概率论计算公式

概率论与数理统计公式概率论是一门研究随机现象规律的数学学科，是现代数学的基础之一、而数理统计则是利用概率论的工具和方法，分析和处理统计数据，从而得出推断、估计、决策等信息的科学。

在概率论与数理统计的学习过程中，掌握一些重要的公式是非常关键的。

下面是一些概率论与数理统计中常用的公式：1.概率公式：-加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)-乘法公式：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)-条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)2.期望与方差公式：-期望：E(X)=∑(x*P(X=x))- 方差：Var(X) = E((X-μ)^2) = ∑((x-μ)^2 * P(X=x))3.常用概率分布及其特征：-二项分布：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)-泊松分布：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!-正态分布：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2)/(2*σ^2))4.样本与总体统计量公式：-样本均值：x̄=(∑x)/n-样本方差：s^2=(∑(x-x̄)^2)/(n-1)-样本标准差：s=√(s^2)5.参数估计公式：-点估计：-总体均值估计：μ的点估计为x̄-总体方差估计：σ^2的点估计为s^2-区间估计：-总体均值的置信区间：x̄±Z*(σ/√n)-总体比例的置信区间：p±Z*√((p*(1-p))/n)6.假设检验公式：-均值检验：-单样本均值检验：t=(x̄-μ0)/(s/√n)-双样本均值检验：t=(x̄1-x̄2)/√((s1^2/n1)+(s2^2/n2))-比例检验：-单样本比例检验：z=(p-p0)/√((p0*(1-p0))/n)-双样本比例检验：z=(p1-p2)/√((p*(1-p))*((1/n1)+(1/n2)))以上是概率论与数理统计中一些常用的公式，这些公式为解决问题提供了有力的工具和方法。

概率论与数理统计计算公式概率论和数理统计是数学中的两个重要分支，广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。

在实际中，我们经常需要计算各种概率和统计量，因此理解和掌握概率论和数理统计中的计算公式是十分重要的。

接下来，我将给出概率论和数理统计中一些常用的计算公式。

一、概率计算公式：1.加法原理：如果A和B是两个事件，那么它们的和事件(A∪B)的概率可以由如下公式计算：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.条件概率：如果A和B是两个事件，且P(A)>0，那么事件B在已知事件A发生的条件下发生的概率可以由如下公式计算：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)3.全概率公式：如果{B1,B2,...,Bn}是一个对样本空间Ω的一个划分，那么对于任意事件A，我们有：P(A)=ΣP(A，Bi)P(Bi)，其中i取1到n。

4.贝叶斯公式：如果{B1,B2,...,Bn}是一个对样本空间Ω的一个划分，那么对于任意事件A和i取1到n，我们有：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/ΣP(A，Bj)P(Bj)，其中j取1到n。

5.乘法定理：如果A和B是两个事件，那么它们的交事件的概率可以由如下公式计算：P(A∩B)=P(A)P(B，A)=P(B)P(A，B)二、统计量计算公式：1.样本均值：对于由n个观测值组成的样本，样本的均值可以由如下公式计算：\(\bar{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i\)2.样本方差：对于由n个观测值组成的样本，样本的方差可以由如下公式计算：\(S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{X})^2\) 3.标准差：样本的标准差是样本方差的平方根\(S = \sqrt{S^2}\)4.相关系数：对于两个随机变量X和Y，它们的相关系数可以由如下公式计算：\(\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\)5.协方差：样本的协方差可以由如下公式计算：\(Cov(X,Y) = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})\)以上只是概率论和数理统计中的一些常用计算公式，实际应用中还有很多其他的公式和方法。

概率论e和d计算公式概率论是数学中的一个重要分支，研究的是随机事件发生的规律。

在概率论中，e和d是两个关键的计算公式，分别代表期望和方差。

本文将介绍这两个公式的含义、计算方法以及其在概率论中的应用。

一、期望（e）在概率论中，期望是对随机变量的平均值的度量。

简而言之，期望表示随机变量取值的加权平均。

计算期望的公式如下：e(X) = Σx * P(X=x)其中，X代表随机变量，x代表该随机变量可能取到的值，P(X=x)代表随机变量取值为x的概率。

期望的计算方法可以通过将每个取值与其对应的概率相乘，然后将所有结果相加得到。

期望在概率论中具有重要的意义。

它可以用来衡量随机变量的中心位置，即随机变量的平均值。

在实际应用中，期望可以用来计算风险、收益等指标，对于决策和预测具有重要意义。

二、方差（d）方差是用来度量随机变量的离散程度的指标。

方差越大，表示随机变量的取值越分散；方差越小，表示随机变量的取值越集中。

计算方差的公式如下：d(X) = Σ(x - e(X))^2 * P(X=x)其中，X代表随机变量，x代表该随机变量可能取到的值，e(X)代表随机变量的期望，P(X=x)代表随机变量取值为x的概率。

