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完全弹性碰撞-讲义

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第3章第3讲 碰撞 能量守恒 质心运动定律

第3章第3讲 碰撞 能量守恒 质心运动定律
v1 v2
m1 em2 v10 (1 e )m2v 20 m2 em1 v 20 (1 e )m1v10
m1 m2 m1 m2
非完全弹性碰撞：
e=1， v2-v1 = v10-v20 0<e<1（由实验确定）
例题 如图所示，质量为1 kg的钢球， 系在长为l=0.8 m的绳子的一端，绳子 的另一端固定。把绳子拉至水平位置 后将球由静止释放，球在最低点与质 量为5 kg的钢块作完全弹性碰撞。求碰 撞后钢球升高的高度。 解 本题分三个过程： 第一过程：钢球下落到最低点。以钢球和地球为系 统，机械能守恒。以钢球在最低点为重力势能零点。 1 2 mv 0 mgl (1) 2 第二过程：钢球与钢块作完全弹性碰撞，以钢球 和钢块为系统，动能和动量守恒。
1 碰撞定律 恢复系数 牛顿提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速度v2-v1 与碰撞前两球的接近速度v10-v20之比为以定值，比值 由两球材料的性质决定，并把该比值称为恢复系数。
v 2 v1 e v10 v 20
完全非弹性碰撞： 完全弹性碰撞：
e=0，v2=v1
由上式和动量守恒定律可 得撞后物体的速度
第四，从本质上看： 守恒定律揭示了自然界普遍的属性——对称性。 每一个守恒定律都相应于一种对称性（变换不变性）：
动量守恒相应于空间平移的对称性； 能量守恒相应于时间平移的对称性； 角动量守恒相应于空间转动的对称性。 ……
§3-9 质心 质心运动定律
一 质心概念
1 引入
水平上抛三角板
运动员跳水
投掷手榴弹
mi ri
i
dt
质心运动定律：作用在系统上的合外力等于系 统的总质量与系统质心加速度的乘积。

3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞

3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
第三章 动量守恒和能量守恒
1
物理学
第五版
3-7 完全弹性三章 动量守恒和能量守恒
2
物理学
第五版
3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
第三章 动量守恒和能量守恒
3
物理学
第五版
3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
碰撞
1.一般情况碰撞
ex in F F pi C
i
2.完全弹性碰撞：碰撞前后两物体总动能没有损失。
系统内动量和机械能均守恒。
3.非弹性碰撞：碰撞前后两物体总动能有损失。
系统内动量守恒，机械能不守恒。
4.完全非弹性碰撞：两个物体碰撞后不再分开。 系统内动量守恒，机械能不守恒,损失达到最大。

7完全弹性碰撞完全非弹性碰撞

7完全弹性碰撞完全非弹性碰撞
碰撞后两物体以同一速度运动，这种碰撞称为 完全非弹性碰撞，这种碰撞过程中两物体的动能之 和减少最多。
三、完全弹性碰撞后的速度
m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
1 2
m1v120
1 2
m2v220
1 2
m1v12
1 2
m2v22
3-7 完全弹性碰撞
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讨论
v1
(m1
m2 )v10 m1 m2
1 2m1v120来自1 2m2v220
1 2
m1v12
1 2
m2v22
2、非弹性碰撞（inelastic collision）：
碰撞后两物体的机械能（动能）之和减少，这 种碰撞称为非弹性碰撞。
3-7 完全弹性碰撞
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3、完全非弹性碰撞（perfect inelastic collision）
3-7 完全弹性碰撞
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一、碰撞过程系统动量的变化
碰撞过程系统动量守恒：
m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
3-7 完全弹性碰撞
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二、碰撞过程系统的动能的变化
1、完全弹性碰撞（perfect elastic collision）
碰撞后两物体的机械能（动能）之和完全没 有损失，这种碰撞称完全弹性碰撞。
2m2v20
v2
(m2
m1)v20 m1 m2
2m1v10
1. 当m1=m2时， 则 质量相等的两个质点在碰撞中交换彼此的速度。
2. 若v20=0，且 m2>>m1，则 质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后，
调转运动方向，而质量很大的质点几乎保持不动。

