常见的九种二次曲面方程

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常用的二次曲面方程及其图形

这些交线都是椭圆。
3）再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
x 2 y 2 z12 1 a2 b2 c2
a2 c2
x2 (c2
z
2 1
)
b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z= z 1
4）如果 a=b,那么方程变为：
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
x2 y2 a2
4、双曲面
方程为：单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
1）当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 1 a2 b2
2）当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
Z= z1
x 2 y 2 1 z12
a2 b2
c2
-------------椭圆
3）当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
x2 z2 1 a2 c2
4）当用平行 y=0 的平面 y= y1（ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
双曲线知识回顾：
双曲线定义图形
m MF1 MF2 2a2a F1F2
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
p0
P
f (x, z) 0
y0
其方程是：
得到旋转面的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
柱面：是空间的一个曲线，直线 L 沿着平行移动所形成的曲面，叫做柱面，称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。

高等数学二次曲面

高等数学二次曲面引言在高等数学中，二次曲面是一类重要的曲面，它们在空间中具有特定的几何性质和数学定义。

本文将介绍二次曲面的定义、分类以及一些重要的性质和应用。

定义二次曲面是定义在三维空间中的曲面，它可以用一个二次方程的方程来表示。

二次曲面的方程一般具有以下形式：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J是实数。

当方程中的系数满足一些条件时，可以得到不同种类的二次曲面。

分类根据方程中系数的特点，可以将二次曲面分为以下几类：1. 椭球面当A、B和C的系数都为正时，方程表示一个椭球面。

椭球面具有两个主轴，其中两个主轴的长度由A、B和C的值决定。

椭球面在物理学、天文学和工程学等领域有广泛的应用。

2. 单叶双曲面当A、B和C的系数分别为正、负和负时，方程表示一个单叶双曲面。

单叶双曲面有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。

3. 双叶双曲面当A、B和C的系数分别为负、负和正时，方程表示一个双叶双曲面。

双叶双曲面同样有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。

4. 椭圆抛物面当D、E和F的系数都为零时，方程表示一个椭圆抛物面。

椭圆抛物面具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。

5. 双曲抛物面当D、E和F的系数至少有一个不为零时，方程表示一个双曲抛物面。

双曲抛物面同样具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。

6. 椭圆锥面当A、B、C的系数满足一个特定的条件时，方程表示一个椭圆锥面。

椭圆锥面可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。

7. 双曲锥面当A、B、C的系数满足另一个特定的条件时，方程表示一个双曲锥面。

双曲锥面同样可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。

性质和应用二次曲面具有许多重要的性质和应用，以下是其中的一些：•二次曲面对称性：对于大多数二次曲面，它们都具有某种对称性，可以通过变换来描述这种对称性。

二次曲线的类型.ppt

x2 y2 a2 b2 0,
(6) 抛物线: y2 2 px 0,
(7) 一对平行直线: y2 a2 0,
(8) 一对虚平行直线: y2 a2 0,
(9) 一对重合直线: y 2 0.

1( x

a14
1
)2

2(
y

a24
2
)2

3(z

a34
3
)2

a124
1

a224
2

a324
3

a44
0
令常数项为 a4' 4 , 得:
1 x2 2 y2 3 z2 a4' 4 0
(1) 123a4' 4 0
(2.7)
1°1, 2 , 3, 同号 ,则同于形式
A E 0
的根,它们全为实数.因此:
1
T
T
AT

2

.

3
对二次曲面的方程(2.3)，我们作如下的右手直角坐
标变换，保持原点不动，从旧坐标系 1 {O;e1,e2,e3}
到新坐标系 2 {O;1 e1,e2,e3} 的过渡矩阵为T,即:
T,
(2.9) 椭圆抛物面双曲抛物面
(2) a34 0, a4' 4 0, 则(2.8)变为:
1 x2 2 y2 a4'4 0.
(2.10)
9° 1 , 2 同号但与 a4' 4 异号 ,则同于形式:
x2 y2 a2 b2 1 0.
10°1 , 2 , a4' 4 同号,则同于形式:

