2.有理数

《有理数》练习题2学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上1、若-3、5、a的积是一个负数，则a的值可以是（）A. -15B. -2C. 0D. 15参考答案: D【思路分析】此题考查的是有理数的乘法。

仔细读题，获取题中已知条件，结合有理数的乘法相关情况，即可解答此题。

【解题过程】解：多个非零有理数相乘时积的符号取决于负因数的个数。

若-3、5、a的积是一个负数，则a>0，符合条件的只有D选项。

故选：D。

2、如图1-2-2-11，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3参考答案: D【思路分析】数轴上数的特点。

【解题过程】解：由题图可知，点B在点A右边，距离点A 4个单位长度，所以点B表示的数是3。

故选D。

3、有一张厚度为0.05毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.05毫米．对折2次后，厚度为2×2×0.05毫米，对折6次后，厚度为（）毫米.A. 24×0.05B. 25×0.05C. 26×0.05D. 27×0.05参考答案: C【思路分析】这道题是考查应用有理数的乘方运算解决对折问题，根据对折规律，对折后的厚度成2的指数次幂变化，写出即可.【解题过程】解：对折1次后，厚度为2×0.05毫米；对折2次后，厚度为2²×0.05毫米；对折3次后，厚度为2³×0.05毫米；…对折n次后，厚度为2n×0.05毫米.当n=6时，厚度为26×0.05毫米，所以对折6次后，厚度为26×0.05毫米.故选C.4、如图1-2-4-1，数轴上的点A、B分别对应有理数a、b，下列结论正确的是（）A. a>bB. |a|>|b|C. -a < bD. a+b<0参考答案: C【思路分析】实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数.数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。

