初二数学平面向量练习题

学习好资料 欢迎下载 平面向量应用举例练习题

一、选择题 ．一物体受到相互垂直的两个力 f 1、f2 的作用，两力大小都为 5 3N，则两 1

个力的合力的大小为 ( )

5 6

A．10 3N B． 0N C．5 6N

D.2N

2．河水的流速为 2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10m/s 的速度驶向对岸，

则小船在静水中的速度大小为 ( )

A ． 10m/s B．2 26m/s C． 4 6m/s D．12m/s 3．(2010 ·山东日照一中 ) 已知向量 a＝ (x 1，y1 ， ＝ 2，y2 )，若 ＝ ， |b| ＝ ， ) b (x |a| 2 3

x1＋ y1

的值为 ( )

a·b＝－ 6，则 x2＋ y2

2 2 5 5

A. 3 B．－ 3 C.6 D．－ 6

．已知一物体在共点力 F 1＝(lg2 ，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移 S 4

＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功 W 为 ( )

A ． lg2 B．lg5 C．1 D．2 ．在△ 所在的平面内有一点 → → → → ABC P，满足 PA ＋PB＋PC＝AB，则△ PBC 与 5 △ABC 的面积之比是 ( )

1 1 A. 3 B.2 2 3

C.3 D.4 6．点 P 在平面上作匀速直线运动，速度 v ＝(4，－ 3)，设开始时点 P 的坐标

为(－ 10,10)，则 5 秒后点 P 的坐标为 (速度单位： m/s，长度单位： m)() A．(－2,4) B． (－30,25) C．(10，－ 5) D．(5，－10) 7．已知向量 a，e 满足： a≠ e， |e|＝1，对任意 t∈R，恒有 |a－te|≥ |a－ e|，则 () A ． a⊥ e B．a⊥(a－ e) C．e⊥(a－ e) D．(a＋ e)⊥(a－e) → → ， → → → 8．已知 |OA|＝1，|OB|＝ ⊥OB，点 C 在∠ AOB 内，∠AOC＝30°，设OC 3 OA 学习好资料 欢迎下载 →→ m