高数九大曲面方程总结

高数九大曲面方程总结1. 一次曲面方程一次曲面方程是指一个关于x,y和z的方程，其中x,y和z的最高次数均为1。

一次曲面方程的一般形式可以表示为：Ax+By+Cz+D=0其中A,B,C和D为常数。

一次曲面方程描述了一个平面，可以通过平面上的一点和法向量来确定。

平面的法向量可以通过将x,y和z的系数标准化得到。

2. 二次曲面方程二次曲面方程是指一个关于x,y和z的方程，其中x,y和z的最高次数为2。

二次曲面方程的一般形式可以表示为：Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0其中A,B,C,D,E,F,G,H,I和J为常数。

二次曲面方程可以描述各种曲面，例如椭球面、双曲面和抛物面。

通过适当选择系数，可以调整曲面的形状和方向。

3. 椭球面方程椭球面是一个光滑的曲面，其所有点到两个固定点（焦点）的距离之和相等。

椭球面方程的一般形式可以表示为：$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} + \\frac{z^2}{c^2} = 1$$其中a,b和c是椭球面的半轴。

椭球面可以分为三种类型：长轴与z轴平行的旋转椭球面、长轴与x轴平行的旋转椭球面和长轴与y轴平行的旋转椭球面。

通过合适选择系数，可以调整椭球面的大小和形状。

4. 双曲面方程双曲面是一个光滑的曲面，其所有点到两个固定点（焦点）的距离之差相等。

双曲面方程的一般形式可以表示为：$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} - \\frac{z^2}{c^2} = 1$$或$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} + \\frac{z^2}{c^2} = 1$$其中a,b和c是双曲面的半轴。

双曲面可以分为三种类型：长轴与z轴平行的旋转双曲面、长轴与x轴平行的旋转双曲面和长轴与y轴平行的旋转双曲面。

通过合适选择系数，可以调整双曲面的大小和形状。

高等数学常用二次曲面图形.ppt

围成的图形如下：
y 0,
y2
12024/9/27
图30：由 z x2 y2 , z x2 y2 围成的图形如下：
z x2 y2 , z x2 y2
22024/9/27
图31：由 z x2 y2 , x2 y2 1, z 0
围成的图形：
图32： 32024/9/27
图14：函数函
z
1 ey
cos x yey
有无穷多个
极大值，但无极小值。
z 1 ey cos x yey
图15： 62024/9/27
抛物面 z x2 y2 被平面 x y z 1
截成一椭圆。
图16： 72024/9/27
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 在
点
3 a, 3
x2 y2 2x
02024/9/27
图39：由曲面 z x2 y2 和平面
z 0, x 1, y 1 围成图形如下：
z 0, x 1, y 1
12024/9/27
图40：双曲抛物面 z xy 被柱面 x2 y2 1
所截得的图形如下：
x2 y2 1
图41： 22024/9/27
62024/9/27
图1（2）：x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
的图形在第一卦限部分如下：
x2 y2 z2 4, x2 y2 2x
图2： 72024/9/27
（2）、曲线
xyz 1
y
21
处的切线
图3： 82024/9/27
（3）曲线
2x2 y2 z2 16
图46：曲线 x2 y2 z2 1 y z 0
的图形如下：

