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第四章 数列4.3.2 等比数列的前n 项和公式学案一、学习目标1. 理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；2. 掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题. 二、基础梳理1.等比数列的前n 项和公式：当1q ≠时， ()11(1)1n n a q S q q-=≠-或1(1)1n n a a qS q q-=≠-. 2.等比数列的前n 项和的性质（1）当q =1时，n m s m s n =，当1q ≠±时，11nn mm s q s q-=-. （2）m n n m m n n m s s q s s q s +=+=+.（3）设s 偶与s 奇分别是偶数项的和与奇数项的和，若项数为2n ，则s q s =偶奇，若项数为2n +1，则1s a q s -=奇偶.（4）当1q ≠-时，连续m 项的和（232m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅，，，）仍成等比数列，公比为2m q m ≥，，注意：连续m 项的和必须非零才能成立. 三、巩固练习1.已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，正项等比数列{}n b 满足1134,1b a b a ==+，则使61n b S +≥成立的n 的最大值为( ) A.5B.6C.7D.82.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，2q =，且第m 项至第()n m n <项的和为112，则m n +的值为( ) A.11B.12C.13D.143.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知{}n a 和{}n S k - (k 为常数)均为等比数列,则k 的值可能为( )A.1aB.2aC.3aD.13a a +4.5个数依次组成等比数列,且公比为2-,则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) A.2120-B.2-C.2110-D.215-5.已知n S 是等比数列{}n a 的前 n 项和,若存在*m ∈N ,满足22519,1m m mm S a m S a m +==-,则数列{}n a 的公比为( ) A.2-B.2C.3-D.36.已知等比数列{}n a 的公比2q =,前100项的和10090S =,则246100a a a a ++++=( )A.15B.30C.45D.607.（多选）已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，且满足11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-，则以下结论正确的是( ) A.01q << B.9910110a a -<C.100T 的值是n T 中最大的D.使1n T >成立的最大正整数数n 的值为1988. （多选）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，201920201a a ⋅>，20192020101a a -<-，则下列结论中正确的是( ) A.20192020S S <B.2019202110S S ⋅-<C.2019T 是数列{}n T 中的最大值D.数列{}n T 无最大值答案以及解析1.答案：D解析：设等比数列{}n b 的公比为q ， 由题意可知当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-； 当1n =时，112a S ==，2,1,21,2,n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩213412,18b b a b q ∴==+==. 0n b >，2,2n n q b ∴=∴=，66264b ∴==，2651n ∴≥+，8n ∴≤，∴n 的最大值为8，故选D.2.答案：B解析：由已知，得()()11121121121212n m -⨯-⨯--=--，即()11422127m n m --+⋅-=⨯，则14122217m n m --+⎧=⎨-=⎩，解得57m n =⎧⎨=⎩，所以12m n +=，故选B. 3.答案：C解析：若公比1q =,则{}1,n n S k na k S k -=--不可能为等比数列,因此1q ≠,此时1111111n nn a q a q S k a k k q q q ⎛⎫---=-=+- ⎪---⎝⎭,只需101a k q -=-即可.A 选项,{}1n S a -的首项为0,不满足题意；B 选项, 1211011a a a q q q ⎛⎫-=-=⎪--⎝⎭,即211300124q q q ⎛⎫-=⇒-+= ⎪-⎝⎭不成立；C 选项,21311011a a a q q q ⎛⎫-=-= ⎪--⎝⎭,即23210101q q q q -=⇒-+=-,该方程必然有解,成立；D 选项,()2113111011a a a a q q q ⎛⎫-+=--= ⎪--⎝⎭,即()221101001q q q q q q--=⇒-+=⇒=-,不成立. 4.答案：C解析：由题意可设这5个数分别为,2,4,8,16a a a a a --,其中0a ≠,故奇数项和与偶数项和的比值为416212810a a a a a ++=---,故选C.5.答案：B解析：设数列{}n a 的公比为 q ,若1q =,则22mmS S =,与题中条件矛盾,故1q ≠.()()21211119,811m m mm m m a q S q q q S a q q--==+=∴=--.2132111518,3,8,21m m m m m a a q m q m q q a a q m --+====∴=∴=∴=-. 