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大学数学基础(1)04-第二章高等数学预备知识随堂测验答案

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第二章高等数学预备知识随堂测验答案第一讲合并与化简1.c o s x c o s x xn2去掉分母得：c o s x 1_ _ _ _ _ _ .(A ) 1 (co s x 1) (co s x co s x 1)2(B ) 1 (co s x 1) (co s x c o s x 1)2(C ) 1 co s x c o s x x2 1(D ) 1 c o s x c o s x2n 1 x答案：B解c o s x co s x2c o s x 1 c o s x1(co s x 1) (co s x 1)(co s x 1) (co s x 1)(co s x co s x 1)x 1) 22c o s x 1c o s x c o s x2(co s x 1) (co s x 1)(co s x 1) (co s x 1)(co s x c o s x 1)2n 1 n 2(co s x 1)(co s x c o s x 1)(co s x 1) 1 (co s x 1) (co s x c o s x 1)2故c o s x co s x xn2c o s x 12 1 n 2 x=1 (co s x 1) (co s x c o s x 1) x c o s1) 2.1 1_ _ _ _ _ _ .已知x ，则xn n23 1 54 n 11 1 1 1答案：C (A ) 1 (B ) 12 2 n 1 2 2 n 11 1 1 1(C ) 1 (D ) 12 2 n 1 2 2 n 11 1 1 1解=，4 1 2 2 1 2 1n n n21 1 1 1 1 1 1 1 故xn1 12 3 3 5 2 n 1 2 n 1 2 2 n13.n合并乘积得：(1 x )(1 x )(1 x ) ) _ _ _ _ _ _ .2 4n 1 n 1 n 1 n1 x 1 x 1 x 1 x2 2 2 2 1(A ) (B)(C) (D )1 x 1 x 1 x 1 x 答案：An (1 x )(1 x )(1 x ))2 4n (1 x )(1 x )(1 x )(1 x ))2 41 x(1 x )(1 x )(1 x )2 2 41 x 1 xn n n n 1(1 x ) (1 x ) 1 ( x ) 1x2 2 2 2 21 x 1 x 1 x4.n1设x ，则数列 { x } _ _ _ _ _ _n nnk k 1(A ) 单调递减但无界(B)单调递减且有界(C) 单调递增但无界(D) 单调递增且有界答案：D解xnn1 1 1 1n k n 1 n 2 n nk 1x n1n 1k 11(n 1)k1 1 1(n 1) 1 ( n 1) 2 ( n 1) ( n 1)1 1 1 1则x x = 0，故 { x }单增n 1 n n2 n 1 2 n 2 n 1 2 (2n 1)(n 1)n n1 1 1又x 1，所以 { x }有上界，下界为x .n n 1n k n2 k 1 k 15.x x x x化简：c o s c o s c o s_ _ _ _ _ _ .2 n 1 n2 2 2 2si n x sin x c o s x si n x (A ) (B)(C) (D)x x x x n 1 n n n2 sin 2 sin 2 sin 2 c o sn n n n2 2 2 2答案：B解x x xc o s c o s c os2 n 1 n2 2 22x x x x xc o s c o s c o s 2 sin2 n 1 n n2 2 2 2 2x2 sinn2x x x x x x xc o s c o s2 n 1 n 1 2 n 22 2 2 2 2 2 2x x22 sin 2 si nn n2 2x xc o s sinsi n x2x xn 1 n2 sin 2 sinn n2 2第二讲常用求和方法11.2已知a ，则数列{a }的前n项和为______ .n n1 24 n n 4 n n(A) (B)(C )(D )n 1 n 1 n 1 n 1答案：A2 2 4 1 1 解an4n n n n n n1)( 2 )1 2 ( 1) 12S a an 1 2 n1 1 1 1 1 1 14 12 23 34 n n 11 4 n4 1 .n 1 n 12.1已知数列 a 的通项 a n，S 为前n项和，则数列前n项和为{ } 2 { } ______ .n n nSnn 1 n 2 n(A) (B)(C )(D )n 1 n 1 n 1 n 1答案：Cn (a a ) 1 1 1 1解 a 2 n S n (n 1)，1 nn n2 S n (n 1) n n 1n1 1 1 1 1 1 1 1 1 1S S S 2 2 3 3 4 n n 11 2 n1 n1 .n 1 n 13.1 1 1 1已知数列，，，，，则数列的前n项和为2 4 4 6 6 8 8 10______.n n n 1(A ) (B )(C )(D )2(n 1) 4(n 1) n 1 4(n 1)解an1 1 1 1 1 12 (22) 4 ( 1) 41n n n n n nS a an 1 2 n1 1 1 1 1 1 114 2 2 3 3 4 n n 11 1 n14 n 1 4(n1).答案：B4.1 1 1______. 已知a n ，则na a a a a a1 2 2 3 n 1 nn(A ) (B )n (C )n 1 (D )n 12答案：D解1 1 1a a a a aa1 2 2 3 n 1 n=1 1 11 2 2 3 n 1n2 13 2 n 1 n 15.1 2 3 4 5 6 1 0 0 _ _ _ _ _ _ .2 2 2 2 2 2 2(A ) 5 0 5 0 (B) 5 0 5 0 (C ) 1 0 0 (D) 5 0 5答案：A解 1 2 3 4 5 61002 2 2 2 2 2 2(1 2 )(1 2)(3 4)(3 4)100)(99 100)100 (1 100)(1 2 3 4 100) 50502第三讲常用求和方法21.1 2 3 nSn 2 3 n3 3 3 3______.1 1 1 n 3 1 1 n(A ) 1 (B ) 1n n n n4 3 2 3 4 3 2 3答案：B3 1 1 n 1 1 n(C ) 1 (D) 1n n n n 14 3 2 3 2 3 3解S1 2 3 4n 2 3 4 n3 3 3 3 31 123 nSn n n2 3 4 13 3 3 3 3 3.两式相减得1 1 1 1 n1 Sn n n2 3 13 3 3 3 3 31 113 3 n 1 1 nn11 323 3n 1 n n 1132 1 1 n3 1 1 n 即，故S 1 S 1n n n 1 n n n3 2 3 34 3 2 32.n 1已知a (2n 1)4 ，则a a a ______.n 1 2 3 n1 1n n(A ) (6 n5)4 5 (B )(6 n5)4 59 91 1n n(C )(6 n3)4 5 (D )(6 n5)4 39 9答案：A解Sn2 3 n 11 3 4 5 4 7 41)42 3 4 n 1n 4 S 1 4 3 4 5 4 7 4 3)4 (2n 1)4n两式相减得3T 1 2 (4 4 4 (2n1)42 3 nn故1S (6n5)4 5nnn93.已知a 2n 3 ，则a a a ______.nn 1 2 3 n3(1 3 ) 3 (1 3 )n nn n 1(A ) n 3 (B )n 32 21 3 3 (1 3 )n nn 1 n 1(C )n 3 (D ) 32 2答案：B解 2 3 n 1 n S 2 3 4 3 6 3 2 ) 32 n 3n2 3 n 1 n n1 3 S234 3 4 ) 3 (2n 2 ) 32 n 3n两式相减得 2 3 n n 1 n n12 S 2 (3 3 3 3 ) 2 n 3 3(3 1)2 n 3n故3(1 3 )nS n n2n 13 .4.已知数列 {a }满足a 1, a a n ，则a = _ _ _ _ _ _ .2n 1 n 1 n 1 0 1(A ) 5 0 5 0 (B) 5 0 5 0 (C ) 5 0 5 1 (D) 5 0 5 1 答案：Da a n a a (n 1)2 2n 1 n n n 1解由已知得，，n 1 n n 1 n n 1 n( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)a a (n 2 ) a 12 2n 1 n 2 2 1，，n 1 n 2 n 1 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1)叠加得a an11 2 3 4 (n 1)n12 2 2 2 2 ( 1) 1na a1 0 111 2 3 41 0 112 2 2 2 ( 1) 11 0 1 ( 1) (1 0 11)1 0 1 21 2 3 42 2 2 2(1 2 )(1 2 ) (3 4 )(3 4 ) 1 0 0 ) (9 9 1 0 0 )(1 2 3 0 0 ) 5 0 5 0a 1 5 0 5 0 5 0 5 1 .1 0 15.已知f (2x) f ( x) x ，则f ( x ) ______.22 2x x 1 x x 1(A) f ( ) [1 ( ) ] (B) f ( ) [1 ( ) ]n nn n2 3 4 2 3 22 2x x 1 x x 1(C ) f ( ) [1 ( ) ] (D ) f ( ) [1 ( ) ]n nn n2 3 4 2 3 2答案：C解由f (2x ) f ( x ) x 得22 2 2x x x x x x x xf ( x ) f ( ) f ( ) f ( ) ) f ( ) ,，，，n 1 n n2 4 2 4 1 6 2 2 4将以上各式累加,得2 2 2 2x x x x x f ( x ) f ( )n n2 4 1 6 6 4 4于是2x x 1 f ( x ) f ( ) [1 ( ) ].nn2 3 4第四讲常用求和公式1.1 2 ) ______ .2 2 2n (n 1)(2 n 1) (n 1)(2 n1) (A ) (B )6 6n (2n 1)(2 n 1) (n 1)(n 2)(2n3) (C )(D)6 6答案：D解代入公式2 2 n (n 1)(2 n 1)自然数平方和公式：1 262.1 2 0 _ _ _ _ _ _ .2 2 2(A ) 3 8 6 (B) 3 8 5 (C) 3 8 4 (D) 3 8 3答案：B解代入公式2 2 1 0 1 1 2 1自然数平方和公式：1 2 3 8 563.1 2 ) ______.3 3 32 2(n 1)(n 2) (n 2)(n 3)(A ) (B)2 22n n n n( 1)( 2)( 1)( 2)(C )(D )2 2答案：C解代入公式2n (n 1)自然数立方和公式：1 23 322(n 1)(n 2 )1 2 )23 3 34.