22.7 平面向量一．选择题1．下列说法中，错误的是（）A．B．C．D．若的方向相同或相反，则．2．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是（）A．，B．||＝||C．D．，3．已知＝3，下列判断正确的是（）A．与的方向相同B．+3＝0C．与不平行D．||＝||4．已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．B．C．D．，5．若向量与均为单位向量，则下列结论中正确的是（）A．＝B．＝﹣C．||＝||D．＝1 6．已知非零向量、和单位向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．7．已知，关于，下列说法中错误的是（）A．B．与同方向C．与反方向D．是的2倍8．已知、为非零向量，下列判断错误的是（）A．如果＝3，那么∥B ．＝，那么＝或＝C ．的方向不确定，大小为0D ．如果为单位向量且＝﹣2，那么＝2二．填空题 9．若是与非零向量反向的单位向量，那么＝．10．如果为单位向量，与方向相反，且长度是5，那么＝ （用表示）． 11．若向量与单位向量的方向相反，且||＝2，则＝ ．（用表示） 12．如果﹣2＝3，那么用，表示为＝ ．13．若与的方向相反，且长度为5，用表示，则＝ ． 14．计算：＝ ．15．已知向量关系式3+4（）＝，那么用向量、表示向量＝ ．三．解答题16．计算：（2+3）﹣（6﹣）17．已知：如图，已知两个不平行的向量、．求作：（写出结论，不要求写作法）．18．已知在△ABC 中，D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点， 求证：(1)//DE AB ；(2)12DE AB =； (3)0AD BE CF ++=.参考答案1．解：A、应为＝﹣，故本选项符合题意；B、||＝||正确，故本选项不符合题意；C、＝﹣正确，故本选项不符合题意；D、若、的方向相同或相反，则∥，正确，故本选项不符合题意．故选：A．2．解：A、∵，，∴，故本选项错误；B、∵||＝||，∴与的模相等，但不一定平行，故本选项正确；C、∵，∴，故本选项错误；D、∵，，∴，故本选项错误．故选：B．3．解：因为＝3，A、与的方向相同，正确；B、，错误；C、与平行，错误；D、，错误；故选：A．4．解：A、∵∥，∥，∴∥，故本选项错误；B、∵||＝||，∴与的模相等，但不一定平行，故本选项正确；C、∵＝2，∴∥，故本选项错误；D、∵＝，＝2，∴∥，故本选项错误．故选：B．5．解：∵向量与均为单位向量，∴||＝||．故选：C．6．解：A、∵单位向量与向量方向不一定相同，∴||＝不一定成立，故本选项错误；B、∵为单位向量，∴||＝1，∴||＝，故本选项正确；C、∵单位向量与向量方向不一定相同，∴＝不一定成立，故本选项错误；D、∵非零向量和的方向不一定相同，∴＝不一定成立，故本选项错误．故选：B．7．解：∵，∴A、，故本选项错误；B、﹣2与方向相反，故选项正确；C、﹣2与方向相反，故本选项错误；D、是的2倍，故本选项错误．故选：B．8．解：A、如果＝3，那么两向量是共线向量，则∥，故本选项不符合题意．B、如果＝，只能判定两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项符合题意．C、的方向不确定，大小为0，故本选项不符合题意．D、根据向量模的定义知，＝2||＝2，故本选项不符合题意．故选：B．9．解：若是与非零向量反向的单位向量，那么＝﹣|•，故答案为﹣||．10．解：∵的长度为5，向量是单位向量，∴||＝5||，∵与单位向量的方向相反，∴＝﹣5．故答案为：﹣5．11．解：∵向量与单位向量的方向相反，且||＝2，∴＝﹣2．故答案为：﹣2．12．解：由﹣2＝3，得2＝﹣3，所以＝﹣．故答案是：﹣．13．解：∵与的方向相反，且长度为5，∴＝﹣5，故答案为﹣5．14．解：原式＝2﹣﹣3+2＝﹣．故答案是：﹣．15．解：∵3+4（）＝，∴＝+，故答案为：+．16．解：（2+3）﹣（6﹣）＝2+3﹣3+＝．17．解：图形与方向相同，长度是其一半；﹣3图形与方向相反，长度是其三倍． （1）以||和|3|的长为三角形两边长作三角形； （2）向量AB 即为﹣3．18．解： (1)1111,//.2222DE DC CE BC CA BA AB DE AB =+=+==-∴ (2)略(3),,AD AB BD AD AC CD =+=+两式相加得： 2,AD AB AC BD CD AB AC =+++=+ 同理，2,2,0BE BC BA CF CA CB AD BE CF =+=+++=∴.。