6.答案：D 解析：1001210090S a a a =+++=,设1399S a a a =+++,则241002S a a a =+++,100290,30S S S S ∴+==∴=,故24100260a a a S +++==.故选D.7.答案：ABD解析：9910010a a ->，991001a a ∴>，0q ∴>.99100101a a -<-，()()99100110a a ∴--<，又11a >，01q ∴<<.故A 正确.由A 选项的分析可知991a >，10001a <<，2991011001a a a ∴=<，9910110a a ∴-<，1009910099T T a T =<，故B 正确，C 不正确.()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===>，()()()1991991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===<，∴使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198，故D 正确. 8.答案：AC解析：由题意，得20191a >，202001a <<，所以01q <<，等比数列{}n a 是各项都为正数的递减数列，即122019202010a a a a >>>>>>>.因为2020201920200S S a -=>，所以20192020S S <，故A 正确；因为20191220191S a a a =+++>，所以()()22201920212019201920202021201920192020202120191S S S S a a S S a a S ⋅=⋅++=+⋅+>>，即2019202110S S ⋅->，故B 错误；根据122019202010a a a a >>>>>>>，可知2019T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确，D 错误.故选AC.。
《等比数列的前n项和》说课稿各位专家、评委，大家上午好！我是来自__________，今天我要说课的题目是等比数列的前n项和.我的说课从以下六个环节来进行.一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章第五节的内容，本节计划授课2课时，今天我的说课为第一课时.●地位与作用本节是数列这章中的一个重要内容,在现实生活中有着广泛的实际应用，另外公式推导过程中所渗透的数学思想方法,是学生今后学习和工作的必备数学素养．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和、等比数列的定义、通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能把本节内容与等差数列前n 项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导，但不利因素是本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导又有所不同，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视．●任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃.依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标：理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式.●过程与方法目标:在推导公式的过程中渗透数学思想、方法，优化学生思维品质．●情感、态度与价值目标：通过学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出的数学方法美.2.教学重点、难点●重点：等比数列的前n项和公式的推导和公式的简单应用．突出重点的方法：“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.●难点：：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用突破难点的手段：“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.四、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．学生的学法：突出探究、发现与交流．五、【教学过程分析】（一）教学环节创设情景提出问题类比探索形成公式公式应用培养能力解决问题前呼后应归纳总结加深理解延伸拓展发散思维下面，我就重点介绍一下我的教学过程教学过程一．创设情境、提出问题在这个环节，我分两个部分来完成.首先复习旧知,铺垫新知.接着用多媒体向学生演示了一个他们所熟悉的动画<喜羊羊与灰太狼>的故事.通过学生观看动画,教师提出问题,学生发现问题暂不能解决,从而引出课题.这样设计的目的是:复习旧知识可以引导学生发现等比数列各项特点,从而为“错位相减法”推导等比数列前n和埋下伏笔．而情景动画的引入让引出课题的同时激发学生的兴趣，， a = a q调动学习的积极性．二.类比探索、形成公式在这个环节中，我主要依托以下两个探究来完成探究一：如何求和:1 +2 + 22 + 23 + + 258 + 259我先引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题．从而得出求和的实质是减少了项 .同时又引导学生思考现在用这种方法还行吗？若不行，那该怎样简化运算？能否类比倒序相加的本质，根据等比数列项之间的特点，也构造一个式子，通过两式运算来解决问题？ 从而引发学生的思考、讨论.这就是学生在讨论这个问题的一个片段。