有理数的概念有理数的概念和分类1．正数与负数正数与负数：我们把大于0的数叫正数；正数前面加上负号的数叫做负数．注：0既不是正数也不是负数．相反意义：为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，用数表示，而把与这个量意义相反的量规定为的，用数表示．2．有理数的概念和分类有理数：和统称为有理数；整数：包括、0、；例如：分数：包括和；例如：有理数的分类：按符号分类（三类）按定义分类（两类）3．“四非”（1）非负数：正数与零（2）非正数：负数与零（3）非负整数：正整数与零，又称自然数．（4）非正整数：负整数与零例题精讲知识点一：用正、负数表示具有相反意义的量例1．（1）下列说法正确的是（）A．上升与下降是具有相反意义的量B．前进30米以上具有相反意义的量C．向东走10米与向西走20米是具有相反意义的量D．身高1.7米和体重63kg的具有相反意义的量（2）气温零上20℃记作：+20℃；那么，气温零下12℃则可记作．（3）如果用+0.07克表示一个篮球质量超出标准质量0.07克，那么一个篮球质量低于标准质量0.05克，记作______________．训练1-1．（1）下列选项中，具有相反意义的量的是（）A．收入20元与支出30元B．上升了6米和后退了4米C．卖出10元和盈利14元D．向东走30米和向北走12米（2）如果用+5圈表示顺时针转动了5圈，那么—7圈表示___________________；反过来，如果+5圈表示逆时针转动了5圈，那么顺时针转动3圈记作____________．（3）如果“盈利5％”记作“+5％”，那么-3％表示____________．注：语句中都含有一对具有相反意义的量：如“零上”和“”、“收入”和“”、“增加”和“”、“升高”和“”等．知识点二：有理数的概念及分类例2．把下列的各数分别填写在相应的横线上．正数：；负数：；整数：；非正整数：；分数：；非负有理数：；训练2-1．把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号里：（1）正数集合：｛｝（2）整数集合：｛｝（3）分数集合：｛｝（4）非正整数集合：｛｝（5）正整数集合：｛｝（6）负分数集合：｛｝例3．（1）下列说法正确的是（）A．一个数不是正数就是负数B．正有理数和负有理数组成全体有理数C．整数就是正整数和负整数D．非负整数就是自然数（2）下列说法正确是．①-1是最大的负整数．②偶数包括正偶数、负偶数和0．③正有理数是正整数和正分数的统称．④有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称．⑤1是最小的正整数．⑥-1是最小的负整数．训练3-1．（1）下列说法正确的是（）A．前面带有“+”号的是一定是正数B．正数和负数的个数是有限的C．一个分数不是正数就是负数D．一个有理数不是正数就是负数训练3-2．下列说法正确的序号有．①一个有理数不是整数就是分数；②一个整数不是负的，就是正的；③带正号是就是正数；④有最小的正整数，但没有最小的正有理数；⑤0 不是正数，也不是负数，但是有理数；⑥负数和0 就是自然数．数轴1．数轴数轴：数轴是规定了唯一的原点、正方向和单位长度的直线．注意：（1）数轴是三要素：原点、正方向、单位长度．（2）数轴是一条直线，在其正方向上画上箭头（一般地，向右或向上为正方向，向左或向下为负方向）．（3）原点表示数0，它是正数与负数的分界点，是数轴的“基准点”，从原点起，每间隔一个单位长度，所对应的点表示一个整数．（4）数轴上，右侧的点所对应的数比左侧点所对应的数大，正数位于原点的右侧，负数位于原点的左侧．例题精讲知识点一：数轴的定义、用数轴上的点表示有理数并比较大小例1．（1）下列表示数轴的图形中正确的是（）A B C D （2）将有理数3，-2，1.3，，0，，在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来．训练1-1．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”连接各数．知识点二：数轴的性质及应用例2．（1）下列说法正确的是（）A．数轴上的一个点可以表示两个不同的有理数B．数轴上有两个不同的点表示用一个有理数C．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一的点D．有的有理数不能再数轴上表示出来（2）在数轴上，与表示-1的点的距离等于5的表示的数为（）A．4 B．6 C．+5 或-5 D．-6 或4训练2-1．（1）在数轴上，把表示-3 的点移动5 个单位长度后，所得到的的对应点表示的数是．（2）有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示，用“<”将a，b，c 三个数连接起来．（3）文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边30米处，玩具店在书店东边90米处，元元从书店沿街向东走40 米，接着又向东走-70 米，此时元元的位置在．相反数1．相反数相反数：像2和－2，－5和5这样，只有符号不同的两个数，我称它们互为相反数．特别地，0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数．