平面向量基本定理及其应用在平行四边形中，与交于点是线的中点，的延长线与交于点．若，，则（ ）A.B. C. D. 在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为（ ）A ．B ．C ． D． 如图，在正方形中， 分别是的中点，若，则的值为（ ）A.B. C. 1 D. -1 解题技巧与方法总结应用平面向量基本定理的关键点1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便． 【变式训练】ABCD AC BD O E ，OD AE CD F AC =u u u r a BD =u u u r b AF =u u u r1142+a b 1124+a b 2133+a b 1233+a b ABC ∆M BC N AM 31=),(R ∈+=μλμλμλ+413114ABCD ,M N ,BC CD AC AM BN λμ=+u u u r u u u u r u u u rλμ+8558若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x ，y ∈R)，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)， n ＝(1,2)下的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)如图，已知＝，用，表示，则等于( )A.－B.＋C.－＋D.－－如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，＝x ＋y ，且＝2，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋ μAC →，则λ＋μ＝________. 平面向量数量积的运算设D 为边长是2的正三角形ABC 所在平面内一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是（ ） A.B. C. D. 4 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝22，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF → 的值是________． 解题技巧与方法总结1．向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.AP uuu r 43AB uuu rOA uu u r OB uuu r OP uuu r OP uuu r 13OA uu u r 43OB uuu r 13OA uu ur 43OB uuu r 13OA uu u r 43OB uuu r 13OA uu ur 43OB uuu r uuu r OP uuu r OA uuu r OB u u u r BP u u u rPA 143143432．转化法求数量积若向量的模与夹角不能确定，则应把向量用已知模或夹角的向量表示，然后再求数量积． 【变式训练】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．6C ．－6D ．12在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP →+，则PB →·PC →的最大值等于________. 平面向量数量积的性质 平面向量的模已知平面向量a 和b 的夹角为，则|a +2b|=（ ）A. 20B. 12C. 4√3D. 2√3 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5 平面向量的夹角若非零向量，满足， ，则与的夹角为（ ） A.B. C. D.若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b|，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D ．π 平面向量的垂直已知，且，若，则（ ）A.B. C. D. 设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于____________ 【变式训练】已知a 与b ⃗ 均为单位间向量，它们夹角为120∘，则|a +2b⃗ |=（ ） ,a b a b =()20a b a -⋅=a b 6π3π23π56π()()1,,,1a cosa b sina ==r r0απ<<a b ⊥r r α=23π34π4π6πA. √7B. √10C. 4D. √3 已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a 与b 的夹角为( )A.π3B.π2C.2π3D.5π6 已知向量， ，则在方向上的投影为__________．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b ⊥c ，则t ＝________. 若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.()3,1a =-()2,1b =a b。

