概率复习资料完成

1、一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、…、10的球.今从袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率，（2）最大号码为5的概率，（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。

解：}5{1最小号码为=A }5{2最大号码为=A }555{3，一个小于，一个大于一个号码为=A1) 所求概率121)(31025111==C C C A p ； 2）所求概率201)(31024112==C C C A p ； 3）所求概率61)(3101415113==C C C C A p2、在1500个产品中有400个次品，1100个正品.任取200个，求（1）恰好有90个次品的概率；（2）至少有两个次品的概率。

解：设}90{个次品恰好有=A , }{至少有两个次品=B（1）所求概率 2001500110110090400)(C C C A p =；（2）所求概率 200150********140020011001)(C C C C B p +-=。

3、将一枚骰子重复掷n 次，试求掷出的最大点数为5的概率。

解：设}5{最大点数为=A , n 次掷出的点数≤5，有n5种不同结果，而n 次掷出的点数≤4，有n4种不同结果。

所以n 次掷出的最大点数为5，有nn 45-种不同结果。

故所求概率nn A p 645)(4-=4、若A ，B 互不相容，则()0)();()(=+=B A P B P A P B A P Y ；)]()([1)(1)B A ()B A (B P A P B A P P P +-=-==Y Y 。

若A ，B 相互独立，());()(1)(1)(B P A P B A P B A P B A P ⋅-=-==I I Y)()()(B P A P B A P ⋅=；)()()B A (B P A P P ⋅=。

5、设A 、B 为两个事件，P(B)=0.5，P(A-B)=0.3。

第一章随机事件和概率1排列组合公式)!(!nmmP nm-=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数;)!(!!nmnmC nm-=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数;2加法和乘法原理加法原理两种方法均能完成此事：m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成;乘法原理两个步骤分别不能完成这件事：m×n某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成;3一些常见排列重复排列和非重复排列有序对立事件至少有一个顺序问题4随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验;试验的可能结果称为随机事件;5基本事件、样本空间和事件在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质：①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的;这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用ω来表示;基本事件的全体,称为试验的样本空间,用Ω表示;一个事件就是由Ω中的部分点基本事件ω组成的集合;通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是Ω的子集;Ω为必然事件,为不可能事件;不可能事件的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理,必然事件Ω的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件;6事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,A发生必有事件B发生：BA⊂如果同时有BA⊂,AB⊃,则称事件A与事件B等价,或称A等于B：A=B;A、B中至少有一个发生的事件：A B,或者A+B;属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者BA,它表示A发生而B不发生的事件;A、B同时发生：A B,或者AB;A B=,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥;基本事件是互不相容的;Ω-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A;它表示A 不发生的事件;互斥未必对立;②运算：结合率：ABC=ABC A∪B∪C=A∪B∪C分配率：AB∪C=A∪C∩B∪C A∪B∩C=AC∪BC德摩根率：∞=∞==11iiii AABABA=,BABA=7概率的公理化定义设Ω为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数PA,若满足下列三个条件：1° 0≤PA≤1,2° PΩ =13° 对于两两互不相容的事件1A,2A,…有常称为可列完全可加性;则称PA为事件A的概率;8古典概型1°{}nωωω21,=Ω,2°nPPPn1)()()(21===ωωω ;设任一事件A,它是由mωωω21,组成的,则有PA={})()()(21mωωω=)()()(21mPPPωωω+++9几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型;对任一事件A,)()()(Ω=LALAP;其中L为几何度量长度、面积、体积;10加法公式PA+B=PA+PB-PAB当PAB＝0时,PA+B=PA+PB11减法公式PA-B=PA-PAB当B⊂A时,PA-B=PA-PB 当A=Ω时,P B=1- PB12条件概率定义设A、B是两个事件,且PA>0,则称)()(APABP为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为=)/(ABP)()(APABP;条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率;例如PΩ/B=1⇒P B/A=1-PB/A13乘法公式乘法公式：)/()()(ABPAPABP=更一般地,对事件A1,A2,…An,若PA1A2…An-1>0,则有21(AAP…)n A)|()|()(213121AAAPAAPAP= (2)1|(AAAP n…)1-n A;14独立性①两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP=,则称事件A、B是相互独立的;若事件A、B相互独立,且0)(>AP,则有若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立;必然事件Ω和不可能事件与任何事件都相互独立;与任何事件都互斥;②多个事件的独立性设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,PAB=PAPB；PBC=PBPC；PCA=PCPA并且同时满足PABC=PAPBPC那么A、B、C相互独立;对于n个事件类似;15全概公式设事件n BBB,,,21 满足1°n BBB,,,21 两两互不相容,),,2,1(0)(niBP i=>, 2°niiBA1=⊂,则有)|()()|()()|()()(2211nn BAPBPBAPBPBAPBPAP+++= ;16贝叶斯公式设事件1B,2B,…,n B及A满足1°1B,2B,…,n B两两互不相容,)(BiP>0,=i1,2,…,n, 2°niiBA1=⊂,0)(>AP,则∑==njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(,i=1,2,…n;此公式即为贝叶斯公式;)(i B P ,1=i ,2,…,n ,通常叫先验概率;)/(A B P i ,1=i ,2,…,n ,通常称为后验概率;贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断;17伯努利概型我们作了n 次试验,且满足每次试验只有两种可能结果,A 发生或A 不发生； n 次试验是重复进行的,即A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的,即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的;这种试验称为伯努利概型,或称为n 重伯努利试验;用p 表示每次试验A 发生的概率,则A 发生的概率为q p =-1,用)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率,k n k kn n q p k P C -=)(,n k ,,2,1,0 =;第二章 随机变量及其分布第三章二维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律和中心极限定理第六章样本及抽样分布第七章参数估计第八章假设检验单正态总体均值和方差的假设检验。