答案：C 1 2 99______.3 3 32 2(A ) 4949(B )4950(C )4950(D )4949解代入公式2n (n 1)自然数立方和公式：1 23 3229 9 1 0 01 2 4 9 5 0 .3 3 225.2 2 (n 1)(2n 1)1 26答案：错误2 2 n ( n 1)( 2n 1)解自然数平方和公式：1 26第五讲和差化积1.sin 5sin 3______ .(A ) 2 sin 8cos 2(B ) 2 sin 4cos(C )sin 4c os(D )sin 8cos 2答案：B解根据公式sin sin 2 sin c os2 2得sin 5 sin 3 2 sin 4c o s .2.sin 3sin 5_ _ _ _ _ _ .1(A ) 2 c o s 4sin (B)c o s 4sin21(C ) 2 c o s 4c o s(D) c o s 4c o s2答案： A解根据公式sin sin 2 c o s sin2 2得sin 3sin 5 2 c o s 4sin .3.sin sin______ .cos cos(A) sin (B)cos (C )tan (D ) cot2 2 2 2 答案：D解公式，sin sin 2 sin c o s c o s c o s 2 sin sin2 2 2 22 sin c o s c o ssin sin 2 2 2c o t.c o s c o s 22 sin sin sin2 2 24.22c os cos ______.3 31 1 1 1 1 1 1 1(A) c os2(B)c os(C )c os2(D )c os2 4 2 4 2 4 2 4答案：C解根据公式1c o s c o s c o s( ) c o s()2得22 1 2222c o s c o s c o s() c o s()3 3 2 3 3 3 31 4 1 1c o s c o s 2c o s 2.2 3 2 45.1sin x sin y cos( x y ) cos( x y ) .2答案：正确解根据公式1sin x sin y cos( x y ) cos( x y ).2第六讲参数方程1.x＝2＋t，x2 y2已知曲线C：(t 为参数)．则曲线C 的参数方程，4＋9＝1，直线l：y＝2－2t及直线l 的普通方程分别为______.2 co s 2 co sx x(A) x y 6 0 (B) 2 x y 6 0，，y 3 sin y 3 sinx 3 co s x 2 c o s(C )，2 x y 6 0 (D )，2 x y 6 0y 2 sin y 3 sin答案：Dx＝2cos θ，解曲线C 的参数方程为(θ为参数)．y＝3sin θ直线l 的普通方程为 2x＋y－6＝0.2.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．x cos x sin2 2(A ) (为参数 ) (B )(为参数 )y sin c os y sin co s2x cos2x cos(C )( ) (D ) 1 ( )为参数为参数 2yy sin cossin2答案：A1 1解如图，圆的半径为2，记圆心为C2，0 ，连接CP，1 1 1则∠PCx＝2θ，故x P＝2sin 2θ＝sin θcos θ(θ2＋2cos 2θ＝cos2θ，y P＝为参数)．x＝cos2θ，故圆的参数方程为(θ为参数)．y＝sin θcos θ3.x＝1－22 t，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，y＝2＋22 t直线l 与抛物线y2＝4x 相交于A，B 两点，则线段AB 的长为______．(A ) 8 (B )8 2 (C ) 6 2 (D ) 2 2答案：Bx＝1－22 t，解：将直线l 的参数方程2＋代入抛物线方程y2＝4x ，得y＝2＋ 2 t22 22 t ＝41－22 t ，解得t1＝0，t2＝－8 2.所以AB＝|t1－t2|＝8 2.4.x＝2cos t，已知动点P，Q 都在曲线C：(t 为参数)上，对应参数分别为t＝α与y＝2sin tt ＝2α(0＜α＜2π)，M 为 PQ 的中点，则 M 的轨迹的参数方程为______.xco scos 2xco ssin 2(A )(0)(B )(02)y sin sin 2ysincos 2xcos cos 2xcossin 2(C )(02)(D )(0)y sin sin 2ysincos 2答案：C解：依题意有 P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为x yc o s c o s 2 sin sin2(02 )．5.x＝t，x＝3cos φ在平面直角坐标系xOy 中，若直线l：(t 为参数)过椭圆C：y＝t－a y＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．答案：3x＝t，解由直线l 的参数方程(t 为参数)消去参数t，得直线l 的一般方程y＝t－a为y＝x－a，由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以 3－a＝0，即a＝3.第七讲极坐标方程1.x＝t cos α，在直角坐标系xOy 中，曲线C1：(t 为参数，t≠0)，其中 0≤α＜π.y＝t sin α，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：r＝2sinθ，C3：r＝2 3cosθ. 则C2 与C3 交点的直角坐标为______.3 3 3 3(A) (1,1)和 ( , ) (B)(0, 0)和 ( , )2 2 2 23 3(C )(0, 0)(D)( , )2 2答案：B解：(1)曲线C2 的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3 的直角坐标方程为x2＋y2－2 3x＝0.x＝32 ，x2＋y2－2y＝0，x＝0，联立解得或x2＋y2－2 3x＝0，y＝0， 3y＝2.所以C2 与C3 交点的直角坐标为(0，0)和 3 32 ，2 .若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x (0≤x≤1)的极坐标方程为______.(A) r =1 π，0≤θ≤cos θ＋sin θ 2(B) r =1π，0≤θ≤cos θ＋sin θ 4π(C) r = cosθ＋sinθ，0≤θ≤2π(D) r = cosθ＋sinθ，0≤θ≤ 4 答案：A解∵xryrc ossin∴y＝1－x 化成极坐标方程为r cos θ＋r sin θ＝1，1即r＝cos θ＋sin θ.π∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤ 2 .3.x＝t，设曲线C 的参数方程为(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴y＝t2的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．(A ) r sin cos(B)r sin co s2(C )r cos sin (D )r c o s sin2答案：C解曲线C 的直角坐标方程是y＝x2，化为极坐标方程得r sinθ＝r 2cos2θ.即r cos2θ＝sinθ.在极坐标系中，圆r 2 cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为______.(A ) 0 (r R ) 和r c os 2 (B)(r R ) 和r c o s 22(C )(r R ) 和r c os 1 (D )0 (r R ) 和r c o s 12答案：B解在直角坐标系中，圆的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.从而垂直于x 轴的两条切线方程分别为x＝0，x＝2，π即θ＝2 (r∈R)和r cos θ＝2.故选 B.5.π在极坐标系中，点32，到直线r(cosθ＋3sinθ)＝6 的距离为________．答案：1π解把极坐标转化为直角坐标，点(2，)对应的直角坐标为点(1，3)，3极坐标方程r(cosθ＋3sinθ)＝6对应的直角坐标方程为x＋3y＝6，即x＋3y－6＝0.|1＋3×3－6|∴点到直线的距离为d＝＝1.2第八讲有理分式的分解1.分解1x( x1)2______.1 x 1 x 1 1 12 x(A ) (B )(C )(D )x x 1 x x 1 x x 1 x x 12 2 2 2答案：A解法一1 A B x C A ( x 1) x ( B xC )2x ( x 1) x x 1 x ( x 1)2 2 21 A ( x 1) x ( B x C ) ( A B ) x C x A2 2A B A0 11 1 xC 0 B 1 .故x ( x 1) x x 12 2A 1 C 0解法二1 (1 x ) x 1 x2 2.x ( x 1) x ( x 1) x x 12 2 22.分解x x22( x 1)( x1)2______.1 1 1 1(A ) (B )x 1 x 1 x 1 ( x 1)21 2 1 1(C )(D )x 1 ( x 1) x 1 ( x 1)2 2答案：D解x x 2 ( x 2 x 1) ( x1) 2 22 2( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)2 2 ( x 1) ( x 1) 1 12( x 1)( x 1) x 1 ( x 1)2 23.分解4 x 3( x 1)3______.4 7 4 7(A ) (B )( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)2 3 2 32 7 4 11(C )(D )( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)2 3 2 3答案：B解4 x 3 A B C A ( x 1) B ( x 1)C2( x 1) x 1 ( x 1) ( x 1) ( x 1)3 2 3 3即 4 x 3 A ( x 1) B ( x 1)C 22A ( x 2 x 2 )B ( x 1)C A x ( 2 A B ) x (2A B C )2 2，A 0 A比较系数得解得2 A B 4 B 42 A B C3 C 7.4 x 3 4 7故( x 1) ( x 1) ( x1)3 2 34.