预备年级第一学期数学知识点汇总第一章:数的整除1.零和正整数统称为自然数。
正整数、零、负整数统称为整数。
2．整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a.÷=(其中a、b、c都为整数)称a能被b整除或b能整除a.（区分两种表述）用式子表示：如果a b c3．整除的条件:1）除数，被除数都为整数2）被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
4．整数a被整数b整除，a叫b的倍数(mutiple)，b叫a的因数(factor)(也称为约数) 因数和倍数是相互依存的。
重要结论：一个整数的因数的个数是的(填:无限或有限)，其中最小的因数是，最大的因数是。
一个整数的倍数的个数是的(填：有限或无限)，其中最小的倍数是。
一个整数最大的倍数。
5．能被2整除的数的特征：个位上的数是0，2，4，6，8能被5整除的数的特征：个位上的数是0，5能被10整除（既能被2整除又能被5整除）的数的特征：个位上的数是0能被3整除的数的特征：各位上的数字的和能被3整除能被9整除的数的特征：各位上的数字的和能被9整除6. 能被2整除的整数叫做偶数(even number)，不能被2整除的整数叫奇数(odd number)奇数：1,3,5,7,9,11,13,……… 偶数：2,4,6,8,10,12,14,………7．奇数＋奇数＝偶数偶数＋偶数＝偶数奇数＋偶数＝奇数奇数－奇数＝偶数偶数－偶数＝偶数奇数－偶数＝奇数奇数×奇数＝奇数偶数×偶数＝偶数奇数×偶数＝偶数8. 一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数(prime number),也叫质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数(composite number)，合数总可以写成几个素数相乘的形式1既不是素数也不是合数正整数素数 1 合数100以内的素数熟记20以内的全部素数：9.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
第一章基本知识要点1.平方根的定义：若r ²= a,则r 是a 的一个平方根。
正数a 的平方根记为：a ±； 若r a ±=±（a ≥0），则 ()a r 2=±平方根的性质：① 正数的平方根有两个，它们互为相反数。
② 0的平方根只有一个，是它本身。
③ 负数没有平方根2.算术平方根的定义：把正数a 的正平方根叫作a 的算术平方根。
正数a 的算术平方根记为：a ；若r a =（a ≥0），则 a r2=算术平方根的性质： ① 正数只有一个算术平方根，是正数。
② 0只有一个算术平方根，是0。
③ 负数没有算术平方根。
3.开平方的定义：求一个非负数的平方根，叫作开平方。
4.立方根的定义：若b ³= a,则b 是a 的一个立方根。
5．数a 的立方根记为3a ； 若 r a 3=（a ∈R ），则 r ³= a立方根的性质：① 正数只有一个立方根，是正数 ② 0的立方根是它本身。
③ 负数只有一个立方根，是负数 。
④ 互为相反数的的两个数的立方根互为相互数。
6.平方算术平方根等于本身的是：1、0立方根等于本身的是: 01、± 7.=2a ︱a ︱（a 为任意实数）()=2a a （a ≥0）=33a a （a 为任意实数） ()=33a a （a 为任意实数）8.在平面直角坐标系中，第一象限内的点的坐标特征为（ ＋ ， ＋） 第二象限内的点的坐标特征为（ － ，＋ ） 第三象限内的点的坐标特征为（― ， ―） 第四象限内的点的坐标特征为（ ＋ ， －） 在x 轴上的点的坐标是（ x ，0 ）在y 轴上的点的坐标是（0 ，y ） 9.点的左右平移口诀是: 左右纵不变，左减右加 点的上下平移口诀是：上下横不变，上加下减10.点P( x, y )关于X 轴反射后的坐标为: （x,－y ） 点P( x, y )关于y 轴反射后的坐标为: ( －x, y) 11.点P( x, y )到X 轴的距离是∣y ∣ ；到y 轴的距离是∣x ∣ 12.有效数字：近似数中，从左边第一个不为0的数字直到右边最后一个数字为止。
