美式看跌期权定价的二叉树方法中的几个不等式

美式看跌期权定价的数值解法美式期权定价通常采用数值方法，包括二叉树法、有限差分法和monte carlo模拟法。

其中，二叉树法和有限差分法都属于逆向求解的方法，可以求出美式期权的最优执行时刻以及价格，但对于路径依赖期权和具有多标的资产的期权，这两种方法受到了限制。

monte carlo模拟方法的原理虽然是正向求解，但20世纪90年代以来，学者们通过将树图分析技术以及动态规划原理引入monte carlo模拟中，已经实现了美式期权的monte carlo模拟定价。

本文首先介绍了lsm方法的理论框架和基本原理，其次以单一标的资产的美式看跌期权为例，给出了具体的算法实现步骤以及matlab 程序，最后通过一个实例说明lsm方法的可行性及优缺点。

一.lsm方法的理论框架和基本原理为模拟美式期权定价，首先设立以下基本假定：标的资产价格演化过程遵循几何布朗运动市场是无摩擦；无风险利率r为固定的常数。

为简化计算，将期权的有效期[0，t]均分为个子区间，这样期权只可能在n+1个交易时点行权：0=t0<t1<t2<……<tn=t。

在t时刻前的某一可能执行点tn时刻，若立即行权，期权价值即执行期权获得的收益现金流max（k-st，0），是已知的；若继续持有，期权价值即为继续持有该期权的期望收益它是个条件期望，依赖于下一时点期权决策的价值，需逆向求解，这是一般的monte carlo模拟法无法做到的。

然而通过实证研究发现，只要标的资产价格过程具有马尔科夫性，拟合的条件期望函数可用多个不同阶的拉格朗日多项式线性组合而成，根据标的变量个数的不同，选择不同个数的多项式的线性组合。

因此，我们将所有（m条）样本路径在时点tn的价格stn和stn2为解释变量，将对应样本路径上的期望收益作为被解释变量，建立如下线性回归模型：将各个资产价格样本路径带入到回归方程，就可得到期权在各个时点继续持有的价值无偏估计。

二叉树定价模型期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。

本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。

8.1一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。

例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。

在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。

由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。

这是最简单的二叉树模型。

一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。

经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。

我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。

为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。

构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。

如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。

根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。

在这种情况下，该组合是无风险的。

以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为 ,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。

期权定价公式的二叉树推导与分析期权作为金融衍生品的重要组成部分，对于投资者和风险管理师来说具有重要意义。

期权的价值取决于多种因素，包括标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率、波动率等。

期权的定价是金融领域的一个重要问题，准确的期权定价可以帮助投资者更好地进行投资决策和风险管理。

本文将介绍期权的定价公式，并通过二叉树的方法推导期权的价格，最后对各种情况下期权定价的计算方法与特点进行分析。

期权的定价公式是由费雪·布莱克、迈伦·斯科尔斯和罗伯特·默顿提出的布莱克-斯科尔斯模型。

该模型基于一些假设，例如无摩擦市场、无套利机会等，通过 Black-Scholes方程求解期权的定价。

具体公式如下：C = SₐN(d1) - XₐN(d2)其中， C为期权的公允价值； Sₐ为标的资产当前的价格； Xₐ为期权的行权价格； N(d1)和 N(d2)分别为正态分布变量的累积分布函数；d1和 d2分别为： d1 = (ln(Sₐ/Xₐ) + (r + σ²/2)T) / (σ√T) d2 = d1 - σ√T T为期权的剩余到期时间，以年为单位； r为无风险利率；σ为标的资产的年波动率。

二叉树方法是一种常用的期权定价模型，它可以用来推导期权的预期价格。

二叉树方法的思路是将期权的到期时间划分为若干个时间段，并假设标的资产在每个时间段内只有两种可能的价格，即上涨或下跌。

基于这个假设，我们可以构建一个二叉树来描述标的资产的价格变动情况。

假设初始时刻为 t0，标的资产的价格为 S0，行权价格为 X。

在每个时间段Δt内，标的资产的价格有两种可能的变化：上涨到 Su = S0 × u，或者下跌到 Sd = S0 × d，其中 u > 1，d < 1，u和 d分别为标的资产的上涨和下跌因子。

假设该期权的剩余到期时间为 T，共分为 n个时间段。

那么在 t0时，该期权的预期价格为：C0 = ∑CN(d1, d2, u, d) × (u × S0 - X)^+ ×Δt其中， N(d1, d2, u, d)为风险中性概率； (u × S0 - X)^+表示当标的资产价格上涨时，取 u × S0 - X，否则取 0；Δt为每个时间段的时间长度。