分解______.x 4 x 4x3 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1答案：C(A ) (B )4 x 4 x 2 2 ( x 2) 4 x 4 x 2 2 ( x 2)2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1(C )(D )4 x 4 x 2 2 ( x 2) 4 x 4 x 2 2 ( x 2)2 21 1 A B C解x 4 x 4 x x x 2 x x 2x 23 2 2 2A ( x 2 )B x ( x 2 )C x22因为 1 A x 2 B x x 2 C x，x ( x 2 )21 1 1令x 0,得A ；令x 2，得C ；令x 1，得B .4 2 4.1 1 1 1 1 1 1所以x ( x 2 ) 4 x 4 x 2 2 ( x2 )2 25.分解______ .1 3 x 1 x229 1 1 3 x 1 9 1 1 3 x 1答案：B(A ) (B )10 1 3 x 10 1 x 10 1 3 x 10 1 x2 29 1 1 3 x 1 1 3 x 1(C )(D )10 1 3 x 10 1 x 1 3 x 1 x2 21 A B x C A (1 x ) ( B x C )(1 3 x )2解，21 3 x 1 x (1 3 x )(1 x )2 21 3 x 1 x因为 A x B x C x A B x B C x A C ，1 1 1 3 ( 3 ) ( 3 ) ( )2 29A1 0A 3B 03B 3C 0 B1 0A C 11C1 0于是9 3 1x1 1 0 1 0 1 0 9 1 1 3 x121 3 x 1 x 1 3 x 1 x 1 0 1 3 x 1 0 1x2 2.。

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大学预科数学试题及答案

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大学预科数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是方程 \( x^2 - 4 = 0 \) 的解？A. \( x = 2 \)B. \( x = -2 \)C. \( x = 2 \) 或 \( x = -2 \)D. 以上都不是答案：C2. 函数 \( f(x) = 3x + 2 \) 的斜率是多少？A. 2B. 3C. -3D. -2答案：B3. 集合 \( A = \{1, 2, 3\} \) 和集合 \( B = \{2, 3, 4\} \) 的并集是什么？A. \( \{1, 2, 3, 4\} \)B. \( \{1, 2, 3\} \)C. \( \{2, 3\} \)D. \( \{4\} \)答案：A4. 如果 \( \sin \theta = \frac{1}{2} \)，那么 \( \theta \) 的值可能是：A. \( \frac{\pi}{6} \)B. \( \frac{5\pi}{6} \)C. \( \frac{\pi}{6} \) 或 \( \frac{5\pi}{6} \)D. \( \frac{3\pi}{2} \)答案：C5. 圆的方程 \( (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 9 \) 表示的圆心坐标是：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)答案：A6. 函数 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) 的极值点是：A. \( x = 1 \)B. \( x = 3 \)C. \( x = 1 \) 或 \( x = 3 \)D. 无极值点答案：C7. 矩阵 \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式值是：A. 2B. -2C. 5D. -5答案：B8. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模长是：A. 5B. 7C. √13D. √17答案：A9. 等差数列 \( 2, 5, 8, \ldots \) 的第五项是多少？A. 11B. 12C. 15D. 18答案：C10. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 2 \) 处的导数是：A. 0.5B. -0.5C. 2D. -2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 计算 \( \int_0^1 (2x + 3) dx \) 的结果是 ________。

预科高等数学习题参考答案上学期

预科高等数学习题参考答案上学期

第一章函数与极限1.1数列的极限1 (1) 对任意的自然数n 有 7)1(5750++<+<n n ，所以有07)1(51751>++>+n n ，即01>>+n n x x ，因此数列}{n x 是单调递减数列．显然对于任意的自然数n 有 175>+n ，因而有17510<+=<n x n ．进而存在1=M ，对任意的自然数n 有，M x x n n =<=1，所以数列}{n x 是有界的．综上数列是单调递减有界数列，因此必有极限．观察出0lim =∞→nn x．nn n x x n n 1517510<<+==-．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n x n 10，故0lim =∞→n n x ． (2) 对任意的自然数n 有 5)1(2520++<+<n n ，所以有10+<<n n x x ，因此数列}{n x 是单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}25,1max{0⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=M n ，使得M n x n >+=5200，因此数列}{n x 是无界的．综上数列是单调递增无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在．(3) 从数列的前几项 ,5,0,3,0,154321==-===x x x x x 可以看出数列}{n x 既非单调递减数列也非单调递增数列．显然对于任意0>M ，存在}21,1max{0⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=M k ，使得M k k k x k >-=--=-122)12(sin)12(000120π，因此数列}{n x 是无界的．综上数列既不是单调数列也不是无界数列，因此数列}{n x 的极限不存在． 2 分析 用“N -ε”语言证明数列极限A xnn =∞→lim 的步骤如下：(1) 化简A x n -(往往需将它适当放大后)得)(n f ；(2) 逆序分析求N ．0>∀ε，要使ε<)(n f ，(解不等式后知))(εg n >，于是取正整数[])(εg N ≥；(3) 按定义作结论 则当N n >时，就有ε<-A x n ．故A xnn =∞→lim ．证明 (1)nn n 110144<=-．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 1014，故014lim =∞→n n ．(2)nn n n 1241231213<+=-++．0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-++n n n 1231213，故231213lim=++∞→n n n ． (3) nn C C C C nn n n n n n n n 1919991)91(11011999.022109<<++++=+==-个． 0>∀ε，要使ε<n 1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ．则当N n >时，就有ε<<-n n 11999.09个，故1999.09lim =∞→ 个n n ． 3证明222222656112136561121365611213lim limlim lim limlim lim limnn n n nn n n n n n n n n n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→++++=++++=++++6130060013=++++=．4 证明 当0=q 时，显然00lim lim==∞→∞→n n n q ；当0≠q 时，显然nnq q =-0．0>∀ε(10<<ε)，要使ε<nq ，由于10<<q ，因此只要εq n l o g >，于是取正整数[]εqN l o g ≥．则当N n >时，就有ε<=-nn q q 0，故0lim =∞→n n q ．综上所述，当1<q 时，0lim =∞→nn q．5证明 (N -ε定义证明)令01>-=n n n h ，则有n n h n )1(+=，即nn n n n n n n h nh h n n nh h n +++-++=+=-122)1(1)1( ， 进而22)1(n h n n n ->，即)1(12>-<n n h n ． 0>∀ε，要使ε<-<=-121n h n n n ，只要212ε<-n ，即1112>+>εn ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥112εN ．则当N n >时，就有ε<-<-121n n n，故1lim =∞→nn n ．(夹逼定理证明) 由于nn n n n n n n n n nn n 2211111111212-+=+++++≤⋅⋅⋅⋅⋅=≤--个个， 并且122lim=-+∞→n n n n ，因此1lim =∞→nn n ．5 证明 由数列}{n x 有界知，0>∃M ，使得数列}{n x 的每一项都有M x n ≤． 