第二章集合与不等式数学是以数量的形式，来反映和表示客观现实世界的规律的，因此在第一章我们首先学习数的运算．现实世界中的平衡关系，在数学上表现为相等；不平衡关系，则表现为不等．客观现实世界是不断发展的，原来的平衡关系，在发展中会变为不平衡，因此可以说，平衡是相对的，而不平衡是绝对的．这就给数学提出了一个任务：除了研究相等关系外，还必须十分重视不等关系的研究．不等关系在数学上用不等式表示．本章学习的就是不等式的解法及其解集，这是数学和其它学科的基础．§2.1数集和集合预备知识∙基本数集∙一元一次不等式的解重点∙集合的基本概念∙集合的运算关系难点∙子集和真子集学习要求∙理解集合是一个一般的概念∙理解集合与元素、集合与集合之间的关系，掌握集合交、并、补运算在解不等式中，数集的概念是必不可少的，所谓解各类不等式，其实就是在求它们的解集，而解集就是一个数集．在本节中，先介绍一下集合的一般概念，然后把数集及其有关概念，作一个小结，并在此基础上，补充一些相关知识．1. 集合的基本知识(1)集合集合是一个一般的概念．一个集合，是有限或无限个具有某种属性的事物的总体；构成集合的每一个事物，称为元素．例如你所在的班级就是一个集合，班上每一位同学就是班级这个集合的元素；本校的所有班级也是一个集合，校内每个班级就是本校班级这个集合的元素．通常用一个大写的西文字母标识一个集合，例如你所在的班级的集合表示为A，本校班级的集合表示为B等等．集合内的元素通常用小写的西文字母表示，例如集合A的元素的通用标识是x，x既可以表示你，也可以表示你班的任何一位同学．一个事物若是集合内的元素，则说事物属于集合，“属于”用符号“∈”表示，例如学生王明是你班级的同学，则王明∈A；一个事物若不是集合内的元素，则说事物不属于集合，“不属于”用符号“∉”，例如学生赵伟不是你班级的同学，则赵伟∉A．(2)集合的表示说到一个集合，总是包含两方面的内容：第一，构成集合的事物，也就是元素x是什么(例如学生，班级)，第二，构成集合的事物具有怎样性质(例如你所在班级的学生，本校的班级)，也就是具有怎样属性的事物才属于集合．①集合构成的两个基本原则从描述集合元素属性来讲，可以用各种不同的方式来描述属于集合的元素的属性，但不论怎样，你的描述必须符合确定性原则，即根据属性能判定某事物是否是集合内的元素．象上面提到的集合A,B的属性表达是正确的：任何一个人x，只要是学生，且在你所在的班级，则x是A内的元素，否则就不是；任何一个团体x，只要是一个班级，且这个班级是本校的，则x是B内的元素，否则就不是．象下面这种说法，就不是构成集合的事物的属性描述：本校身高170cm左右的男学生；本校男生数与女生数大致相等的班级．从集合元素方面来讲，还有一个互异性原则，即相同的元素只能算做一个元素．例如A={本校三好生或优秀学生干部}，如果有一位学生既是三好生，又是优秀学生干部，在集合A内只能算是一个元素．②集合的表示法表示集合的最直接方法，是干脆把所有元素列出来，并且用一对“{}”引住，例如A={张三，李四，王五，.....}；B ={99届机械１班，99届机械2班，2000届计算机1班， 2000届秘书1班，....}．这种方法称为列举法．当然列举法仅适用于元素个数较少的集合．如果元素个数很多甚至无限个(集合元素个数仅有有限个，称为有限集，否则称为无限集)，通常采用描述法来表示一个集合，它的一般形式是 集合标识符={元素及其特征描述}， 或 集合标识符={元素含义｜元素特征描述}， 或 集合标识符={元素标识符｜元素特征描述}． 例如 A ={机械1班的全部学生}， A ={学生|学生∈机械1班}， A ={x |x 是机械1班学生}． 课内练习11. 用标识符A 表示元素是苹果、香蕉、梨、柑橘、西瓜的集合．2. 用标识符B 表示所有你校年龄不小于15周岁的男学生组成的集合．3. 