3_7完全弹性碰撞_完全非弹性碰撞

3_7完全弹性碰撞_完全非弹性碰撞

m
v
m0 1 2 v=( ) v0 2 ρ Sv 0t + m 0
3–7完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 7
碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大 的相互作用 .
∵F
ex
<< F
in
∴ ∑ pi = C
i
机械能守恒。两物体碰撞之后， 完全弹性碰撞 机械能守恒。两物体碰撞之后， 它们的动能之和不变 . Ek = Ek1 + Ek 2 = C 非弹性碰撞 由于非保守力的作用 ，两物体碰撞 后，使机械能转换为热能、声能，化学能等其他形式 使机械能转换为热能、声能， 的能量 . 两物体碰撞后,以同一速度运动 完全非弹性碰撞 两物体碰撞后 以同一速度运动 . 机械能损失最大. 机械能损失最大
3–7完全弹性碰Βιβλιοθήκη 完全非弹性碰撞 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 7
例 1 设有两个质量分别为m1和 m2 ,速度分别为 v10 速度分别为 两球的速度方向相同. 和 v 20 的弹性小球作对心碰撞 , 两球的速度方向相同 若 碰撞是完全弹性的,求碰撞后的速度 碰撞是完全弹性的 求碰撞后的速度 v1和 v 2. 碰前
讨 论
（1）若 ）
A
碰后
B
v1
A
v2
B
m1 = m2 则 v1 = v20 , v2 = v10 （2）若 m2 >> m1 且 v20 = 0 则 v1 ≈ −v10 , v2 ≈ 0 ） （3）若 m2 << m1 且 v = 0 则 v1 ≈ v10 , v2 ≈ 2v10 ） 20
3–7完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 第三章动量守恒定律和能量守恒定律 7

完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞

完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
解 尘埃与飞船作完全 非弹性碰撞, 把它们作为 一个系 统, 则 动量守恒 . 即 得
m0 v0 mv m0 v0 dm dv Svdt 2 v
m
v
3-3(3)完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
已知
m0 , v0 , .
求
v与 t 的关系 .
m
v
m0 v0 解 dm dv Svdt 2 v v dv S t 3 0 dt v0 v m0 v0 m0 12 v( ) v0 2 Sv0t m0
由机械能守恒定律得
m1 v10 m2 v 20 A B
碰后
1 1 1 1 2 2 2 2 m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2 2 2 2 2
v1
B
v2
A
3-3(3)完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
解得
m m1 v10 2 v m1 (v10 v1 ) m2 (v2 v20 ) 20 A B 1 2 1 2 1 2 1 2 m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2 碰后 2 2 2 2 v1 v2 2 2 2 2 m1 (v10 - v1 ) m2 (v2 v20 ) B A
3-3(3)完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
例 2 设有两个质量分别为m1和m2 ,速度分别为 v10 和 v20 的弹性小球作对心碰撞 , 两球的速度方向相同. 若 碰撞是完全弹性的,求碰撞后的速度 v1和 v2.
解 取速度方向为正向，由 动量守恒定律得 碰前
m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2
后，使机械能转换为热能、声能，化学能等其他形式
的能量 .
完全非弹性碰撞 两物体碰撞后,以同一速度运动 .

大学物理3_7完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞

大学物理3_7完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞

m0 v0 m v
3–7完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
m0 v0 m v m0 v0 （1） 由上式求微分可得 dm 2 dv v 在dt时间内， 由于航天器与尘埃作完全非弹性碰撞， 而粘在航天器上的尘埃的质量， dm S vdt 即航天器所增加的质量为 （2）
由（1）和（2）式，可解得
m1 v
1
m2
h
（2）
m1 m2 v1 (2 gh)1 2 m1
若分别测出m1 、m2和h，就可计算出子弹的速率。
3–7完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
例 2 如图所示，设两个质量分别为m1 和m2 ，速度分别 为 v10和 v20的弹性小球作对心碰撞，两球的速度方向相同。 若碰撞是完全弹性的，求碰撞后的速度 v1 和 v2 。 解： 由动量守恒定律，得 碰前 （1） m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2
3–7完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
碰撞： 两物体互相接触时间极短而互作用力较大 的相互作用.
对于碰撞的两个物体组成的系统
ex in F F pi C
i
说明： 从时间看，理想碰撞瞬间结束，
可认为开始与结束是同一瞬间 内力巨大，可不考虑外力，碰撞物体组成的系统动量守恒 碰撞开始与结束是在同一地点，无位移
碰后
v1
B
v2
式（2）可改写为
m1( v - v ) m2 (v - v )
（4）
A
3–7完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 第三章动量守恒定律和能量守恒定律
m1( v10 - v1 ) m2 (v2 v20 ) （3） 2 2 2 2 m1( v10 - v1 ) m2 (v2 - v20 ) （4）
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学科：物理
专题：完全弹性碰撞
完全弹性碰撞
在碰撞过程中，不光遵循动量守恒，而且满足碰撞前后动能总量守恒，这样的碰撞就是我们常说的完全弹性碰撞。

为了研究方便，我们取一动撞一静这一典型情况研究：
2
222112012
21101212121v m v m v m v m v m v m +=+= 完全弹性碰撞的结论是如何导出的? 如何在做题时应用这些结论? 结论推导 题一
题面：质量为m 的小滑块静置于光滑水平面上距左侧墙壁为s 的位置上，另一个质量为M 的小滑块以一定速度在水平面上滑行并与m 发生正碰，如图所示。

已知两小滑块碰撞时以及滑块与墙壁碰撞均无机械能损失，且碰撞时间很短可忽略不计。

（1）若M 的初速度为v ，二者第一次碰撞后，各自的速度多大？
（2）若第一次碰后两小滑块又在距墙壁2/3s 处再次碰撞，求两滑块质量之比m /M 。

题二
题面：质量为m 1的入射粒子与一质量为m 2的静止粒子发生正碰。

已知机械能在碰撞过程有损失，实验中测出了碰撞后第二个粒子的速度为v 2，证明第一个粒子原来速度v 0的值的可能范围为
12
212m m v m +＜v 0≤1221
m m v m +。