相反数的几何特征：（1）分别位于原点的；（2）与原点的距离．这两点关于原点对称．相反数的表示方法：如6的相反数是－6，即在6的前面添加一个“－”号，那么－3的相反数就可以表示成－（－3）= ．①具体数要变号；②代数式添负号．2．多重符号的化简多重符号的化简：由负号个数决定，奇负偶正（只需要考虑负号的个数，当有奇数个负号时，结果为负；当有偶数个负号时结果为正）．例题精讲知识点一：相反数的定义例1．（1）在数轴上，标出以下各数及它们的相反数－1，0，，－4．（2）下列各数中互为相反数的是（）训练1-1．（1）在数轴上，标出以下各数及它们的相反数（2）下列各数中互为相反数的是（）训练1-2．下列各数中互为相反数的有．例2．（1）下列语句中不正确是的（）A.负数的相反数大于本身B.正数的相反数小于本身C.符号相反的两个数一定互为相反数D.互为相反数的两个数在数轴上不关于原点对称（2）下列说法的不正确的有．①带“+”号的和带“-”号的数互为相反数；②一个数前面添上“-”即为原数的相反数；③数轴上原点两点的相反数的对称的；④数轴上关于一点对称的两个数称为相反数；⑤0的相反数不存在；⑥若m+n=0，则m和n互为相反数．训练2-1．（1）若m是正数，则-m是（）A.正数B．负数C．有理数D．无法确定（2）下列说法错误的是有．①一个数的相反数是它本身，则这个数一定是0；②一个数不大于它的相反数，那么这个数是非负数；③若m和n互为相反数，则m + n =0；④若m 和n 互为相反数，m 和a 互为相反数，则n 和a 互为相反数．知识点二:多重符号的化简例3．化简下列各数．训练3-1．化简下列各数．绝对值1．绝对值定义绝对值定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作．2．绝对值的性质绝对值的性质:（1）绝对值具有非负性，；（2）互为相反数的两个数的绝对值相等，即=；（3）正数的绝对值是______；负数的绝对值是______；零的绝对值是______ ．例题精讲知识点一：绝对值的定义例1．（1）在数轴上距原点1个单位长度的数是和；（2）在数轴上距原点2个单位长度的数是和；（3）化简下列各数．（4）比较大小．训练1-1．（1）在数轴上距原点1．2个单位长度的数是和；（2）-3的相反数的绝对值是， -q的绝对值是；（3）化简下列各数．训练1-2．判断错对（对的打“√”，错的打“×”）①当a 为有理数时，a ＞0 （）②绝对值等于本身的仅有零（）③绝对值越大，这个数越大（）④绝对值小于5的正整数是4个（）⑤一个数的相反数等于该数的绝对值（）知识点二：绝对值的性质例2．（1）已知=0，则= ；已知=0，则= ；已知=0，则= ；已知0，则= ;= ．（2）下列说法错误的是（）A.一个正数的绝对值一定是正数B.任何数的绝对值都是正数C.一个负数的绝对值一定是正数D.两个数绝对值相等，这两个数不一定相等课后作业1．下列说法正确的是（）A．非负有理数就是正有理数B．整数和分数统称为有理数C．正数和负数统称为有理数D．零表示没有，不是自然数2．下列说法中，错误的有（）① -是负分数；②1.5 不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0 是最小的有理数；⑥﹣1 是最小的负整数．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个3．在数轴上与﹣2 距离3 个单位长度的点表示的数是（）A．1 B．5 C．﹣5 D．1 和﹣54．如图所示，直径为单位1 的圆从数轴上表示1 的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周到达A 点，则A 点表示的数是（）A．﹣π+1 B．﹣π﹣1 C．π+1 D．π﹣15．一个点从数轴的原点开始，先向右移动3 个单位长度，再向左移动5 个单位长度，可以看到终点表示的数为-2，已知A、B 是数轴上的点，请参照以上并思考，完成下列各题．（1）如果点A 表示的数为1，将点A 向右移动3 个单位长度到达终点B ，那么终点B 表示的数是，AB 两点间的距离是．（2）如果点A 表示的数为2，将点A 向左移动4 个单位长度到达终点B ，那么终点B 表示的数是，AB 两点间的距离是．（3）如果点A 表示的数为-3，将点A 向右移动7 个单位长度，再向左移动5 个单位长度到达终点B ，那么终点B 表示的数是，AB 两点间的距离是．6．初一（4）班在一次联欢活动中，把全班分成5 个队参加活动，游戏结束后，5 个队的得分如下：A 队：-50 分；B 队：150 分；C 队：-300 分；D 队：0 分；E 队：100 分．（1）将5个队按由低分到高分的顺序排序；（2）把每个队的得分标在数轴上，并将代表该队的字母标上；（3）从数轴上看A 队与B 队相差多少分？C 队与E 队呢？7．﹣3 的相反数是（）A．﹣3 B．3 C．D．8．如果|a|=a，下列各式成立的是（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤09．若|a|=8，|b|=5，a+b＞0，那么a﹣b 的值是（）A．3 或13 B．13 或﹣13 C．3 或﹣3 D．﹣3 或1310．下列说法正确的是（）A.一个数的绝对值一定比0 大B.一个数的相反数一定比它自身小C.绝对值等于它本身的数一定不是负数D.最大的负整数是0。

