山东省曹县三桐中学年2024届数学高一上期末学业质量监测试题含解析

2024届山东省莒县实验中学数学高一下期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某防疫站对学生进行身体健康调查，与采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，样本中男生103人，则该中学共有女生（ ） A ．1030人B ．97人C ．950人D ．970人2．设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．12D ．2-3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23226,39a S ==，则123111a a a ++=( ) A ．132B ．133C ．5D ．64．已知向量1a =，2b =，a ，b 的夹角为45°，若c a b =+，则a c ⋅=（ ） A．BC ．2D ．35．下列命题正确的是（ ）A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱.B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱.C ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱.D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台. 6．正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AA 与BC 所成角的大小为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．已知两条不重合的直线a 和b ，两个不重合的平面α和β，下列四个说法： ①若//a α，b β//，//a b ，则//αβ； ②若//a b ，a α⊂，则//b α；③若a α⊂，b α⊂，//a β，b β//，则//αβ； ④若αβ⊥，a αβ⋂=，b β⊂，a b ⊥，则b α⊥． 其中所有正确的序号为（ ） A ．②④B ．③④C ．④D ．①③8．某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n 为（ ） A ．15B ．16C ．30D ．319．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．设向量a 12=-（，），b m 1,,m =+-（）且a b ⊥，则实数的值为（） A ．2-B ．2C ．13D ．13-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年山东省济宁市高一上学期期末质量检测数学模拟试题一、单选题．．．．”是“)0a b -<1a b <+二、多选题三、填空题四、解答题(1)求t与x之间的关系式；(2)求y关于x的函数解析式；参考答案：1．C【分析】根据交集运算求解即可.【详解】由题意可得：.A B = {}3,1,1--故选：C.2．D【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可知：“，”的否定是“，”.x ∀∈R e 10x x --≥x ∃∈R e 10xx --<故选：D.3．A【分析】以0和1为中间值比较即可.【详解】因为，所以，22log 3log 21>=1a >因为，所以，33log 0.3log 10<=0b <因为，所以，0.20033-<<01c <<所以.a c b >>故选：A.4．B【分析】利用函数奇偶性的定义逐个选项分析即可.【详解】对于A ，令，，故，即()()sin g x y x f x ==+()()sin g x x f x -=--()()g x g x =--是奇函数，故A 错误，()g x 对于B ，令，而，故()()sin h x y x f x ==⋅()()()()sin (1)sin h x y x f x x f x h x -==-⋅-⋅=⋅=是偶函数，故B 正确，()h x 对于C ，令，，显然当时，不是偶()()cos m x y x f x ==+()()cos m x x f x -=-()0f x ≠()m x 函数，故C 错误，对于D ，令，而,故，即是奇函数，()()cos t x y x f x ==⋅()()cos t x x f x -=⋅-()()t x t x =--()t x 故D 错误.由图像得共有个交点，故有个零点，即C 正确.3()f x 3。

2024届山东省济宁市数学高一上期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC =AB =2，则原平面图形的面积为（）A.322B.32C.122D.622．函数cos y x =的定义域为[],a b ，值域为3[1,]2-，则b a -的取值范围是（） A.5[,]6ππ B.55[,]63ππ C.[]6,ππD.11[,]6ππ 3．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α=π4，则点P 的坐标为 ( ) A.(1，2) B.(2，1) C.(22，)D.(1，1)4．一个容量为1 000的样本分成若干组，已知某组的频率为0．4，则该组的频数是 A.400 B.40 C.4 D.6005．若将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A.的最小正周期为B.在区间上单调递减C.图象的一条对称轴为直线D.图象的一个对称中心为6．若点()1,3A --、()2,B a 、()3,1C 在同一直线上，则=a （） A.0 B.1 C.2D.1-7．已知集合{|43}M x x =-<<，{|5N x x =<-或3}x ≥，则M N ⋃=（） A.{|5x x <-或}4x >- B.{|53}x x -<< C.{|54}x x -<<-D.{|5x x <-或3}x >8．命题“∀x >0，x 2-x ≤ 0 ”的否定是（） A.∃x >0，x 2-x ≤ 0 B.∃x > 0，x 2-x >0 C.∀x > 0，x 2-x > 0 D.∀x ≤0，x 2-x > 09．已知0.23a =，13log 0.4b =，2log 0.2c =，则()A.a b c >>B.b c a >>C.c b a >>D.b a c >>10．已知,,R a b c ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A.22a b > B.11a b< C.||||a c b c >D.c a c b -<-二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．在矩形ABCD 中，AB =2，AD =1．设123456t AB BC CD DA AC BD λλλλλλ=+++++ ①当1234561,1λλλλλλ===-===时，t =___________； ②若{}1,1,1,2,3,4,5,6i i λ∈-=，则t 的最大值是___________ 12．已知函数()2cos 3sin cos f x x x x =.（1）当函数()f x 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）完成下表，并在平面直角坐标系内作出函数()f x 在[]0,π的图象. x 0 πy13．若关于x 的不等式3231012xkx x x ->+-对任意的()0,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围为____________14．过两直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点,且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为_______________. 15．已知点(1,1),(1,5)A B -，若12AC AB =，则点C 的坐标为_________. 三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．某行业计划从新的一年2020年开始，每年的产量比上一年减少的百分比为(01)<<x x ，设n 年后（2020年记为第1年）年产量为2019年的a 倍. （1）请用a ，n 表示x .（2）若10%x =，则至少要到哪一年才能使年产量不超过2019年的25%？ 参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈. 17．已知向量()2,6a =-，10b =.（1）若a 与b 共线且方向相反，求向量b 的坐标. （2）若a b +与b 垂直，求向量a ，b 夹角θ的大小. 18．若函数f (x )满足f (log a x )＝21a a -·(x －1x)(其中a ＞0且a ≠1). (1)求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围 19．已知函数()2=-a f x x x，且()922f =.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并证明.20．已知3sin()cos cos 22()3sin()cos(2)sin tan()2f ππθπθθθππθπθθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---+-- ⎪⎝⎭. （1）化简()fθ；（2）若()3f πθ-=-，求3sin 2cos 5cos 2sin θθθθ-+的值；（3）解关于θ的不等式：2f πθ⎛⎫≥⎪⎝⎭21．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型(01)xy ka k a =>>，与12(00)y px k p k =+>>，可供选择（1）试判断哪个函数模型更合适并说明理由，求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg30.4711≈≈）参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、C【解析】先求出直观图中，∠ADC =45°，AB =BC =2，AD =DC =4，即可得到原图形是一个直角梯形和各个边长及高，直接求面积即可.【详解】直观图中，∠ADC =45°，AB =BC =2，DC ⊥BC，∴AD =DC =4，∴原来的平面图形上底长为2，下底为4，高为42的直角梯形， ∴该平面图形的面积为()124421222+⨯⨯=. 故选：C 2、B【解析】观察cos y x =在[]0,2π上的图象，从而得到b a -的取值范围. 【详解】解：观察cos y x =在[]0,2π上的图象，当32y =时，6x π=或116π，当1y =-时，x π=， ∴b a -的最小值为：566πππ-=，b a -的最大值为：111056663ππππ-==，∴b a -的取值范围是55[,]63ππ故选：B【点睛】本题考查余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象，考查数形结合思想，属基础题 3、D【解析】设出P 点坐标（x ，y ），利用正弦函数和余弦函数的定义结合4π的三角函数值求得x ，y 值得答案 【详解】设点P 的坐标为(x ，y)，则由三角函数的定义得π42π42sin cos ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即π214π2 1.4x cos y sin ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，故点P 的坐标为(1，1).故选D【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础的计算题 4、A【解析】频数为10000.4400⨯= 考点：频率频数的关系 5、D【解析】根据题意函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数，即可求出最小正周期，把看成是整体，分别求的单调递减区间、对称轴、对称中心，在分别验证选项即可得到答案. 【详解】由于函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），故函数的解析式为，再将所得图象向左平移个单位长度，.，故A 错误；的单调减区间为，故在区间内不单调递减；图象的对称轴为，不存在使得图象的一条对称轴为直线，故C错误；图象的对称中心的横坐标为，当时，图象的一个对称中心为，故D 正确.故选：D. 6、A【解析】利用AB AC k k =结合斜率公式可求得实数a 的值.【详解】因为()1,3A --、()2,B a 、()3,1C 在同一直线上，则AB AC k k =，即3132131a ++=++，解得0a =. 