初高中数学衔接讲座

1
【例 2】化简： （1） 11 2 18 ． （2） 【例 3】解方程： （1） x 2 5x 1 2x 1 0 ； （2） 2x 4 x 5 1 ；
x2
1 2(0 x 1) ． 2 x
（3） 2x 2 3x 5 2x 2 3x 9 3 0 ． 【例 4】不等式 2 x x 的解集是（ ） ． A． 2 x 1 B． x 2 C． x 1 D． 1 x 2
【高中练习示例】
2x 1 【例 1】判断：函数 f ( x) x 是奇函数还是偶函数。 2 1 2x 1 2x 1 本题的实质是：比较 x 与 x 是相等，还是互为相反数。 2 1 2 1
【高中练习示例】
x2 y2 【例 2】(理科)椭圆 2 1 a ＞ b ＞ 0 与直线 x y 1 交于 P 、 Q 两点， 2 a b
2
【例 2】比较 a b c 与 ab bc ca 的大小．
2 2 2
3 2 【例 3】把多项式 x x 2 x 2 表示成 a( x 1) b( x 1) c( x 1) d 的形式．
3 2
问题 2：对于任意实数 x，下列不等式都成立吗？为什么？
x 2 80x 2010 0
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？
（一）知识方面的衔接
3．分式 【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行 约分和通分，会进行简单的分式加、减、 乘、除运算；会解 可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）； 能确定分式函数的自变量取值范围，并会求出函数值． 【高中】不再学习。高二选修中，有少量分式不等式的学习。 【建议】接触更复杂的分式运算（如分式拆分，分式乘 方）；解可化为一元二次方程的分式方程．
【高中练习示例】
已知动点 P（x,y）满足： ( x 2) y ( x 2) y 6
2 2 2 2
求点 P 的轨迹方程。 本题的实质：化简该方程。
x2 y2 1 ，化简后马上就可以知道，点 P 的轨迹是椭圆。 结果是： 9 5
【高一前应掌握练习】
n 2 n2 4 n 2 n2 4 3 2 (n 2) ． 【例 1】化简： （1） ； （2） ； （3） 2 2 2 3 2 n2 n 4 n2 n 4
选修课程 • 系列1,由2个模块组成(文科)， • 系列2,由3个模块组成(理科), • 系列3,由6个专题组成(高考不考), • 系列4,由10个专题组成(部分内容高考)。
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▲系列1：由2个模块组成(文科) 选修1-1：
常用逻辑用语、 圆锥曲线与方程、 导数及其应用。
选修1-2：
统计案例、 推理与证明、 数系的扩充与复数的引入、框图。
【建议】 1、乘法公式 （1）立方和公式： (a b)(a ab b ) a b ；
2 2 3 3
（2）立方差公式： (a b)(a ab b ) a b ；
2 2 3 3
（3）三数和平方公式：
(a b c) 2 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ac ；
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？
（一）知识方面的衔接
5.二次方程（组） 【初中】会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数 的一元二次方程． 【高中】不再学习。 【建议】（1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别 式判定根的情况；（2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运 用它求含有两根之和、两根之积的代数式的值，还能构造以、为根 的一元二次方程；（3）能解决二元二次方程组的相关问题．
a2 又b 2 2a 1
2
3 c 2 3 a 2
求 a 的取值范围。

1 1 2 5 3 5 6 a2 a 2 2a 2 1 3 4 2 2 2
【高一前应掌握练习】 2x 3 b 【例 1】已知函数 y ． （1）将它化为 y a （a,b 为常数）的形式； x 1 x 1
1 1 且 OP OQ ，其中 O 为坐标原点． （1）求 2 2 的值； （2）若椭圆的离 a b
3 ≤ e ≤ 2 ，求椭圆长轴的取值范围． 3 2 本题第（2）问的实质是：已知
心率 e 满足
1 1 2 =2， a2 b
c2 a2 b2
c2 b2 1 b2 1 1 b2 2 解 2 1 2 1 2 2 , a a 3 a 2 2 a 3
【例 2】解方程
3x 1 x 2 3x 2 1 ； 2 0． 【例 4】解下列不等式： 3 x x 2x 3
问题 3：下列是一个同学觉得比较简单的题，请大家试试，你能全对吗：
1 的范围是 x 1 ③当 x 1 时， 的范围是 x
①当 x 1 时，
；②当 x 1 时，
| x | 2 恰好有三个正整数解，求 a 的取值范围； x a
| x 2 | 2 0 （2）不等式组 的所有解都满足不等式 | x 1 || x a | （a＜1） ，求 a 2 1 x 0
的取值范围．
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？ （一）知识方面的衔接
1．绝对值 绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要 概念之一，贯穿于整个初等数学的始终，并随着知识的发展， 不断深化．2010年广东省的最后一题便是一道绝对值不等式 的问题。 【初中】借助数轴理解绝对值的意义，并会求有理数 的绝对值（绝对值符号内不含字母）． 【高中】含绝对值不等式在选修系列4—5不等式选 讲． 【建议】含字母的绝对值，简单的含绝对值的方程 （不等式）的解法．
x 2 , y2 ）
（1） 若点 C（x,y）是平面 xOy 上的点，试证明 p（A,C）+p（C,B）≥p（A,B） （2） 若平面 xOy 上是否存在点 X（x,y） ，同时满足 ① p（A,C）+p（C,B）=pA,B） ；②p（A,C）= p（C,B） 若存在，请求出。 本题考了： （1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣； （2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣.