期货投资分析知识点：二叉树模型2017年期货投资分析知识点：二叉树模型导语：完全二叉树是效率很高的数据结构，堆是一种完全二叉树或者近似完全二叉树，所以效率极高，像十分常用的排序算法。

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1.二叉树模型概述二叉树期权定价模型由考克斯(J.C.Cox)、罗斯(S.A.Ross)、鲁宾斯坦(M.Rubinstein)和夏普(Sharpe)等人提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。

其优点在于比较直观简单，不需要太多数学知识就可以加以应用。

二叉树期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。

二叉树期权定价模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。

对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。

2.单步二叉树模型假定股票在0时刻的价格(当前价格)为So，计算以此股票为标的'资产、到期日为T执行价格为K的看涨期权的当前价格。

假设T时刻，股票的价格变化只有两种可能：或者上涨到uSo(u>1)，此时期权价值为Cu=Max(0，uSo-K);或者下跌到dSo(d<1)，对应的期权价值为Cd=Max(0，dSo-K)。

3.两步二叉树模型总时间段分为两个时间间隔。

期权期限为2T，在第一个时间间隔末T时刻，股票价格仍以“或d的比例上涨或下跌。

如果其他条件不变，则在2T时刻，股票有3种可能的价格。

4.多步二叉树模型多步二叉树法与两步二叉树法操作步骤完全相同。

当步数为n时，nT时刻股票价格共有n+1种可能，故步数比较大时，二叉树法更加接近现实的情形。

【2017年期货投资分析知识点：二叉树模型】。

金融随机分析课程美式期权的二叉树定价1、对于连续随机游走：SdZ Sdt dS σμ+=可以用离散格随机游走模型来表示，即标的资产的价格只在离散时间点t ∆，2t ∆,3t ∆,…,N t ∆取值，t ∆表示很小但非无穷小的时间步长；如果标的资产在时刻m t ∆的价格为m S ，那么在时刻(m+1)t ∆其价格有两种可能的值:)1(>u uS m 和)1(<d dS m ，并且标的资产的价格从m S 上升到m uS 的概率为p 。

2、风险中性假设在风险中性条件下，随机微分方程：SdZ Sdt dS σμ+=其中的μ可以用r 来表示。

即SdZ rSdt dS σ+=风险中性条件下，在时刻m t ∆衍生证券的价格m V 是其在时刻(m+1)t ∆的期望值按照无风险利率r 贴现所得到的，即][1+∆-=m t r m V e E V 。

3、期权的计算期权的计算是从二叉树图的末端（时刻T ）开始向后倒退进行的。

T 时刻期权的价值N n V 已知。

对于一个看涨期权来说，有)0,max (K S V N n N n -=对于一个看跌期权来说，有)0,max (N n N n S K V -=其中，n=0,1,2,…,N, K 为执行价格。

在风险中性条件下，t T ∆-时刻的每个结点上的期权值都可以用T 时刻期权价值的期望值在时间t ∆内用利率r 贴现求出；同理，t T ∆-2时刻的每个结点的期权值可以用t T ∆-时刻的期望值在t ∆时间内用利率r 贴现求出，其它结点依次类推。

而如果对于美式期权，必须检查二叉树图的每个结点，以确定提前执行是否比继续持有t ∆时间更为有利。

最后，向后倒推通过所有结点就求出了当前时刻的期权价值0V 。

下面对美式期权定价问题进行研究：美式看涨期权被提前执行时，其内涵价值为)0,max (K S V m n m n -=n=0,1,2,…,m对于看跌期权来说，有)0,max (m n m n S K V -=n=0,1,2,…,m在m t ∆时刻从节点(m,n)向(m+1)t ∆时刻的结点(m+1,n+1)移动的概率为p ；向(m+1)t ∆时刻的结点(m+1,n)移动的概率为1-p 。