《概率论与数理统计》复习资料一、复习纲要注：以下是考试的参照内容，不作为实质考试范围，仅作为复习参照之用。

考试内容以教课纲领和实行计划为准；注明“认识”的内容一般不考。

1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，认识概率的古典定义2、能较娴熟地求解古典概率；认识概率的公义化定义3、掌握概率的基天性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的观点；掌握加法公式与乘法公式4、能正确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的观点及性质。

5、理解随机变量的观点，认识(0 —1) 散布、二项散布、泊松散布的散布律。

6、理解散布函数的观点及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。

7、掌握指数散布 ( 参数) 、平均散布、正态散布，特别是正态散布概率计算8、会求一维随机变量函数散布的一般方法，求一维随机变量的散布律或概率密度。

9、会求散布中的待定参数。

10、会求边沿散布函数、边沿散布律、条件散布律、边沿密度函数、条件密度函数，会鉴别随机变量的独立性。

11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的观点及计算。

12、理解二维随机变量的观点，理解二维随机变量的结合散布函数及其性质，理解二维失散型随机变量的结合散布律及其性质，理解二维连续型随机变量的结合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。

13、认识求二维随机变量函数的散布的一般方法。

14、会娴熟地求随机变量及其函数的数学希望和方差。

会娴熟地默写出几种重要随机变量的数学希望及方差。

15、较娴熟地求协方差与有关系数.16、认识矩与协方差矩阵观点。

会用独立正态随机变量线性组合性质解题。

17、认识大数定理结论，会用中心极限制理解题。

18、掌握整体、样本、简单随机样本、统计量及抽样散布观点，掌握样本均值与样本方差及样本矩观点，掌握2散布 ( 及性质 ) 、t 散布、F散布及其分位点观点。

19、理解正态整体样本均值与样本方差的抽样散布定理；会用矩预计方法来预计未知参数。

概率论基础复习资料训练题选：1、设A ，B ，C 为三个事件，则A 、B 、C 至少有一个发生可表示为？2、设A ，B ，C 为三个事件，则A 、B 、C 都不发生可表示为？3、设事件A 的概率为31)(=A P ，事件B 的概率为21)(=B P ，且41)(=AB P ，求．)(B A P 4、设41)(=A P ，31)(=A B P ，21)(=B A P ，求)(B A P . 5、某人射击三次，以)3,2,1(=n A n 表示事件“第n 次射击时击中目标”，，试用)3,2,1(=n A n 表示事件“至多击中目标一次”。

6、甲、乙两个班级进行篮球比赛，设事件A=“甲胜”，则事件A 表示什么事件？7、某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，求5次射击中恰有3次命中的概率。