又0lim=∞→n n y ，则有0>∀ε，存在0>N ，当N n >时，My y n n ε<=-0．进而当N n >时，εε=⋅<=-MM y x y x n n n n 0．因此0lim =∞→n n n y x ．1.2 函数的极限1证明 0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<00x x 时，ε<=-0c c ．因此c c x x =→lim 0．2证明)1sin (1sin 0sin ≤≤=-x xx x x x．0>∀ε，要使ε<x 1，只要ε1>x ，于是取正数ε1≥M ．则当M x >时，就有ε<≤-x x x 10sin ，故0sin lim =∞→x x x ． 343434343433412313412313423lim lim lim lim lim lim lim limx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→+-+-=+-+-=+-+- 0001000=+-+-=．4解()()()()()()3212223213212321limlim44+++-+++-+=--+→→x x x x x x x x x x ()()()()()()34381242321223214242lim lim 44=+++=+++=++-+-=→→x x x x x x x x ．5解a x ax a x a x a x ax ax -+-=--→→2cos2sin2sin sin lim lima a a x a x a x ax cos cos 12cos 22sinlim =⋅=+⋅--=→． 另解a x aa a x a x a x ax ax --+-=--→→sin ])sin[(sin sin lim limax aa a x a a x ax ---+-=→sin sin )cos(cos )sin(lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅--=→a a x a x a a x a x a x sin 1)cos(cos )sin(lim⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅-⋅--⋅--=→a a x a x a a x a x a x sin 2sin 22sin cos )sin(lim a a a cos sin 01cos 1=⋅⋅-⋅=．6 因为0)1()(lim lim00=-=++→→x x x e x f ，00)(lim lim 00==--→→x x x f ，即0)()(lim lim00==-+→→x f x f x x ．因此函数)(x f 在0=x 点处极限存在，并且0)(lim0=→x f x ．7 ()()()()()()111111113323323131lim lim+++-+++-=--→→x x x x x x x x x x x x()()()()3211111133213321limlim=+++==++-+-=→→x x x x x x x x x x ． 8x x x x x x x x x )2sin()2sin()2sin()2sin(lim lim--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+→→ 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2lim lim=⋅=⋅=→→x xx x x x ．92122322233221231212314232lim lim lim-⋅⋅∞→∞→∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++e eex x x x x x x x x xxx xx ． 另解221)42(421142114232lim lim lim-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+-∞→∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x xx xx x x x x221)42(42114211lim--+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x x221)42(42114211limlim -∞→-+-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x x 21211--=⋅=e e10aba b ax x bxx bxx ax ax ax ax -⋅+∞→∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++33113113114lim lim lima b a b a b ab ax x e e ax ax 333311131131lim=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+∞→．另解ab ab a b ab ax ab ax x bxbxx bxx e eeax ax ax ax ax ax 344441*********lim limlim==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅⋅∞→∞→∞→．1.3 无穷小与无穷大1因为∞→x ，1sin ≤x ，01lim=∞→xx ，即∞→x 时x sin 是有界变量，x 1是无穷小量，因此01sin sin lim lim=⋅=∞→∞→x x x x x x ． 2 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解) 0>∀E ，要使E x x >+523，只要)5(223>>x E xx，即E x 2>，于是取}5,2max{E M =，当M x >时，E x x >+523．所以523+x x 是∞→x 时的无穷大量，即∞=+∞→523lim x x x ． 另解 (利用无穷大与无穷小的关系求解)显然当∞→x 时，0523≠+x x ，但是01515332lim lim=+=+∞→∞→x x x x x x ，进而根据无穷大与无穷小的关系有，∞=+=+∞→∞→3223515lim limx x x x x x ． 3 (利用无穷大的)(M E δ-定义求解)0>∀E ，要使E x x x x >--=+-21232，只要)3(121≥>->--x E x x x ，即1+>E x ，于是取}3,1m a x {+=EM ，当M x >时，E x x >+-232．所以232+-x x 是∞→x 时的无穷大量，即()∞=+-∞→232lim x xx ．4414144tan sin lim lim lim220220===→→→x x x x x x x ． 52121cos 12220lim lim==-→→x xx xx x ． 6设00>δ，当000δ<-<x x 时，)(x g 有界，则存在00>M ，使得当000δ<-<x x 时，0)(M x g ≤．当0x x →时，)(x f 是无穷大量，则0>∀M ，存在01>δ，当100δ<-<x x 时，0)(M M x f +>．取},min{10δδδ=，则当δ<-<00x x 时， 00)()()()(M M M x g x f x g x f -+>-≥±，因此)()(x g x f ±是0x x →时的无穷大量．7x x y cos =在()+∞∞-,不是有界变量，即x x y cos =在()+∞∞-,是无界的．因为0>∀M ，存在ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1][0M x ，使得M M x x >⎪⎭⎫⎝⎛+=ππ1][cos 00．下面证明当+∞→x 时，x x y sin =不是无穷大量．1=∃E ，对于0>∀M ，存在ππ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10M x ，使得M x >0，并且E x x <=0sin 00．因此当+∞→x 时，x x y sin =不是无穷大量．1.4 函数的连续性与间断点1 (1) 函数)(x f 的定义域是),3()3,5()5,(+∞---∞ ．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的连续区间是),3(),3,5(),5,(+∞---∞．(2) 函数)(x f 的定义域是]6,4[．由于函数)(x f 是初等函数，因此)(x f 的在区间)6,4(内连续．又())4(464464)(limlim44f x x x f x x =-+-=-+-=++→→，则)(x f 在4=x 处右连续；())6(664664)(limlim 66f x x x f x x =-+-=-+-=--→→，则)(x f 在6=x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]6,4[．(3) 函数)(x f 的定义域是]2,1[．显然函数)(x f 在区间)2,1(),1,0(),0,1(-内连续．又)1(11)(lim lim11f x f x x ===++-→-→，则)(x f 在1-=x 处右连续；1)(lim lim 00--→-→=x x x f)0(1f ==，)0(1sin )(limlim 00f x xx f x x ===++→→，即)0()()(l i m l i m 00f x f x f x x ==+-→-→，则)(x f 在0=x 处连续；)1(81sin sin )(limlim 11f xxx f x x =≠==--→-→，即)(x f 在1=x 处不左连续，则)(x f 在1=x 处不连续；)2(14)83()(lim lim22f x x f x x ==+=--→-→，则)(x f 在2=x 处左连续．因此)(x f 的连续区间是]2,1(),1,1[-．2 (1) 函数)(x f 的定义域是),7()7,2()2,(+∞-∞ ，进而函数的间断点只可能为2=x 和7=x ．对于2=x ，72)7)(2()2)(2(1494)(lim lim limlim222222-+=---+=+--=→→→→x x x x x x x x x x f x x x x 54-=，因此2=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点． 