第1课时 2.4有理数的加法与减法（加法法则）目的与要求了解加法的意义，会用有理数的加法法则进行运算。

知识与技能渗透数形结合和转化的数学思想，培养运用这种思想解决实际问题的能力。

情感、态度与价值观感知数学知识来源于生活，并应用于生活；利用转化思想，渗透事物向普遍联系。

教学过程一、情境创设引入小明在一条东西方向的跑道上，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少米？你能把所有情况设想完整吗？二、探索知识我们先看一个简单的问题：甲乙两队进行足球比赛，如果甲队在主场以4∶1蠃了3球，在客场以1∶3输了2个球，那么两场累计净胜1球。

若蠃3球记作“＋3”，输2球记作“－2”，则累计得球用数学表达式表示为：（＋3）＋（－2）＝＋1对于情境问题，可讨论如下：（1）若两次都是向东走，通过实验我们知道他一共向东走了50米。

可表示为：（＋20）＋（＋30）＝＋50，即小明在原来的位置的东方50米处。

（2）若两次都是向西走，由实验可知，小明位于西方50米。

可表示为：（－20）＋（－30）＝－50，（3）若第一次向东，第二次向西，通过实验可知，小明位于原来位置的西方10米处。

可表示为：（＋20）＋（－30）＝－10（4）若第一次向西，第二次向东，通过实验可知，小明位于原来位置的东方10米处。

可表示为：（－20）＋（＋30）＝＋10总结与归纳：（1）（2）是同号两数相加，（3）（4）是异号两数相加。

同学们，能探索出两数相加的法则吗？有理数加法（addition)法则同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数与0相加，仍得这个数。

例1、计算：（1）（－180）＋（＋20）（2）（－15）＋（－3）（3）5＋（－5）（4）0＋（－2）解答：（1）－160（2）－18（3）0（4）－2例2、一个水利勘察队，第一天沿江向上游走了千米，第二天又向上走了千米，第三天向下游走了千米，问此时勘察队在出发点的上游还是下游，距出发点多远？解答：例3、有理数a,b 之间的关系如图所示 你能判断下列计算结果是正数还是负数吗？ （1）a+b (2)a+(-b) (3)(-a)+b (4)(-a)+(-b)解答：（1）正数 （2）负数 （3）正数 （4）负数 三、随堂练习1、下列说法正确的是（ ）A 、两数相加，和大于任何一个加数B 、两数相加，和的符号与较大加数的符号相同。

苏教版七年级数学上册知识点总结第一章有理数1.1 正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

（3）0表示一个确切的量。

如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。

1.2 有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

3，整数也能化成分数，也是有理数注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数0 正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数3.数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

无理数与有理数的运算法则
无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，例如π和√2；有
理数是指可以表示为两个整数的比值的数，例如1/2和-3/4。