美式期权价格公式美式期权是一种可以在到期日前任意时间行使的期权合约，与欧式期权相比，具有更高的灵活性。

因此，为了计算美式期权的价格，我们需要使用不同的公式。

美式期权的价格可以通过两种方法进行计算：理论定价方法和模拟方法。

下面我们将介绍具体的美式期权定价公式，包括Black-Scholes期权定价模型、树模型（二叉树和三叉树）和蒙特卡洛模拟方法。

1. Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是最常见的对欧式期权进行定价的模型。

然而，对于美式期权，Black-Scholes模型并不适用。

美式期权的特点是可以在到期日前任意时间行使，因此在到期前，股价可能会有剧烈波动。

这种情况下，使用Black-Scholes模型来计算美式期权的价格会导致低估。

2.树模型（二叉树和三叉树）树模型是一种常用的计算美式期权价格的方法。

树模型基于假设股价会按照指数过程增长，并根据风险中性概率构建一个期权价格的二叉或三叉树。

对于二叉树模型，可以根据不同的参数（股价、期权价格、无风险利率等）构建一棵二叉树，并通过回溯计算每个节点的期权价格。

通过比较每个节点的预期回报和早期执行的收益，可以决定何时行使期权。

类似地，三叉树模型也是一种计算美式期权价格的有效方法。

三叉树模型在二叉树模型的基础上增加了一个附加节点，使得股价有三种可能的变动。

这样可以更准确地估计股价的变动范围，提高美式期权价格的准确性。

3.蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的计算美式期权价格的方法。

该方法通过生成大量的随机路径，以确定期权价格的期望值。

在蒙特卡洛模拟中，我们首先需要设定一个股价的路径模型，如几何布朗运动模型。

然后，通过生成多条随机路径，计算每条路径对应的期权价格，并取平均值作为期权价格的估计值。

蒙特卡洛模拟方法的优点在于可以处理复杂的期权合约和多种因素的影响，但由于需要生成大量路径进行模拟，计算速度可能较慢。

期权定价的二叉树模型学习笔记（II）编者按:二叉树模型的第二部分学习笔记中涉及到欧式看涨看跌期权的定价公式和所谓的平价公式,从形式上来看,该公式还不算特别复杂的.由于欧式期权是在到期日时实施期权,因此它相比美式期权(在到期日之前皆可实施)来说还是较为简单的.关于欧式看涨和看跌期权的平价公式,其刻画了两个期权之间的等量关系,往后所要学习到的美式期权则没有类似的平价公式.因此可以说,平价公式是欧式期权所独有的,这也是欧式期权相比美式期权多的一个差异点.笔记后半部分涉及到的鞍和鞍测度等概念,严格来说其实涉及到测度论的知识,因此首先需要了解的是测度的基本概念.引进鞍的一大目的是为了阐述这样一个核心结论:在二叉树模型下,市场的无套利性质与鞍测度之间具有等价性(if and noly if).尽管我们假设市场是无套利的(动态的无套利),然而要想从数学这个视角精细地刻画这点就不得不寻找等价条件.毫无疑问的是,资产定价基本定理为我们揭示了鞍测度与市场无套利之间的微妙联系.二叉树模型的期权价计算Denote .,We consider possible values of option at :.Question:If are given, how can we determineIn particular,Answer:We can determine by us-ing backward induction in the one period and two-state model.Notice that.Meanwhile, we can calculateThen we want to find二叉树模型欧式期权定价公式Define a risk-neural measure :Then,we will getSo that for any ,When ,=0.折现价二叉树模型的平价公式Denote Then the European call option valuation formula isEspecially,when ,,For the binomial tree method,the call-put parity(in discrete form) becomes鞅（Martingale）的概念the bet at game,the next bet.If under the condition that complete information of all previous game are available,the expectation of equals the previous stake i.e.then we say the gamble is fair.In Mathematics, is called -algebra in stochastic theory.Definition1(Martingale):The best sequence that satisfies conditionas a discrete random process,is called a Martingale.Remark:Martingle is often used to refer to a fair gamble.Then，we give mathematical definition of Martingale.Definition1'(Martingale ):A sequence is a Martingale with respect to sequence if for all :••鞅测度Under the risk-neutral measure ,the discount prices of an underlying asset ,as a discrete random process,satisfy the equation:Remark:Hence the discount price sequence of an underlying asset is a martingale.Definition2(Martingale measure):The risk-neutral measure is called the martingale measure.概率测度等价定义Definition3(Equivvalent measure):Probability measure and Probability measure are said to be equivalent if and only if for any probability event (set) there isi.e. the Probability measure and have the same null set.The European option valuation formula under the sense of equivalent Martingale measure ,can be written asEspecially,鞅测度和无套利等价性;用倒向归纳法证明期权不等式Theorem1(The fundamental theorem of asset pricing):If an underlying asset price moves as a binomial tree, there exists an equivalent Martingale measure if and only if the market is arbitrage-free.Dividend-Paying(股息支付):An underlying asset pays dividends in t-wo ways:•Pay dividends discretely at certain times in a year;•Pay dividends continuously at a certain rate.We only consider the continuous model. For studying the continuous Model, there are two reasons.Meanwhile,we meet the example:A company needs to buy Euro at time to pay a German company. To avoid any loss if Euro goes up, the company buys a call option of Euro with Expiration date at rate .How much premium should the company pay?[上文链接]: 期权定价的二叉树模型学习笔记（I）预知后事如何,请听下回分解......。