对于7=x ，∞=---+=+--=→→→)7)(2()2)(2(1494)(lim limlim72277x x x x x x x x f x x x ，因此2=x 是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，2=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，7=x 是第二类间断点中的无穷间断点．(2) 显然函数)(x f 的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈∈ Z k Z k k k k k ππππππ)1(,22,，进而函数)(x f 的间断点只可能为πk x =和)(2Z k k x ∈+=ππ．对于0=x ，1tan )(limlim==→→xxx f x x ，因此0=x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)0,(≠∈=k Z k k x π，∞==→→xxx f k x kx tan )(limlim ππ，因此当0≠k 时，πk x =是函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于)(2Z k k x ∈+=ππ，0tan )(lim lim 22==+→+→xxx f k x k x ππππ ， 因此2ππ+=k x 是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．综上，0=x 和)(2Z k k x ∈+=ππ是函数)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，)0,(≠∈=k Z k k x π是第二类间断点中的无穷间断点．(3) 显然函数)(x f 的定义域是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，进而函数)(x f 的间断点只可能为0=x 和1=x ．对于0=x ，∞=-=-→→111)(limlimx x x x e x f ， 因此0=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．对于1=x ，011)(111limlim=-=-→→++x xx x ex f ，111)(111limlim =-=-→→--x x x x ex f ，即函数)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，0=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点，1=x 是第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x ．21arctan )(lim lim 00π==++→→x x f x x ，21arctan )(lim lim0π-==--→→x x f x x ，即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x 和1=x ．对于0=x ，0223)(limlim=-=→→xx f x x ， 因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于1=x ，∞=-=→→xx f x x 223)(limlim11， 因此1=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点，1=x 是第二类间断点中的无穷间断点．(6) 显然函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为0=x ．22cos 1cos 1)(2000lim limlim=-=-=+++→→→x x x x x f x x x ， 22cos 1cos 1)(200lim limlim-=--=-=---→→→x x x x x f x x x ， 即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(7) 显然函数)(x f 的定义域为),1()1,(+∞-∞ ，进而)(x f 的间断点只可能为1=x ．∞=--=→→xxx f x x 12)(limlim 11， 因此1=x 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点． 1.5 连续函数的运算与初等函数的连续性1 (1) 当1<x 时，02lim =∞→nn x，则有x x x x x f nnn =⋅+-=∞→2211)(lim ；当1>x 时，∞=∞→nn x2lim ，并且11122lim-=+-∞→n n n x x ，则有x x xx x f nnn -=⋅+-=∞→2211)(lim ；当1±=x 时，012=-n x ，则有011)(22lim=⋅+-=∞→x x xx f nnn ．因此111,,0,)(<±=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f ． 显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，1)(lim lim11-==++-→-→x x f x x ，1)()(lim lim11=-=---→-→x x f x x ，即)(x f 在1-=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1-=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1=x ，1)()(lim lim11-=-=++→→x x f x x ，1)(lim lim11==--→→x x f x x ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(+∞---∞，1±=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(2) 显然1-=x 时，函数)(x f 无定义；当1<x 时，0lim =∞→nn x，则有01)(lim=+=∞→n n n x x x f ；当1>x 时，∞=∞→nn x lim ，则有11)(lim =+=∞→nn n x x x f ；当1=x 时，1=n x ，则有211)(lim=+=∞→nn n x x x f ．因此111,0,21,1)(<=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=x x x x f ． 显然函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，00)(lim lim11==++-→-→x x x f ，11)(lim lim11==---→-→x x x f ，即)(x f 在1-=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1-=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1=x ，11)(lim lim11==++→→x x x f ，00)(lim lim11==--→→x x x f ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,1(),1,(+∞---∞，1±=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(3)当10<≤x 时，0lim =∞→nn x ，则有111)(lim =+=∞→nn x x f ；当1>x 时，∞=∞→n n x lim，则有011)(li m =+=∞→nn xx f ；当1=x 时，1=n x ，则有2111)(lim=+=∞→nn x x f ．因此1011,1,21,0)(<≤=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=x x x x f ． 显然函数)(x f 在区间),1(),1,0(+∞内连续．对于0=x ，)0(11)(lim lim00f x f x x ===++→→，因此)(x f 在0=x 处右连续．对于1=x ，00)(lim lim11==++→→x x x f ，11)(lim lim11==--→→x x x f ，即)(x f 在1=x 处的左右极限存在，但不相等，因此1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,0[+∞，1=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(4) 当0<x 时，∞==-∞→∞→xn xn nnlim lim ,0，则有1)(lim-=+-=--∞→xx xx n nn n n x f ；当0>x 时，0,lim lim =∞=-∞→∞→xn xn nn ，则有1)(lim =+-=--∞→xxxx n nn n n x f ；当0=x 时，1=±xn，则有0)(lim=+-=--∞→xx x x n n n n n x f ．因此000,1,0,1)(<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x f ． 显然函数)(x f 在区间),0(),0,(+∞-∞内连续．对于0=x ，11)(lim lim00==++→→x x x f ，1)1()(lim lim00-=-=--→→x x x f ，即)(x f 在0=x 处的左右极限存在，但不相等，因此0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),0(),0,(+∞-∞，0=x 函数)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．(5) 显然1-=x 时，函数)(x f 无定义．又xe x n xn x f x xnn nxn +=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→∞→1111111)(lim lim， 因此xe xf x+=1)(，并且定义域为),1()1,(+∞---∞ ．显然函数)(x f 在区间),1(),1,(+∞---∞内连续．