三角形全等之动点问题

1全等三角形中的动态问题解决动点问题的常见思路：1、注意分类讨论；2、仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3、利用速度×时间表示处相应线段或边的长度，列出方程求解。例1如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动多少秒时，△DEB与△BCA全等。例2已知，如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC—CD—DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为何值时，△ABP与△DCE全等。

2练习：1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7厘米，BC=3厘米，CD为AB边上的高，点E从点B出发沿直线BC以2厘米/秒的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F。（1）证明：∠A=∠BCD；（2）当点E运动多长时间时，CF=AB。请说明理由。2、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m），B（n，0），且｜m−n−3｜+2n−6=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒。（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用含t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

3例3如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，∠ACE=90°，且AC=5cm，CE=6cm，点P以2cm/s的速度沿A—C—E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始在线段EC上往返运动，当点P到达终点时，P、Q同时停止运动。过P、Q分别作BD的垂线，垂足为M、N，设运动时间为ts。求t为何值时，以P、C、M为顶点的三角形与△QCN全等。练习：1、如图，在四边形ABCD中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C—B—C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动。（1）证明：AD//BC；（2）在移动过程中，当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等，请求出点G的运动速度。

全等三角形动点

全等三角形动点问题，这可是中学数学里的一个“小调皮”，常常让同学们又爱又恨。

记得我曾经教过一个班，有个叫小李的同学，他在面对全等三角形动点问题时，那叫一个头疼。每次看到这类题目，他的眉头就皱得能夹死一只苍蝇。

全等三角形动点问题，简单来说，就是在三角形中，有一个或多个点在按照一定的规律移动，然后让我们去探究在这个移动过程中，三角形的全等情况或者相关线段、角度的变化。这就好像是一场三角形的“追逐游戏”，点在跑，我们得努力追上它的脚步，搞清楚它的行踪。

比如说，有这样一道题：在三角形 ABC 中，AB ＝ AC，点 D 在

BC 边上从 B 向 C 移动，速度为每秒 1 个单位长度。问在什么时刻，三角形 ABD 和三角形 ACD 全等。这时候，我们就得先看看这两个三角形已经有哪些条件是相等的，因为 AB ＝ AC ，AD 是公共边，所以只需要 BD ＝ CD 时，这两个三角形就全等啦。那根据点 D 的移动速度，就能算出时间。

再比如，有一个直角三角形 ABC，∠C ＝ 90°，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 边以每秒 2 厘米的速度移动，同时点 Q 从 B 点出发，沿着

BC 边以每秒 1 厘米的速度移动。问经过多少秒，三角形 PCQ 与三角形 ABC 全等。这可就有点复杂啦，我们得分别考虑两种情况，一种是当 CP ＝ CA ，CQ ＝ CB 时，另一种是当 CP ＝ CB ，CQ ＝ CA 时。然后根据它们的移动速度和距离关系，列出方程来求解。

解决全等三角形动点问题，关键是要抓住“全等”的条件。就像抓小偷一样，得先知道小偷的特征，才能把他抓住。我们要仔细观察题目中给出的条件，看看哪些边相等，哪些角相等，然后根据点的移动情况，找出变化中的不变量。

还有一次课堂练习，大部分同学都被一道动点题难住了。题目是这样的：在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 上，BE ＝

全等三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝900，AB=4，AC=10，PQ=BC，P、Q分别在AC和AB的反向延长线上移动，当PC等于多少时，△ABC≌△APQ。

ABCDEF2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝900，AB=6，BC=8，过点C作

CF⊥BC，点D、E分别在BC、CF上移动，且始终保持DE=AC，当CD等于多少时，△ABC与△DCE全等。

3.如图，AB=2，BC=5，AB⊥BC于点B，QC⊥BC于点C,点P从点B开始沿射

线BC移动，过点P作PQ⊥PA，交直线L于点Q。

⑴求证：∠A=∠QPC

⑵当点P运动到何处时，PA=PQ，并说明理由。

4、如图，在△ABC中，AB=AC=10厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB 的中点，如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。（1）当点Q的运动速度为与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由。（2）当点Q的运动速度为与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

实际问题与全等三角形

AB1.如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，且A、B两点无法直接到

达，请你用所学过的知识设计一种测量A、B两点距离的方案。

1. 如图，AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正

常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线。已知D到AE，AC的距离相等，ED=8m,∠AED=∠BCD=50°，求拉线CDE的总长（A、B、C三点在同一直线上，电

线杆、水泥杆的大小忽略不计）

3.如图1所示的是一款家用的垃圾桶，如图2，踏板AB（与地面平行）绕中点P（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保

持AP=A′P，BP=B′P）。通过向下踩踏点A到A′（与地面接触点）使

点B上升到点B′，与此同时传动杆BH运动到B'H'的位置，点H绕固定

初一数学

全等三角形之动点问题专题（B类）

一、考点、热点回顾

动点型问题是近年来中考的一个热点问题。动态几何问题就是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等，对运动变化过程伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究。动点型问题集几何与代数知识于一体,数形结合,有较强的综合性,题目灵活多变,动中有静,动静结合,能够在运动变化中发展学生空间想象能力,综合分析能力。

《等边三角形中的动点问题》是首先从三角形一边上的单动点运动，引起三角形的边与角的变化，判断三角形的形状变化；其次探讨三角形两边上的双动点运动，引起三角形的角与边的变化，再从在三角边上运动到三角形的边的延长线上运动，由三角形的形状探究到三角形的面积的探究等。本设计是以等边三角形为主线，点的运动引起边、角的变化，三角形的形状的判断及三角形面积的大小，抓住图形中“变”和“不变”，以“不变的”来解决“变”，以达到“以静制动”，变“动态问题”为“静态问题”来解。对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的培养和提高有着积极的促进作用。

本节课的教学设计，注意到了问题的层次性，由浅入深，由简单到复杂，从给定结论到结论开放，以等边三角形为载体，动点在三角形的边、延长线上运动等问题串的形式，层层递进，环环相扣，让不同的学生都有收收获，有所成功，

还体现出了分类讨论、等积变换、三角函数等思想方法。

二、典型例题

1、单动点问题

引例：已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形.

动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动.

设点P的运动时间为（s），那么t=____时，△PBC是直角

三角形？

2、双动点问题

引例：已知，如图△ABC是边长3cm的等边三角形. 动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发. 设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形?