8、设某盒子中有２４个球，现随机抽取一上是红球的概率是25.0，求盒子中红球的数量。

9、盒中有3红2白共5个球，从中任取2个球，则取到两个同色球的概率是多少？10、设在随机试验中事件A 的概率为61)(=A P ，求在6次独立重复试验中，事件A 出现的2次的概率11、设随机变量设)4,1(~N X ，已知设6915.0)5.0(=Φ，计算)21(≤≤X P12、某篮球运动员投篮命中率为0.8，求其两次投篮没有全中的概率13、若A 与B 相互独立，43)(=A P ，41)(=AB P ，求)(B P 14、在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共十个不同的号码中随机地不放回抽取一个号码，求第三次抽取时恰好抽到8号球的概率是多少？15、从1,2,3,4,5中任取3个数字，计算则三个数字中不含1的概率。

16、盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个乒乓球，现随机地从中取出5个球，求取到的五个乒乓球中最大号码为7的概率，最小号码为7的概率。

17、已知随机变量X 只能取值-1,0,1,2四个数值，其相应的概率为设cc c c 162,85,43,21，求常数C 18、设随机变量X 服从正态分布，即X ～),(2οu N ，计算⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-0οu X P 13、设随机变量X 服从区间]1,0[上的均匀分布，即X ～]1,0[U ，计算()1≤X P20、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，即X ～)3(P ，求)2(≤X P21、设X 服从[]41，上的均匀分布，求)53(<<X P 22、设随机变量X,Y 相互独立，且()16,0.5X B ,Y 服从参数为9的泊松分布，求)12(+-Y X D 23、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=e x e x x x x F 11ln 10)(，求概率密度)(x f24、设设随机变量X 服从区间)1,0(上的均匀分布，即：X ~)1,0(U ，其密度函数为25、⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它1001)(x x f X ，分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=110010)(x x x x x F X求随机变量12+=X Y 的密度函数)(y f Y26、设随机变量X 服从正态分布)4,5.1(N 8413.0)1(=Φ，,试求（1） )5.3(<X P ； （2）)5.35.1(<<X P27设随机变量Y 与X 的关系是12+=X Y ，且X 的方差是3，求Y 的方差28、设X 与Y 是两个随机变量，4)(,3)(==x D X E ，计算下列各题：（1）)32(Y X E + （2）)32(Y X D +29、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，计算)(2X E30、设随机变量X 与Y 相互独立，且{}{}111,123P X P Y ≤=≤=, 计算)1,1(≤≤Y X P31、设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，即X ～)(λE ，其密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-其它001)(x e x f x λλ，则计算)12(+X E 与)12(-X D 32、设离散型二维随机变量()Y X ,相互独立，且31)3(==X P ，41)4(==Y P ，计算)4,3(==Y X P 。

《概率论与数理统计》第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

概率复习题答案1. 随机事件的概率范围是多少？答案：随机事件的概率范围是0到1，即0≤P(A)≤1。

2. 互斥事件的概率和如何计算？答案：如果事件A和事件B是互斥的，那么它们的概率和等于各自概率的和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3. 独立事件的概率乘积如何计算？答案：如果事件A和事件B是独立的，那么它们同时发生的概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。

4. 条件概率的公式是什么？答案：条件概率的公式是P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。

5. 贝叶斯定理如何表述？答案：贝叶斯定理表述为P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)，其中P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

6. 什么是大数定律？答案：大数定律表明，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于其概率。

7. 中心极限定理的条件是什么？答案：中心极限定理的条件是样本量足够大，且样本数据是相互独立的。

8. 如何计算二项分布的概率？答案：二项分布的概率可以通过公式P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)计算，其中n是试验次数，k是成功次数，p是单次试验成功的概率。

9. 正态分布的概率密度函数是什么？答案：正态分布的概率密度函数是f(x)=1/(σ√(2π))×e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ是均值，σ是标准差。