故选：A. 7、A【解析】应用集合的并运算求M N ⋃即可.【详解】由题设，M N ⋃={|43}x x -<<⋃{|5x x <-或3}{|5x x x ≥=<-或}4x >-. 故选：A 8、B【解析】根据含有一个量词命题否定的定义，即可得答案. 【详解】命题“∀x >0，x 2-x ≤ 0 ”的否定是：“∃x > 0，x 2-x >0 ”. 故选：B 9、A【解析】比较a 、b 、c 与中间值0和1的大小即可﹒【详解】0.20331a ＝＞＝，()1113331log 0.4log 1log 013b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭＝，＝，，22log 0.2log 10c ＝＜＝，∴a b c >>﹒ 故选：A ﹒ 10、D【解析】对A ，B ，C ，利用特殊值即可判断，对D ，利用不等式的性质即可判断. 【详解】解：对A ，令1a =，2b =-，此时满足a b >，但22a b <，故A 错； 对B ，令1a =，2b =-，此时满足a b >，但11a b>，故B 错； 对C ，若0c ，a b >，则||||a c b c =，故C 错；对D ，a b >a b ∴-<-，则c a c b -<-，故D 正确. 故选：D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11、 ①.0 ②.【解析】利用坐标法可得t =.【详解】由题可建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,2,0,2,1,0,1A B C D ，∴()()()()()()()123456135624562,00,12,00,12,12,12222,λλλλλλλλλλλλλλ++-+-++-=-+--++， ∴()()22135624564t λλλλλλλλ=-+-+-++∴当1234561,1λλλλλλ===-===时，()()221356245640t λλλλλλλλ=-+-+-++=，因为{}1,1,1,2,3,4,5,6i i λ∈-=，要使t 最大，可取1234561,1,1,1,1,1λλλλλλ===-=-==-，即135624564,2λλλλλλλλ-+-=-++=时， t 取得最大值是17故答案为：0；21712、（1）,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（2）答案见解析【解析】( 1 )由三角恒等变换求出解析式，再求得最大值时的x 的集合, ( 2)由五点法作图,列出表格,并画图即可. 【小问1详解】21131()cos 3cos cos 22sin(2),2262x x x x x x f x =+=+=++π 令2262x k πππ+=+，函数()f x 取得最大值，解得,6=+∈x k k Z ππ，所以此时x 的集合为,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【小问2详解】 表格如下：x 06π 512π 23π 1112ππ26x π+6π 2π π32π 2π136πy1321212-121作图如下，13、[]0,1【解析】根据题意显然可知0k ≥，整理不等式得：102k x x <-，令()102f x x x=-，求出()f x 在()0,2x ∈的范围即可求出答案.【详解】由题意知：2302kx x x +->，即22>-k x x 对任意的()0,2x ∈恒成立，0k ∴≥当()0,2x ∈，3231012x kx x x->+-得：233210kx x x x <+--， 即200+21x kx <-对任意的()0,2x ∈恒成立，即210210=2x k x x x-<-对任意的()0,2x ∈恒成立，令()102f x x x=-，()f x 在()0,2x ∈上单减，所以()()21f x f >=，所以1k ≤ 01k ∴≤≤.故答案为：[]0,1 14、4360x y --=【解析】联立两直线方程求得交点坐标，求出平行于直线4x-3y-7=0的直线的斜率，由点斜式的直线方程，并化为一般式【详解】联立280210x y x y ＝＝+-⎧⎨-+⎩ ，解得32x y ⎧⎨⎩＝＝∴两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点为（3，2）， ∵直线4x-3y-7=0的斜率为43， ∴过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0的直线的方程为y-2=43（x-3） 即为4x-3y-6=0 故答案为4x-3y-6=0【点睛】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，训练了二元一次方程组的解法，是基础题 15、（0,3）【解析】设点C 的坐标，利用12AC AB =，求解即可 【详解】解：点(1,1)A ，(1,5)B -，(2,4)AB =-， 设(,)C a b ，(1)1,AC a b =--，12AC AB =， (1a ∴-，11)(2,4)2b -=-，解得0a =，3b =点C 的坐标为(0,3)， 故答案为：(0,3)【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量相等的应用，属于基础题三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）*1)x n N =∈（2）2033【解析】（1）每年的产量比上一年减少的百分比为(01)<<x x ，那么n 年后的产量为2019年的(1)nx -，即得；（2）将 10%x =代入（1）中得到式子，解n ，n 取正整数。

参照秘密级管理★启用前2023—2024学年度第一学期高一质量检测数学（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集1234{}U =，，，，集合{}{2,12}3A B ==，，，则()U A B ð（）A.{134}，， B.{3}4，C.{}3 D.{}4【答案】D 【解析】【分析】先求,A B 的并集再求补集即可.【详解】易知{1,2,3}A B È=，则{}()4U A B ⋃=ð，故选：D.2.函数()()12log 21f x x =-的定义域为（）A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】由真数大于零可得.【详解】要使函数()()12log 21f x x =-有意义，则有210x ->，解得12x >，则函数()f x 的定义域为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：C.3.()()22231m m f x m m x--=--是幂函数，且在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数m =（）A.2B.1- C.4D.2或1-【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的性质和定义即可求解.【详解】由于()()22231m m f x m m x--=--是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-，由于()f x 在()0,x ∈+∞上是减函数，所以2230m m --<，故13m -<<，因此2m =，故选：A4.已知扇形的半径为2cm ，面积为28cm ，则扇形圆心角的弧度数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】设扇形圆心角的弧度数为α，则根据扇形面积公式212S r α=，列出方程求解即可.【详解】设扇形圆心角的弧度数为α，则根据扇形面积公式212S r α=，代入可得：2182=22αα=⨯，解得=4α，故选：D.【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，考查学生的运算，属于基础题.5.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为0.6lg r I =，若6.5级地震释放的相对能量为1I ，7.4级地震释放的相对能量为2I ，记21I n I =，n 约等于()A.16B.20C.32D.90【答案】C 【解析】【分析】由题意可得5310r I =分别代值计算，比较即可【详解】0.6r lgI = ，5310r I ∴=当 6.5r =时，656110I =，当7.4r =时，373210I =，37653236211010101032I n I ∴==÷==⨯故选C【点睛】本题主要考查了指数与对数的相互转化及指数与对数值的计算，属于基础试题．6.设a ，b ，c 都是正数，且346a b c ==，那么下列关系正确的是（）A.2a b c +=B.2ac bc ab+= C.1112a b c += D.112a b c+=【答案】C 【解析】【分析】首先根据指对互化，利用对数表示,,a b c ，再结合对数运算判断选项.【详解】由346a b c k ===，得3log a k =，4log b k =，6log c k =，1log 3k a=，1log 4k b =，1log 6k c =，则11log 4log 222k k b ==，根据log 3log 2log 6k k k +=可知，1112a b c+=.故选：C7.已知1sin cos 3αα+=，且()0,πα∈，则sin cos αα-的值为（）A.13-B.3-C.3D.3或3-【答案】C 【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得4sin cos 9αα=-，根据()0,πα∈即可求得结果.【详解】将1sin cos 3αα+=两边同时平方可得，221sin cos 2sin cos 9αααα++=，可得4sin cos 9αα=-；又()0,πα∈，所以sin 0,cos 0αα><；易知()22217sin cos 2sin cos 9sin cos αααααα-==+-，可得3sin cos αα-=±；又sin 0,cos 0αα><,所以sin cos 3αα-=.故选：C 8.已知131sin =,cos =,11a a a aθθ--++若θ为第二象限角，则下列结论正确的是（）A.1,19a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B.1a =C.1a =或19a = D.19a =【答案】D 【解析】【分析】根据同角平方和关系即可结合角的范围求解.【详解】由131sin =,cos =,11a a a a θθ--++可得2222131sin cos =1111a a a a a θθ--⎛⎫⎛⎫++=⇒= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭或19a =，由于θ为第二象限角，所以131sin =0,cos =011a a a aθθ--><++，故当1a =时，1sin =0,1aaθ-=+不符合要求，则19a =符合要求，故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列结论成立的是（）A.若a b <，则1ab < B.若22a bc c>，则a b >C.若a b >，则11a cb c<-- D.若1133a b >，则a b >【答案】BD 【解析】【分析】选项AC ，特值法可排除；选项B ，由不等式的性质可得；选项C ，由幂函数性质可得.【详解】选项A ，当2,1a b =-=-时，a b <，但21ab=>，故A 错误；选项B ，由22a b c c>知，20c >，所以a b >，故B 正确；选项C ，当5,2,3a b c ===时，a b >，则111,12a c b c ==---，此时11a c b c>--，故C 错误；选项D ，由幂函数3y x =在R 上是增函数，由1133a b>，得331133a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b >，故D 正确.故选：BD.10.如图，已知矩形U 表示全集，,A B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（）A.()U A B⋂ð B.()U A B ⋂ð C.()A AB ⋂ð D.()A B A⋃ð【答案】AD 【解析】【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项.【详解】在阴影部分区域内任取一个元素x ，则x A ∉且x B ∈，即U x A ∈ð且x B ∈，所以阴影部分可表示为()U A B ⋂ð，A 对；x B ∈且()x A B ∉⋂，阴影部分可表示为()B A B ⋂ð，而A B ≠，故C 错误；()x A B ∈⋃且x A ∉，阴影部分可表示为()A B A ⋃ð，D 对；显然，阴影部分区域所表示的集合为()U A B ⋂ð的真子集，B 选项不合乎要求.