等比数列的前n项和公式【学习目标】1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.1.“我1.2.Ⅱ.1.2.3.等比通项公式a=n1．设A．C2AC．－31D．331、答案 D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.【我的疑惑】知识要点归纳：1．等比数列前n项和公式：(1)公式：S n＝=(q≠1).(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{a n}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和S n＝(1－q n)＝A(q n－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝＝；当q＝1时，S n＝.5．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．二、典型范例Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列{}n a的前n项和n S？写出公式的推导过程。
S n问题2当＝故当（1）（2（3）由(4)是数列求和的一种重要方法。
问题探究一错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n}与一个等比数列{b n}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n＝＋＋＋…＋，∴S n＝，∴S n－S n＝，即S n＝＝∴S n＝＝2－.例1 在等比数列{a n }中，S 3＝，S 6＝，求a n . 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝，S 6＝， 即①,a 1(1－q 6)1－q ＝632.②))②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.问题探究二 等比数列前n 项和S n 与函数的关系问题 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．A ＝，的一个指问题1 证明 ＝S m ＋(a ＝S m ＋q m S ∴S m ＋n ＝S m 1A ．48 C ．50 2A ．C ．3．设S n A ．11 C ．－4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则等于( )A ．2B ．4 C.D.5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C.(1－4－n )D.(1－2－n )6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A. B. C.D.二、填空题7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为________．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝－512，前n项和为S n＝－341，则n的值是________．三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n.11．在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.12.已知等比数列{a n}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记13(1)(2)1A．332A．1.1C．103．已知{aA.和5C.4．程和是A．C．5．数列{a n n1n＋1n6A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋16．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元B.万元C.万元D.万元二、填空题7．等比数列{a n}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.8．等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．三、解答题10．在等比数列{a n}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．11．利用等比数列前n项和公式证明a n＋a n－1b＋a n－2b2＋…＋b n＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.12.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．四、探究与拓展1312≈1.1)过关测试1．D7.8.310．解当a1S n当a1S n11．6312．(1)a n(2)S n13．(1)a课后练习。
等比数列的前n项和的公式等比数列是指一个数列中任意两项的比相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。
求等比数列的前n项和，可以使用以下两种方法。
方法一：求和公式Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。
证明：首先，排除r=1的特殊情况，当公比为1时，等比数列就变成公差为0的等差数列，求和公式为Sn=n*a。
当r不等于1时，我们可以通过以下方法推导求和公式：1. 首先，将等比数列的前n项表示为：a，ar，ar^2，...，ar^(n-1)。
2. 求和公式为Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)。
3. 将公式的各项乘以公比r得到：ar，ar^2，ar^3，...，ar^n。
4. 两个公式相减得到：Sn - rSn = a - ar^n。