下列特性描述能否构成集合：(1)C ={x |x 是本校健康状况良好的学生}； (2)D ={经常出差的业务员}； (3)D ={职工｜在本校工作}； (4)E ={x |x ∈本校书法兴趣小组}； (5)F ={王强}．2. 数集如果集合的元素是数，则称为数集． (1)基本数集数集的概念你不应该感到陌生，在第一章中不就总结了你在初中阶段所接触到的一些数集了吗？如N 是自然数集，Z 是整数集，Q 是有理数集，最后R 是实数集等等．这些数集称为基本数集．用特征法表示这些数集，就是： N ={0, 1, 2, 3, 4, .... }； N ={0和所有正整数}；N ={x |x =0或x 是1的正整数倍}； Z ={... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }； Z ={自然数和它的相反数}； Z ={x |x =0或正整数或负整数}； Z ={x |x ∈N 或-x ∈N }； Q ={整数或循环小数}；Q ={x |x =q p , p , q ∈Z ; q ≠0; p , q 既约 }；还有一些是与基本数集相近的常用数集，如N ＋＝{1, 2, 3, 4, ... }={x |x 是1的正整数倍}； R +={x |x ∈R, x ≠0｝． (2)一般数集首先回忆一下求解一元一次不等式问题．求解不等式3x <15，得x <5，即小于5的一切实数都能满足不等式，这是由属性“x 是实数，且小于5”所限定的实数的一部分，它是一个数集，不妨记作A ，在实数轴上表示这个数集，是图2-1(1)的形式；求解不等式2x +3≥-9，得x ≥-6，即不小于-6的一切实数 都能满足不等式，这是由属性“x 是实数， 且不小于-6”所限定的实数的一部分，它也 是一个数集，不妨记作B ，在实数轴上表示 这个数集，是图2-1(2)的形式(注意两张图上 空心圆点和实心圆点含义的区别，实心表示 集合中含有该点，空心则表示集合中不含该点)．称集合A ,B 、即由满足不等式的全部值构成的集合，为不等式的解集．不等式的解集常常是某个基本数集的一部分，对这种非基本数集的元素的属性说明，应该由两部分构成：第一部分说明元素取自哪个基本数集，第二部分说明元素在基本数集中的的属性．例如C 是不大于1000、不小于-20的整数集合，则C ={x |x ∈Z ; -20≤x ≤1000}；D 是绝对值大于20的实数集合，则D ={x | x ∈R ; |x |>20}； A 是不等式3x <15的解集，则A ={x | x ∈R , x <5}； B 是不等式2x +3≥-9的解集，则B ={ x | x ∈R , x ≥-6}．在具体问题中，若基本数集是实数集，元素的基本数集属性可以不写，例如可以把D 写成D ={x | |x |>20}，A 写成A ={x | x <5}，B 写成B ={x |R , x ≥-6}．但如果实际问题不是在实数范围内求解，那元素的基本数集属性是不能随便缺省的．例如，若干人分100元，每人不少于3元，问可以分给多少人？用x 表示人数，这是一个简单的不等式问题 3x ≤100，解得x ≤3331，你不能答解集是(-∞,3331)吧？解集应该是{x |x ∈N,0<x ≤33}，这时，x 的基本数集属性x ∈N 怎么也不能缺省了． 课内练习21. 把下列描述的数集，用特征法表示 (1)数集B 是平方等于1的全体； (2)数集A 是大于0、不大于5的奇数；(3)方程2x 2-4x +3=0在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在有 理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ；(4)不等式0<3x +6≤12在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在图2-1(1)图2-1(2)有理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ． 2. 求下列不等式的解集，并在数轴上表示出来： (1)2x +3≤7；(2)-3x -2>6；(3)x +6≥3x +8；(4)5x +3<-2x -4．