故选：AD.11.下列说法正确的有（）A.“x ∃∈R ，使得210x x --=”的否定是“x ∀∈R ，都有210x x --=”B.若函数()22log 41y mx x =++的值域为R ，则实数m 的取值范围是[]0,4C.若,αβ∈R ，则“αβ>”的充要条件是“sin sin αβ>”D.若1a >，则161a a +-的最小值为9【解析】【分析】选项A ，由存在量词命题的否定形式可得；选项B ，函数()22log 41y mx x =++的值域为R 转化为研究函数2()41g x mx x =++的值域，分0m =与0m ≠两类情况分析可得；选项C ，特值法可知；选项D ，利用基本不等式求最值可得.【详解】选项A ，“x ∃∈R ，使得210x x --=”的否定是“x ∀∈R ，都有210x x --≠”，故A 错误；选项B ，因为函数()22log 41y mx x =++的值域为R ，设函数2()41g x mx x =++值域为M ，则M +⊇R ，当0m =时，()41g x x =+，值域M =R ，满足题意；当0m ≠时，2()41g x mx x =++为二次函数，要使值域M +⊇R ，则()g x 图象开口向上，且与x 轴有公共点，所以有0m >且1640m ∆=-≥，解得04m <≤，综上可得04m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]0,4，故B 正确；选项C ，当ππ,=2αβ=时，αβ>，但sin 0,sin 1αβ==，不满足sin sin αβ>，故C 错误；选项D ，由1a >，则1616111911a a a a +=-++≥=--，当且仅当1611a a -=-，即5a =时等号成立，故161a a +-的最小值为9，故D 正确.故选：BD.12.设函数()f x 的定义域为R ，π(2f x -为奇函数，π()2f x +为偶函数，当ππ[,22x ∈-时，()cos f x x =，则下列结论正确的是（）A.5π()12f =- B.()f x 在(3π,4π)上为增函数C.点3π(,0)2是函数()f x 的一个对称中心 D.方程()lg 0f x x -=仅有5个实数解【答案】BC【分析】由函数的奇偶性，对称性以及周期性逐一判断选项即可得到答案.【详解】函数()f x 的定义域为R ，由π()2f x -为奇函数，得ππ((22f x f x --=--，即(π)()f x f x --=-，由π(2f x +为偶函数，得ππ(()22f x f x -+=+，即(π)()f x f x -+=，则(π)(π)f x f x -+=---，即(2π)()f x f x +=-，于是(4π)(2π)()f x f x f x +=-+=，函数()f x 是周期为4π的周期函数，对于A ，当ππ[,]22x ∈-时，()cos f x x =，5ππππ()(2π)(cos 02222f f f =+=-=-=，A 错误；对于B ，()f x 在π[,0]2-上单调递增，由(π)()f x f x --=-，知()f x 图象关于点π(,0)2-对称，则()f x 在π[π,2--上单调递增，即函数()f x 在[π,0]-上单调递增，因此()f x 在(3π,4π)上单调递增，B 正确；对于C ，由(2π)()f x f x +=-及(π)()f x f x -+=，得(2π)(π)f x f x +=--+，即(3π)()f x f x +=--，因此函数()f x 图象关于点3π(,0)2对称，C 正确；对于D ，当ππ[,]22x ∈-时，0()1f x ≤≤，由函数()f x 图象关于点π(,0)2-对称，知当3ππ[,22x ∈--时，1()0f x -≤≤，则当3ππ[,]22x ∈-时，1()1f x -≤≤，由(π)()f x f x -+=，知函数()f x 图象关于直线π2x =对称，则当π5π[,]22x ∈时，1()1f x -≤≤，于是当3π5π[,22x ∈-时，1()1f x -≤≤，而函数()f x 的周期是4π，因此函数()f x 在R 上的值域为[1,1]-，方程()lg 0f x x -=，即()lg f x x =，因此()lg 0f x x -=的根即为函数()y f x =与lg y x =图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数()y f x =与lg y x =的部分图象，如图，观图知，()y f x =与lg y x =图象在7π(0,2上有且只有3个公共点，而当7π2x ≥时，()1,lg 1f x x ≤>，即函数()y f x =与lg y x =图象在7π(,)2+∞无公共点，所以方程()lg 0f x x -=仅有3个实数解，D 错误.【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，(1)存在常数a ，b 使得()()22f x f a x b +-=()()2f a x f a x b ⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(),a b 对称.(2)存在常数a 使得()()2f x f a x =-()()f a x f a x ⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.2log 3392log 81log 8log 32-⋅-++=___.【答案】0【解析】【分析】根据对数的运算，结合换底公式进行求解即可.【详解】2log 3392log 81log 8log 32-⋅-++243323log 3log 2log 33lg =-⋅-+3lg 2lg 31432lg 3lg 22=-⋅⋅-+314322=--+0,=故答案为：014.若“x ∃∈R ，sin x a <”为真命题，则实数a 的取值范围为______.【答案】()1,-+∞【解析】【分析】根据题意可知()min sin x a <，结合正弦函数的有界性分析求解.【详解】若“x ∃∈R ，sin x a <”为真命题，则()min sin x a <，可知当π2π,2x k k =-∈Z 时，sin y x =取到最小值1-，可得1a >-，所以实数a 的取值范围为()1,-+∞.故答案为：()1,-+∞.15.若π12sin 313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则13πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】1213【解析】【分析】利用诱导公式化简求值即可.【详解】π12sin 313α⎛⎫+=⎪⎝⎭Q 13π12πππcos cos cos 6666ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππcos sin 233αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1213=.故答案为：121316.设m 是不为0的实数，已知函数()231,21024,2x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若函数()()()22F x f x mf x ⎡⎤=-⎣⎦有7个零点，则m 的取值范围是______.【答案】()0,2【解析】【分析】作出()f x 的图象，然后由()0F x =，得()0f x =或()20f x m -=，由图象可知()f x 有3个零点，所以()20f x m -=就有4个零点，再结合图象可求出结果.【详解】作出函数()f x的图象如图所示，由()()()20F x f x f x m ⎡⎤=-=⎣⎦，得()0f x =或()20f x m -=，当()0f x =时，()f x 有3个零点，要使函数()()()22F x f x mf x ⎡⎤=-⎣⎦有7个零点，则当()20f x m -=时，()()02mf x m =≠，即()y f x =与2m y =有4个交点，结合图形可得012m<<，解得02m <<，即m 的取值范围为()0,2故答案为：()0,2.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过定点()2,3P ．（1）求sin α、cos α的值；（2）求()()()11π9πcos sin 2sin πcos 22πcos sin π2αααααα⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）sin 13α=；cos 13α=（2）23-【解析】【分析】（1）由求出点r OP =的值，结合三角函数定义可得；（2）利用诱导公式化简可得.【小问1详解】由题意知，因角α的终边与x 轴的正半轴重合，且终边过点(2,3)P ，则点P 到原点O的距离r OP ===，则sin 13y r α===，cos 13x r α===；【小问2详解】()()()11π9πcos sin 2sin πcos 22πcos sin π2αααααα⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+-- ⎪⎝⎭3ππcos sin 2sin cos 22sin sin αααααα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-sin cos 2sin cos sin sin αααααα-+=-213cos 213sin 313αα=-==-.18.已知函数()f x 为一元二次函数，()f x 的图象过点()0,1，对称轴为12x =-，函数()f x 在R 上的最大值为54．（1）求()f x 的解析式；（2）当[]2,x m m ∈-，m ∈R 时，求函数()f x 的最大值（用含参数m 的分段函数表示）．【答案】（1）()21f x x x =--+（2）2211,2513,422331,2m m m y m m m m ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+-≥⎪⎩【解析】【分析】（1）由已知设出二次函数解析式，由条件代入解析式待定系数可得；（2）分类讨论轴与区间的关系，通过函数的单调性求最值可得.【小问1详解】由题意，设函数()2()(0)f x a x h k a =-+≠，由对称轴为12x =-，函数()f x 在R 上的最大值为54，可得215()()24f x a x =++，将点(0,1)代入可得15144a =+，解得1a =-，故()2215124f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.故函数()f x 的解析式为()21f x x x =--+；【小问2详解】()f x 的对称轴为12x=-，当12m ≤-时，()f x 在区间[]2,m m -单调递增，则2max ()()1f x f m m m ==--+；当122m m -<-<，即1322m -<<时，()f x 在区间12,2m ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭单调递增，在区间1,2m ⎛⎤-⎥⎝⎦单调递减，故max 15()()24f x f =-=；当122m -≥-，即32m ≥时，()f x 在区间[]2,m m -单调递减，故22max ()(2)(2)(2)131f x f m m m m m =-=----+=-+-；综上，()f x 的最大值2211,2513,422331,2m m m y m m m m ⎧--+≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-+-≥⎪⎩.19.已知集合{}2|8120A x x x =-+=，{}21,23B a a =+-，{}2|60C x ax x =-+=（1）若集合=A B ，求实数a 的值；（2）若集合C A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）=5a （2）124a >或=0a 【解析】【分析】（1）先化简集合{}2|8120A x x x =-+=，然后根据条件=A B 即可确定实数a 的值；（2）由条件集合C A ⊆知，集合C 中至多有2个元素，对集合{}2|60C x ax x =-+=中的元素个数进行分类讨论即可.【小问1详解】易知集合{}2|8120A x x x =-+=={}2,6，∴由=A B 得：212236a a +=⎧⎨-=⎩或216232a a +=⎧⎨-=⎩，解得：=5a .【小问2详解】（1）当=0a 时{}6C =满足C A ⊆；（2）当0a ≠时①当Δ1240a =-<即124a >时，C =∅满足C A ⊆，124a ∴>.②当Δ1240a =-=即124a =时，{}21601224C xx x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭∣，不满足C A ⊆.③当Δ1240a =->即124a <时，满足C A ⊆，只能=C A ，18612aa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解.