【解析】四川省石室中学2017-2018学年高二上学期半期考试数学(理)试题 Word版含解析

四川省成都市石室中学2017—2018学年高二上期期中考试

数学试题（理科）

1. 若抛物线的准线方程为，焦点坐标为，则抛物线的方程是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】 根据题意，可设抛物线的方程为，

因为其准线方程为，焦点坐标为，

解得，所以抛物线的方程为，故选D．

2. 命题“，”的否定是（ ）

A. ， B. ，

C. ， D. 不存在，

【答案】A

【解析】 因为命题“ ，”是特称命题，

所以特称命题的否定是全称命题，得“ ，”的否定是：“

，”，故选A．

3. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则椭圆的方程为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】解：由椭圆图象可知，

...........................

根据三角形面积公式，

故选B 4. 与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】 由题意得，因为双曲线有共同的渐近线，且过点，

所以设双曲线的方程为，

把点代入，得，

所以双曲线的方程为，故选D．

5. 三棱锥中，点，分别在，上，且，，则（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】，，故选B.

6. 将曲线按：变换后的曲线的参数方程为（ ） A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由变换：可得：,代入曲线可得：，

即为：令 (θ为参数)即可得出参数方程。

故选：D.

7. 设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】设点在x轴上方,坐标为，

∵为等腰直角三角形

∴||=||,即=2c,即

故椭圆的离心率e=.

故选C.

8. 如图是一几何体的平面展开图，其中为正方形，，分别为，的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线与直线异面；②直线与直线异面；③直线平面；④平面平面．

其中一定正确的选项是（ ）

A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ①③④

【答案】B

【解析】 如图所示：

①连接，则分别为的中点，所以，所以，

所以共面，所以直线与不是异面直线，所以错误；

②因为平面平面平面，

所以直线与直线是异面直线，所以是正确的；

③由①知，因为平面平面，所以直线平面，所以正确；

④假设平面平面，过点作分别交于点，在 上取一点，连接，所以，又，所以．

若时，必然平面与平面不垂直，所以不正确，故选B．

9. 椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，那么的值是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意知F1（﹣2，0），F2（2，0），

解方程组，得．

取P点坐标为，，， cos∠F1PF2==．

故选A．

10. “”是“对任意的正数，”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】分析：根据基本不等式，我们可以判断出“”?“对任意的正数x，2x+≥1”与“对任意的正数x，2x+≥1”?“a=

”真假，进而根据充要条件的定义，即可得到结论．

解答：解：当“a=”时，由基本不等式可得：

“对任意的正数x，2x+≥1”一定成立，

即“a=”?“对任意的正数x，2x+≥1”为真命题；

而“对任意的正数x，2x+≥1的”时，可得“a≥”

即“对任意的正数x，2x+≥1”?“a=”为假命题；

故“a=”是“对任意的正数x，2x+≥1的”充分不必要条件

故选A

视频

11. 如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，

，，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

以B为坐标原点,分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴,

建立空间直角坐标系，

则，

∴

设平面BED的一个法向量为，

则，

取z=1,得，

平面ABE的法向量为，

∴.

∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为.

故选B.

点睛：用向量法求二面角大小的两种方法：

（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；

12. 点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么实数的值是（ ）

A. B. C. 或 D. 或 【答案】D

【解析】试题分析：由题意知在抛物线上，设，则有，化简得，当时，符合题意；当时，，有，，则，所以选D．

考点：1、点到直线的距离公式；2、抛物线的性质．

【方法点睛】本题考查抛物线的概念、性质以及数形结合思想，属于中档题，到点和直线的距离相等，则的轨迹是抛物线，再由直线与抛物线的位置关系可求；抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化，如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线的定义就能解决．

13. 在极坐标系中，已知两点，，则，两点间的距离为__________．

【答案】4

【解析】两点，，在同一条直线上，

点在第四象限，点在第二象限.

所以.

答案为：4.

14. 若，，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【解析】当m=0时，符合题意。

当m≠0时,，则0

则0⩽m<4

答案为：.

点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上大于0的恒成立问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究： 一是，开口；

二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；

三是，判别式，决定于x轴的交点个数；

四是，区间端点值.

15. 已知椭圆：的右焦点为，为直线上一点，线段交于点，若，则__________．

【答案】

【解析】

由条件椭圆：∴

椭圆的右焦点为F,可知F(1,0)，

设点A的坐标为（2，m），则=（1，m），

∴，

∴点B的坐标为，

∵点B在椭圆C上，

∴，解得：m=1，

∴点A的坐标为（2，1），.

答案为：.

16. 四棱锥中，面，是平行四边形，，，点为棱的中点，点在棱上，且，平面与交于点，则异面直线与所成角的正切值为__________． 【答案】

【解析】

延长交的延长线与点Q，连接QE交PA于点K，设QA=x，

由，得，则，所以.

取的中点为M,连接EM，则，

所以，则，所以AK=.

由AD//BC，得异面直线与所成角即为,

则异面直线与所成角的正切值为.

17. 在极坐标系中，极点为，已知曲线：与曲线：交于不同的两点，．

（1）求的值；

（2）求过点且与直线平行的直线的极坐标方程．

【答案】（1）．（2）．

【解析】试题分析：（1）把曲线C1和曲线C2的方程化为直角坐标方程，他们分别表示一个圆和一条直线．利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d的值，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．

（2）用待定系数法求得直线l的方程为直线l的方程，再根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求得l的极坐标方程

试题解析：

（1）∵，∴，

又∵，可得,∴，

圆心(0,0)到直线的距离为

∴．

（2）∵曲线的斜率为1，∴过点且与曲线平行的直线的直角坐标方程为， ∴直线的极坐标为，即．

18. 已知命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线．

（1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）．（2）．

【解析】试题分析：

先由命题解得；命题得，

（1）当，得命题，再由为真，得真且真，即可求解的取值范围．

（2）由是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，根据则 ，即可求解实数的取值范围．

试题解析：

命题：由题得，又，解得；

命题：，解得．

（1）若，命题为真时，，

当为真，则真且真，

∴解得的取值范围是．

（2）是的充分不必要条件，则是的充分必要条件，

设，，则 ；

∴∴实数的取值范围是．

19. 已知抛物线顶点在原点，焦点在轴上，又知此抛物线上一点到焦点的距离为6．

（1）求此抛物线的方程；

（2）若此抛物线方程与直线相交于不同的两点、，且中点横坐标为2，求的值．

【答案】（1）．（2）2．

【解析】试题分析：

（1）由题意设抛物线方程为，则准线方程为，解得，即可求解抛物线的方程； （2）由消去得，根据，解得且，得到，即可求解的值．

试题解析：

（1）由题意设抛物线方程为（），其准线方程为，

∵到焦点的距离等于到其准线的距离，∴，∴，

∴此抛物线的方程为．

（2）由消去得，

∵直线与抛物线相交于不同两点、，则有

解得且，

由，解得或（舍去）．

∴所求的值为2．

20. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，，分别为，的中点，点在线段上．

（1）求证：平面；

（2）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．

【答案】（1）证明见解析（2）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）在平行四边形中，由条件可得，进而可得。由侧面底面，得底面，故得，所以可证得平面．（Ⅱ）先证明平面平面，由面面平行的性质可得平面．（Ⅲ）建立空间直角坐标系，通过求出平面