分析二叉树模型价格问题引言期权定价问题一直是金融研究的热点问题之一,期权的价格受到众多因素的影响,在市场含有不确定因素的环境下,影响期权价格的因素变量不仅仅具有随机性的特点,还存在着模糊的性质[1-2],而模糊理论是处理非随机不确定性的有力工具,模糊理论的研究为期权定价理论提供了新的理论依据,基于此,许多研究者对经典的期权定价模型进行了改进。

Muzzioli等研究了模糊波动率下欧式期权的二叉树定价模型,并以DAX指数期权价格数据进行实证分析。

Yoshida 给出了股票价格的模糊随机过程,在模糊目标下用模糊期望计算出了欧式期权的连续定价模型。

Muzzioli等用三角模糊数代替传统二叉树期权定价模型中相应的参数,从而建立模糊美式期权定价模型。

Yoshida给出了美式看跌期权的离散定价模型。

Wu运用模糊理论对经典的Black-Scholes公式进行了修正,给出了模糊形式下欧式期权定价的Black-Scholes公式。

近年来,国内该领域的研究也有一定的进展,如韩立岩等[6-7]研究了Knight不确定条件下欧式期权的模糊二叉树定价,并对模糊价格进行去模糊化;于孝建则是应用模糊集理论将无风险利率和波动率进行了模糊化得到了美式看跌期权的二叉树模型。

在应用模糊集理论中,选择适当的隶属函数很重要,Bodjanova指出k次抛物型分布模糊数及其中间型的隶属函数能够较好地刻画期权的模糊参数。

本文在已有研究的基础之上,将股票价格的波动率用复杂的抛物型模糊数代替,并推导出模糊风险中性概率,从而建立美式看跌期权的模糊二叉树模型,并得出最优实施时间。

最后利用国内权证市场数据进行实证分析,结果表明所建立的模型对投资者进行投资决策具有指导意义。

1抛物型模糊数模糊集及抛物型模糊数的定义设在论域R上给定了映射μA:R→[0,1]x→μA(x)则称μ确定了R上的一个模糊子集,记为A。

μ称为模糊子集A的隶属函数,若μ从图1可以看出,三角模糊数和梯形模糊数是抛物型模糊数的特殊形式。

美式看跌期权二叉树数值算法比较作者：李畅来源：《商情》2014年第07期【摘要】美式期权的特征赋予其投资者可以选择是否提前执行期权，在什么情况下执行期权便成了主要考虑的问题。

当股票不存在分红时，其他参数均相同，那么美式看涨期权与欧式看涨期权的价值相同，即不存在提前执行。

然而，不付红利的美式看跌期权却可以提前执行。

本文着重分析在为美式看跌期权定价时，二叉树二叉树法中的两种不同的matlab代码的其各自特点。

【关键词】美式看跌期权；二叉树现今金融创新技术日新月异，金融衍生产品无论从种类还是数量上都已经获得了极大的发展，随着“火箭科学家”的加入，产品的独特性与复杂性也越来越高。

但期权依然是其中最基础也是最重要的一种，也依然是学界研究的重点。

期权在风险管理和投资理财等领域有着无可替代的重要作用，获得合理地期权定价就成为发挥其功能的主要前提，由此才能进一步促进全球金融市场的健康与稳定发展。

1973年，Black和Scholes给出了欧式看涨期权的解析价格，用评价公式可以很简单的得到欧式看跌期权的价格，后续研究者进一步推广了BS定价公式，从而使欧式期权的定价问题得以比较完备的解决。

而具有可提前执行特性的美式期权，其定价问题从数学角度看，是一个在随机微分方程下含有自由边界的求值问题，即无法获得封闭解。

在无法获得封闭解的情况下，以二叉树为代表的数值方法为美式期权定价就成了可行之道。

1 二叉树法A针对美式看涨/看跌期权的特点，matlab中的金融工具箱已给出公式——binprice。

输入各参数，可得到股票价格的二叉树路径和相应的期权价格。

针对美式看跌期权，其代码并不复杂，即：（使用CRR模型）function price = Binprice（s0，k，r，T，sigma，n）tt=T/n；u=exp（sigma*sqrt（tt））；d=exp（-sigma*sqrt（tt））；p=（exp（r*tt）-d）/（u-d）；price=zeros（n+1）；price（1，1）=s0；for i=1：n+1；for j=1：n+1；if j>=i；price（i，j）=price（1，1）*u^（j-i）*d^（i-1）；endendendopition=zeros（n+1）；opition（：，n+1）=max（k-price（：，n+1），0）；for j=n：-1：1；for i=1：n；if iopition（i，j）=max（k-price（i，j），exp（-r*tt）*（（1-p）*opition（i+1，j+1）+p*opition（i，j+1）））；endendendopition此种方法的有点在于操作简单，结果明显，并输出了股票价格矩阵，令使用者可以非常直观的美式看跌期权的最佳执行边界。