3. 集合的运算 (1)交集在初中，你也学习过解一元一次不等式组，例如解不等式组x +1≥6 (1) 2x -3≤15 (2) 解(1)得到解集A ={x |x ≥5}，解(2)得解集B ={x |x ≤9}．不等式组的解，应使(1),(2)同时满足，也即x 既要属于(1)的解集A ，也要属于(2)的解集B ，因此不等式组的解是A ,B 的公共部分，不难写出公共部分是C ={x |5≤x ≤9}，我们称由A ,B 的公共部分组成的C 为A , B 的交集．所谓“交”如果在数轴上表示数集A ,B ，那么“相交” 的意义再直观不过了(见图2-2)． 一般地，设A ,B 是两个集合，A ,B 的公共部分组成的集合C 称为A ,B 的交集，记作C =A ∩B ．根据交集的构成，A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B } (2-1-1) 集合的交是一种运算，运算的对象是集合，“∩”是运算符，运算结果得到交集．集合的交运算可以形象地以图2-3表示． 例1 求下列集合的交集： (1)A ={2, 4, 7}，B ={-2, 1, 2, 4}； (2)A ={等腰三角形}，B ={直角三角形}, (3)A ={x |x ≤-1}，B ={x |x >-4}． 解 (1) A ∩B ={2, 4} ▌ (2)A ∩B ={等腰直角三角形} (3)A ∩B ={x |-4<x ≤-1}(见图 2-4) ▌再来看一个例子．A ={x |x ≤-1}，B ={x |x >2}，求交集A ∩B ．你能发 现，A ,B 根本没有公共元素(见图2-5)， 因此它们的交集没有元素，是空的．我们称没有元素的集合为空集；空集用一个特定的记号…∅‟表示，所以 A ∩B =∅． (2)并集对例1(1)，若把集合A 和集合B 的元素合并，得到一个新的集合D={-2, 1, 2, 4, 7}．集合D 的元素与交集C 不同，它不是由既属于A 、又属于B 的图2-3图2-2图2-4图2-5元素构成，而是属于A 或属于B 的元素构成．称这样构成的集合D 为集合A ,B 的并集，“并”的意思也就是“合并”．一般地，设A ,B 是两个集合，称由A ,B 的全部元素构成的集合D 为A ,B 的并集，记作D =A ∪B ．根据并集的构成，即A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B } (2-1-2) 集合的并也是一种运算，运算的对象是集合， “∪”是运算符，运算结果得到并集．集合的并 运算可以形象地以图2-6表示． 例2 求下列集合的并集： (1)A ={x |x ≥3}，B ={x |x ≤-3}；(2)A ={班内全体男生}，B ={班内全体女生}； (3)A ={x |x ≥3}，B ={x |0<x <5}．解 (1)A ∪B ={x | x ≤-3或x ≥3},(见图2-7(1)) ▌ (2)A ∪B ={全班学生} ▌ (3)A ∪B ={x |x >0},(见图2-7(2)) ▌课内练习31. 求下列不等式组的解集, 并在数轴上表示出来：(1) 2x +5>7 (2)1<2x +4≤10； (3) x +6<1 x +1≤10； -2x +3>0．2. A ={x |x 是今年天下雨的日子}，B ={x |x 是今年天阴的日子}．求A ∪B ， A ∩B ．3. C ={某商场内单价不高于2500元的洗衣机}，D ={同一商场内单价在1000 元到2000元之间的洗衣机}．求A ∪B ，A ∩B ．4. 求下列两个数集的交集和并集，并在数轴上表示出来： (1) A ={x | x ≥1}, B ={x | x >21}； (2) C ={t | -1≤t <3}, D ={ t | t ≤5}； (3) E ={y | 4≥y ≥-1.5}, F ={y | y ≤1.5}；(4) A ={x | 2<x ≤5}, B ={x | 5≤x ≤6}； (5) A ={y | 2<y ≤4}, B ={y | 4.1≤y ≤6}．