方差的计算方法可以通过将每个取值与期望的差值的平方与其对应的概率相乘，然后将所有结果相加得到。

方差可以帮助我们了解随机变量的分布情况。

在实际应用中，方差可以用来评估风险，比较不同数据集的离散程度等。

三、期望和方差的应用期望和方差是概率论中常用的计算公式，它们在各个领域都有广泛的应用。

在金融领域，期望和方差被广泛应用于风险管理和资产定价模型中。

通过计算投资组合的期望和方差，可以评估投资组合的风险和收益，帮助投资者做出合理的投资决策。

在统计学中，期望和方差是描述数据分布和数据变异程度的重要指标。

通过计算样本的期望和方差，可以对数据进行统计分析，得出结论并进行预测。

在工程领域，期望和方差可以用来评估产品的可靠性和稳定性。

第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ)概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp (θ))()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==nk k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤badxx f b X a P )()(1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=)(1)(b x a ab x f ≤≤-=分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法联合密度函数 联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数)0(1)(/≥=-x e x f x θθ∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dxy x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k k kP xX E )(⎰+∞∞-⋅=dxx f x X E )()()()('x f x F =E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式方差 定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数∑=kkk p x g X g E )())((∑∑=ijiji p x X E )(dxdyy x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=ijijj i p y x XY E )(dxdyy x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dxx f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--协方差的性质独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章正态分布标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =),(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔)()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P ()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P卡方分布t 分布F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比第六章点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计最大似然估计 似然函数均值的区间估计——大样本结果)(~)1,0(~212n X N X ni i χ∑=，则若())(~1),,(~21222n Y N Y ni iχμσσμ∑=-则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则若χχ),(~2n N X σμ)1,0(~/N n X σμ-)1(~)1(222--n S n χσ)1(~/--n t n s X μ)1,1(~//2122212221--n n F S S σσ);(1θi ni x f L ∏==);(1θi ni x p L ∏==⎪⎭⎫ ⎝⎛±n z x σα2/正态分布的分位点—大样本要求样本容量—代替准差通常未知，可用样本标标准差—样本均值—2/)50()(ασz n ns x >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±n p p z p )1(2/α正态分布的分位点—大样本要求样本容量—样本比例—2/)50(αz n np >则若),(~),1,0(~2n Y N X χ)(~/n t nY X正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知 两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1 ② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。

概率论随机事件公式
概率论是研究随机事件的一门学科，它主要研究其中一事件发生的可能性。

在概率论中，我们使用一些公式来计算随机事件的概率。

接下来，我将详细介绍一些常见的概率公式。

1.事件的概率公式：对于一个随机事件A，它的概率（记为P(A)）可以通过以下公式计算：
P(A)=N(A)/N(S)
其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间中所有可能事件发生的次数。

2.互斥事件的概率公式：如果事件A和事件B是互斥的（即它们不能同时发生），那么它们的概率可以通过以下公式计算：
P(A或B)=P(A)+P(B)
这是因为互斥事件的概率是可以累加的。

3.非互斥事件的概率公式：如果事件A和事件B不是互斥的，那么它们的概率可以通过以下公式计算：
P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A和B)
这个公式被称为加法法则，并且可以使用类似的方法扩展到更多的事件上。

4.条件概率公式：条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A 发生的概率。

它可以通过以下公式计算：
P(A，B)=P(A和B)/P(B)
其中，P(A和B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

5.乘法法则：乘法法则是计算多个事件同时发生的概率的方法。

对于两个事件A和B，它们同时发生的概率可以通过以下公式计算：P(A和B)=P(A)*P(B，A)
其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