关于等质换速的几道有趣的题 题三
题面：如图所示，半径为R 的光滑圆形轨道固定在竖直面内。

小球A 、B 质量分别为m 、βm (β为待定系数)。

A 球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B 球相撞，碰撞后A 、B 球能达到的最大高度均为1/4R ，碰撞中无机械能损失。

重力加速度为g 。

试求： （1）待定系数β；
（2）第一次碰撞刚结束时小球A 、B 各自的速度和B 球对轨道的压力。

课后拓展练习
注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测. 题一
题面：质量为M 的物块以速度v 运动，与质量为m 的静止物块发生正碰，碰撞后两者的动量正好相等，两者质量之比M /m 可能为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
题二
题面：如图所示，一沙袋用轻细绳悬于O 点。

开始时沙袋静止，此后用弹丸以水平速度击中沙袋后均未穿出。

第一粒弹丸的速度为v 1，打入沙袋后二者共同摆动的最大摆角为
30°，当其第一次返回图示位置时，第二粒弹丸以水平速度v 2又击中沙袋，使沙袋向右摆动且最大摆角仍为30°，若弹丸质量是沙袋质量的140，
则以下
结论中正确的是( )
A ．v 1＝v 2
B ．v 1∶v 2＝41∶42
C ．v 1∶v 2＝42∶41
D ．v 1∶v 2＝41∶83 题三
题面：小球A 和B 的质量分别为m A 和m B ，且m A >m B 。

在某高度处将A 和B 先后从静止释放。

小球A 与水平地面碰撞后向上弹回，在释放处下方与释放处距离为H 的地方恰好与正在下落的小球B 发生正碰。

设所有碰撞都是弹性的，碰撞时间极短。

求小球A 、B 碰撞后B 上升的最大高度。

题四
题面：在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。

这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A 和B 用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P ，右边有一小球C 沿轨道以速度v 0射向B 球，如图所示，C 与B 发生碰撞并立即结成一个整体D ，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A 球与挡板P 发生碰撞，碰后A 、D 都静止不动，A 与P 接触而不粘连，过一段时间，实然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A 、B 、C 三球的质量均为m 。

（1）求弹簧长度刚被锁定后，A 球的速度；
（2）求在A 球离开挡板P 之后的运动
过程中，弹簧的最大弹性势能。

讲义参考答案
题一
答案：（1）m M Mv v m +=2 v m
M m M v M +-= （2）
53
=M m 题二 答案：证明略 题三
答案：（1）β=3；（2）A :v 1=-gR 21，方向向左；B :v 2=gR 2
1
，方向向右；4.5mg ，方向竖直向下
课后拓展练习
题一 答案：AB
详解：两物块在碰撞中动量守恒：Mv ＝Mv 1＋mv 2，由碰撞中总能量不增加有： 12Mv 2≥12Mv 21＋12mv 22，再结合题给条件Mv 1＝mv 2，联立有M
m ≤3，故只有A 、B 正确。

题二 答案：D
详解：由于两次的最大摆角相同，故在最低点的速度相同。

由动量守恒定律可知，第一粒弹丸击中沙袋过程mv 1＝(m ＋M )v
第二粒弹丸击中沙袋过程mv 2－(M ＋m )v ＝(M ＋2m )v 联立可解得v 1∶v 2＝41∶83，D 项正确。

题三 答案：2
3(
)A B A B
m m H m m -+
详解：由运动学规律可知，小球A 与B 碰撞前的速度大小相等，设均为v 0， 由机械能守恒有 2
12
A A m gH m v =
① 设小球A 与B 碰撞后的速度分别为v 1和v 2，以竖直向上方向为正，
由动量守恒有 0012()A B A B m v m v m v m v +-=+ ② 由于两球碰撞过程中能量守恒，故2222
0012
11112222
A B A B m v m v m v m v +=+ ③ 联立②③式得 203A B
A B
m m v v m m -=
+ ④
设小球B 能上升的最大高度为h ，由运动学公式有 22
2v h g
= ⑤
由①④⑤式得 2
3()A B A B
m m h H m m -=+。

题四
答案：（1）01
3v ；（2）
2
136
mv 详解：（1）设C 球与B 球粘结成D 时，D 的速度为1v ，由动量守恒得：01()mv m m v =+
当弹簧压至最短时，D 与A 的速度相等，设此速度为v 2，由动量守恒得2132mv mv =， 由以上两式求得A 的速度023
1
v v =。

（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为E P ，由能量守恒，有
P E mv mv +⋅=⋅222132
1221。

撞击P 后，A 与D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转变成D 的动能，设D 的速度为v 3，则有2
3
)2(2
1v m E P ⋅=
以后弹簧伸长，A 球离开挡板P ，并获得速度，当A 、D 的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为v 4，由动量守恒得4332mv mv =。

当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为E P '，由能量守恒，有'32
12212423P E mv mv +⋅=⋅。

解以上各式得2
36
1'mv E P =。