10. 泊松分布的期望值和方差的关系是什么？答案：泊松分布的期望值和方差相等，即E(X)=Var(X)=λ，其中λ是事件发生的平均次数。

第十一章《概率初步》§11.1 随机事件一、高考要求：理解随机试验与随机事件、基本事件与基本事件空间、事件之间的关系等概念.二、知识要点：(一)、随机试验与随机事件:1. 自然界和人类社会中存在着各种各样的现象,其中一类现象的特点是在基本条件相同的情况下,出现的结果是相同的.而另一类现象的特点是在基本条件相同的条件下,却可能出现不同的结果.究竟出现哪一种结果,随“机遇”而定,带有偶然性,这类现象称为随机现象.2. 研究随机现象,通常要进行观察和试验,某些试验具有以下特性:(1) 可以在相同的条件下重复地进行;(2) 每次试验的可能结果不止一个,并且事先明确试验的所有可能结果;(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.我们将具有上述三个特性的试验叫做随机试验,简称试验.在随机试验中,这些结果称为此随机试验的随机事件,简称事件.(二)、基本事件与基本事件空间:1. 在一随机试验中,它的每一个可能出现的结果都是一个随机事件,它们是这个试验的最简单的随机事件,我们称这些简单的随机事件为基本事件.换句话说:随机试验的每一个可能结果,我们称为基本事件.根据事件在一定条件下是否发生,可以分成如下几类:(1) 必然事件:在一定条件下必然发生的事件;(2) 不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件;(3) 随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.2. 一个随机试验的一切可能结果组成的集合叫做这个试验的基本事件空间,也称样本空间,常用Ω表示,基本事件也称为样本空间的样本点,常用ω表示.样本空间的子集就是事件,常用大写字母A、B、C等表示.(三)、事件之间的关系:1. 事件的并:事件A或事件B称为事件A与B的并(或和),记作A∪B(或A+B),也就是说,“A∪B”表示A、B中至少有一个发生.2. 事件的并:事件A且事件B称为事件A与B的交(或积),记作A∩B(或A·B),也就是说,“A∩B”表示A、B都发生.3. 对立事件:事件非A称为事件A的对立事件,记作,也就是说,“”表示A不发生.显然,.4. 互斥事件:如果事件A与事件B不可能同时发生,则称事件A与事件B是互斥事件.显然,.三、典型例题：例1:一个口袋中有大小相同的1个白球和3个黑球,从中摸出二个球(1) 共有多少种不同的结果?(2) 摸出两个黑球有多少种不同的结果?例2:设A、B、C是三个事件,试用A、B、C表示下列各事件:(1)A、B、C都不发生; (2)A、B、C中至少有一个发生;(3)A、B、C至多有一个发生; (4)A、B、C中恰有一个发生.四、归纳小结：1. 判断一个试验是否是随机试验必具备三个条件,缺一不可: (1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.2. 互斥事件与互为对立事件的区别与联系:对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,互斥事件A,B只强调,而互为对立事件不仅,且,此时,B=.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下面四个语句中,表示随机事件的是( )A.在52张扑克牌中任抽4张B.掷两棵骰子出现的点数之和等于1C.型号完全相同的红、白、黄色球各2个,从中任取1个是红球D.异性电荷互相吸引2. 下列事件中是必然事件的是( )A.电影院某天的上座率超过50%B.一人射击三次,中26环C.如果m、n都是实数,那么m+n=n+mD.连续三次抛一枚硬币,结果出现三次正面3. 抛掷一颗骰子,“出现奇数点”的事件是( )A.基本事件B.必然事件C.不可能事件D.随机事件4. (96高职-17)在下列每对事件中,既是互斥事件又是对立事件的是()A.恰有一件次品和恰有2件次品B.至少有一件次品和全是次品C.至少有一件正品和至少有一件次品D.至少有一件次品和全是正品5. 从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球,那么是互斥而不是对立的事件是( )A.至少有一个白球与都是白球B.至少有一个白球与至少有一个红球C.恰有一个白球与恰有两个白球D.至少有一个白球与都是红球6. (99高职-12)设事件、、分别表示甲、乙、丙三个射手击中目标,则表示( )A.恰有一个射手击中目标B.