无理数与有理数的运算法则如下：
1.无理数与有理数相加减：无理数与有理数相加减的结果是无理数。

例如：π + 2 = π + 2，√2 - 3/4 = √2 - 0.75。

2.无理数与无理数相加减：无理数之间相加减的结果仍为无理数。

例如：π + √2 = π + √2，π - √2 = π - √2。

3.无理数与有理数相乘：无理数与有理数相乘的结果是无理数。

例如：π× 2 = 2π，√2 × 3/4 = (3/4)√2。

4.无理数与无理数相乘：无理数之间相乘的结果仍为无理数。

例如：π×√2 = π√2，√2 ×√3 = √6。

5.无理数与有理数相除：无理数与有理数相除的结果是无理数。

例如：π÷ 2 = π/2，√2 ÷ 3/4 = (4/3)√2。

6.无理数与无理数相除：无理数之间相除的结果可能是有理数或无理数。

例如：π÷√2 = π/√2 = √2π，√2 ÷√3 = √(2/3)。

总之，无理数与有理数的运算结果仍为无理数，无理数之间的运算结果可能是有理数或无理数。

- 1 -。

什么是⾃然数.整数，有理数，⽆理数，实数，虚数1、⾃然数⽤以计量事物的件数或表⽰事物次序的数。

即⽤数码0，1，2，3，4，……所表⽰的数。

表⽰物体个数的数叫⾃然数，⾃然数由0开始，⼀个接⼀个，组成⼀个⽆穷的集体。

2、整数（integer）就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。

整数的全体构成整数集，整数集是⼀个数环。

3、有理数在数学上是⼀个整数a和⼀个正整数b的⽐，例如3/8，通则为a/b。

0也是有理数。

4、不是有理数的实数称为⽆理数，即⽆理数的⼩数部分是⽆限不循环的数，不能写作两整数之⽐。

若将它写成⼩数形式，⼩数点之后的数字有⽆限多个，并且不会循环。

常见的⽆理数有⾮完全平⽅数的平⽅根、π和e等。

5、数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。

实数可以直观地看作有限⼩数与⽆限⼩数，实数和数轴上的点⼀⼀对应。

但仅仅以列举的⽅式不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

6、在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i² = - 1。

可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。

使⽤术语纯虚数来表⽰所谓的虚数，虚数表⽰具有⾮零虚部的任何复数。

扩展资料：⾃然数、整数、有理数、⽆理数、实数、虚数的相互关系：1、在整数系中，零和正整数统称为⾃然数。

-1、-2、-3、…、-n、…（n为⾮零⾃然数）为负整数。

则正整数、零与负整数构成整数系。

整数不包括⼩数、分数。

2、有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为⼀的分数。

有理数的⼩数部分是有限或为⽆限循环的数。

3、⽆理数的另⼀特征是⽆限的连分数表达式。

4、实数，是有理数和⽆理数的总称。

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二 有理数的运算一、必备知识：1．若两个有理数的乘积为____________，就称这两个有理数____________．2．有理数的各种运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律．3．有理数混合运算的法则是：先算____________，再算____________，最后算____________．如有括号，先进行____________运算．4．把一个数表示成____________与____________的幂相乘的形式叫做科学记数法．【答案】1 互为倒数 3.乘方 乘除 加减 括号里的 4.a(1≤a<10) 10二、防范点：1．倒数不要和相反数混淆，倒数符号不变，相反数要变号．2．乘方运算不要和乘法运算混淆，如23和32不相等．3．有理数混合运算中注意运算顺序，特别是乘、除同级运算时，注意从左到右的运算顺序．4．求用科学记数法表示的数及带单位的有理数的精确位数时要注意单位及10的幂的位数． 