4. 集合的关系(1)数集的包含关系与子集根据数的含义，我们知道有这样关系：x 是自然数⇒x 是整数⇒ x 是有理数⇒ x 是实数，但所有的箭头反过来是不对的，例如，肯定有整数(负整数)不是自然数．从数集的角度来看，表示图2-6–3 –2 –1 0 1 2 3 4图2-7(1) –1 0 1 2 3 4 5图2-7(2)x ∈N ⇒ x ∈Z ，存在x ∈Z 但x ∉N (1) 这样的关系可以说成：自然数集是整数集的真子集，也可以说成：整数集真包含了自然数集．我们用符号表示为N Z，或Z N ， 符号“ ”或“ ”所表达的意思，就是(1)；采用这两个符号中的哪一个，全看你把真子集写在符号的哪一边．同理，因为x ∈Z ⇒ x ∈Q ，存在x ∈Q 但 x ∉Z所以 Z Q ，或Q Z ； 因为 x ∈Q ⇒ x ∈R ，存在x ∈R 但 x ∉Q所以 QR ，或R Q ． 连在一起，可以写成N Z Q R 或R Q Z N ．用我们曾经使用过的圆圈形象表示，就是第一章出现过的、如图2-8(1)的包含图．如果再算上N +,R +，那么还可以有N +N , R + R 或N N +, R R +． 对一般的两个数集或集合A ,B ，如果具有(1)那样的关系，即 x ∈A ⇒x ∈B ，且存在x ∈B 但x ∉A (2-1-3) 那么，称数集A 为数集B 的真子集，记作A B 或 B A ，用圆圈形象表示的图象是图2-8(2)． 空集是一切非空数集的真子集． 例3 讨论下列集合的包含关系：(1)A ={本年天阴的日子}，B ={本年天下雨的日子}；(2)A ={x |x ∈本班且所有各门课成绩都不低于90分}，B ={x |x ∈本班且仅有数学成绩不低于90分}；(3)A 是不等式2x +5≤ 2的解集，B 是不等式x +5<3的解集．解 (1)因为雨天必定是阴天，但阴天未必下雨，所以BA ▌ (2)因为x ∈A ⇒ x 的各门课成绩都不低于90分 ⇒ x 的数学成绩都不低于90分 ⇒ x ∈B ；但存在x ∈B ⇒ x 仅数学成绩不低于90分⇒x ∉A ．所以A B ▌(3)解不等式2x +5≤2，得A ={x |x ≤-1.5}； 解不等式x +5<3，得B ={x |x <-2}．当x ∈B ⇒ x <-2 ⇒ x ≤-1.5 ⇒ x ∈A ；当x =-1.6 ⇒ x ∈A 但x ∉B ．所以A B (见图2-9) ▌现在把例3(2)的集合B 改为B ={x |x ∈本班且数学成绩不低于90分}，就有两种可能：第一种，有数学成绩不低于90分而其它课程低于90分的学生，此时仍然有A B ；第二种，所有数学成绩不低于90分的学生，其它课程图2-8(1)图2-8(2)⊂ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠⊃ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊃ ≠⊃ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊃ ≠ ⊃ ≠⊂ ≠⊂ ≠⊃ ≠–3 –2 –1 0图2-9⊂ ≠成绩也都不低于90分，此时就不存在属于B 而不属于A 的学生了．对于这种吃不准的情况，我们只能有把握说，若x ∈A 则x ∈B ，但不能有把握说，存在x ∈B 但x ∉A ．这是两个集合之间的另一种关系，称为包含． 两个集合(包括数集)A ,B ，若x ∈A ⇒ x ∈B (2-1-4) 则称A 为B 的子集，称B 包含A 或A 被B 包含，记作A ⊆B 或B ⊇A ． (2)集合的相等关系若构成两个集合A ,B 的元素完全相同，则称集合A ,B 相等，记作A =B ． 从包含关系来看，若A =B ，则A 包含B ，B 也包含A ，因此也可以说，若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A ,B 相等． 课内练习41. 