对于1-=x ，∞=+=-→-→xe xf xx x 1)(lim lim11，因此1-=x 函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上，函数)(x f 的连续区间是),1(),1,(+∞---∞，1-=x 函数)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．2 (1) 因为函数)(x f 在区间),0(),0,(+∞-∞内是初等函数，因此函数)(x f 在()+∞∞-,连续，只需在分段点0=x 处连续，即)0()()(lim lim00f x f x f x x ==-+→→．又在0=x 处，b f =)0(，b b ax x f x x =+=++→→)()(lim lim 00，1)(lim lim00==--→→x x x e x f ，因此1=b ．由于2)1(=f ，即2=+b a ，因此1=a ．综上当1,1==b a 时，函数)(x f 在()+∞∞-,上连续．(2) 因为函数)(x f 在区间),1(),1,1(),1,(+∞---∞内是初等函数，因此函数)(x f 在()+∞∞-,连续，只需在分段点1±=x 处连续，即)1()()(lim lim11-==-+-→-→f x f x f x x ，)1()()(lim lim 11f x f x f x x ==-+→→．在1-=x 处，1)1(-=-f ，b a bx ax x f x x -=+=++-→-→)()(211lim lim ，11)(limlim11-==---→-→xx f x x ， 因此1-=-b a ．在1=x 处，1)1(=f ，11)(limlim 11==++→→xx f x x ， b a bx ax x f x x +=+=--→→)()(211lim lim，因此1=+b a ．于是有⎩⎨⎧=+-=-11b a b a ，解得1,0==b a ．综上当1,0==b a 时，函数)(x f 在()+∞∞-,上连续． 3 )(x f 在1=x 处连续，则)1()(lim1f x f x =→，即4313)(lim1=+-+++→x x b x b a x ．由于()0313lim 1=+-+→x x x ，则有[]0)(lim 1=++→b x b a x ，即02=+b a ，进而b a 2-=．从而313313)(limlim11+-++-=+-+++→→x x b bx x x b x b a x x()()()313313313)1(lim1++++-++++--=→x x x x x x x b x())1(2313)1(lim1-+++--=→x x x x b x()b x x b x 22313lim1-=+++-=→．因此42=-b ，即2-=b ，于是4=a ．综上当2,4-==b a 时，)(x f 在1=x 处连续．1.6 闭区间上连续函数的性质1若)0()(f a f =，则0=δ或a =δ．因此下面假设)0()(f a f ≠． 令)()()(a x f x f x F +-=．显然)(x F 在],0[a 上连续，并且)2()()(),()0()0(a f a f a F a f f F -=-=．由于)2()0(a f f =，所以有0)]0()()][()0([)()0(<--=⋅f a f a f f a F F ，从而根据根的存在定理知，),0(a ∈∃δ，使得0)(=δF ，即)()(a f f +=δδ． 综上存在一点],0[a ∈δ，使得)()(a f f +=δδ．2由于b x f a <<)(，则b b f a f a <<)(),(．令x x f x F -=)()(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且0)()(>-=a a f a F ，0)()(<-=b b f b F ，从而根据根的存在定理知，],[),(b a b a ⊂∈∃δ，使得0)(=δF ，即δδ=)(f ．3令bx b x a ax B x f A x F =<<=⎪⎩⎪⎨⎧=,),(,)(．显然)(x F 在],[b a 上连续，并且A a F =)(，B b F =)(．又0<AB ，因此0)()(<b F a F 从而根据根的存在定理知，),(b a ∈δ，使得0)(=δF ，即0)(=δf ．4方程可以变为),,(0))(())(())((321213312321λλλλλλλλλ≠=--+--+--x x x a x x a x x a ．令))(())(())(()(213312321λλλλλλ--+--+--=x x a x x a x x a x F ．显然)(x F 在],[],,[3221λλλλ上连续，并且))(()(322111λλλλλ--=a F ， ))(()(321222λλλλλ--=a F ， ))(()(131333λλλλλ--=a F ．由于321λλλ<<，0,,321>a a a ，所以0)(1>λF ，0)(2<λF ，0)(3>λF ．进而根据根的存在定理知，),(211λλξ∈∃，),(322λλξ∈∃，使得0)(1=ξF ，0)(2=ξF ，即),(211λλξ∈∃，),(322λλξ∈∃，使得0313212111=-+-+-λξλξλξa a a ，0323222121=-+-+-λξλξλξa a a ．5 (反证法)假设存在),(βαδ∈∃，使得0)(<δf ． 若δγ< (或δγ>)， 则 函数)(x f 在],[δγ (或],[γδ)内连续，并且0)(>γf ，0)(<δf ，即0)()(<δγf f ．因此存在),(δγξ∈ (或),(γδξ∈)， 即),(βαξ∈，使得0)(=ξf ．这与α=x 和β=x 是0)(=x f 相邻的两个根相矛盾．故),(βα∈∀x 都有0)(>x f ．6若1)sin(=+b a ，则显然方程b x a x +=sin 有一个根是b a x +=．下面假设1)sin(≠+b a ．令b x a x x f --=sin )(．显然)(x f 在],0[b a +上连续，并且0)0(<-=b f ，0)]sin(1[)sin()(>+-=-+-+=+b a a b b a a b a b a f (因为0,0>>b a )， 进而0)()0(<+b a f f ．因此存在),0(b a +∈ξ，使得0)(=ξf ，即b x a x +=sin 在区间),0(b a +上至少有一个根．综上方程b x a x +=sin 至少有一正根，并且它不超过b a +．7 令)}(,),(),(min{21n x f x f x f m =，)}(,),(),(max{21n x f x f x f M =，则n x x x ,,,21 中至少有一个i x 使得m x f i =)(，至少有一个j x 使得M x f j =)(，显然有M x f nxf x f m j nk ki =≤≤=∑=)()()(1．若这个不等式中有一等号成立，则对应的i x 或j x 即为所求的点ξ．若不等式都是严格不等式时，又)(x f 在],[j i x x 或],[i j x x 上连续，由介值定理知，至少存在一点ξ介于i x 与j x 之间，使得n x f x f x f f n )()()()(21+++=ξ．综上存在],[b a ∈ξ，使得nx f x f x f f n )()()()(21+++=ξ．习 题 11 0>∀ε，要使ε<=--+-n n n n 11)1(1，只要ε1>n ，于是取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡≥ε1N ，当N n >时，ε<--+-1)1(1n n n ，因此1)1(1lim=-+-∞→n n n n ． 2由于当0→x 时，x e x~1-，所以x ex3~13-．进而331lim lim30==-→→x xx e x x x ． 3因为n n n n 333213⋅<++<，则有n nnn 33)321(31<++<，并且nn 33lim ∞→3=，因此3)321(1lim =++∞→nnnn ．4 令x t arcsin =，则t x sin =，并且00→⇔→t x ．因此1sin arcsin lim lim00==→→ttx x t x ． 53sin 2tan 2limxx x x +-+→ ()()()xx x xx xx x sin 2tan 2sin 2tan 2sin 2tan 23lim+++++++-+=→()xx x x x x sin 2tan 2sin tan 3lim+++-=→()xx x x x x sin 2tan 2)cos 1(tan 3lim+++-=→()x x x x x x sin 2tan 22132lim+++⋅=→()x x x sin 2tan 221lim+++=→ 82241==． 6任取),(0b a x ∈，对0>∀ε，存在0>=kεδ，当δ<-<00x x 时，εδ=⋅<-≤-k x x k x f x f 00)()(．因此)()(0limx f x f x x =→，即)(x f 在0x x =处连续．由0x 的任意性知，)(x f 在),(b a 上连续．当δ<-<a x 0时,εδ=⋅<-≤-k a x k a f x f )()(．因此)()(lima f x f ax =+→， 即)(x f 在a x =处右连续．当0<-<-b x δ时，εδ=⋅<-≤-k b x k b f x f )()(．因此)()(limb f x f bx =-→，即)(x f 在b x =处左连续．综上)(x f 在],[b a 上连续，又由于0)()(<b f a f ，所以根据根的存在定理知，存在),(b a ∈ξ使得0)(=ξf ．7 函数)(x f 的定义域为),2()2,1()12,12(0,+∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-<∈ k Z k k k ．显然)(x f 的间断点只可能是)0,(12<∈+=k Z k k x ，0=x 和2=x ．由于)(x f 在区间)0,)(12,12(<∈+-k Z k k k ，)0,1(-，)2,0(，),2(+∞内是初等函数，因此)(x f 在这些区间上连续．对于2=x ，∞=-→4222limx x ，则有42sin )(222lim lim -=→→x x f x x 不存在，但是在1-到1之间来回振荡，因此2=x 是)(x f 的第二类间断点中的振荡间断点．对于0=x ，21sin 42sin)(2lim lim-=-=++→→x x f x x ， 02cos)1()(limlim00=+=--→→xx x x f x x π，即左右极限存在但不相等, 因此0=x 是)(x f 的第一类间断点中的跳跃间断点．