考点精练倒数的概念例1 (1)2020的倒数为( ) A ．－2020 B ．2020 C ．－ D .(2)已知a 与b 互为倒数，m 与n 互为相反数，则12ab －9m －9n 的值是________． 【答案】 (1)D (2)12有理数运算法则及运算顺序例2 下列计算错在哪里？应如何改正？(1)74－22÷70＝70÷70＝1； (2)(－112)2－23＝114－6＝－434； (3)23－6÷3×13＝6－6÷1＝0.【答案】(1)运算顺序错．改正为：74－22÷70＝74－4÷70＝74－235＝733335； (2)运算法则错．改正为：(－112)2－23＝94－8＝－234； (3)运算法则和运算顺序都错．改正为：23－6÷3×13＝8－6×13×13＝8－23＝713. 有理数的混合运算例3 计算：(1)(－2)2＋3×(－2)－1÷(14)2；(2)－32－[－(12)2－116]×(－2)÷(－1)2017.【答案】(1)－18 (2)－838有理数的简便计算例4 用简便方法计算：(1)(－6134)－(－512)＋(134)－(＋8.5)；(2)19999899×(－11)；(3)(－5)×713＋7×(－713)－(＋12)×713.【答案】 (1)－63 (2)－2199989 (3)－176近似数及科学记数法例5 (1)数361000000用科学记数法表示，以下表示正确的是( )A．0.361×109B．3.61×108 C．3.61×107D．36.1×107(2)下列近似数精确到哪一位？①4.7万②17.68(3)用四舍五入法按要求取下列各数的近似数：①0.61548(精确到千分位)；②73540(精确到千位)．【答案】 (1)B(2)①千位②百分位 (3)①0.615 ②7.4×104有理数混合运算的应用例6出租车司机王师傅从上午8：00～9：00在某市区东西向公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，王师傅营运八批乘客里程如下：(单位：千米)＋5，－6，＋3，－7，＋5，＋4，－3，－4.(1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅在第一批乘客出发地的什么位置？(2)已知王师傅的车在市区耗油成本约为0.6元/千米，若出租车的收费标准为：起步价8元(不超过3千米)，若超过3千米，超过部分按每千米2元收费，则王师傅在上午8：00～9：00扣除耗油成本后赚了多少元？【答案】 (1)正西方向3千米处(2)67.8元课后练习1．计算：3×(－1)3＋(－5)×(－3)____________．2y＋6＝0，则x＋y＝____________.2．已知(x－2)2＋||3．如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则a与b之间的关系是____________．(写出一个正确关系式即可)第3题图4．由四舍五入得到的近似数0.50，精确到____________位，它表示大于或等于____________且小于____________的数．5．数轴上A 、B 两点位于原点O 的两侧，点A 表示的实数是a ，点B 表示的实数是b ，若||a －b ＝2016，且AO ＝2BO ，则a ＋b 的值是____________．6．计算：(1)(34－112＋13)×(－60)；(2)(－3)2÷92＋(－1)2017－|－2|.7．已知x ，y 为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy ＋1.(1)求2※3的值；(2)求(3※5)※(－2)的值；(3)探索a※(b＋c)与a※b＋a※c 的关系，并用等式把它们表达出来．【答案】．12 2.－1 3.答案不唯一，如a ＞b4．百分 0.495 0.505 5.±6726．(1)(34－112＋13)×(－60)＝－60×34＋60×112－60×13＝－45＋5－20＝－60. (2)(－3)2÷92＋(－1)2017－|－2|＝9×29－1－2＝－1. 7．(1)7 (2)－31 (3)∵a※(b＋c)＝a(b ＋c)＋1＝ab ＋ac ＋1，a ※b ＋a※c＝ab ＋1＋ac ＋1.∴a※(b＋c)＋1＝a※b＋a※c.。

