1 已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{}a n 的通项公式为a n ＝________． 【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n－1，所以a n a n －1＝－12，所以数列{}a n 为首项a 1＝1，公比q ＝－12的等比数列，故a n ＝1)21(--n .【答案】 1)21(--n变式： 若将本例中的“S n ＝13a n ＋23”改为“S n ＝n 2－2n ＋2”，结论如何？解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3.由于n ＝1时，a 1＝1≠2×1－3，所以{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.角度二 利用a n 与S n 的关系求S n例2 设S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ≠0，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．【解析】 因为 a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， 所以 S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1. 因为 S n ≠0，所以1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1. 又1S 1＝－1，所以 {1S n }是首项为－1，公差为－1的等差数列． 所以1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以 S n ＝－1n. 【答案】 －1n考点二由数列的递推关系求通项公式(多维探究)角度一 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n例3 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式． 【解】 因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2a n －3，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． 所以a n ＝1n(n ∈N +)．角度二 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n例4 设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N +)，求数列{a n }的通项公式．【解】 由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（n －1）（2＋n ）2＝n 2＋n －22.又因为a 1＝1，所以a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．因为当n ＝1时也满足上式， 所以a n ＝n 2＋n2(n ∈N +)．角度三 形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求a n例5 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．【解】 因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}n －1所以a n ＝2·3n －1－1(n ∈N +)．【解】 因为a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．考点三 等差数列基本量的计算例7 (1)(一题多解)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＝76，a 3＋a 6＝56，则公差d ＝( ) A.16B ．112C ．－16D ．－112(2) 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12【解析】 (1)通解：由⎩⎨⎧a 1＋a 4＝76，a 3＋a 6＝56，得⎩⎨⎧2a 1＋3d ＝76，2a 1＋7d ＝56，解得⎩⎨⎧a 1＝1724，d ＝－112，故选D.优解：由等差数列的性质知，a 3＋a 6＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＝(a 1＋a 4)＋4d ＝56，又a 1＋a 4＝76，所以d ＝－112.故选D. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.考点四 等差数列的判定与证明例8 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1.数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1－2b n ＝8a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 为等差数列，并求{b n }的通项公式．【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1. 因为a 1＝1适合通项公式a n ＝2n －1， 所以a n ＝2n －1.(2)证明：因为b n ＋1－2b n ＝8a n ， 所以b n ＋1－2b n ＝2n ＋2， 即b n ＋12n ＋1－b n 2n ＝2. 又b 121＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 是首项为1，公差为2的等差数列,所以b n2n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以b n ＝(2n －1)×2n .考点五 等差数列性质的应用角度一 等差数列项的性质的应用例9 等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( )A ．20B ．22C ．24D ．－8【解析】 因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24（或2(a 1+8d)－(a 1+9d)＝a 1+7d=a 8）.角度二 等差数列前n 项和性质的应用例10 已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )A ．100B ．120C ．390D ．540【解析】因为数列{a n }为等差数列，所以仍为等差数列2030102010,,S S S S S --，100),21030302210,30,302020202020=-+=-⨯--S S S S S 解得（）（成等差数列，所以所以考点七 等差数列前n 项和的最值问题例11 (一题多解)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时S n 最大．法二：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大．法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．【答案】 C【迁移探究】 (变条件)将本例中“a 1＝13，S 3＝S 11”改为“a 1＝20，S 10＝S 15”，则n 为何值？解：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653，得a 13＝0.即当n ≤12时，a n >0，当n ≥14时，a n <0.所以当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值．法二：S n ＝20n ＋n （n －1）2·⎝⎛⎭⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524.因为n ∈N +，所以当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值． 法三：由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.所以5a 13＝0，即a 13＝0.所以当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值．（二）等比数列及数列求和二、考点分析考点一 等比数列基本量的运算例1 (1)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2 (2)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. ①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .【解】 (1)选C.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.(2)①设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. ②若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6.考点二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． 【解】 (1)由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.考点三等比数列的性质(多维探究)角度一 等比数列项的性质例3 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________．【解析】 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎨⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n >0，q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎨⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31.【答案】 (1)50 (2)31角度二 等比数列前n 项和的性质例4 (1)(一题多解)等比数列{a n }中，前n 项和为48，前2n 项和为60，则其前3n 项和为________．(2)数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式为a n ＝________．【解析】 (1)法一：设数列{a n }的前n 项和为S n .因为S 2n≠2S n，所以q ≠1，由前n 项和公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q n ）1－q＝48，①a 1（1－q2n）1－q＝60，②②÷①，得1＋q n ＝54，所以q n ＝14.③ 将③将入①，得a 11－q ＝64.所以S 3n ＝a 1（1－q 3n ）1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63.法二：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即S 3n ＝（S 2n －S n ）2S n＋S 2n ＝（60－48）248＋60＝63. 法三：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为S 2n ＝S n ＋q n S n ，所以q n ＝S 2n －S n S n ＝14，所以S 3n ＝S 2n ＋q 2nS n ＝60＋⎝⎛⎭⎫142×48＝63.(2)设此数列{a n }的公比为q ，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，所以S 奇＝3S 偶，所以q ＝S 偶S 奇＝13. 又a 1a 2a 3＝64，即a 1(a 1q )(a 1q 2)＝a 31q 3＝64，所以a 1q ＝4.又q ＝13，所以a 1＝12， 所以a n ＝a 1qn －1＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1.【答案】 (1)63 (2)12×⎝⎛⎭⎫13n －1考点四 分组转化求和例5 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2<0的解集为(1，2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2<0的解集为(1，2)， 所以S 2a 1＝1＋2＝3，得a 1＝d ，又易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n . 因为b n ＝a 2n ＋2a n －1， 所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2. 考点五 错位相减法求和例6：已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．求数列，通项公式；令，求数列的前n 项和．【答案】解：设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q，，，，，解得．．，，．．．数列的前n 项和，，．．考点六 裂项相消法求和例7：已知等差数列}{n a 满足：,19,7104==a a 其中前n 项和为n S （1）求数列}{n a 的通项公式及前n 项和n S （2）若11+=n n n a a b ，求数列}{n b 前n 项和n T 【答案】解：设等差数列的公差为d ，则，解得：，，，．，数列的前n项和为．。