至少有一个射手击中目标C.三个射手同时击中目标D.至多有一个射手击中目标（二）填空题：7. 随机试验“将一枚硬币抛2次,观察出现的点数”的样本空间是.8. 从一副桥牌(52张)中,任取1张:(1) “抽出红桃”与“抽出黑桃”;(2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3) “抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”.上述每对事件中,是互斥事件但不是对立事件的是 .9. A、B、C是三个事件,用A、B、C表示事件“A、B、C中至多有一个发生”为 .§11.2 事件的概率一、高考要求：1.理解概率的统计定义,并会运用定义解决相关的概率问题.2.理解等可能事件的概率的概念,掌握古典概率的计算和古典概型的应用.二、知识要点：1. 概率的统计定义:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A).2. 古典概型:在随机试验中,如果其可能出现的结果只有有限个,且它们出现的可能性是均等的,这样的随机试验称为古典概型.3. 等可能事件的概率:一般地,对于古典概型,如果试验的基本事件总数为n,随机事件A所包含的基本事件数为m,我们就用来描述事件A出现的可能性大小,称它为事件A的概率,记作P(A),即,可用古典概型计算的概率称为古典概率,又称为等可能事件的概率.显然, 事件A满足0≤≤1,并且.三、典型例题：例1: 15名新生中有3名优秀生,随机将15名新生平均分配到3个班级中去.(1) 每班级各分配一名优秀生的概率是多少?(2) 3名优秀生分配到同一班级的概率是多少?例2:甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙二人依次各抽一题,求甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?四、归纳小结：1. 判断一个随机试验是否为古典概型有两个条件: (1)结果有限;(2)各结果出现的机会均等.2. 求事件概率的解题步骤:(1) 找出欲求其概率的事件A(注意“事件”与“事件的概率”相混淆和表述上的错误);(2) 弄清“一次试验”是什么?(3) 判断一次试验的样本空间是什么?基本事件个数是否有限,是否具有等可能性?(4) 求一次试验的基本事件总个数n;(5) 求事件A包含的基本事件个数m;(6) 用古典概率的计算公式求事件A的概率.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 在100张奖券中,有4张中奖券,从中任抽2张都中奖的概率是( )A. B. C. D.2. 从6名同学中选出4个参加数学竞赛,其中甲被选中的概率为( )A. B. C. D.3. (97高职-17)一道单项选择题中有17道小题,每道小题各有4个选择项,其中有且只有一个正确项,该大题选择全部正确的概率是( )A. B. C. D.4. (2000高职-14)从1,2,3,4,5,6六个数字中,任取两个数都是偶数的概率是( )A. B. C. D.5. (2001高职-8)从11,22,33,44,55这5个数字中,任取两个数都是奇数的概率是( )A. B. C. D.6. (2003高职-12)在100件产品中,有95件正品,5件次品,从中任取2件,其正、次品各半的概率为( )A. B. C. D.7. (2004高职-12)若有4个房间安排3人居住,每人可以进住任意一个房间,且进住房间是等可能的,则指定的3个房间中各有1人的概率是( )A. B. C. D.（二）填空题：8. 在下列随机试验中:(1)掷一颗骰子,设骰子的构造是均匀的,观察掷得的点数;(2)连续掷两枚硬币,把两枚硬币看成第一枚和第二枚,观察出现的结果;(3)同时掷两枚完全相同的硬币,不考虑顺序问题,观察出现的结果;(4)在100件产品中,有95件合格品,5件次品,从中任取2件,观察其中所含次品件数.是古典概型的是 (只填序号).9. 如果在10000张奖券中只有一、二、三等奖,其中1个一等奖,5个二等奖,10个三等奖(各奖项不可兼得),则买1张奖券中奖的概率是.10. 某号码锁有6个拨盘,每个拨盘上有从0到9共10个数字,当6个拨盘上的数字组成某个六位数字号码(开锁号码)时,锁才能打开.如果不知道开锁号码,试开一次就把锁打开的概率是 .11. 一个口袋内装有相同的7个白球和3个黑球,从中任意摸出2个,得到1个白球和1个黑球的概率是 .12. 从52张一副扑克牌中取出3张,3张都是同一类牌的概率是.13. 