对于1-=x ,)1(2cos )1(2cos )1()(limlimlim111--+=→+=-→-→=t t t xx x x f t x t x x ππππππ2)1(22)1(2sin )1(lim lim lim000-=-=-=-=→→→t t t t t t t t t t ， 因此1-=x 是)(x f 的第一类间断点中的可去间断点．对于)1,(12-<∈+=k Z k k x ，∞=+=+→+→xx x x f k x k x 2cos )1()(limlim1212π，因此12+=k x )1,(-<∈k Z k 是)(x f 的第二类间断点中的无穷间断点．综上所述，函数)(x f 在区间)0,)(12,12(<∈+-k Z k k k ，)0,1(-，)2,0(，),2(+∞内连续；0=x 是第一类间断点中的跳跃间断点；1-=x 是第一类间断点中的可去间断点；2=x 是第二类间断点中的振荡间断点；)1,(12-<∈+=k Z k k x 是第二类间断点中的无穷间断点．8先证命题：若)(x F 在],[b a 上连续，则)(x F 在],[b a 上也连续． 由于)(x F 在],[b a 上连续，则任取],[0b a x ∈，)()(0lim 0x F x F x x =→ (a x=0时取右极限，b x =0时取左极限)．若)0(0)(0<>x F ，则根据极限的局部保号性知，在0x 的某个邻域内)0(0)(<>x F ，进而)()()()(00lim lim00x F x F x F x F x x x x ===→→()()()()(00lim limx F x F x F x F x x x x =-=-=→→)，注意a x =0时取右极限，b x =0时取左极限．因此)(x F 在],[b a 上也连续．由于)(),(x g x f 在],[b a 上连续，则)()(x g x f -在],[b a 上连续，进而)()(x g x f -在],[b a 上连续．又2)()()()()}(),(max{x g x f x g x f x g x f -++=，因此)}(),(max{x g x f 在],[b a 上连续．9由于n 为非零有理数，则可令qp n =，其中q p ,为非零整数，并且0>p ．进而α=nx 与方程0>==q p x αβ同解．(存在性)令p x x f =)(．则)(x f 在),0[+∞内连续，并且当+∞→x 时，+∞→)(x f ．因此存在),0(+∞∈a 使得β>)(a f ．显然)(x f 在],0[a 上连续，并且)()0(0a f f <<=β，根据介值定理知，存在),0(a ∈ξ，使得βξ=)(f ， 即ξ是方程β=p x 的一个正根．(唯一性)假设21,ξξ是方程β=p x 的两个正根. 进而有pp21ξξ=，即))((012221221112121----++++-=-=p p p p p p ξξξξξξξξξξ ，由于0,21>ξξ，则01222122111>++++----p p p p ξξξξξξ ．因此21ξξ=，即方程β=p x 只有一个正根．10狄利克雷(Dirichlet)函数 是无理数是有理数，，x x x D ⎩⎨⎧=01)(．显然狄利克雷函数在),(+∞-∞上每一点都有定义, 但是在每一点都不连续．第二章 一元函数的导数和微分2.1 导数的概念1 分析 (1) A A x f x f A x f ==⇔=+)(')(')('00_0； (2)2 函数在0x x =处可导，则函数在0x x =处必连续； (3)0 4ln )(=x f 是常值函数，因此0)('=x f ； (4)0 驻点：函数的导数值为0的点． 2 (1)[]x x f x x f x x f x x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆2)()2(2)()2(000000lim lim)('22)()2(20000limx f xx f x x f x =∆-∆+=→∆．(2)[]x x f x x f x x f x x f x x ∆--∆--=∆-∆-→∆→∆)()()()(000000lim lim)(')()(0000limx f xx f x x f x -=∆--∆--=→∆．(3)[][]hx f h x f x f h x f h h x f h x f h h )()()()(212)()(00000000limlim----+=--+→→ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=→h x f h x f h x f h x f h )()()()(2100000lim )(')()()()(210000000lim lim x f h x f h x f h x f h x f h h =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=→→． (4)[]0000)()()()(limlimx x x f x f x x x f x f x x x x ---=--→→ )(')()(000limx f x x x f x f x x -=---=→．3 (1) 22)12(]1)(2['lim lim lim000=∆∆=∆---∆+=∆∆=→∆→∆→∆xx x x x x x y y x x x ；(2) xx x x x x x x x y y x x x ∆∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆2sin2sin 2cos )cos('lim lim lim00x x xx x x sin 22sin2sin lim-=∆∆⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=→∆； (3) x x x x x x x x y y x x ∆--∆+-∆+=∆∆=→∆→∆)()]()[('220lim lim[]12)12()()12(lim lim2-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x x x x x x x x x ；(4) 1)1()](1['lim lim lim000-=∆∆-=∆--∆+-=∆∆=→∆→∆→∆xxx x x x x y y x x x ． 4因为0)0(=f ，01sin)(lim lim==→→x x x f x x ，即)0()(l i m 0f x f x =→，因此)(x f 在0=x 处连续．因为x x x x x f x f x x x 1sin 1sin0)0()(lim lim lim→→→==--不存在，因此)(x f 在0=x 处不可导．5 (1) 因为x y cos '=，故曲线在点)0,0(处的切线斜率为10cos '====x y k ，进而曲线x y sin =在点)0,0(处的切线方程是x y =，法线方程是x y -=．(2) 因为x y sin '-=，故曲线在点)1,0(处的切线斜率为00sin '=-===x y k ，进而曲线x y cos =在点)1,0(处的切线方程是1=y ，法线方程是0=x ．(3) 因为xy 1'=，故曲线在点)0,1(处的切线斜率为1'1===x y k ，进而曲线x y ln =在点)0,1(处的切线方程是1-=x y ，法线方程是1+-=x y ．6因为速度是t t t t S t V 22)'211()(')(2+=++==，加速度是)(')(t V t a =2)'22(=+=t ，因此速度2)2(,6)2(==a V ，即2=t 秒时，运动物体的速度是s m /6，加速度是2/2s m ．2.2 求导公式和求导法则1 (1)1620'3+-=x x y ．(2)'221'21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=--x x m x x m y32232121111xx x m m x x mx m -+-=-+-=---． (3)x x y 55ln 5'4⋅+=． (4)01111'22=---=xxy ．(5)52)2()3()'3)(2()3()'2('+=+++=+++++=x x x x x x x y ．(6)xx x x x x x x x x x x y 1ln 21)1(ln 2)')(ln 1(ln )'1('2222++=⋅++=+++=．(7)x x x x x x e e e e e y 3)13(ln )3ln()3(]')3[()'3('+====． (8))'(sin sin )'()'(cos '22x x x x x y ++=x x x x x x x x x cos sin )12(cos sin 2sin 22+-=++-=．(9)x x x x y 22csc sec tan '++= ．(10))'(ln sin ln )'(sin ln sin ''x x x x x x x x x y ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=x x x x x x xxx x x x x x sin ln cos ln sin sin ln cos ln sin +⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅+⋅=． (11)222ln 1ln 1'ln )'(ln 'xxx xx x x x x x x y -=-⋅=⋅-⋅= ． (12)()2cos 1)'cos 1(sin )cos 1()'(sin 'x x x x x y ++⋅-+=()()xx xx xx x x cos 11cos 1cos 1cos 1sin sin )cos 1(cos 22+=++=+⋅++⋅=．另解2sec 21'2tan 'cos 1sin '2x x x x y =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=．(13)22''sin cos sin cos sin sin sin 'x xx x x x x x x x x x y -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= ． (14)422)')(ln ()'ln ('xx x x x x x y +-⋅+= 342ln 21)ln (211xx x x x x x x x --=+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=． (15)2)ln 1()'ln 1)(ln 1()ln 1()'ln 1('x x x x x y --+--+=22)ln 1(2)ln 1(ln 1ln 1x x x x xx x -=-++-=．