二次曲面公式总结

二次曲面公式总结在数学中，二次曲面是指由二次多项式方程描述的曲面。

它们具有广泛的应用领域，包括几何、物理学和工程学等。

本文将从圆锥曲线、圆柱曲面和二次曲面三个方面来总结二次曲面的公式和特点。

圆锥曲线圆锥曲线是由一个圆锥和一个平面相交得到的曲线。

当平面垂直于圆锥对称轴时，圆锥曲线成为圆。

当平面与圆锥对称轴的夹角小于圆锥侧面的开口角时，圆锥曲线成为椭圆。

当平面与圆锥对称轴的夹角等于圆锥侧面的开口角时，圆锥曲线成为双曲线。

当平面与圆锥对称轴的夹角大于圆锥侧面的开口角时，圆锥曲线成为抛物线。

圆柱曲面圆柱曲面是由一个圆柱和一个平面相交得到的曲面。

当平面与圆柱轴线平行时，圆柱曲面为一条直线。

当平面的截面是一个圆时，圆柱曲面成为一个圆柱体。

当平面和圆柱的轴线夹角不为90度时，圆柱曲面成为一个椭圆柱。

当平面和圆柱的轴线垂直时，圆柱曲面成为一个抛物面或双曲面。

二次曲面二次曲面是由一个具有二次项的多项式方程描述的曲面。

它们被广泛地应用于数学、物理学、工程学等领域。

二次曲面可以分为二维和三维曲面。

在二维情况下，二次曲线的方程为:ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中，a,b,c,d,e和f是实数或复数。

当b^2 – 4ac > 0时，二次曲线成为椭圆。

当b^2 – 4ac = 0时，二次曲线成为一条抛物线。

当b^2 – 4ac < 0时，二次曲线成为双曲线。

在三维情况下，二次曲面的方程为:ax^2 + by^2 + cz^2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0其中，a,b,c,d,e,f,g,h,i和j是实数或复数。

当方程为一个二次椭球面时，它们的系数可以被正交矩阵矩阵化为标准形式:αx^2 + βy^2 + γz^2 = 1其中，α,β和γ是正实数，代表了椭球面的三个半轴的长度。

椭球面可以是椭球体、椭圆抛物面或双曲面。

总结三类曲面的公式和性质是二次曲面研究的基础，它们在数学和应用领域中有着广泛的应用。

高等数学-几种常见的二次曲面

椭球面、抛物面、双曲面、锥面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
相应地平面被称为一次曲面．
如 2x y 3z 0
20
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
x a, y b, z c
化简得 2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 满足此方程的点都在曲面 S 上,
x2 a2
z c
2 2
1
y12 b2
(实轴平行于x 轴；
y y1
虚轴平行于z 轴）
z y
25
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 ac y b (或 b)
3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
(实轴平行于z 轴;
虚轴平行于x 轴）
z
得到)
28
作业
习题册第七章第五节
2
z12
)
1
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
也为椭圆.
的截痕
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
22
2. 抛物面 (1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.

常见的二次曲面

用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
x2 y2 1, 2 ph 2qh z h.
当h<0时，是实轴与y轴平行的双曲线.
用Oxz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
2 x 2 pz, y 0. 它是以z轴为对称轴，开口朝上的抛物线.
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
因此，椭球面介于 a x a .
二、单叶双曲面
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 a b c
所确定的曲面称为单叶双曲面.
(2)
用平行于Oxy坐标面的平面截所给曲面，得截痕为椭圆
x2 y2 h2 1 2 , 2 2 a b c z h.
当|h|=a时，截痕为一个点；
当|h|<a时为虚椭圆，即无图形. 可见所给图形介于| x | a 的范围内，因此图形为
两支. 常称(a,0,0)和(–a,0,0)为双叶双曲面的顶点.
用Oxz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 z 2 2 2 1, a c y 0.
用平面y=h截所给曲面，得截痕为双曲线
2 x2 z 2 h 2 2 1 2 , a c b y h.
由上述截痕的分析，可画出双叶双曲面的图形.
四、二次锥面
x2 y2 z 2 方程 2 2 0 2 a b c 所确定的曲面称为二次锥面. (4)
五、椭圆抛物面
当|h|<a时，截痕为双曲线.它的实轴平行于y轴，虚轴平行于z轴.
当|h|>a时，截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，
虚轴平行于y轴.
当|h|=a时，截痕为两条直线
y z y z 0, 0. b c b c

几种常见的二次曲面

注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示柱面,
母线平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间方程 F ( x , y ) 0 表示柱面, 母线平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上，表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.