以上是概率论中一些常见的随机事件公式。

通过使用这些公式，我们可以计算出事件发生的概率，从而更好地理解和应用概率论的知识。

第一章P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式概率的乘法公式P(AB) = P(B)P(A\B) =P(A)P(B\A)全概率公式：从原因计算结果BQP(AIBQ*=1Bayes 公式：从结果找原因◎心严”(心)±P(BJP(A\BJ«=1第二章二项分布(Bemoulli 分布) -------X~B(n,p) Pd = C"(l-p)e 伙二0,1,・・・,")P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时，F(x) = P(X<x) = Y P(X = k) k<x 0<F(x y y)<\ F(x y y) = P{X<x 9Y<y}泊松分布——x~pa)概率密度函数怎样计算概P(a<X<b) P(a < X <b) = f(x)dx均匀分布X~U(a,b)(a<x< b) 指数分布X~Exp (0 )F (x) = /(x)分布函数对离散型随机变量对连续型随机F(x) = P(X<x) = £j(t)dt变量分布函数与密度函数的重要关系:二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度y(x,>?)函数联合分布尺兀刃函数匚匸心，)皿心=1联合密度与边缘密度齐⑴二匸fd，y)dyA (y) = j f(x,y)clx离散型随机变量的独立性P{X=i,Y = j} = P{X =i}P{Y = j}连续型随机变量的独立性f(x,y) = f x (x)f Y (y)第三章• E(a)=a,其中a 为常数 • E(a+bX)=a+bE(X),其中 a 、b 为常数• E(X+Y)=E(X)+E(Y), X 、Y 为任意随机变量E(g(X)) =工 gg)几随机变量g (x )的数 ------------- ----- 学期望 常用公式数学期望 离散型随机变量, 数 ------- ------- 学期望定义连续型随机变量，数学期望定义方差定义式常用计算|D(X)= E(0)_[E(X)F|式常用公式当X、Y相互独立时:方差的性质D(a)=O,其中a为常数D(a+bX)=b2D(X),其中a、b 为常数当X、Y 相互独立时，D(X+Y)二D(X)+D(Y) 协方差与相关系数£{[x -E(X)Jy -E(y)]}= E(XY)~E(X)E(Y)协方差的性质独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立 第四章正态分 布E(X) = “，D(X) = L①(°) = 1-①(-“)标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式 P(Z <a) = P(Z <a) =①(G )P(Z >a) = P(Z > a) = 1 - ①(a)P(a <Z <b) =①(b)-①(a)P(—a < Z <a)=①(a)—①(—a) = 2①(a) — 1 一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式~ N(OJ)P(X < a) = P(X < a)=①(二^)P(X>a) = P(X>a) = \-bP(a<X<b) =一<D(^^)b b第五章”卡方分布若X~N（O,1）,则工X：~F（n）J-I1 n若Y~N(“&),则=£化_〃)2~才何b /-It分布X若X ~ N(OD r-Z2(nX 则~7^=〜心)y/Y In若（/〜力側）,V~/2（n2）,则而十~F（q，E）F分布正态总体条件下样本均值的分布：乂-“~ N(O,1) <7/y[n样本方差的分布:~ * ⑺ -1) ~ 心-1)两个正态总体的方差之比黑~"7 «2-1）第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计均值的区间估计——大样本结果[X 一梓本均宿 ； 卜一标准差（通常未知，可用样本栩^差$代替）[ \n 一样本容量（大样本要求n>50）! \z a/2 一正态分布的分位点； L. _ __ ______________________________________________________________ I 万一二*薛丫顾 ............... ; L=n/(-x p <9) /=! L = Ylp(x/,0) /=! 似然函数” 一样本容量（大样本要肠＞50）]—正态分布的分位点:小样本、正态总体、标准差兄知小样木、正态总体.标准差ek知x±t a/2(n-\)t af2（川-1）—自rti度为川-啲f分布的分位点l（n-l）S2（n-l）S2 ] $ —祎未芳羞!正态总体方差的区间估计\ . 2 / *爲一卡方分布的分位点.................... 两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间、" S：/s；s；/s；＜代/2（厲-叽T）'行/2（® -1宀-1）丿第七章假设检验的步骤①根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1②根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值③看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。