5.整理得到：Sn*(1-r)=a*(1-r^n)。
6.由此，得到求和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。
这就是等比数列的前n项和公式。
方法二：逐项相加除了使用求和公式，我们还可以通过逐项相加求等比数列的前n项和。
逐项相加的过程如下：S1=aS2 = a + ar = a(1+r)S3 = a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2)...Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) = a(1+r+r^2+...+r^(n-1))综上所述，等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)(r不等于1)Sn=n*a(r等于1)以上是两种方法求解等比数列前n项和的公式，可以根据具体情况选择适用的方法进行计算。
3.5 等比数列的前n 项和①课文三点专讲重点:(1)等比数列的前n 项和公式.111,(1),(1),(1).11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩(2)等比数列的前n 项和与函数的关系.①当1q =时,1n S na =,则数列{}n S 的图象是函数1y a x =图象上一群孤立的点; ②当1q ≠时,111(1)111n n n a q a aS q q q q-==----,令11a A q=-,则n n S A Aq =-, 则数列{}n S 的图象是函数x y A Aq =-图象上一群孤立的点.(3)等比数列的前n 项和也构成一个等比数列，即232,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列，公差为n q难点：错位相减法:令12n n S a a a =++⋅⋅⋅+,在两边同乘一个数q ,得12n n qS a q a q a q =++⋅⋅⋅+, 将右端的项向右(左)错开一个位置,然后求n n S qS -,再求和.此方法适用于求一个等差数列{}n a 与等比数列{}n b 对应项之积组成的数列{}n n a b 的前n 项和. 考点:(1)等比数列中与n S 有关的本问题.此类问题主要由五个基本量应用方程或方程组减少运算量,其中应用注意计算过程中的整体思想.(2)可化为等比数列的求和问题.此类问题的关键已知数列转化为等比数列的求和问题.(3)等比数列中与n S 与n a 的关系问题.此类问题的解法关键在于灵活运用等比数列的定义,通项公式,前n 项和公式以及相关关系式运算.(4) 数列的前n 项和n S 的通常解法：①直接利用等差、等比数列求和公式求和，注意等比时分q=1q 1≠和讨论.②错位相减法：主要利用开一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即n n n c a b =⋅③分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 ④裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项；常见的拆项公式有：111=n(n+1)n n －+1, 1111=(2n 1)(n+1)22n-12n （－）－+1, 1111=[]n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n )(n+2)－+11a b －.⑤倒序相加法：把数列正着写和倒着写再相加.②练功篇典型试题分析例1. 已知等比数列｛a n ｝中，,916,144781,1691-=-=-=n n a S a ,求公比q 及项数n .．分析: 等比数列中五个基本量a １、q 、a n 、n 、Ｓn ，知三可求二，列方程组是求解的常用方法．本题主要考查等比数列的通项公式，前n 项和公式的运用． 解析：已知a １≠a n ，显然q ≠1，由等比数列的通项公式及求和公式可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=--(2) 1447811)1(169(1) 9161691q q q nn 由①得q q n4)34(= ③ 代入②消去q n ，可得,34=q ,再代入③得n=5. ∴公比,34=q ,项数n =5. 例2. 在等比数列｛a n ｝中，a １+a n =66,a ２·a n -1=128,且前n 项和S n =126,求n 及公比q . 分析: 解本题的关键是利用a １·a n ＝a ２·a n －１，进而求出a １、a n ，要注意a 1、a n 是两组解.本题主要考查等比数列的性质及求和公式．解析：∵a １a n =a ２a n -1=128,又a １+a n =66,∴a １、ａｎ是方程x ２-66x +128=0的两根，解方程得x 1=2,x ２=64,∴a １=2,a n =64或a １=64,a n =2,显然q ≠1．若a １=2,a n =64,由qqa a n --11=126得2-64q =126-126q ,∴q =2,由a n =a １q n -1得2n -1=32,∴n =6．若a １=64,a n =2,同理可求得.6,21==n q 综上所述，n 的值为6，公比q =2或.21基础知识巩固1. 数列｛a n ｝成等比数列的充分必要条件是 ( )Ａ．a n +1=a n q (q 为常数) B ．a ２n +1=a n ·a n +2≠0 Ｃ．a n =a １ｑn -1(q 为常数) Ｄ．a n +1=2+⋅n n a a 2. 在等比数列｛a ｎ｝中，已知对n ∈Ｎ*有a １＋a ２＋…+a ｎ＝２ｎ－１，那么22221na a a +++ 等于( ) Ａ．4ｎ－１ Ｂ．31（４ｎ-１）Ｃ．31（２ｎ－１）２ Ｄ．（２ｎ－１）２3. 已知0＜a ＜b ＜c,且a 、b 、c 成等比数列， n 为大于1的整数，则log ａｎ，log ｂｎ，log ｃｎ成 ( ) Ａ．