二次函数的实际应用(拱桥问题)教师work Information Technology Company.2020YEAR二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，且过点（10，－4）∴故 （2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴ （3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）-==-4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=设抛物线为y=ax2+k.由B、D两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷0.1=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。
第2课时二次函数的应用(2)1.图①是泰州某河上一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯.若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②).(1)求抛物线对应的函数表达式;(2)求两盏景观灯之间的水平距离.2.跳绳时,绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6m,到地面的距离AO和BD均为0.9m,身高为1.4m的小丽站在距点O的水平距离为1m的点F处,绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线对应的函数表达式为y=ax2+bx+0.9.(1)求该抛物线对应的函数表达式;(2)如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3m,当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶,请你算出小华的身高;(3)如果身高为1.4m的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t m,绳子甩到最高处时超过她的头顶,请结合图象,求t的取值范围.3.在一场篮球比赛中,一位运动员在距篮下4m处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离是2.5m时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.(1)建立如右上图所示的平面直角坐标系,求抛物线对应的函数表达式;(2)该运动员身高1.8m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25m处出手,问球出手时,他距离地面的高度是多少?4.(2013河北中考)某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩:Q=W+100,而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:一部分与x的平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.(1)用含x和n的式子表示Q;(2)当x=70,Q=450时,求n的值;(3)若n=3,要使Q最大,确定x的值;(4)设n=2,x=40,能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下,而Q的值仍为420?若能,求出m的值;若不能,请说明理由.参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是-b2a ,4ac-b24a.5.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12cm,OB=6cm,点P从O开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动;点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么:(1)设△POQ的面积为y cm2,求y关于t的函数表达式;(2)当△POQ的面积最大时,将△POQ沿直线PQ翻折得到△PCQ,试判断点C 是否落在直线AB上,并说明理由.6.(创新应用)某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式y=-38x+36,而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示.(1)试确定b,c的值;(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数表达式;(3)“五·一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?课后演练·能力提升答案：1.解:(1)抛物线的顶点坐标为(5,5),与y轴交点坐标是(0,1).设抛物线对应的函数表达式是y=a(x-5)2+5(a≠0),把点(0,1)代入y=a(x-5)2+5,得a=-425.∴y=-425(x-5)2+5(0≤x≤10).(2)由已知,得两景观灯的纵坐标都是4,∴4=-425(x-5)2+5.∴425(x-5)2=1.∴x1=152,x2=52.∴两盏景观灯之间的水平距离为|x1-x2|=152-52=5(m).2.解:(1)小丽头顶处E点的坐标为E(1,1.4),B点的坐标为(6,0.9),代入表达式,得a+b+0.9=1.4,36a+6b+0.9=0.9,解得a=-0.1, b=0.6,∴函数表达式为y=-0.1x2+0.6x+0.9(0≤x≤6).(2)由y=-0.1x2+0.6x+0.9,配方,得y=-0.1(x-3)2+1.8,当x=3时,y=1.8,∴小华的身高为1.8m.(3)当y=1.4时,得-0.1x2+0.6x+0.9=1.4,解得x1=1,x2=5,∴当y>1.4时,1<t<5.3.解:(1)由题图知,顶点为(0,3.5),篮圈坐标为(1.5,3.05),设函数表达式为y=ax2+3.5(a≠0),将(1.5,3.05)代入,得a=-0.2,故篮球运行轨迹所在的抛物线对应的函数表达式为y=-0.2x2+3.5.(2)当x=-2.5时,y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25,故跳投时,距地面的高度为2.25-1.8-0.25=0.2(m).4.解:(1)设W=k1x2+k2nx,则Q=k1x2+k2nx+100.由表中数据,得420=402k1+2×40k2+100,100=602k1+1×60k2+100,解得k1=-110, k2=6.因此Q=-110x2+6nx+100.(2)由题意,得450=-110×702+6×70n+100.解得n=2.(3)当n=3时,则Q=-110x2+18x+100.由a=-110<0可知,要使Q最大,则x=-182×-110=90.(4)由题意,得420=-110[40(1-m%)]2+6×2(1+m%)×40(1-m%)+100,即2(m%)2-m%=0,解得m%=12,或m%=0(舍去).故m=50.5.解:(1)∵OA=12cm,OB=6cm,由题意得BQ=1×t=t(cm),OP=1×t=t(cm),∴OQ=6-t(cm),∴y=12×OP×OQ=12×t(6-t)=-12t2+3t(0≤t≤6).(2)∵y=-12t2+3t,∴当y有最大值时,t=3.∴OQ=3cm,OP=3cm,即△POQ是等腰直角三角形.把△POQ沿PQ翻折后,可得到四边形OPCQ是正方形.∴点C的坐标是(3,3).∵A(12,0),B(0,6),∴直线AB的表达式为y=-12x+6,当x=3时,y=92≠3,∴点C不落在直线AB上.6.解:(1)由题意,得25=18×32+3b+c,24=1×42+4b+c,解得b=-158,c=592.(2)y=y1-y2=-38x+36-18x2-158x+592=-18x2+32x+132.(3)y=-18x2+32x+132=-18(x2-12x+36)+92+132=-18(x-6)2+11.∵a=-18<0,∴抛物线开口向下.在对称轴x=6左侧y随x值的增大而增大.由题意x<5,∴在4月份出售这种水产品每千克的利润最大.最大利润为-18(4-6)2+11=212(元).。