图1ab第3讲 有理数【知识梳理】（一）正数与负数1．正数：大于零的数叫正数；2．负数：小于零的数叫负数（正数前面加上“—”号）3．“0”既不是 ，也不是 ，“0”是自然数； 4．有理数的分类：（二）数轴1．规定了 、 、 的直线叫做数轴． 2．有理数大小比较:数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数 ，如图1，b ________a ；（三）相反数1．像2和-2、-5和5、2.5和-2.5这样，只有 不同的两个数叫做互为相反数． 2．“0”的相反数是 ； 3．数a 的相反数是 ；数-a 的相反数是 ；有理数整数分数或 有理数正整数 正分数负分数负整数4．两个互为相反的数到原点的距离 ，而且在原点的左右两侧． （四）绝对值1．一般地，数轴上表示数a 的点与原点的 叫做数a 的绝对值，记作a ,a 0； 2．如果字母a 表示一个数，用式子表示就是： （1）当a 是正数（即a ＞0）时，a ＝ ； （2）当a 是负数（即a ＜0）时，a ＝ ； （3）当a ＝0时，a ＝ ．3．正数 0，负数 0，正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而 ．（五）有理数的加减运算 1.加法法则：（1）.同号相加，取 的符号， 相加．（2）.异号相加，取绝对值较 的加数的符号，并用较 的绝对值减去较 的绝对值． （3）.一个数同 相加，仍得这个数．2.有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的 ．3.加减混合运算：把加法,减法统一成加法．【典型例题】考点1【例1】把下列各数分别填在题后相应的集合中：25-，0，1-，0.73，2，5-，87，52.29-，+28．（1）整数集合： { ……} （2）负整数集合：{ ……} （3）负分数集合：{ ……} （4）自然数集合：{ ……} （4）非负数集合：{ ……} 【变式1】把下列各数填在相应的数集的圈里．41，-31，0.2，0，-70，6.7，215，π… … … …-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4负整数集 非正数集 自然数集 正数集【变式2】下列说法正确的个数是（ ）．①一个有理数不是整数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数； ③一个整数不是正的就是负的；④一个分数不是正的就是负的． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4考点2【例2】（1）在数轴上表示下列各数的点：323-，0 ，3 ， -0.5 ，21，-3，212（2）用“＜”符号把上面所给数字连接起来．（3）以上绝对值等于3的数有 个，它们是 ． （4）绝对值小于2的数有 个，它们是 ． 【变式1】数轴上到原点的距离为3的点所表示的数是 ． 【变式2】数轴上的点A 表示的数是-4，如果点B 在点A 的左边，且与点A 相隔1个单位，则点B 表示的数是________．考点3【例3】（1）若-x ＝9，则x ＝ ________；（2）比-6的相反数大7的数是_______． 【变式1】5的相反数是 ； 的相反数是15． 【变式2】比6的相反数小7的数是_______． 考点4【例4】6-＝ ；6--＝ ； 绝对值等于6的数是 ．点要用实心圆点点在数轴上【变式1】绝对值等于其相反数的数一定是（ ）． A ．负数B ．正数C ．负数或零D ．正数或零【变式2】7x =，则______=x ； 7x -=，则______=x ． 考点5 【例5】计算： （1）1132＋（－0.25）＋（－381）＋3.25＋0.125 （2）61587733⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式1】计算：(1) ()()()()0.550.550.350.65----+-- (2) ()⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-6115.065212【课堂训练】(一)选择题1．如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ）A ．-18%B ．-8%C ．＋2%D ．＋8%2.下列各数：9,05.0,101,324,650,76.8,1,54--+---，，中,（ ）A.只有1，–7，+101，–9是整数B.其中有三个数是正整数C.非负数有1，8.6，+101，0，D.只有54-，324-、-0.05是负分数 3．数轴上的点A 到原点的距离是6，则点A 表示的数为（ ） A ．6或6-B ．6C ．6-D ．3或3-4．下列各图中，是数轴的是（ ）A ．B ．-10 1-1C ．D ．5.一个数的相反数是最大的负整数，这个数是（ ）A.0B.1C.－1D.±1 6．计算 -2-6的结果是（ ）A ．-4B ．8C ．-8D ．47．不改变原式的值，将6-（+3）-（-7）+（-2）中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（ ）A ．-6-3＋7-2B ．6-3-7-2C ．6-3＋7-2D ．6＋3-7-28．下面结论正确的有（ ）①两个有理数相加，和一定大于每一个加数 ②一个正数与一个负数相加得正数③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和 ④两个正数相加，和为正数 ⑤两个负数相加，绝对值相减 ⑥正数加负数，其和一定等于0 A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（二）填空题9、一个数a 在数轴上对应的点在原点的左边，且a ＝3，则a ＝_______.10.化简：（1）| 2.85|--＝ ；（2）|12|+-＝ ； （3）⎪⎭⎫⎝⎛--213＝ ；（4）()5+--＝11.已知甲地的海拔高度是300m ，乙地的海拔高度是-50m ，那么甲地比乙地高 m.12.已知（a －3）2+2-b =0，则a +b = .13.是否存在满足下面条件的数，存在的话，把它们写出来：（1）最小的正有理数：（2）最小的负整数；（3）最大的非整数（4）最小的整数（5）最大的负有理数（6）最小的有理数（7）最小的自然数是（8）最大的负整数是（9）最小的非负整数是（10）有理数中，最小的正整数是（11）有理数中最大的负整数是14.计算（1）．13522463⎛⎫⎛⎫---+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）．()112 2.511222---+--【课后作业】1.用公式表示“比－3℃低6℃的温度”正确的是（）A．－3＋6 B、－3－6 C、6－3 D、6＋32．在6，2005，122，0，-3，+1，14-，-6.8中，正整数和负分数共有（）．A．3个B．4个C．5个D．6个3.下列说法中正确的有（）(1)互为相反数的两个数的绝对值相等； (2)正数和零的绝对值都等于它本身；(3)只有负数的绝对值是它的相反数； (4)一个数的绝对值的相反数一定是负数．A、1个B、2个C、3个D、4个4．某市2012年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）．A．-10℃B．-6℃C．6℃D．10℃5．如果aa22-=-，则a的取值范围是（）．A ．0a >B ．0a ≥C ．0a ≤D ．0a <6．已知5m =，2n =，m n n m -=-，则m n +的值是 ． 7．温度上升5℃，又下降7℃，后来又下降3℃，三次共上升 ℃．8.计算：（1）．12-（-18）+（-7）-15 （2）．|+3|-|-6|-（+8） （3）．135202463⎛⎫⎛⎫---+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （4）．()1122.511222---+--。