综上所述：124a >或=0a .20.我们知道存储温度x （单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间T （单位：h ），温度越高，保鲜时间越短.已知x 与T 之间的函数关系式为()emx nT x +=（e 为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为180h ，在25℃的保鲜时间为45h .1.41≈）（1）求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）；（2）若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h ，那么对存储温度有怎样的要求？【答案】20.254小时；21.存储温度要不高于15℃.【解析】【分析】（1）把给定的数对代入函数关系，求出5e 2m =，并确定0m <，再求出(0)T 即得.（2）利用（1）中信息，建立不等式，再借助指数函数单调性解不等式即得.【小问1详解】依题意，把()5,180，()25,45分别代入()emx nT x +=，得525e 180e45m n m n ++⎧=⎨=⎩，于是20451e1804m==，则5e 2m =，0m <，当0x =时，()51800e 180 1.41253.8e 22n m T ====⨯=，此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间为254小时.【小问2详解】依题意，()e 90mx nT x +=≥，由（1）知101e 2m =，显然515101ee e 180902m n m nm ++⋅⋅===，于是15e e mx n m n ++≥，则15e e mx m ≥，因此15mx m ≥，而0m <，则有15x ≤，所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于90h ，存储温度要不高于15℃.21.已知函数()()cos 2f x x θ=+（ππ22θ-<<），满足函数π12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数．（1）求函数()()23sin 22cos2y x x θθ=-+-+，π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域；（2）函数()f x 在区间π,32a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π3,6a ⎡⎤⎢⎣⎦上均单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】（1）7,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）2ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先由奇函数解得θ，再将πsin 23x ⎛⎫-⎪⎝⎭看成整体，将所求函数转化为二次函数值域求解即可；（2）将复合函数单调性利用换元法转化为余弦函数的单调性即可求解参数范围.【小问1详解】因为ππ()cos(2)22f x x θθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭，由ππcos 2126y f x x θ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，所以πcos 06θ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则()πππ62k k θ-+=-+∈Z ，解得()ππ3k k θ=-+∈Z ，又ππ22θ-<<，则π3θ=-.验证：当π3θ=-时，ππcos 2sin 2122f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由sin(2)sin 2x x -=-，得sin 2y x =是奇函数.因为函数22ππ3sin(2)2cos (2)3sin(2)2cos (2)33y x x x x θθ=-+-+=----2ππ2sin (2)sin(2)133x x =---+2π172sin(2)348x ⎡⎤=--+⎢⎣⎦，由π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ7π2,366x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当π1sin 234x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，min 78y =；当π1sin 232x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或1时，max 2y =.故所求函数的值域为7,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】因函数π()cos(2)3f x x =-在区间π,32a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7π3,6a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，令π23t x =-，则()cos g t t =在区间ππ,3a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π6,2π3a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，故π03a -≤，且π6π3a -≥，解得2ππ93a ≤≤，则实数a 的取值范围为2ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦.22.设函数1()212xx f x =++.（1）证明函数()f x 在(0,)+∞上是增函数；（2）若1()log 212xa x g x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)a >，是否存在常数m ，(0,)n ∈+∞，()m n <，使函数()g x 在[,]m n 上的值域为[]1log 2,1log 2a a m n ++，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）不存在，理由详见解析.【解析】【分析】（1）利用函数单调性定义证明；（2）由（1）结合复合函数的单调性得到1()log 212xa x g x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上是增函数，从而有1log 211log 221log 211log 22m a a mn a a n m n ⎧⎛⎫++=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，转化为m ，n 是方程()()212210x x a ---=的两个不同的正根求解.【小问1详解】证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则12121211()()212122x x x x f x f x ⎛⎫-=++-++ ⎪⎝⎭()()12121221222x x x x x x ++-=-，因为12x x <，则1222x x <，因为12,(0,)x x ∈+∞，则12210x x +->，所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上是增函数；【小问2详解】由（1）知：1()212xxf x =++在(0,)+∞上是增函数，又1a >，由复合函数的单调性知1()log 212xa x g x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上是增函数，假设存在常数m ，(0,)n ∈+∞，()m n <，使函数()g x 在[,]m n 上的值域为[]1log 2,1log 2a a m n ++，所以1log 211log 221log 211log 22m a a m n a a n m n ⎧⎛⎫++=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，即121·22121·22m m mn nn a a ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，则m ，n 是方程121·22xx x a ++=的两个不同的正根，则m ，n 是方程()()212210xx a ---=的两个不同的正根，设21x t =>，则()2110a t t ---=有两个大于1的不等根，设()()211h t a t t =---，因为()010h =-<，1a >，所以方程()2110a t t ---=有一个大于0，一个小于0的根，所以()2110a t t ---=不存在两个大于1的不等根，。

2023-2024学年山东省济宁市高一上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知集合{}14A x x =≤≤，{}3B x x =>，则A B ⋃=（）A ．[)1,3B ．(]3,4C ．()3,+∞D ．[)1,+∞【正确答案】D【分析】利用集合的并集运算即可求出答案.【详解】由题意可知，{}1A B x x ⋃=≥，故选：D.2．已知命题p ：0x ∃>，22x x >，则p ⌝是（）A ．0x ∃>，22x x ≤B ．0x ∃>，22x x <C ．0x ∀>，22x x ≤D ．0x ∀>，22x x <【正确答案】C【分析】根据存在量词命题的否定判断即可.【详解】p ⌝：0x ∀>，22x x ≤.故选：C.3．“1x ≤”是1≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B1≤得到01x ≤≤，得到答案.1≤，故01x ≤≤，故“1x ≤”是1≤”的必要不充分条件.故选：B4．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点与坐标原点重合，角θ的始边与x 轴非负半轴重合，角θ的终边经过点(P -，则cos θ=（）A ．12-B ．2C ．14-D ．4【正确答案】A【分析】根据点(P -和三角函数概念，即可求出cos θ的值.【详解】因为点(P -，则1cos 2θ=-，故选：A.5．函数3()3log f x x x =-+的零点所在的区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【正确答案】C【分析】由函数的解析式，判定得出()()230f f ⋅<,再由零点的存在定理，即可得到连续函数()f x 的零点所在区间．【详解】解:由题意，函数3()3log f x x x =-+，根据对数的运算性质，可得当0x →时，()0f →-∞，3(1)13log 12f =-+=-,3(2)23log 20f =-+<,3(3)33log 310f =-+=>,3(4)43log 40f =-+>∴()()230f f ⋅<,根据零点的存在定理，可得函数()f x 的零点所在区间是(2,3),.故选:C本题主要考查了函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，其中熟记对数的运算的性质，合理利用零点的存在定理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在[)0,∞+上单调递增，若()2log 9a f =，31log 10b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0.92c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a>>D ．b c a>>【正确答案】A【分析】确定函数在R 上单调递增，()30lo 1g b f =，计算0.923log l 910o 2g >>，得到大小关系.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在[)0,∞+上单调递增，故函数在R 上单调递增，()331log l g 1o 100b f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，223log 9log 8>=，3332log 9log 10log 273=<<=，0.922<，故0.923log l 910o 2g >>，故a b c >>.故选：A7．已知0a >且1a ≠，若函数()log 4a y ax =-在[]1,2上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．