全等三角形中的动点问题

数学全等三角形动点问题

数学这东西，听起来就有点让人打哈欠，尤其是当你碰上了全等三角形动点问题的时候，简直让人想直接躲进床底下。不过别担心，今天咱们就来聊聊这个话题，轻松点儿，搞笑点儿，保证让你哈哈大笑，顺便脑袋里也装点儿知识。想象一下，你跟朋友一起去游乐园，前面是个大旋转木马，大家都在排队。这个木马就像一个个三角形，转来转去，根本停不下来。

好啦，先说说全等三角形。全等的意思就是两个三角形一模一样，无论你怎么转、怎么动，都还是那样。就好比双胞胎，真是一看就知道是兄弟姐妹。你要是把这俩三角形放在一起，哦哟，简直就像是复制粘贴，连角度和边长都跟着一模一样。这就有意思了，咱们来设想一下：如果这两个三角形有一个动点，那就像是在给它们穿上舞鞋，在舞池里翩翩起舞。不管怎么转，这舞姿总是那么优雅，简直让人目不暇接。

想象一下这俩三角形之间的关系，简直就是一对恩爱的小情侣。一个在这里，另一个在那儿，距离虽然不变，但感觉就像在做双人舞。它们的边长、角度都保持着一致，这就是全等三角形的神奇之处。想想，如果我们生活中也能有这种“全等”关系，那可真是太好了。每天都可以找一个人一起“相约”，不管走到哪儿都不会迷路，心里总是有一份安全感。

不过，这个动点问题就有点麻烦了。你知道，当一个三角形的某个点动起来的时候，其他的就得跟着动。这就像你在冰箱前，想喝可乐，结果冰箱门关上了，那可真是让人捶心肝。你得想办法把这动点的位置确定下来，不然整个三角形就乱了套，跟着你在厨房里晃悠，根本停不下来。

数学里的动点就像生活中的那些变化一样，让人琢磨不透。你以为这个点在这儿，结果它一下子跑到那边，搞得你摸不着头脑。想想看，谁没有遇到过这种情况呢？就像在约会时，原本想去的餐厅没了位子，你就得随便找个地方，结果最后吃到了你最讨厌的那道菜，真是让人哭笑不得。

再说说这动点问题的性质。这个动点在三角形里游来游去，就像小猫追蝴蝶一样。你永远不知道它下一步会往哪儿去，角度变来变去，让人眼花缭乱。可是，这种变化却是有规律可循的，犹如生活中的风风雨雨，总有一丝希望的光亮在前方等待着你去探索。就像我们追逐梦想一样，不管路途多么曲折，依然会找到属于自己的那份光辉。

全等三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝900，AB=4，AC=10，PQ=BC，P、Q分别在AC和AB的反向延长线上移动，当PC等于多少时，△ABC≌△APQ。

ABCDEF2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝900，AB=6，BC=8，过点C作

CF⊥BC，点D、E分别在BC、CF上移动，且始终保持DE=AC，当CD等于多少时，△ABC与△DCE全等。

3.如图，AB=2，BC=5，AB⊥BC于点B，QC⊥BC于点C,点P从点B开始沿射

线BC移动，过点P作PQ⊥PA，交直线L于点Q。

⑴求证：∠A=∠QPC

⑵当点P运动到何处时，PA=PQ，并说明理由。

4、如图，在△ABC中，AB=AC=10厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB 的中点，如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。（1）当点Q的运动速度为与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由。（2）当点Q的运动速度为与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

实际问题与全等三角形

AB1.如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，且A、B两点无法直接到

达，请你用所学过的知识设计一种测量A、B两点距离的方案。

1. 如图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正

常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线。已知D到AE，AC的距离相等，ED=8m,∠AED=∠BCD=50°，求拉线CDE的总长（A、B、C三点在同一直线上，电

线杆、水泥杆的大小忽略不计）

3.如图1所示的是一款家用的垃圾桶，如图2，踏板AB（与地面平行）绕中点P（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保

持AP=A′P，BP=B′P）。通过向下踩踏点A到A′（与地面接触点）使

点B上升到点B′，与此同时传动杆BH运动到B'H'的位置，点H绕固定

F

E E' E

B

D 全等三角形中的动点问题

【例1】

如图所示，在北京某街道的部分示意图， AD 平分BAC ，DE  AB ， DF  AC ，垂足分别是 E、F ，且 BD  CD ，2008 年北京奥运会，熊熊燃烧的奥运圣火在这个城市传递和平、友谊、进步的“和平之旅”.传递路线有两种：

路线一：沿

B



E



D



A

的顺序传递到 A ；

路线二：沿 A

 D

 F

 C

的顺序传递到C .

为了使奥运圣火短笛路线更长，请你判断那条路线最佳，说明你的理由.

AFC

【例2】 如图 1，RtABC 种，ACB  90 ，CD  AB ，垂足为 D ，AF 平分CAB ， 交CD 于点 E ，交CB 于点 F .

（1） 求证： CE  CF ；

（2） 将图 1 中的ADE 沿 AB 向右平移到ADE的位置，使点 E 落在 BC 边上，其他条件不变，如图 2 所示.试猜想：

BE 与CF 有怎样的数量关系？

C C

A D B A

图1 F

E D

Q

P

E A

B

F P C Q E A

Q D A' D' B

图2

【例3】 如图所示，已知ABC 中，B  C ， AB 

AC  10cm ，BC  8cm ，点 D

为

AB

的中点.

（1） 如果点 P 在线段 BC 上以3cm / s 的速度由 B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA

上由C

点向

A

点运动.

①若点Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过1s 后，

BPD 与CQP 是否全等，请说明理由.

②若点Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使

BPD 与CQP 全等？

（2） 若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点 P 以原来的速度从点 B 同时出发，都逆时

针沿ABC 三边运动，求经过多长时间点 P

1

全等三角形中的动点问题 全等三角形的判断与定义

1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

2.判定：

(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)

(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

3.性质：

(1)全等三角形的对应角相等。

(2)全等三角形的对应边相等。

(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。

(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。

(5)全等三角形的对应边上的中线相等。

(6)全等三角形面积相等。

(7)全等三角形周长相等。

(8)全等三角形的对应角的三角函数值相等。

1、如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．

(1)求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC；

(2)当取何值时，△DFE与△DMG全等；

(3)在(2)的前提下，若，，求S△BFD．

（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，