等差数列 B ．等比数列 Ｃ．各项倒数成等差数列 D ．以上都不对4.有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层 所点灯的盏数是 ( ) Ａ．190 B ．191 Ｃ．192 Ｄ．1935. (2005湖北) 设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 .6. 等差数列｛a n ｝中，已知a n =4+(n -1)d ,若它的第一、七、十项分别为等比数列的前三 项，且等比数列的公比q = .7. 已知等比数列{a n }的第七项与第五项的差是48，第六项与第五项的和为48，前n 项和为1023，求n .8. 已知数列{}n n n n S n a a 求],)1([2,---=. 9. 求数列,16156,874,432,21……的前n 项和． 10.求数列1，)0(,,,4322≠+++a a a a a a 的前n 项和S n .③升级篇典型试题分析例3. 已知等比数列｛a n ｝中，n 为偶数，前n 项和S n 为这n 项中偶数项和的4倍， 若前三项的积为64，求此数列的前三项．分析:本题主要考查等比数列的性质、前n 项和公式．数列中的偶数项是首项为a １q ，公比为ｑ２的等比数列．解析：设等比数列的公比为q ,易知q ≠1，由已知得311411])(1[41)1(22221=⇒+=⇒--=--q q q qq a q q a n n 又a １a 2a 3=64，即32a =64,a ２=4,∴a １=12,a ２=4,a ３=.34例4. 求和S n =1+3x +5x ２+7x ３＋…＋（2n-1）x n —1(x ≠0) 分析:本题考查等比数列求和公式的推导方法：“错位相减法”．这里对x 进行分类讨论的必要性有二，一是等式两边需同除以1—x ，再就是求1+x+x ２＋…＋ｘｎ－２要考虑x 是否为1．解析：当x =1时，2)12(531n n S n =-++++= 当x ≠1时，,)12(7531132--+++++=n n x n x x x S.)12(753432n n x n x x x x xS -+++++=∴两式相减得.1)1(2)12(1)12()1(21)1(122--+--=--+++++=---x x x x n x n xx x x S x n nnn n 12(21)(21)(1)(1)n n n n x n x x S x +--+++∴=-． 知识应用与提升11. 一个小球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，设它第n 次着地时，共经过了a n 米，则当n ≥2时，有 ( ) Ａ．312100--+=n n n a a B ．212100--+=n n n a a Ｃ．n n n a a 21001+=-Ｄ．21210021--+=n n n a a 12. 在等比数列｛a n ｝中，a １=4, q =5,使S n ＞１０７的最小n 值是 ( )Ａ．11 B ．10 Ｃ．12 Ｄ ．9 13. 求和个n n S 111111111++++= 14.(1）求和22222)1()1()1(n n n xx x x x x S ++++++= .(2)求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S .15. 设｛a n ｝为等差数列，｛b n ｝为等比数列，a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝b 3，b 2b 4＝a 3．分别求出｛a n ｝及｛b n ｝的前10项的和S 10及T 10．16. 在1与2之间插入n 个正数a 1，a 2，a 3……，a n ，使这n ＋2个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数b 1，b 2，b 3，……，b n ，使这n ＋2个数成等差数列.记A n ＝a 1a 2a 3……a n ，B n ＝b 1＋b 2＋b 3＋……＋b n .（Ⅰ）求数列｛A n ｝和｛B n ｝的通项；（Ⅱ）当n ≥7时，比较A n 与B n 的大小，并证明你的结论.④闯关篇典型试题分析例5. 设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S ３＋Ｓ６＝２Ｓ９，求数列的公比q . 分析:本题主要考查等比数列的基础知识、逻辑推理能力和运算能力．解法一用到等比数列求和公式，所以要考虑q 是否为1，解法三利用了等比数列前n 项和的性质，过程比较简捷．解法一：若q =1,则S ３＝３ａ１，Ｓ６＝６ａ１，Ｓ９＝9a １，但a １≠0故S ３＋Ｓ６≠2S ９与题设矛盾，∴q ≠１.又依题意S ３＋Ｓ６＝２Ｓ９可得0)12(1)1(21)1(1)1(363916131=--⇒--⨯=--+--q q q qq a q q a q q a ，由q ≠0得2q ６-q ３－１＝０ 1,213=-=⇒q q (舍)， ∴243-=q 解法二：∵Ｓ３＋Ｓ６＝２Ｓ９，∴S ９－Ｓ３＝Ｓ６－Ｓ９， ∴817161814131q a q a q a q a q a q a ---=+++1,0,00)12)(1()1(2)1(213231261231≠++≠≠=+++⇒++-=++⇒q q q a q q q q a q q q a q q q a.2421,012333-=-=∴=+∴q q解法三：∵9632S S S =+又S ３，Ｓ６－Ｓ３，Ｓ９－Ｓ６成等比数列，∴由⎩⎨⎧-=-=+236693963)()(2S S S S S S S S 消去S ９得S ３＝２Ｓ６ ∴.24,2133363-=∴-=-=q S S S q例6. 有)4(2≥n n 个正数，排成n n ⨯矩阵（n 行n 列的数表，如图）：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a212222111211其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：163,81,1434224===a a a ， （1）求公比q ； （2）用k 表示k a 4；（3）求nn a a a a ++++ 332211的值.