(]1,2D ．()1,4【正确答案】B【分析】确定4y ax =-在[]1,2上是减函数，根据复合函数单调性得到1a >，再考虑定义域得到2a <，得到答案.【详解】4y ax =-在[]1,2上是减函数，()log 4a y ax =-在[]1,2上是减函数，故1a >，考虑定义域：420a ->，故2a <，综上所述.12a <<故选：B8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若a ∀，[)0,b ∞∈+，且a b ¹，都有()()0af a bf b a b-<-成立，则不等式()()212210f t t f t t ⎛⎫---> ⎪⎝⎭的解集为（）A ．()11,0,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,01,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】根据题意，构造函数()()g x xf x =，求出函数()g x 的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集.【详解】令()()g x xf x =，由题意知()g x 在[)0,∞+上为减函数，又()f x 为R 上的偶函数，所以()g x 为R 上的奇函数，又()g x 在[)0,∞+上为减函数，()00g =，所以()g x 在R 上为减函数，①当0t >时，()()112121f t f t t t ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，即()121g g t t ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以121t t<-，所以212t t <-，解得1t >；②当0t <时，()()112121f t f t t t ⎛⎫<-- ⎪⎝⎭，即()121g g t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，所以121t t >-，所以212t t <-，解得21t <-.所以21t <-或1t >.故选：D.二、多选题9．若实数a ，b ，c 满足22ac bc >，则下列结论中正确的是（）A ．a b>B ．22a b >C ．22a b>D ．11a b<【正确答案】AC【分析】根据22ac bc >得到0c ≠，a b >，AC 正确；取特殊值排除BD 得到答案.【详解】22ac bc >，故0c ≠，a b >，AC 正确；取0,1a b ==-，满足a b >，22a b >不成立，B 错误；取1a =，1b =-，满足a b >，11a b <不成立，D 错误.故选：AC10．已知k ∈Z ，则下列各式中，与πcos 6数值相同的是（）A ．πcos π6k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πcos 2π6k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．πsin 2π3k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．()πsin 21π3k ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦【正确答案】BCD【分析】利用诱导公式化简即可.【详解】当k 为奇数时，ππcos πcos 66k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错；ππcos 2πcos 66k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故B 正确；πππsin 2πsin cos 336k ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故C 正确；()ππππsin 21πsin sin cos 3336k ⎡⎤⎛⎫+-=--== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.11．若102a =，105b =，则下列结论中正确的是（）A ．1a b +=B ．52a b<C ．52a b<D ．22a b +>【正确答案】AD【分析】求出lg 2,lg5a b ==，则由对数的计算公式可判断A ；求出5lg 32,2lg 25a b ==可判断B ；要判断52a b <，即判断5222a a b a ⋅<⋅，因为52102,2222a a a b a a b +⋅==⋅==可判断C ；由均值不等式可判断D.【详解】由题意可得出，lg 2,lg5a b ==，所以lg 2lg 5lg101a b +=+==，故A 正确；5255lg 2lg 2lg 32,22lg 5lg 5lg 25a b ======，所以52a b >，故B 不正确；要判断52a b <，即判断5222a a b a ⋅<⋅，因为52102,2222a a a b a a b +⋅==⋅==，所以52a b =，故C 不正确；22a b+>==D 正确.故选：AD.12．已知函数()()41log 142xf x x =+-，则下列说法中正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于y 轴对称C ．函数()f x 在[)0,∞+上是减函数D ．函数()f x 的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【正确答案】BD【分析】根据奇偶性的定义判断AB 选项；利用换元法分析函数()f x 的单调性，即可判断C 选项；根据单调性求值域即可判断D 选项.【详解】因为()f x 的定义域为R ，()()()2444414log 14log 4log log 222x x xxxx f x -+=+-==+所以()()()4log 22x xf x f x --=+=，所以()f x 为偶函数，所以A 错误，B 正确；令2x t =，则41log y t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1s t t =+，则4log y s =，当[)0,x ∈+∞时，[)1,t ∈+∞，所以1s t t=+为增函数，又4log y s =为增函数，所以41log y t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为增函数，又2x t =为增函数，所以()f x 在[)0,∞+上是增函数.又()f x 为R 上的偶函数，所以()()102f x f ≥=，所以()f x 的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.所以C 错误，D 正确.故选：BD.三、填空题13．若扇形的弧长和面积都是4，则这个扇形的圆心角（正角）的弧度数是______.【正确答案】2【分析】根据扇形面积公式和弧长公式列方程求解即可.【详解】设扇形的圆心角的弧度数为a ，半径为r ，12lr S =，所以2r =，2la r==.故2.14．已知函数()()log 32a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象经过定点A ，若幂函数()y g x =的图象也经过点A ，则()3g =______.【分析】根据题意，求出定点A 坐标，进而求出幂函数()y g x =的解析式，即可求出答案.【详解】因为函数()()log 32a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象经过定点A ，可知定点()4,2A ，设()g x x α=，代入()4,2A ，可得12α=，所以()12g x x ==所以()3g =故答案为15．若sin cos αα+=()0,πα∈，则sin cos αα-=______.【分析】根据sin cos 5αα+=得到2sin cos 5αα=-，确定sin cos 0αα->，计算()29sin cos 5αα-=，得到答案.【详解】sin cos 5αα+=，故()21sin cos 12sin cos 5αααα+=+=，故2sin cos 5αα=-，()0,πα∈，故sin 0α>，cos 0α<，sin cos 0αα->，()29sin cos 12sin cos 5αααα-=-=，故sin cos 5αα-=.16．已知0a >且1a ≠，若函数(),253,22x a x f x x a x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】(]1,2【分析】由题意可知，函数()f x 是R 上的单调递增函数，利用单调性列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围.【详解】由题意可知，当2x >时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 是R 上的单调递增函数，可得215232a a a >⎧⎪⎨≤+-⎪⎩，解得12x <≤，故答案为.(]1,2四、解答题17．若()tan π2α+=，求()()()πsin πsin 2cos πsin 2παααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭--+-的值.【正确答案】3【分析】利用诱导公式进行化简，然后利用同角三角函数关系进行求值即可【详解】因为()tan πtan 2αα+==，()sin πsin αα-=，πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()()cos πcos πcos ααα--=+=-，()sin 2πsin αα-=，所以()()()πsin πsin 2cos πsin 2παααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭--+-sin cos tan 1213cos sin 1tan 12+++===-+-+-+αααααα.18．已知集合{}220A x x x =-≤，{}32B x a x a =≤≤-.(1)若2B ∈，求实数a 的取值范围；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由2B ∈，代入可求实数a 的取值范围；（2）由A B B = 可知B A ⊆，讨论集合B 是否为空集，可求出实数a 的取值范围.【详解】（1）因为2B ∈，所以232a a ≤≤-，解得12a ≤，所以实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）由条件可知{}02A x x =≤≤.因为A B B = ，所以B A ⊆.当32-<a a 即1a >时，B =∅，符合B A ⊆；当32a a -≥即1a ≤时，B ≠∅，则有0322a a ≥⎧⎨-≤⎩解得112a ≤≤.综上可知12a ≥，即实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.19．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22f x x x=-+.(1)求()f x 在R 上的解析式；(2)当[]2,1x ∈--时，求()f x 的值域.【正确答案】(1)()22,00,022,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪⎪==⎨⎪⎪--<⎩(2)[]3,1--【分析】（1）根据奇函数的性质求解析式；（2）先根据定义判断函数单调性，再根据单调性求值域.【详解】（1）∵函数()f x 为奇函数，则有：当0x <时，则0x ->，故()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤=--=---+=--⎢⎥-⎣⎦；当0x =时，则()00f =；所以()f x 在R 上的解析式为()22,00,022,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪⎪==⎨⎪⎪--<⎩.（2）当[]2,1x ∈--时，则()22f x x x =--，对[]12,2,1x x ∀∈--，且12x x <，则1211x x >，故1222x x -<-，∴12122222x x x x --<--，即()()12f x f x <，故()22f x x x=--在[]2,1--上为增函数，且()()23,11f f -=--=-，则()31f x -≤≤-，所以当[]2,1x ∈--时，()f x 的值域为[]3,1--.20．