函数的连续性和间断点ppt课件

41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
函数的连续性和间断点
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。

(1)在x=1处有定义；
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。

第二类间断点
定义
在某点附近，函数至少有一个极 限不存在。
举例
函数$f(x, y) = frac{y}{x}$在点$(0, 0)$处。
分析
在点$(0, 0)$附近，$y$的极限不存 在，因为$x$不能为0。
跳跃间断点
定义
01
在某点附近，函数值的左右极限不相等。
举例
02
函数$f(x, y) = left{ begin{array}{ll} x + y, & x + y > 0 xy, &
连续。这些方法对于理解和分析函数的性质非常有帮助。
03
二元函数的间断点类型
第一类间断点
01
02
03
定义
在某点附近，函数极限都 存在，但在该点函数值不 存在。
举例
函数$f(x, y) = frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + 1}$ 在原点$(0, 0)$处。
分析
在原点附近，函数极限为 0，但原点处函数值不存 在。
二元函数连续性的判定方法
总结词
判断一个二元函数在某点是否连续的方法包括，利用连续性的定义、利用极限的运算法 则和性质、利用复合函数的连续性等。
详细描述
根据连续性的定义，可以通过计算函数在该点的极限值并与该点的函数值进行比较来判 断函数是否连续。此外，可以利用极限的运算法则和性质来判断函数的极限是否存在， 从而判断函数的连续性。对于复合函数，可以利用复合函数的连续性来判断原函数是否
函数间断点的分类
第一类间断点
函数在这一点有确定的左右极限 ，但该点处的函数值可能不存在 。
第二类间断点
函数在这一点没有确定的左右极 限，或者左右极限不相等。

有定义，但 lim f ( x)不存在；
0
x x0
x （3） 虽在
0 有定义，且
lim f ( x)存在，但
x x0
x x 则函数 f ( x)在点 0不连续， 而点 0 称为函数
或间断点。
若函数 f ( x)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 );
f ( x) 的不连续点
5
函数间断点的几种常见类型：
0,
1,
x 1 x 1, x 1
x,
f
(
x
)
0,
x,
x,
x x
1 1
0, x,
x 1
0,
x,
x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
14
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
函数在 x 1处既不左连续，也不右连续。 x 1是跳跃间断点。
x
3
证明：函数
y sin x 是连续函数。
证： 设 x (,),
x x 当 有增量
时，则
y sin( x x) sin x 2sin x cos(x x )
cos x x 1
2
2
2
y sin( x x) sin x 2 sin x .
2
又因为当 0 时， sin
f 1 0 lim 3 x 2 x10
则
x 1是跳跃间断点，属于第一类间断点。
所以 x 0
13
例7 讨论函数 判断其类型。
1 x2n
f ( x) lim
x 的连续性，若有间断点
n 1 x 2n
0,

Thank ou
微积分课件函数的连续性与间断点
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿

在x

2 处, 因为
lim
x2
x2 1 x2 3x 2

所以 x 2 为函数的第二类无穷间断点. 4
m
(2) f (x) ln(1 kx) x , x 0;
解：在
x

0 处,因为
m
lim ln(1 kx) x
x0

lim
x0
ln
1

kx
1
kx

km

1
lim
n 1
x2n x2n
x

0, x,
x 1. x 1
x 1 为分段函数的分段点.
在 x 1点处 : 因为 f (1 ) 1; f (1 ) 1. f (1 ) f (1 )
在 x 1点处 : 因为 f (1 ) 1; f (1 ) 1. f (1 ) f (1 )
f (x) 在 x 3 处右连续.
. 在 x 3 处 f (3 ) lim x 1 f (3); 3 x x3 f (x) 在 x 3 处左连续.
. . y y f (x) 1
x
1
o1
1
3
(第 4 题的函数图形)
5. 下列函数在指出点处间断, 说明这些间断点属于哪一类？如是可去间断
f (0 ) lim x sin 1 1 1.
x0
x
欲使 f (x) 在 x 0 处连续, 应 f (0 ) f (0 ) f (0). k 1.
x, x 1
4.
研究函数
f
(x)


x x
,
； 的连续性, 并画处函数的图形. 1 x 3