解析：（1）∵每一行的数列成等差数列，444342,,a a a ∴成等差数列，41,244444243=+=∴a a a a ；又每一列的数成等比数列，故1,2422444=⋅=a q a a ， 21,0,412=∴>=∴q a q n 且（2）.16))(2(81)2(4243424ka a k d k a a k =--+=-+= （3）∵第k 列的数成等比数列 ).,,2,1()21()21(16444n k k k q a a k k k k kk =⋅=⋅=⋅=∴-- 记n nn S a a a a =++++ 332211，由错位相消法，可得.222nn n S +-=. 知识拔高与创新17. 在等差数列｛a n ｝中，若a 10＝0，则有等式a 1+a 2+…＋a n =a 1+a 2+…＋a 19－n （n ＜19，n ∈N )成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9＝1，则有等式 成立.… ………18. (2005湖南) 已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）证明.111112312<-++-+-+nn a a a a a a19.(2005重庆)数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记1(1).12n n b n a =≥-（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S20.(2006上海春季高考) 已知数列a l ，a 2…，a 30，其中a l ，a 2…，a 10是首项为1公差为1的等差数列；a l0，a 11…，a 20是公差为d 的等差数列；a 20，a 21…，a 30是公差为d 2的等差数列(d ≠0).(Ⅰ)若a 20=40，求 d ；(Ⅱ)试写出a 30关于d 的关系式，并求a 30的取值范围;(Ⅲ)续写己知数列，使得a 30，a 31…，a 40是公差为d 3的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题,((2)应当作为特例),并进行研究，你能得到什么样的结论？⑤行侠篇高考试题点击21.(2005全国1) 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n ． （Ⅰ）求q 的取值范围； （Ⅱ）设1223++-=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小． 22.(2005江西) 已知数列{a n }的前n项和S n 满足S n －S n－2=3,23,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n }的通项公式.⑥娱乐广场开阔视野、趣味学习国王为什么不能兑现他对国际象棋发明者的奖赏承诺？印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨•班•达依尔，并问他想得到什么样的奖赏，大臣说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格内的麦粒数加一倍，直到把每一小格都摆上麦粒为止.并把这样摆满棋盘上六十四格的麦粒赏给您的仆人.”国王认为这位大臣的要求不算多，就爽块地答应了.国王叫人抬来麦子并按这位大臣的要求，在棋盘的小格内摆放麦粒：在第一格内放一粒，第二格内放两粒，第三格内放四粒……第十格内放五百一十二粒，还没摆到第二十格，一袋麦子已经用光了.国王这才发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺，这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？这个问题可以分步探讨：（1）这位大臣所要求的麦粒数大约是多少？由等比数列前n项和公式可推出总粒数为2的64次幂减1,这个数字大于1.84×10的19次幂；（2）这些麦粒大约合多少吨？如果麦子的千粒重设为40g ，那么总质量就是7300多亿吨；（3）要凑够这些小麦需多少年？参考资料:拿我们这个世界上小麦第一大生产国来说,“国家粮油信息中心的统计数字显示，1999/2000年度我国小麦总产量为11388万吨，随后的2000/2001、2001/2002、2002/20 03三个年度的产量则分别为9964、9387、8933万吨.”为方便起见，不妨就按年产量一亿吨计算，需7300多年.即使按全世界年产小麦约6亿吨的数字来算，也需要一千多年.参考答案:3.5 等比数列的前n 项和1. B 解析: a２n +1=a n ·a n +2≠0是数列｛a n ｝成等比数列的充要条件.2. B 解析:特殊值验证即可,取n=1可得, a １=1 , 则211a =,代入得答案B.3. C 解析: a 、b 、c 成等比数列 , 可得20b ac =>, 2log log log log n n n n b ac a c ==+, ∴211log log log b a a n n n=+. 4.C 解析:设第一层有1a 盏灯, 则717(12)38112a S -==-,解得13a =, 故得6732192.a =⨯= 5. -2解析: 取n=1，a 1=1,则S 2=1+q S 1=1 S 3=1＋q+q 2,求出q 有两个值，再取n=2排除一个. 6.32 解析: 由已知可得2(46)4(49)d d +=⨯+,解得13d =, 则等比数列的公比716342a q a ===. 7. 解析：由已知，得6411451148,(1),48,(2).a q a q a q a q ⎧⋅-⋅=⎪⎨⋅+⋅=⎪⎩ (1)÷(2)得：1112=+-q q 得q =2或q =－1(舍去)把q =2代入(1)得a 1=1，所以S n =1221)21(1-=--n n 由2n －1=1023,解得n =10. 