用 “⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接下列数集对： (1)A ={1, 2, 3, 4}，B ={0, 1, 2, 3, 4, 5}；(2)A ={a , b , c | a , b , c ∈R }, B ={c , b , a | a , b , c ∈R }； (3)A ={x |1<x ≤2}, B ={x |1<x <2}；(4)C ={x |x 为无限循环小数}, D ={x |x =p ,q ∈N +, p ∈Z }；(5)A ={x |x ∈本校田径队}，B ={x |x ∈本校长跑队}；(6)C ={x |x ∈十一月份公休日}，D ={x |x ∈十一月份的星期六或星期天}； (7)A 1是不等式-5≤3x -2≤5在自然数集中的解集，B 1是不等式-6≤3x -2≤6中 的解集．(3)数集的互补关系在实数范围内，给出两个集合A ={x |x 是有理数}，B ={x |x 是无理数}，则容易验证A ⋃B =R , A ⋂B =∅．因为我们考虑的范围是实数，也就是说R 是全部，这样的两个A ,B 就有一个特殊性质：它们没有公共元素，而并正好就是全部，因此称A ,B 是互补的． 在一般情况下，若我们考虑的集合范 围是U ，则把U 也看作一个集合，称其为 全集；若集合A ,B 具有性质：A ⋃B =U , A ⋂B =∅，则称A 是B 关于U 的补集，B 是 A 关于U 的补集，即A ,B 关于U 是互补的，记作A =C U B , B =C U A ，用图象表示，可以表 示为图2-10那样．例如上面提到的有理数集A 和无理数集B ，就是关于实数集R 是互补的，即A =C R B , B =C R A ．怎样的集合才有资格称作全集，并无明确的规定，要看实际问题的含义．例如我们考虑的范围是本校，则本校全体学生就是全集，即全集是T ={x |x ∈本校}；若E ={x |x 是本校女生}，F ={x |x 是本校男生}，则E =C T F , F =C T E ．图2-10⊂ ≠ ⊃ ≠课内练习51. 填空：(1)A={x|x>0,x∈R}, C R A= ；(2)D={x|x≠0,x∈R}，C R D= ；(3)C N N+= ；(4)B={x|x∈Z,-100<x<100}，C Z B= ；(5)U={x|x=kπ,k∈Z}，A={x|x=2kπ,k∈Z}，C U A= ；(6)U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A={1,4,7}，C U A= ；2. A={晚餐菜肴}，B={晚餐主食}，求一个集合U，使A,B关于U是互补的．课外习题A类1. 用标识符A表示元素是铅笔、纸张、钢笔、直尺、橡皮、圆珠笔的集合．2. 用标识符B表示所有你校年龄大于16周岁的女学生组成的集合．3. 下列特性描述能否构成集合：(1)C={x|x是本班视力良好的学生}；(2)D={校内喜欢体育的学生}；(3)D={职工｜在本校工作}；(4)E={x|x∈本校美术兴趣小组或x∈本校篮球队}；(5)F={班内不叫王强的学生}．4. 把下列描述的数集，用特征描述法表示：(1)数集B是平方不等于81的全部自然数；(2)数集A是小于0或大于10的奇数；(3)方程x2-5x+6=0在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有理数集内的解集C，在实数集内的解集D；(4)不等式2x+7≤1在自然数集内的解集A、在整数集内的解集B、在有理数集内的解集C，在实数集内的解集D，并把D表示在数轴上．6. 求下列不等式组的解集, 并在数轴上表示非空解集：(1)3x+5>-1 (2)6<2x+4≤12；(3) x-6≥1x+1≤0；-2x+3<0．6. A={x|x是今年的法定假日}，B={x|x是今年星期天}．求A∪B，A∩B．7. C={一班身高不低于1.60m的女同学}，D={一班身高在1.55m到1.70m之间的女同学}．求C∪D，C∩D．8. A={x|x是出厂期不超过20天且单价在0.50元~0.70元的牛奶}，B={x|x 是出厂期在10天以内且单价在0.60元~0.80元的牛奶}．