流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为248mm ，经过3分钟覆盖面积为264mm ，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y （单位：2mm ）与经过时间x （单位：min ）的关系现有三个函数模型：①xy ka =0k >1a >，②log b y x=（1b >），③y q =（0p >）可供选择.（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm ？（结果保留到整数）【正确答案】(1)答案见解析；(2)至少经过9min 培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm .【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择x y ka =，并求出解析式；（2）根据题意，4273003x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，求出x 的取值范围，进而得出结果.【详解】（1）因为x y ka =0k >1a >的增长速度越来越快，log b y x =（1b >）和y q =（0p >）的增长速度越来越慢，所以应选函数模型x y ka =0k >1a >.由题意得234864ka ka ⎧=⎨=⎩，解得4327a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以该函数模型为4273xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（0x ≥）；（2）由题意得4273003x⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，即410039x⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以43100log 9x >，又341001g100221g3220.4779log 8.3684921g2lg320.3010.4771g 3--⨯==≈≈-⨯-.所以至少经过9min 培养基中菌落的覆盖面积能超过2300mm .21．已知函数()()222f x ax a x =+--在[)1,+∞上为减函数.(1)求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()0f x ≥.【正确答案】(1)0a ≤(2)答案见解析【分析】（1）考虑0a =和0a ≠两种情况，根据二次函数的单调性得到0 212a a a<⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得答案.（2）考虑0a =和a<0两种情况，根据()()()12f x x ax =+-，考虑11x =-和22x a=的大小关系，解不等式得到答案.【详解】（1）当0a =时，()22f x x =--在[)1,+∞上为减函数，符合题意；当0a ≠时，()()222f x ax a x =+--为二次函数，则0212a a a<⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得a<0.综上所述.0a ≤（2）当0a =时，()220f x x =--≥，所以1x ≤-；当a<0时，()()()12f x x ax =+-的零点为11x =-，22x a=，当21a >-即2a <-时，21x a-≤≤；当21a <-即20a -<<时，21x a ≤≤-；当21a=-即2a =-时，=1x -.综上所述：当0a =时，不等式()0f x ≥的解集为{}1x x ≤-；当20a -<<时，不等式()0f x ≥的解集为21x x a ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭；当2a =-时，不等式()0f x ≥的解集为{}1-；当2a <-时，不等式()0f x ≥的解集为21x x a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.22．已知函数()1222x x a f x +-=+是定义在R 上的奇函数.(1)求实数a 的值；(2)判断()f x 的单调性，并用函数单调性的定义证明；(3)当()1,x ∈+∞时，()()()()222log 2log 16log 0m f x x f x -⋅+<恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1a =(2)()f x 在R 上为减函数，证明见解析(3)(),9-∞【分析】（1）根据题意()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，即可求出实数a 的值；（2）由（1）知，()11122x f x =-+，根据函数单调性的定义化简()()12f x f x -，即可证明其单调性；（3）根据函数的奇偶性和单调性可得到不等式()()222log 1log 4log x x m x ++>，利用基本不等式可求实数m 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()1004a f -==，解得1a =.此时，()()1121222212x xx x f x +--==++，所以()()()()1221212221xx x x f x f x -----===-++，所以()f x 是R 上的奇函数，故1a =.（2）由（1）知，()()()()2121211122212212x x x x x f x -+-===-+++，任取1x ，2x ∈R ，且12x x <，则()()()()21121212121111112212212212121212x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，因为12x x <，所以1222x x <，即21220x x ->，又1120x +>，2120x +>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上为减函数.（3）由题意知()()()()222log 2log 16log f x x f m x⋅<--恒成立，因为()f x 是奇函数，所以()()()()222log 1log 4log f x x f m x ++<，因为()f x 在R 上为减函数，所以()()222log 1log 4log x x m x ++>设2log t x =（0t >），则()()14t t m t ++<，即45m t t<++因为4559t t ++≥=，当且仅当4t t =，即2t =亦即4x =时取等号.所以45t t++的最小值为9.所以9m <，即实数m 的取值范围为(),9-∞.。

2023-2024学年山东省临沂高一上册期末数学质量测试题一、单选题1．已知1sin3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tanα的值为（）A．4BC．-D．【正确答案】A根据同角三角函数的基本关系求出cosα，tanα；【详解】解：因为1sin3α=，22sin cos1αα+=，所以cos3α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos3α=-，所以1sin3tancos43ααα==-故选：A2．已知命题:0p x∀>，2log2x x>，则命题p的否定为（）A．0x∀>，2log2x x≤B．00x∃>，002log2x x≤C．00x∃>，002log2x x<D．00x∃≤，002log2x x≤【正确答案】B根据全称命题的否定是特称命题，可得选项．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:0p x∀>，2log2x x>，则命题p的否定为“00x∃>，002log2x x≤”，故选：B．3．已知函数()xf x a=（0a>且1a≠）在(0,2)内的值域是2(1,)a，则函数()y f x=的函数大致是（）A ．B．C ．D ．【正确答案】B【详解】试题分析：由题意可知21a>，所以1a>，所以()f x是指数型的增函数.故选B.指数函数的图象与性质.4．若正实数a ，b ，c 满足1b a c c c <<<，则a ，b 的大小关系为（）A ．01a b <<<B ．01b a <<<C ．1b a <<D ．1a b<<【正确答案】A【分析】根据已知可得01c <<，根据指数函数的单调性，即可得出答案.【详解】因为c 是正实数，且1c <，所以01c <<，则函数x y c =单调递减.由1b a c c c <<<，可得10b a c c c c <<<，所以01a b <<<．故选：A.5．若0a >且1a ≠，函数()(),140.52,1x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨-+<⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,)+∞B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)【正确答案】D【分析】由已知可得函数()f x 在R 上单调递增，根据分段函数的单调性列出不等式组，即可求得实数a 的取值范围.【详解】解：11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ ，∴对任意的实数12x x ≠都有1212()[()()]0x x f x f x -->成立，可知函数()f x 在R 上单调递增，1140.50(40.5)12a a a a >⎧⎪∴->⎨⎪≥-⨯+⎩，解得[4,8)a ∈，故选：D.6．已知1:12p x ≥-，:2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．[]1,4C ．(]1,4D ．()1,4【正确答案】C【分析】求出p 、q 中的不等式，根据p 是q 的充分不必要条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】解不等式112x ≥-，即131022x x x --=≤--，解得23x <≤，解不等式2x a -<，即22x a -<-<，解得22a x a -<<+，由于p 是q 的充分不必要条件，则(]2,3()2,2a a -+，所以2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤.因此，实数a 的取值范围是(]1,4.故选：C.本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.7．已知函数π()cos()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且当π3x =时，函数()f x 取最小值，若函数()f x 在[,0]a 上单调递减，则a 的最小值是（）A ．π6-B ．5π6-C ．2π3-D ．π3-【正确答案】A【分析】根据最小正周期求出2ω=，根据当π3x =时，函数取最小值，求出π3ϕ=，从而π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[,0]x a ∈得到22,33πππ3x a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由单调性列出不等式，求出06π,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，得到答案.【详解】因为0ω>，所以2π2π2πT ω===，故13πcos(2)ϕ⨯+=-，所以2ππ2π,Z 3k k ϕ+=+∈，解得：ππ,Z k k ϕ=+∈23，因为π||2ϕ<，所以只有当0k =时，π3ϕ=满足要求，故π()cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[,0]x a ∈，所以22,33πππ3x a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，故π2,33π0a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭+，解得：06π,a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故a 的最小值为π6-.故选：A8．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林·梅森曾对“21p -”（p 是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“21p -”（p 是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第6个梅森素数为1721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，则下列各数中与NM最接近的数为（）（参考数据：lg 20.3010≈）A ．