同时抛掷两棵骰子,总数出现7点的概率是 .14. 某种油菜籽在相同的条件下的发芽试验结果如下:每批粒数251070130310700150020003000 n发芽的粒24960116282639133918062715数m发芽的频10.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.9030.905率则这批种子发芽的概率是 .（三）解答题：15. 在10件产品中,有7件合格品,3件次品,从中任取2件,计算:(1)2件都是合格品的概率;(2)2件都是次品的概率;(3)1件是合格品,1件是次品的概率.16. 从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取1件,每次取出后放回,连续取2次,求取出的2件中恰好有一件次品的概率.17. 从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连续取2次,求取出的2件中恰好有一件次品的概率.18. (98高职-27) (本小题满分14分)10张奖券中有3张中奖券,甲首先从中抽出2张,乙再从余下的8张中任意抽出3张,规定抽出中奖券多者获胜.求：(1)甲获胜的概率(5分)；(2)甲乙成平局的概率(5分)；(3)乙获胜的概率(4分).六、综合能力提高：19. 一人有n把钥匙,其中只有一把可打开房门,随机逐个试验钥匙,问“房门恰在第k次被打开”的概率是多少?§11.3 概率的加法公式一、高考要求：理解概率的加法公式及其适用条件,掌握该公式的应用.二、知识要点：1. 概率的加法公式:(1) 如果事件A、B互斥,则;(2) 如果事件A、B不互斥,则.2. 概率的加法公式的推广:如果事件两两互斥,则有.三、典型例题：例1:甲、乙二人参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙二人依次各抽一题,求甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?例2:在20件产品中,有5件次品,从中任取3件,其中至少有1件是次品的概率是多少?四、归纳小结：概率的加法公式分两种情况:(1)当即A、B 互斥时,;(2)如果事件A、B不互斥,则.特别地,.五、基础知识训练：（一）选择题：1. (96高职-13)已知A、B是互斥事件,且,则的值是( )A. B. C. D.2. 一个电路上装有甲、乙两根保险丝,若甲熔断的概率是0.2,乙熔断的概率是0.3,至少有一根熔断的概率是0.4,则两根同时熔断的概率是( )A. 0.5B. 0.1C. 0.9D. 0.063. 事件A、B互斥的充要条件是( )A. B.C. D.（二）填空题：4. (97高职-23)某地区在高考升学考试预测中,考分在450分以下的概率为0.27,考分在450～500分的概率为0.25,考分在500～550分的概率为0.21,考分在550～600分的概率为0.12,考分在600分以上的概率为0.05,若预测500分为上线分,则上线考生的概率为 .5. 已知,且,,则的值是 .（三）解答题：6. 掷红、蓝两棵骰子,事件A=“红骰子点数大于3”,B=“蓝骰子点数大于3”,求A∪B的概率.7. 一个口袋内有4个不同的红球和6个不同的白球,从中任取4个不同的球,试求红球的个数不比白球少的概率.六、综合能力提高：8. 甲口袋内装有大小相等的8个红球和4个白球,乙口袋内装有大小相等的9个红球和3个白球,现从两口袋内各摸出一个球,等于( )A.2个球都是白球的概率B.2个球中恰有一个是白球的概率C.2个球都不是白球的概率D.2个球不都是白球的概率§11.4 概率的乘法公式一、高考要求：理解相互独立事件的概念、概率的乘法公式及适用条件,掌握公式的应用.二、知识要点：1. 相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,我们把这样的两个事件叫做相互独立事件.2. 条件概率:设A、B是的两个事件,且P(A)≠0,在A 发生的前提条件下B发生的概率称为条件概率,记为P(B/A).计算公式为:.3. 概率的乘法公式:(1) 如果A、B相互独立,则P(A∩B) = P(A)·P(B);(2) 如果A、B不相互独立,则P(A∩B) = P(A)·P(B/A)= P(B)·P(A/B).4. 概率的乘法公式的推广:如果事件两两互斥,则有.三、典型例题：例1:设100件产品中有5件不合格品,而5件不合格品中有3件次品、2件废品,现从中任取1件(设100件产品被抽到都是等可能的),求:(1)抽得的是废品的概率;(2)已知抽得的是不合格品,它是废品的概率.