（2）画出函数的图象，并说明当 x≥－2 时，y 的取值范围．
p x 2 3x 5 练习：将 y 化为 y mx n 的形式． cx d x 1
1 4x 2 2 1． x2 x 4 x2 1 1 1 【例 3】 （1）已知 a b 0 ，求证： ． （2）已知 x 0 ，求证： x 2 ． x a b
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▲系列4：由10个专题组成。 选修4-1：几何证明选讲。 选修4-2：矩阵与差分。 选修4-3：数列与差分。 选修4-4：坐标系与参数方程。 选修4-5：不等式选讲。 选修4-6：初等数论初步。 选修4-7：优选法与试验设计初步。 选修4-8：统筹法与图论初步。 选修4-9：风险与决策。 选修4-10：开关电路与布尔代数。
2
2
x 2 3x = ( x1 2 ) 2 0 ，（由于 x1 x 2 ，所以不能取等号） 2 4
∴ y1 y 2 0 ，即 y1 y2 ．
【高一前应掌握练习】
【例 1】分解因式：
2 2 2 2 （1） 3x 8 x 3 ；（2） x 5xy 6 y ； （3） 2 x 7 xy 6 y 2 x y 12 ．
【高中练习示例】 问题1： 解不等式|x-1|<|x+3|
【高一前应掌握练习】
【例 1】解关于 x 的不等式：|x－2|＜1. 【例 2】解下列方程或不等式： （1） | x 1| | x 2 | 5 ． （2） | x 1| | x 2 | 5 ．
【例 3】 （1）不等式组
（4）两数和立方公式： (a b) a b 3a b 3ab ；
3 3 3 2 2
（5）两数差立方公式： (a b) a b 3a b 3ab ．
3 3 3 2 2
2、因式分解的新方法： （1）分组分解法；（2）十字相乘法；（3）求根法；（4）待定系数法．
思考：分解因式：x3-3x+2
初高中数学衔接讲座
李光裕
一、高中，我们将要学习哪些内容？
（高中数学课程框架）
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必修模块： 选修系列：
网上可查看所有人教版的教材：/
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必修课程 (包括5个模块)
数学1： 集合、函数概念与基本初等函数I （指数函数、对数函数、幂函数）。 数学2： 立体几何初步、 平面解析几何初步 。 数学3： 算法初步、统计、概率。 数学4： 基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换 数学5： 解三角形、数列、不等式。
1 的范围是 x 1 ；④当 x 1 时， 的范围是 x
； ．
二、初中毕业后，我们需要衔接的是哪些方面？
（一）知识方面的衔接
4．二次根式 高中阶段，我们在学习函数、解析几何、数列等内容时，涉及 到大量的与二次根式有关的计算． 【初中】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则， 会用它们进行有关实数的简单四则运算(不要求分母有理化)． 【高中】会学习有理指数幂及运算。 【建议】根据需要，我们应掌握最简二次根式、同类根式的概 念与运用，分子(母)有理化，简单的无理方程（不等式）．
2．整式 整式的变形是重要的代数式的恒等变形，也是高中 数学中极其常见的运算． 【初中】要求了解整式的概念，会进行简单的整式加、 减运算，乘法运算（ 其中的多项式相乘仅指一次式相乘）； 会利用平方差、完全平方公式进行简单计算；会用提公因式 法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数 是正整数）． 【高中】不再学习整式．
3 3
∴ y1 y 2 x1 x2 = ( x1 x2 )(x1 x1 x2 x2 ) ，