概率论与数理统计公式精选常用公式一览为了帮助读者更好地掌握概率论与数理统计的知识，本文将为大家整理并介绍一些常用的公式。

这些公式是在学习和应用概率论与数理统计过程中必备的工具，相信对大家的学习和研究具有重要的参考价值。

一、概率论常用公式1. 概率公式在概率论中，我们经常需要计算事件发生的概率。

以下是几个常用的概率公式：（1）加法公式设A和B为两个事件，则A与B的和事件概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

（2）乘法公式设A和B为两个独立事件，则A与B的积事件概率为P(A∩B) =P(A) * P(B)。

2. 条件概率公式条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

以下是条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示A与B的交事件的概率，P(A|B)表示在B发生的条件下A发生的概率。

3. 贝叶斯公式贝叶斯公式是概率论中非常重要的公式，它用于根据已知条件，计算一个事件的后验概率。

贝叶斯公式如下所示：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的先验概率。

二、数理统计常用公式1. 期望和方差在数理统计中，我们经常需要计算一组数据的期望和方差。

以下是期望和方差的计算公式：（1）期望的计算公式设X为一个离散型随机变量，其取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，则X的期望为：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn。

（2）方差的计算公式设X为一个离散型随机变量，其取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，则X的方差为：Var(X) = E[(X - E(X))^2] = (x1 - E(X))^2 * p1 + (x2 - E(X))^2 * p2 + ... + (xn - E(X))^2 * pn。

概率论的公式大全概率论是数学的一个分支，研究随机事件发生的概率。

以下是概率论中常用的公式。

1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间中的有利结果数量，n(S)表示样本空间中的总结果数量。

2.加法公式：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)其中，P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

3.乘法公式：P(A且B)=P(A)×P(B，A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

4.条件概率公式:P(A，B)=P(A且B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

5.全概率公式：P(A)=Σ(P(A，Bi)×P(Bi))其中，P(A)表示事件A的概率，Bi表示S的一个划分，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。

6.贝叶斯公式：P(Bi，A)=(P(A，Bi)×P(Bi))/Σ(P(A，Bj)×P(Bj))其中，P(Bi，A)表示在事件A发生的条件下，事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。

7.期望值公式：E(X)=Σ(Xi×P(Xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，Xi表示X的取值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。

8.方差公式：Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 × P(Xi))其中，Var(X)表示随机变量X的方差，Xi表示X的取值，E(X)表示X 的期望值，P(Xi)表示X取值为Xi的概率。

9.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。

10.二项分布的概率公式：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示组合数，p表示单次实验成功的概率，n表示试验重复的次数，k表示成功发生的次数。

概率论基本公式概率论是数学中非常重要的一个分支，它研究的是随机现象的规律。

在概率论中，有一个基本公式，被广泛应用于各种概率计算问题中。

本文将介绍概率论基本公式的概念和应用。

概率论基本公式，也称为全概率公式，是指当事件A可以分解成若干互不相容的事件B1、B2、…、Bn时，事件A的概率等于各个事件Bi发生的概率乘以它们发生时事件A的条件概率之和。

数学表达如下：P(A) = P(B1) * P(A|B1) + P(B2) * P(A|B2) + … + P(Bn) * P(A|Bn)其中，P(A)表示事件A的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。

概率论基本公式的应用非常广泛。

下面将通过几个实例来说明其具体应用。

1. 生日问题假设有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？我们可以将这个问题转化为逆问题，即所有人的生日都不相同的概率是多少。

根据概率论基本公式，可以得到：P(所有人生日不同) = P(第1个人生日不同) * P(第2个人生日不同|第1个人生日不同) * … * P(第n个人生日不同|前n-1个人生日不同)假设一年有365天，则第1个人生日不同的概率为1，第2个人生日不同的概率为364/365，依此类推，第n个人生日不同的概率为(365-n+1)/365。

将这些概率代入公式，即可计算出所有人的生日都不相同的概率。

然后用1减去这个概率，即可得到至少有两个人生日相同的概率。

2. 疾病检测假设某种疾病的患病率为p，某种检测方法的准确率为q，即检测结果为阳性的患病者的比例为q，检测结果为阴性的健康人的比例也为q。

现在有一个人做了这种检测，结果为阳性，问这个人真的患病的概率是多少？根据概率论基本公式，可以得到：P(真的患病|阳性) = P(患病) * P(阳性|患病) / P(阳性)其中，P(真的患病|阳性)表示在阳性结果的条件下，这个人真的患病的概率。