例2:甲、乙两人独立地破译密码,他们译出的概率分别为0.3和0.2,求:(1)两人都译出的概率;(2)两人都译不出的概率;(3)恰有一个人能译出的概率;(4)至多有一人能译出的概率.四、归纳小结：1. 判断两个事件是否相互独立的方法是分析事件A(或B)是否发生,对事件B(或A)发生的概率有没有影响,若没有影响即独立,否则有条件.2. A、B相互独立时,P(A∩B) = P(A)·P(B).可用充要条件来叙述.3. 相互独立事件的性质:(1)如果事件A、B相互独立,则事件、B;A、;、也相互独立;(2)如果A、B相互独立,则P(A/B) = P(A),P(B/A)=P(B);(3)两个事件A、B相互独立与互斥是两个不同的概念,没有明显的联系,但在某些条件下,两者也有一定的关系,例如,当P(A)＞0,P(B)＞0时,如果A、B互斥,则A、B一定不相互独立.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中,真命题是( )A.对立事件一定是互斥事件B.互斥事件一定是对立事件C.互斥事件一定是相互独立事件D.相互独立事件一定是互斥事件2. (98高职-12)事件A,B相互独立的充要条件是( )A.P(A∩B) = P(A) + P(B)B.P(A∪B) = P(A) + P(B)C.P(A∩B) = P(A)·P(B)D.P(A∪B) = P(A)·P(B)3. 任意抛掷两枚硬币,事件A=“第一次出现正面”,事件B=“第二次出现正面”,则P(B/A)=( )A. B. C. D.14. 调查有两个子女的家庭,发现这个家庭已有一个女孩,则这个家庭还有一个女孩的概率是( )A. B. C. D.15. 有一数学题,甲能解答的概率是,乙能解答的概率是,两人都未解答的概率为( )A. B. C. D.6. 甲、乙两人投篮,甲投中的概率是,乙投中的概率是,每人各投一次,至少有一人投中的概率为( )A. B. C. D.（二）填空题：7. 设甲、乙两射手彼此独立地射击同一目标,甲击中目标的概率P(A)=0.8,乙击中目标的概率P(B)=0.5,则甲、乙两射手至少有一人击中目标的概率P(A∪B)= .8. 一小孩掷硬币,第二次才掷出币值的概率是 ,第二次掷出币值的概率是 .9. 某射手射击一次,击中目标的概率为0.9,他连续射击4次,且各次射击是否击中相互之间没有影响,那么他第2次未击中、其他3次都击中的概率是 .10. 在一段线路中并联着三个自动控制的常开开关,只要其中有一个开关能够闭合,线路就能正常工作,假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.8,则在这段时间内线路能正常工作的概率是-.（三）解答题：11. (96高职-27)(本小题满分14分)设有12根签中有3根彩签,甲乙两人抽签,甲先抽(不放回),乙后抽.求(1)甲乙都抽到彩签的概率;(3分)(2)甲未抽到彩签而乙抽到彩签的概率; (5分)(3)甲抽到彩签与乙未抽到彩签的概率. (6分)12. (99高职-23)(本题满分12分)在某次中等职业学校英语等级考试中,学生之间的考试成绩互不影响,甲、乙、丙三人考试达标的概率分别是、、,试求:(1)三人都考试达标的概率(3分);(2)只有两人考试达标的概率(4分);(3)几人考试达标的事件最易发生(5分)?13. (2003高职-18)(本小题满分10分)甲乙两人各进行一次射击,如果甲击中目标的概率为0.7,乙击中目标的概率为0.8,试计算:(1)恰有一人击中目标的概率;(6分)(2)至少有一人击中目标的概率.(4分)14. (2004高职-19) (本小题满分12分)两人同猜一个谜语,甲能猜出的概率为,乙能猜出的概率为,计算下列各事件的概率:(1) 两人都猜出;(4分)(2) 两人中至少有一人猜出;(4分)(3) 两人中只有一人猜出.(4分)15. 有5个乒乓球,3个新的,2个旧的,从其中每次取1个,有放回的取2次,设A={第一次取到新球},B={第二次取到新球}.求:(1)两次都取到新球的概率;(2)第一次取到新球,而第二次未取到新球的概率;(3)恰有1次取到新球的概率;(4)至少有1次取到新球的概率.16. 有5个乒乓球,3个新的,2个旧的,从其中每次取1个,无放回的取2次,设A={第一次取到新球},B={第二次取到新球}.求:(1)两次都取到新球的概率;(2)第一次取到新球,而第二次未取到新球的概率;(3)恰有1次取到新球的概率;(4)至少有1次取到新球的概率.六、综合能力提高：17. 一个口袋共有2个红球,8个黄球,从中随机接连取3球,每次取一个(不放回),记恰有一个红球为事件A,第三个球是红球为事件B,求A、B的概率.18. 