18010B ．17710C ．14110D ．14610【正确答案】B【分析】根据题意，得到6076075901717212==2212N M -≈-，再结合对数的运算公式，即可求解.【详解】由第6个梅森素数为1721M =-，第14个梅森素数为60721N =-，，可得6076075901717212=212N M -≈-，令5902k =，两边同时取对数，则590lg 2lg k =，可得lg 590lg 2k =，又lg 20.3010≈，所以lg 5900.3010177.59k ≈⨯=，17710k ≈与NM最接近的数为17710.故选：B.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若,a b 为正实数，a b ¹，则3223+a b a b b a +>B ．若,,a b m 为正实数，a b <，则a m ab m b+<+C ．若,a b R ∈，则“0a b >>”是“11a b <”的充分不必要条件D ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin x x +的最小值是【正确答案】AC利用作差法可考查选项A 是否正确；利用作差法结合不等式的性质可考查选项B 是否正确；利用不等式的性质可考查选项C 是否正确；利用均值不等式的结论可考查选项D 是否正确.【详解】对于A ，若a ，b 为正实数，a b ¹，()()()233220a b a b ab a b a b +-+=-+>，3322a b a b ab ∴+>+，故A 正确；对于B ，若a ，b ，m 为正实数，a b <，()()0m b a a m a b m b b b m -+-=>++，则a m ab m b+>+，故B 错误；对于C ，若11a b <，则110b aa b ab--=<，不能推出0a b >>，而当0a b >>时，有0>0b a ab -<，，所以0b aab -<成立，即11a b<，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故C 正确；对于D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin 1x <<，2sin sin x x +≥=，当且仅当()sin 0,1x =时取等号，故D 不正确.故选：AC.易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．已知关于x 的方程23xm -=有两个不等实根，则实数m 的取值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】CD【分析】化简方程得23x m =±，利用指数函数的值域，列式求解得出答案.【详解】23xm -= ，23x m ∴-=±，23x m -= 有两个不等实根，即23x m =±有两个不等实根，则3030m m +>⎧⎨->⎩，解得3m >，显然选项A ，B 不满足，选项C ，D 满足.故选：CD.11．定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =+，当[3,5]x ∈时，()2|4|f x x =--，则下列说法正确的是（)A ．ππsin cos 66f f⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭B ．(sin1)(cos1)f f <C ．2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(cos 2)(sin 2)f f >【正确答案】BD【分析】根据函数的周期性可得()f x 在[]1,1-上的解析式以及函数在[0,1]上的单调性.比较自变量的大小，即可根据单调性判断A 、B 项；又易知()f x 在[1,1]-上为偶函数，则根据()()f x f x =，可将[1,0]-上的自变量转化为[0,1]上，进而根据单调性，即可判断C 、D 项.【详解】当[1,1]x ∈-时，则[45]3,x +∈，于是()(2)(4)2||f x f x f x x =+=+=-，当01x ≤≤时，()2f x x =-，所以函数()f x 在[0,1]上单调递减；当10x -≤<时，()2f x x =+，所以函数()f x 在[1,0]-上是增函数.()f x 的定义域[1,1]-关于原点对称，且此时()()22-=--=-=f x x x f x则()f x 在[1,1]-上为偶函数.对于A 项，因为ππ0sincos 166<<<，所以ππsin cos 66f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B 项，因为0cos1sin11<<<，所以(cos1)(sin1)f f >，故B 正确；对于C项，因为2π12π0cossin 1323<==<，所以2π2πcossin 33f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，所以2π2πcos sin 33f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；因为ππ0|cos 2|cos sin |sin 2|144<<=<<，所以(|cos2|)(|sin 2|)f f >，所以(cos 2)(sin 2)f f >，故D 正确．故选：BD.12．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，21,01()1,121x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨>⎪-⎩，下列说法中错误的是（）A ．当121122x x -<<<时，恒有()()12f x f x >B ．若当(0,]x m ∈时，()f x 的最小值为34，则m 的取值范围为17,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．存在实数k ，使函数()()F x f x kx =-有5个不相等的零点D ．若关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和为0，则34a =-【正确答案】ACD【分析】根据奇函数的定义确定()f x 在(1,0)-上单调性与性质，然后由函数值大小可判断A ，由函数解析式分段求函数值的范围后可判断B ，由直线y kx =与函数()f x 的图象交点个数判断C ，求出3()4f x =的根是17,26，然后确定a 值使()f x a =根的和为53-即可判断D ．【详解】选项A ，()f x 是奇函数，10x -≤<时，22()()[()()1]1f x f x x x x x =--=----+=---213()24x =-+-，在1(,0)2-上递减，且()0f x <，()f x 是奇函数，则(0)0f =，01x <≤时，2213()1()24f x x x x =-+=-+，在1(0,)2上递减，但()0f x >，因此()f x 在11(,)22-上不是增函数，A 错；选项B ，当01x <≤时，2213()1()24f x x x x =-+=-+，13()24f =，因此12m ≥，当1m >时，1()21f x x =-是减函数，由13214x =-得76x =，因此76m ≤，综上有1726m ≤≤，B 正确；选项C ，易知0x =是()F x 的一个零点，由于(1)1f =，y kx =过点(1,1)时，1k =，此时由21y xy x x =⎧⎨=-+⎩得21x x x -+=，2(1)0x -=，121x x ==，即直线y x =与21y x x =-+在点(1,1)处相切，因此1k >时，直线y kx =与21(01)y x x x =-+<<的图象只有一交点，在01k <<时，直线y kx =与1(1)21y x x =>-只有一个交点，从而0k >时，直线y kx =与()F x 的图象有三个交点，而0x >时，()0f x >，因此0k ≤，直线y kx =与()F x 的图象无交点，所以直线y kx =与()F x 的图象不可能是5个交点，即函数()()F x f x kx =-不可能有5个不相等的零点，C 错；选项D ，由上讨论知3()4f x =的解为12x =和76x =，因此若关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和为0，由()f x 是奇函数知若34a =-，则()f x a =的解是12x =-和76x =-，符合题意，但513(537213f ==⨯-（由此讨论知3()7f x =只有一解），即53()37f -=-，即37a =-时，关于x 的方程3()[()]04f x f x a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦所有实数根之和也为0，D 错．故选：ACD ．方法点睛：解决分段函数的零点与交点问题，把零点问题转化为直线与函数图象交点问题进行处理，从而利用函数的性质确定出函数解析式，作出函数图象，观察出结论并找到解题思路．三、填空题13．已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则这条弧所在圆的半径为____________cm ．【正确答案】1【分析】由弧度制公式lrα=求解即可得出答案.【详解】已知弧长为πcm 3的弧所对圆周角为6π，则所对的圆心角为π3，lrα=，313l r ππα∴===，故1.14．已知函数()()22,1log 1,1x ax f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()02f f ⎡⎤=⎣⎦，则实数a 的值为_________．先求()03f =，再代入求()3f ，求实数a 的值.【详解】()00223f =+=，()()03log 22a f f f ⎡⎤===⎣⎦，即22a =，又0a >，且1a ≠，所以a =15．若函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为m，函数()(32g x m =+[0,)+∞上是增函数，则a m -的值是____________．【正确答案】3【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解得出a 和m 的值，最后根据()g x 的单调性检验即可得到.【详解】当1a >时，函数()log a f x x =是正实数集上的增函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有(4)log 42a f ==，解得2a =，所以21log 12m ==-，此时()g x =[)0,∞+上是增函数，符合题意，因此()213a m -=--=；当01a <<时，函数()log a f x x =是正实数集上的减函数，而函数()log a f x x =在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，因此有11log 222a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，a =44m ==-，此时()g x =-在[)0,∞+上是减函数，不符合题意.综上所述，2a =，1m =-，3a m -=.故3.16．若函数()()()sin cos 0f x x x ϕϕ<π=++<的最大值为2，则常数ϕ的值为_______．【正确答案】2π根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+，可得2=，即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2ϕπ=.故答案为.2π四、解答题17．在①22{|1}1x A x x -=<+，②{||1|2}A x x =-<，③23{|log }1xA x y x -==+这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并回答下列问题.设全集U =R ，______，22{|0}.B x x x a a =++-<(1)若2a =，求()()U UC A C B ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1{}1|x x x ≤-≥或(2)(][),34,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据除法不等式，绝对值不等式，对数函数的定义域即可分别求出三种情形下的集合A ；（2）对集合B 中不等式进行因式分解，再根据充分必要条件和集合包含关系即可求解.【详解】（1）若选①：222213{|1}{|0}{|0}{|13}1111x x x x A x x x x x x x x x --+-=<=-<=<=-<<++++，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选②：{|12}{|212}{|13}A x x x x x x =-<=-<-<=-<<()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.