另解222)ln 1(2)ln 1(12)ln 1()'ln 1(2'1ln 12'x x x x x x x y -=-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． (16)2222)1()'1(ln )1()'ln ('x x x x x x x y ++⋅-+= 22222222)1(ln )1(1)1(ln 2)1)(1(ln x xx x x x x x x +-++=+-++=． 2 (1)2222222)'(1'x a x x a x a y --=-⋅-=．(2))53cos(3)'53()53cos('-=-⋅-=x x x y ． (3))1sin(2)1()1sin('222+-=+⋅+-=x x x x y ． (4)xx x x y ln 1)'(ln ln 1'=⋅=． (5)x xe x ey 333)'3('=⋅=．(6)222)'('2x x xe x e y ---=-⋅=．(7)22'24121212211'xx x x y -=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=．(8)()422212)'(11'x xx x y +=⋅+=．(9)222'21111111111'x x x x x y +=⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=． (10)222'211)1(21111111111'x x x x x x x x y +=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=． (11)()()x e x e x e x e y x x x x 3sin 33cos 3cos 3cos '''------=⋅+⋅=．(12)()'2'21sin 1sin '⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=x x x xyx x x x xx x x 1cos 1sin 21cos 11sin222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=． (13)())'(arccos 1arccos 1'2'2x x x x y ⋅-+⋅-=11arccos 111arccos 12222---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-+⋅--=x xx x x x x x． (14)''11112111111111'⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅⋅+-⋅+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅+-=x x xx x x x x x x y ()()1112112122-=+-⋅+-=x x xx ．另解()11111121)1ln()1ln(21'2'-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=x x x x x y ． (15))'(sin )sin 2(22ln )'(sin 22ln '22sin 2sinx x x y x x⋅⋅⋅=⋅⋅=x x x x x 2sin 22ln cos )sin 2(22ln 22sin sin ⋅=⋅⋅⋅=．(16)x xx x x x x y 4csc 42cos 2sin 2)]2(sec 2[2tan 1)'2(tan 2tan 1'2==⋅=⋅=．(17)x x x x x y 6sin 3)3cos 3()3sin(2)'3(sin 3sin 2'=⋅=⋅=． (18)())'12(sin sin '21212'12122222++⋅⋅-=⋅-=++++++++x x e ee ey x xx x x xx x121212122222sin )1(2)22(sin +++++++++-=+⋅⋅-=x xx xx xx xe e x x e e ．3 (1) 由于()22222)21(2)('22'x x x x xe x e x ee x ex f ------=-=⋅+=，因此1)21()0('022=-==-x xe xf ．(2) 由于()xx x x xx x f 42ln 214)44(ln 4)('2⋅-=⋅⋅-=，因此142ln 21)1('=⋅-=x x x f42ln 21-=． (3) 由于2tan42sec 2sec 212tan 212tan 2tan 21)('22'xxx x x x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=，因此 2122tan42sec 2'2===⎪⎭⎫ ⎝⎛ππx x xf ． (4) 由于()'22221)('ax x ax x x f -+⋅-+=222222111ax a x xa x x -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-+=，因此aax a x a f 3321)2('22==-=． 4 (1)[])('3)'()(')(3233'3x f x x x f x f dxdy=⋅==． (2) [])'(cos )(cos ')'(sin )(sin ')(cos )(sin 2222'22x x f x x f x f x f dxdy⋅+⋅=+= )sin cos 2()(cos ')cos sin 2()(sin '22x x x f x x x f -⋅+⋅=)](cos ')(sin '[2sin 22x f x f x -⋅=．(3)[])(')()'()(')(1'e x e x e x e x e x x e f ex e x e x e f x e f dxdy+⋅+=+⋅+=+=-． (4) [][][]')()('')()()()(x f x x f x x f x e e f e e f e e f dxdy+== )()()()(')('x f x x f x x e e f x f e e f e +=．。

高等数学测试及答案(第二章)

高等数学测试及答案(第二章)

【解析】 .
20.设 ，求 .
【解析】因为 ，
所以 .
21.设
【解析】对等式两边同时求微分，可得， ，
即 ，故 .
22.（8分）求曲线 在 处的切线方程和法线方程
【解析】因为 ，所以 .当 时，x= ， ， .
.
23.求由方程 所确定的隐函数 的二阶导数
【解析】对x求导，可得， ，即 .
再对x求导，得 .
24.设函数 ，适当选择 的值，使得 在 处可导
【解析】因为 在 处可导，则 ， .即 .
又知 ， ，即 .
25.若 ，其中 为可微函数，求
【解析】因为 ，对x求导可得， ，即 .
四.证明题
26.设 在点 处连续，且 (A为常数)，证明 在点 处可导.
【证明】因为 ，则 .又因为 在点 处连续，所以 .于是 ,故 在点 处可导，且 .
高பைடு நூலகம்数学测试（第二章）
一．选择题（每小题２分，共20分）
1．设函数 在 处（）A．不连续B．连续但不可导C．可导D．可微
2．设函数 在 处可导，且 ，则 等于（）A．1 B． C． D．
3．设函数 在点 处可导，则 等于（）
A．0B． C． D．
4．设 ， ，则 （）
A． B． C． D．
5．设函数 在 内可导，则下列结论中正确的是（）
23.（5分）求由方程 所确定的隐函数 的二阶导数 .
24.（7分）设函数 ，适当选择 的值，使得 在 处可导.
25.（8分）若 ，其中 为可微函数，求 .
四.证明题（共10分）
26.（10分）设 在点 处连续，且 (A为常数)，证明 在点 处可导.
答案：
一.选择题1—5 BBCCA 6—10BBCAD
大学高等数学基础教材答案

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大学高等数学基础教材答案（字数：1631）第一章：函数与极限1. 函数与映射1.1 函数定义与性质1.2 函数的四则运算1.3 反函数与复合函数2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 极限存在的判定定理2.3 极限的性质与四则运算2.4 极限存在的唯一性3. 极限运算法则3.1 数列极限的性质3.2 函数极限的性质3.3 极限运算法则第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质1.1 导数定义1.2 导数存在的条件1.3 函数可导的判定定理2. 导数运算法则2.1 基本导数运算法则2.2 高阶导数与Leibniz公式3. 高阶导数与隐函数求导3.1 高阶导数定义与性质3.2 隐函数求导原理第三章：微分中值定理及其应用1. 微分中值定理1.1 罗尔中值定理1.2 拉格朗日中值定理1.3 柯西中值定理2. 函数的极值与最值2.1 函数极值的判定定理2.2 求解函数最值的方法3. 函数图形的简单性质与描绘 3.1 函数的对称轴与奇偶性3.2 函数的图像描绘第四章：不定积分1. 不定积分的定义与性质1.1 不定积分的定义1.2 不定积分的基本性质2. 基本不定积分与换元积分法 2.1 基本不定积分表2.2 第一换元法2.3 第二换元法3. 分部积分法与有理函数的积分 3.1 分部积分法3.2 有理函数的积分第五章：定积分1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的基本性质1.3 可积函数与Riemann积分2. 定积分计算方法2.1 基本积分公式2.2 定积分的几何应用3. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的换元法 3.1 牛顿-莱布尼茨公式3.2 定积分的换元法第六章：微分方程1. 微分方程的基本概念1.1 微分方程的定义与解1.2 微分方程的阶与类型2. 可分离变量的微分方程2.1 可分离变量的微分方程解法2.2 可分离变量的应用3. 一阶线性微分方程3.1 一阶线性微分方程解法3.2 一阶线性微分方程的应用第七章：级数1. 级数的定义及基本性质1.1 级数的定义1.2 级数的基本性质1.3 级数的敛散性判定2. 收敛级数的性质与判别法2.1 收敛级数性质2.2 正项级数判别法2.3 任意项级数判别法3. 幂级数3.1 幂级数的性质3.2 幂级数的收敛半径以上是大学高等数学基础教材的答案，希望对你的学习有所帮助。