曲面方程的概念

得解从曲线的方程中消去 z ， x2 + y2 3x 5y = 0 ，
3 2 5 2 17 即 ( x ) ( y ) , 2 2 2 它是曲线关于x y 坐标面的投影柱面－圆柱面的方程，在 x y 坐标面上投影曲线是圆. 32 5 2 17 ( x ) ( y ) , 2 2 2 z 0 .
x x ( t ), y y ( t ), z z(t ) .
形如上的方程组称为曲线的参数方程， t 为参数.
例 4 设质点在圆柱面 x 2 y 2 R 2上以均匀的角速度绕 z 轴旋转，同时又以均匀的线速度 v 向平行于 z 轴的方向上升. 运动开始，即 t = 0 时，质点在 P0(R, 0, 0) 处，求质点的运动方程. z 解设时间 t 时，质点的位置为 P( x, y, z )，由 P 作 x y 坐标面的垂线垂足为 Q (x, y , 0) 则从 P0 到 P 所转过的角 = t，上升的高度 QP = vt ，即质点的运动方程为：
表示的曲面称为圆锥面，点 O 称为圆锥的顶点.
(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所得的曲面方程为
z a( x y ),
2 2
z
该曲面称为旋转抛物面. 其特征是: 当 a < 0 时，旋转抛物面的开口向下. 一般地，
方程
x y z 2 2 a b
2
2
设空间曲线的方程为
消去 z ，得
F1 ( x , y, z ) 0, F2 ( x, y, z ) 0,
G( x , y )= 0.
可知满足曲线的方程一定满足方程 G( x, y) = 0 ，而 G(x , y)= 0 是母线平行于 z 轴的柱面方程，因此，柱面 G( x , y ) = 0 就是曲线关于 x y 坐标面的投影柱面. 而

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常见的九种二次曲面方程
九种二次曲面方程是指在三维空间中，常见的九种二次曲面的方程。

这些曲面在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

下面我们来逐一介绍这九种二次曲面方程。

1. 球面方程：$x^2+y^2+z^2=r^2$
球面是一种最简单的二次曲面，它的方程表示了所有到原点距离为$r$的点的集合。

球面在几何学中有着广泛的应用，例如在计算球体的体积、表面积等方面。

2. 椭球面方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
椭球面是一种形状类似于椭圆的二次曲面，它的方程表示了所有满足上述条件的点的集合。

椭球面在物理学中有着广泛的应用，例如在描述行星、卫星、分子等的运动轨迹时。

3. 椭柱面方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
椭柱面是一种形状类似于椭圆的二次曲面，但它在$z$轴方向上是无限延伸的。

椭柱面在工程学中有着广泛的应用，例如在设计汽车、飞机等的外形时。

4. 双曲面方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
双曲面是一种形状类似于双曲线的二次曲面，它的方程表示了所有满足上述条件的点的集合。

双曲面在物理学中有着广泛的应用，例如在描述电磁场、引力场等的分布时。

5. 抛物面方程：$z=ax^2+by^2+c$
抛物面是一种形状类似于抛物线的二次曲面，它的方程表示了所有满足上述条件的点的集合。

抛物面在物理学中有着广泛的应用，例如在描述自由落体、抛体等的运动轨迹时。

6. 锥面方程：$z=\sqrt{x^2+y^2}$
锥面是一种形状类似于圆锥的二次曲面，它的方程表示了所有满足上述条件的点的集合。

锥面在物理学中有着广泛的应用，例如在描述光线、声波等的传播时。

7. 圆锥面方程：$x^2+y^2=z^2$
圆锥面是一种形状类似于圆锥的二次曲面，它的方程表示了所有满足上述条件的点的集合。

圆锥面在物理学中有着广泛的应用，例如在描述电场、磁场等的分布时。

8. 拋物柱面方程：$y=ax^2$
拋物柱面是一种形状类似于抛物线的二次曲面，但它在$z$轴方向上是无限延伸的。

拋物柱面在工程学中有着广泛的应用，例如在设
计建筑物、桥梁等的结构时。

9. 椭圆柱面方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
椭圆柱面是一种形状类似于椭圆的二次曲面，但它在$z$轴方向上是无限延伸的。

椭圆柱面在工程学中有着广泛的应用，例如在设计水管、电缆等的截面形状时。

以上就是九种常见的二次曲面方程，它们在不同领域中都有着广泛的应用。

对于数学爱好者来说，了解这些曲面的方程，可以帮助他们更好地理解和应用数学知识。