若选③：()(){}233{|log }031011x x A x y x x x x x x ⎧⎫--====-+=⎨⎬++⎩⎭{|13}x x -<<，()22{|0}{|()10}{|(2)(1)0}B x x x a a x x a x a x x x ⎡⎤=++-<=++-<=+-<⎣⎦，所以{|2<1}B x x =-<，{|13}U C A x x x =≤-≥或，{|21}U C B x x x =≤-≥或，故()()U U C A C B ⋃=1{}1|x x x ≤-≥或.（2）由（1）知{|13}A x x =-<<，()22{|0}{|()10}B x x x a a x x a x a ⎡⎤=++-<=++-<⎣⎦，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，（i ）若(1)a a -<--，即12a >，此时{|(1)}B x a x a =-<<--，所以1,3(1)aa -≥-⎧⎨≤--⎩等号不同时取得，解得4a ≥.故4a ≥.（ii ）若(1)a a -=--，则B =∅，不合题意舍去；（iii ）若(1)a a ->--，即12a <，此时{|(1)}B x a x a =--<<-，1(1),3a a -≥--⎧⎨≤-⎩等号不同时取得，解得3a ≤-.综上所述，a 的取值范围是(][),34,-∞-⋃+∞.18．（1）已知sin 2cos 0αα-=，求22sin cos sin 3sin cos 2cos αααααα--的值；（2）已知4sin()5απ+=，且sin cos 0αα<，求()()()2sin 3tan 34cos παπααπ----的值.【正确答案】（1）12-；（2）73.【分析】（1）先求出tan 2α=，再进行弦化切代入即可求解；（2）先求出4sin 5α=-，3cos 5α=，得到4tan 3α=-，再进行诱导公式和弦化切变换，代入即可求解.【详解】（1）由sin 2cos 0αα-=知tan 2α=∴原式=2tan 21tan 3tan 24622ααα==-----（2） 4sin()5απ+=∴4sin 05α=-<又sin cos 0αα<∴cos 0α>∴3cos 5α==∴4tan 3α=-原式=()()2sin 3tan 4cos απαπα---=2sin 3tan 4cos ααα+-=44237533345⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯19．已知函数()323log 1x f x x -=-．(1)求函数()f x 的解析式及定义域；(2)求函数()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域．【正确答案】(1)()()12031xf x x =-≠-，()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U (2)()15,3,8⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用换元法求得函数的解析式，根据函数定义域的求法，求得函数的定义域.（2）结合3x 的取值范围来求得()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域．【详解】（1）对于3log x ，需0x >；对231x x --，需1x ≠；则()()3log ,00,x ∈-∞⋃+∞，令3log t x =，则0t ≠，3t x =，()()231123312313131tt t t t f t ⋅--⋅-===----，所以()()12031x f x x =-≠-，即()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U .（2）当0x <时，11031,1310,1,13131x xxx <<-<-<<-->--，12331x ->-.当02x <<时，1111139,0318,,318318x xx x <<<-<>-<---，1115223188x-<-=-.所以()f x 在()(),00,2x ∈-∞⋃时的值域为()15,3,8⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.20．已知函数()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间,82ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值.【正确答案】（1）最小正周期为π，单调减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）max ()f x =，此时8x π=，min ()1f x =-，此时2x π=.【分析】（1）直接利用周期公式计算周期，再利用整体代入法求余弦型函数的单调减区间即可；（2）先求出24x π-的取值范围，再利用余弦函数的性质求最值及取最值的条件即可.【详解】解：（1）()f x 的最小正周期22||2T πππω===.令2224k x k ππππ≤-≤+，解得588k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈，此时时，()f x 单调递减，()f x ∴的单调递减区间是5,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）,82x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则32,424x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故cos 2,142x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()24f x x π⎛⎫⎡=-∈- ⎪⎣⎝⎭，max ()f x ∴=cos 214x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即204x π-=，即8x π=；min ()1f x =-，此时cos 242x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即3244x ππ-=，即2x π=.方法点睛：解决三角函数()cos y A x ωϕ=+的图象性质，通常利用余弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.21．2022年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度(y 单位：毫克/立方米)随着时间(x 单位：小时)变化的关系如下：当04x 时，1618y x =--；当410x <时，15.2y x =-若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用.(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒(14)a a 个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a 的最小值.(精确到0.1取1.4)【正确答案】(1)8(2)1.6【分析】（1）根据喷洒4个单位的净化剂后浓度为()644,048202,410x f x x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩，由()4f x ≥求解；（2）得到从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，化简利用基本不等式求解.【详解】（1）解：因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以其浓度为()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-<≤⎩，当04x ≤≤时，64448x-≥-，解得0x ≥，此时04x ≤≤，当410x <≤时，2024x -≥，解得8x ≤，此时48x <≤，综上08x ≤≤，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时；（2）设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤小时后，其浓度为()()116251286g x x a x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，1616101441414a ax a x a x x=-+-=-+----，因为[][]144,8,1,4x a -∈∈，所以161444414a x a a a x -+--≥--=---，当且仅当161414ax x-=-，即14x =-时，等号成立；所以其最小值为4a --，由44a -≥，解得244a -≤，所以a 的最小值为24 1.6-≈.22．我们知道，指数函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）与对数函数()log a g x x =（0a >，且1a ≠）互为反函数.已知函数()2xf x =，其反函数为()g x .(1)求函数()()()223F x g x tg x =-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈的最小值；(2)对于函数()x ϕ，若定义域内存在实数0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则称()x ϕ为“L 函数”.已知函数()()()223,1,3,1f x mf x x h x x ⎧⎡⎤--≥-⎪⎣⎦=⎨-<-⎪⎩为其定义域上的“L 函数”，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)答案见解析(2)[)1,∞-+【分析】（1）利用换元法令2log ,[1,3]p x p =∈，可得所求为关于p 的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，即可得答案.（2）根据题意，分别讨论在[1,1]-、(,1)-∞-和(1,)+∞上存在实数0x ，满足题意，根据所给方程，代入计算，结合函数单调性，分析即可得答案.【详解】（1）由题意得2()log g x x=所以()()()()222223log 2log 3F x g x tg x xt x =-+=-+⎡⎤⎣⎦，[]2,8x ∈，令2log ,[1,3]p x p =∈，设2()23,[1,3]M p p tp p =-+∈则()M p 为开口向上，对称轴为p t =的抛物线，当1t ≤时，()M p 在[1,3]上为单调递增函数，所以()M p 的最小值为(1)42M t =-；当13t <<时，()M p 在(1,)t 上单调递减，在(,3)t 上单调递增，所以()M p 的最小值为2()3M t t =-；当3t ≥时，()M p 在[1,3]上为单调递减函数，所以()M p 的最小值为(3)126M t =-；综上，当1t ≤时，()F x 的最小值为42t -，当13t <<时，()F x 的最小值为23t -，当3t ≥时，()F x 的最小值为126t-（2）①设在[1,1]-上存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则0000114234230x x x x m m +--+-⋅-+-⋅-=，令0022x x t -=+，则2t ≥=，当且仅当00x =时取等号，又0[1,1]x ∈-，所以115222t -≤+=，即52,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以00001124234232260x x x x m m t mt +--+-⋅-+-⋅-=---=，所以28471,2220t t m t t -⎡⎤==---⎢⎥⎣⎦所以71,20m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦②设在(,1)-∞-存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-，则00134230x x m --+-+-⋅-=，即001232x x m --=-⋅有解，因为1232x x y --=-⋅在(,1)-∞-上单调递减，所以12m >-，同理当在(1,)+∞存在0x ，满足()()00x x ϕϕ-=-时，解得12m >-，所以实数m 的取值范围[)1,∞-+解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属难题。