8.解析：nn n a )1(22-+-=，若∑=-+++++-===mk k m n m S S m n 212)1(2)2321(2,2 则)1(2)12()2321(2+-=+-=++++-=n n m m m S n若2212221,(21)22[2(1)]m n m m m n m S S S a m m m -=-==-=-++--则(21)22(21)m m m =-++-22)1()1(224222---=-+++-=-+-=n n n n m m⎩⎨⎧---+-=∴)(2)()1(2为正奇数为正偶数n n n n n n S n 9. 解析：数列｛a ｎ｝的通项公式a n ＝２（ｎ－１）＋nn n n 21)12(212--=- 前n 项和Ｓｎ＝]21)12[()815()413()211(n n --++-+-+- .211211])21(1[212]1)12[()21814121()]12(531[2n n n n n n n +-=---+-=++++--++++= 10. 解析：所求数列的每一项都是一个等比数列的和，第k 项221--+++=k k k k a a a a . 当|a |≠1时，),(11121----=k k k a a aa )]()()1[(111213---++-+--=∴n n k a a a a a a S )]1()1[(112221--+++-+++-=n n a a a a a a)]1)(1[()1()1(112+--+-=n n a a a a . 当a =1时，S n =)1(21+n n ; 当1-=a 时，=n S 1,(),21,().2n n n ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数为奇数11. B 解析:由已知可得12100,1005050200a a ==++= ,故应选B.12. A 解析:74(15)511015n n n S -==->⇒- 最小n 值是11. 13. 解析: )110(9110101011112-=++++==kkk k a个])101010[(91)]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-= 8110910]9)110(10[911--=--=+n n n n . 14. 解析: (1) )21()21()21(224422+++++++++=n nn x x x x x x S n xx x x x x n n 2)111()(242242++++++++=①当1±≠x 时，n x x x x n x x x x x x S n n n n n n 2)1()1)(1(21)1(1)1(22222222222+-+-=+--+--=+--- ②当n S x n 4,1=±=时.(2)解析：(21)2(21)[(21)(1)]k a k k k k k =-+++++-+-[(21)(32)]2k k k -+-=25322k k =-.2221253(12)(12)22n n S a a a n n =+++=+++-+++5(1)(21)3(1)2622n n n n n +++=⋅-)25)(1(61-+=n n n . 15. 解析：∵｛a n ｝为等差数列，｛b n ｝为等比数列，∴a 2＋a 4＝2a 3，b 2b 4＝b 32．又a 2＋a 4＝b 3，b 2b 4＝a 3，∴b 3＝2a 3，a 3＝b 32．得 b 3＝2b 32． ∵b 3≠0 ∴b 3＝21，a 3＝41．由a 1＝1，a 3＝41知｛a n ｝的公差为d ＝83-， ∴S 10＝10a 1＋8552910-=⨯d ．由b 1＝1，b 3＝21知｛b n ｝的公比为q ＝22或q ＝22-．当q ＝22时，)22(32311)1(10110+=--=q q b T ，当q ＝22-时，)22(32311)1(10110-=--=q q b T ．16. 解析：（Ⅰ）设公比为q ，公差为d ，等比数列1，a 1，a 2，……，a n ，2，等差数列1，b 1，b 2，……，b n ，2则A 1＝a 1＝1·q A 2＝1·q ·1·q 2 A 3＝1·q ·1·q 2·1·q 3又∵a n ＋2＝1·q n ＋1＝2得q n ＋1＝2A n ＝q ·q 2…q n＝q 222)1(nnn =⋅+（n ＝1，2，3…）又∵b n ＋2＝1＋（n ＋1）d ＝2 ∴（n ＋1）d ＝1B 1＝b 1＝1＋d B 2＝b 2＋b 1＝1＋d ＋1＋2d B n ＝1＋d ＋…＋1＋nd ＝23n （Ⅱ）A n ＞B n ，当n ≥7时 证明：当n ＝7时，23．5＝8·2＝A n B n ＝23×7，∴A n ＞B n设当n ＝k 时，A n ＞B n ，则当n ＝k ＋1时，21212++=k k A23231+=+k B k 又∵A k +1＝2·22k 23231+=+k B k 且A k ＞B k ∴A k ＋1＞2·23k∴A k ＋1－B k ＋1＞2323)12(2323232-⋅-=--⋅k k k 又∵k ＝8，9，10… ∴A k ＋1－B k ＋1＞0，综上所述，A n ＞B n 成立.17. b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N *）解析：在等差数列｛a n ｝中，由a 10＝0，得 a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n ． 若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋a 17－n ．相应地等比数列｛b n ｝中，则可得：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N *） 18. 