求A∪B，A∩B．⊃≠⊂≠9. 用“⊇”,“⊆”,“”,“”,“=”连接下列数集对：(1)A={-1, 0, 1, 2, 3, 4}，B={0, 1, 2, 3, 4}；(2)A ={10, 20, 30}, B ={30, 10, 20}；(3)A ={x |x >2或x <-2}, B ={ x |x ≥2或x <-2}；(4)C ={x |x 是1的正整数倍}，D =N +；(5)A 1是不等式2x -1≤ 5的解集，B 1是不等式3x -2<5的解集；10. 填空：(1)A ={x |x ≤0, x ∈R }, C R A = ；(2)D ={x |x =0}，C R D = ；(3)V ={x |x ∈Z ,x >0}，C Z V = ；(4)B ={x |x ∈Z ,-100<x <100}，C Z B = ；(5)U ={0, 1, 4, 5, 6, 7, 9},A ={0, 1, 4, 5, 7},C U A = ；11. 把下面集合对用“⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接： (1)A ={x |x ∈本校运动队}，B ={x |x ∈本校体操队}；(2)C ={x |x ∈本班三好生}，D ={x |x ∈本班所有课程都及格的学生}；12. A ={含酒精的饮料}，B ={不含酒精的饮料}，求一个集合U ，使A ,B 关 于U 是互补的．B 类1. 把下列描述的数集，用特征描述法表示(1) B 是以341的整数倍为元素构成的数集； (2)数集A 是奇数，但不是3的整数倍； (3)方程2x 2-5x -875=0在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在 有理数集内的解集C ，在实数集内的解集D ；(4)不等式-5≤x ≤5在自然数集内的解集A 、在整数集内的解集B 、在有理 数集内的解集C ，在实数集内的解集D ．2. 用 “⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接下列数集对： (1)A 是不等式2x +1>3的解集，B 是不等式x +1≥ 2的解集；(2) x +1≥9 x +1≤9(3)C 是不等式1≤1+2x ≤5在自然数集内的解集，D 是不等式1≤1+2x ≤6在 自然数集内的解集．3. 写出数集A ={0,1,2,3}的所有的真子集．4. 设A ={x |x =2k -1,k ∈Z }，B ={x |x =5k ,k ∈Z }，求B ∩C N A .5. 设A ={x |x ≤3}，求A ∩R , A ∩∅, C R A , A ∩C R A , A ∪C R A ．6. 把下面集合对用“⊇”,“⊆”,“ ”,“ ”,“=”连接： (1)A ={x |x ∈乐器}，B ={x |x ∈钢琴}；(2)C ={x |x ∈笔盒内的笔}，D ={x |x ∈笔盒内的铅笔或钢笔或圆珠笔}； A 是不等式x +1>9的解集，B 是不等式 的解集； ⊂ ≠⊃ ≠ ⊃ ≠ ⊂ ≠⊂ ≠⊃ ≠7. A =C U D ，B =C U E ．若D E ，那么A 与B 有怎样的包含关系？C 组1. 如图，矩形表示的U 是全集，圆圈表示的 A ,B 是U 的两个子集，试用阴影表示出集合(1)C U A ∩C U B ，(2)C U A ∪C U B ．2. 若C U A ⊆ A ，求A ．3. 设A ,B 是非空集，证明C U A ∪C U B =C U (A ∩B )C U A ∩C UB =C U (A ∪B )．4. 设A ={本班级数学成绩和语文成绩都不低于90分的男同学}，求A 的关于{本班级全体学生}的补集. 5. 设A ={本班级数学成绩或语文成绩都不低于90分的男同学}，求A 的关 于{本班级全体学生}的补集.6. 设U ={本班级全体学生}，B =C U A ={本班级身高超过1.80m 且各门课程 成绩都不低于75分的男学生}，求A .第1题图 ⊂ ≠。