一张电影票,三个人抓阄,求每个人抓到电影票的概率.§11.5 独立重复试验一、高考要求：理解n次独立重复试验的含义,会应用独立重复试验概型的计算公式解题.二、知识要点：1. n次独立重复试验:如果构成n次独立试验的每一次试验只有两个可能的结果A与,并且在每次试验中事件A发生的概率都不变,那么这样的n次独立试验,就叫做n次独立重复试验或n重伯努利试验.2. 独立重复试验概型:在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k(0≤k≤n)次的概率问题叫做独立重复试验概型或伯努利概型.3. 独立重复试验概型的计算公式:一般地,如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为 .三、典型例题：例:10件产品中有3件不合格品,每次取1件,有放回地抽取3次,试求恰有1件不合格品的概率.四、归纳小结：1. 判断一个随机试验是不是独立重复试验有以下两个条件:(1)试验是重复进行的或者是可以重复进行的;(2)重复进行的试验是相互独立的.2. 独立重复试验概型和古典概型的区别是:古典概型的样本空间中的基本事件具有等可能性,而独立重复试验概型中,可能发生的结果一般不是等可能的.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 独立重复试验应满足的条件是:①每次试验之间是相互独立的;②每次试验只有发生与不发生两种结果之一;③每次试验中发生的机会是均等的;④各次试验发生的事件是互斥的.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②③D.①②④2. 下列试验中,是独立重复试验概型的是( )A.从100件产品中,有放回地抽取10件,检查每件是一级品、二级品,还是次品;B.从100件产品中,无放回地抽取10件,检查每件是合格品,还是次品;C.某射手在相同的条件下射击n次,对每次射击考察中几环;D.从某品种小麦种子中抽取100粒做发芽试验.3. 某射手射击一次,击中目标的概率是0.9,他射击4次,恰好击中3次的概率等于二项式的展开式的( )A.第一项B.第二项C.第三项D.第四项（二）填空题：4. 下面问题中:(1)某射手对射击目标仅射击一次,其击中目标的概率为0.7;(2)某气象台天气预报的准确率是0.8,5次预报恰有4次准确;(3)一个正四面体,四个面上分别写有数字1,2,3,4,将这个正四面体向地上连抛3次,写有数字1的一面恰有2次与地面接触. 是独立重复试验问题的是 .5. 某兽药对病牛的治愈率为90%,今有3头病牛服用了这种药,至少有2头病牛被治愈的概率为 .（三）解答题：6. (2000高职-26)(本小题满分14分)湖北省电脑体育彩票的投注方式是从0,1,2,…,9这十个数字中任选六个数字(可以重复),再从0,1,2,3这四个数字任选一个特别号码,为一注投注号码,若六个数字及顺序与摇奖机确定的数字及顺序完全一致,则可中一等奖;在此基础上,如果特别号码也相同,则可中特等奖,但特等奖、一等奖不可兼得.求: (1)某人任投一注,中特等奖的概率(5分);(2)某人任投一注,中一等奖的概率(5分);(3)某人投入五注,恰有一注中特等奖的概率(4分).7. (2001高职-20)(本小题满分12分)在人寿保险赔付方案的制定过程中,很重视研究某一年龄段投保人的死亡率.假定一个投保人活到70岁的概率为0.6,现有三个投保人.求(1)三个投保人全部都活到70岁的概率(4分);(2)三个投保人都活不到70岁的概率(4分);(3)三个投保人至少有一个活到70岁的概率(4分).8. (2002高职-18)(本小题满分10分)甲、乙两射手独立地射击同一目标,且击中目标的概率分别是0.8和0.7.①甲、乙各进行一次射击,求目标被击中的概率;②甲进行三次射击,求目标被击中两次的概率.9. 已知某些同一类型高射炮在它们控制的区域内击中某种速度的敌机的概率为20%.(1) 假设有5门这种高射炮控制这个区域,求敌机进入这个区域后被击中的概率;(2) 要使敌机一旦进入这个区域后有90%以上的概率被击中,须至少布置几门高射炮?(已知lg2=0.3010)六、综合能力提高：10. 有12道单项选择题,每题有4个选择项,某人随机选定每题中其中一个答案,求答对多少题的概率最大?并求出这种情况下概率的大小.11. 实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜并停止比赛)(1) 试求分别打完3局、4局、5局才取胜的概率;(2) 求按此规则甲获胜的概率.。