解析：（I ）设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d .由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1.所以,)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=n n a （II ）证明因为nn n n n a a a 2121111=-=-++， 所以n n n a a a a a a 2121212111132112312++++=-++-+-+.1211211212121<-=-⨯-=n n 19. 解析:（Ⅰ）1111,2;112a b ===-故22718,718382a b ===-故 3344311320,4;,.31420342a b a b =====-故故（Ⅱ）由111444422,2(),0,33333n n n n b b b b b ++=--=--=≠ 所以42{},233n b q -=是首项为公比的等比数列故41142,2(1).3333n n n n b b n -=⋅=⋅+≥即由112n n b a =-得112n n n a b b =+故1122n n n S a b a b a b =+++ 121(12)153()2123n n b b b n n -=++++=+-1(251)3n n =+-. 20. 解析:(1) a l0=10, a 20=10+10d =40, ∴d =3 (2) a 30= a 20+10d =10(1+d +d 2) (d ≠0) , a 30=10[(d +21)2+43], 当d ∈(-∞, 0)∪(0, +∞)时, a 30∈[215,+∞). (3) 所给数列可推广为无穷数列{ a n },其中a l ，a 2…，a 10是首项为1公差为1的等差数列,当n≥1时, 数列a 10n ，a 10n+1,…，a 10(n+1)是公差为d n 的等差数列.研究的问题可以是:试写出a 10(n+1)关于d 的关系式,并求a 10(n+1)的取值范围 研究的结论可以是: 由a 40= a 30+10d 3=10(1+d+d 2+ d 3),依次类推可得 a 10(n+1)= 10(1+d+d 2+…+ d n )=1110,(1),110(1),(1).n d d dn d +⎧-⋅≠⎪-⎨⎪+=⎩当d >0时, a 10(n+1)的取值范围为(10, +∞)等 .21. 解析: （Ⅰ）因为{}n a 是等比数列, 0 n S >,可得110,0a S q =>≠ 当1q =时,10n S na => 当1q ≠时,1(1)01nn a q S q-=>-,即10(1,2,)1nqn q->=- 上式等价于不等式组:10,(1,2,)10nq n q -<⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ① 或10,(1,2,)10nq n q ->⎧⎪=⎨->⎪⎩ 解①式得1q >;解②,由于n 可为奇数、可为偶数，得11q -<< 综上，q 的取值范围是(1,0)(0,)-+∞（Ⅱ）由2132n n n b a a ++=-，得2233(),()22n n n n b a q q T q q S =-=- 于是231(1)()(2)22n n n n T S S q q S q q -=--=+-又因为0n S >，且10q -<<或0q >，所以 当112q -<<-或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >； 当122q -<<且0q ≠时，0n n T S -<，即n n T S < 当12q =-或2q =时，0n n T S -=，即n n T S =.22. 解法一：先考虑偶数项有：1212222)21(3)21(3---⋅-=-⋅=-n n n n S S 32324222)21(3)21(3----⋅-=-⋅=-n n n n S S ,……,.)21(3)21(23324⋅-=-⋅=-S S21233212332211111113[()()()]3[()()()]2222222n n n n n S S ----∴=-+++=-++++ 111()11122434[()]122414n n -=-⋅=--⋅-2112()(1).2n n -=-+≥ 同理考虑奇数项有：.)21(3)21(3221212nn n n S S ⋅=-=---22223212)21(3)21(3----⋅=-⋅=-n n n n S S……….)21(3)21(32213⋅=-⋅=-S S.1).1()21(34))21(2()21(2).1()21(34))21(2()21(2).1()21(2])21()21()21[(31112122122221222121222222112==≥⋅+-=--+-=-=≥⋅-=+---=-=∴≥-=++++=∴----++-+S a n S S a n S S a n S S n n n n n n n n n n n n n n n n综合可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+-⋅-=--.,)21(34,,)21(3411为偶数为奇数n n a n n n解法二：因为),3()21(31112≥-⋅=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以两边同乘以n)1(-，可得：.)21(3)21()1(3)1()1(1111----⋅-=-⋅-⋅=---n n nn n n n a a令).3()21(3,)1(11≥-⋅-=-∴-=--n b b a b n n n n n n所以,)21(311---⋅-=-n n n b b,)21(3221----⋅-=-n n n b b………,,)21(3223-⋅-=-b b211)21(41413])21()21()21[(3222212-⋅-⨯-=+++-=∴---n n n n b b b ).3()21(32312≥⋅+-=-n b n。