一、多选题1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cos cos 2B bC a c=-，4ABC S =△，且b = ）A ．1cos 2B =B ．cos 2B =C ．a c +=D ．a c +=2．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π3．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6A a c π===则角C 的大小是( ) A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 4．下列结论正确的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S = 5．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB += D ．0PA PB PC ++= 6．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形7．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-8．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=9．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λab ，则a b a b +=-10．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A ．AB DC =B ．AB DC =C ．AB DC >D ．BC AD ∥11．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 12．下列说法中错误的是( )A ．向量AB 与CD 是共线向量,则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量13．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( )A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==14．题目文件丢失！15．题目文件丢失！二、平面向量及其应用选择题16．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =2c =，2cos 3A =，则b= ABC ．2D ．317．O 为ABC ∆内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，若a =边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为（ ） A ．23π B ．43π C ．6π D ．3π 18．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当0105t <<时，夹角θ的取值范围为（ ） A ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭19．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，则12S S =A ．310B ．38C ．25D ．42120．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ） A ．sin sin A B >B ．cos cos A B <C ．sin2sin2A B >D ．cos2cos2A B <21．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心22．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4B ．3C ．-4D ．523．在ABC ∆中，6013ABC A b S ∆∠=︒==，，，则2sin 2sin sin a b cA B C-+-+的值等于（ ） A ．2393B ．2633C ．833D ．2324．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且303aGA bGB cGC ++=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°25．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）A ．34B ．58C ．38D ．2326．题目文件丢失！27．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足12BD DC =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）A ．m n +是定值，定值为2B ．2m n +是定值，定值为3C ．11m n +是定值，定值为2 D ．21m n+是定值，定值为3 28．已知,m n 是两个非零向量，且1m =，2||3m n +=，则||+||m n n +的最大值为 A 5B 10C ．4D ．529．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，47AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2B ．-2C ．4D ．-430．如图，在ABC 中，14AD AB →→=，12AE AC →→=，BE 和CD 相交于点F ，则向量AF →等于（ ）A．1277AB AC →→+B ．1377AB AC →→+C ．121414AB AC →→+ D ．131414AB AC →→+ 31．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（ ）A ．sin sin sin 0A OAB OBC OC ⋅+⋅+⋅= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=32．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B 33C ．33D 333．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形34．题目文件丢失！35．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵， 整理可得：， 可得，∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确 解析：AD 【分析】利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简cos cos 2B bC a c=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2B =，结合范围()0,B π∈，可求3B π=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得a c += 【详解】 ∵cos sin cos 22sin sin B b BC a c A C==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠，∴1cos 2B =，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3B π=，∵4ABC S =△，且3b =，11sin 22ac B a c ==⨯⨯=， 解得3ac =，由余弦定理得()()2222939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.3．BD 【分析】由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握解析：BD 【分析】由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin 2c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得sin sin a cA C=,∴ sin sin 2c C A a ==,而a c <,∴ A C <, ∴566C ππ<<, 故3C π=或23π. 故选:BD. 【点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.4．AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，解析：AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a b A B=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222cos 02b c a A bc+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，a =，∴2sin a R A ===，R =D 错． 故选：AB ． 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．5．CD 【分析】转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即, 故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.解析：CD 【分析】转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=故选：CD 【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.6．ABCD 【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或解析：ABCD 【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2A B π+=，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,22A B =或22A B π+=. 即A B =或2A B π+=,△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°7．BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故解析：BC 【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.8．AD【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误； 对于选项B ，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确； 对于选项C ，两个非零向量解析：AD 【分析】分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD 【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.9．AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.10．BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故解析：BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误； 等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确； 故选：BD . 【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.11．BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，以为原点建立平面直角坐标系，， 设，若， 所以解析：BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=，所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．12．AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B解析：AD 【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确；若,a b b c ==，则a c =，故C 正确； 温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误. 故选：AD 【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.13．AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的. 对于B,由平面向量基本解析：AD 【分析】根据平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为0时，λ有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A ､D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确； 对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.14．无 15．无二、平面向量及其应用选择题16．D 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ 17．A 【分析】 根据题意得出tan tan tan A B Ca b c==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ∆为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长. 【详解】0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=，a bOC OA OB c c∴=--，同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c Cb Bc C ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=-⎪⎩，tan tan tan A B Ca b c∴==， 由正弦定理得tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111cos cos cos A B C==， cos cos cos A B C ∴==，由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3A B C π===， 设ABC ∆的外接圆半径为R ，则322sin 32aR A===，1R ∴=， 所以，边BC 所对的ABC ∆外接圆的劣弧长为222133R A ππ⨯=⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 18．C 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+，再由0105t <<，可求得夹角θ的取值范围.【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ+=+，又0105t <<，则12cos 1054cos 5θθ+<<+，得1cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，所以223ππθ<<，故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 19．A 【解析】∵2350OA OB OC ++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+． 设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-, ∵MN 为ABC 的中位线，且32OM ON=， ∴36132255410OACOMCCMNABC ABC SSSS S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭，即12310S S =．选A ． 20．C 【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ． 【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ， 由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确； 由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =，当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题． 21．A 【分析】设sin sin a B b A CH ==，则()mCP a b CH=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案； 【详解】 如图，sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =++，()mCP a b CH=+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.故选：A. 【点睛】本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用. 22．C 【分析】先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影． 【详解】对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥，()216BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设向量BC 与CA 的夹角为θ，所以，BC 在CA 方向上的投影为16cos 44BC CA BC CA BC BC BC CACAθ⋅⋅-⋅=⋅===-⋅， 故选C ．【点睛】本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题． 23．A 【解析】分析：先利用三角形的面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理求得a ，再利用正弦定理求解即可.详解：由题意，在ABC ∆中， 利用三角形的面积公式可得011sin 1sin 6022ABC S bc A c ∆==⨯⨯⨯=， 解得4c =，又由余弦定理得22212cos 116214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =， 由正弦定理得2sin 2sin sin sin a b c a A B C A -+===-+，故选A. 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 24．D 【分析】由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入30aGA bGB cGC ++=中可得3()0ba GB c a GC ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭,由,GB GC 不共线可得00b a a -=⎧-=,即可求得,,a b c 的关系,进而利用余弦定理求解即可 【详解】因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=,所以GA GB GC =--,代入303aGA bGB cGC ++=可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭, 因为,GB GC 不共线,所以00b a a -=⎧-=,即b a c =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以222cos 2b c a BAC bc +-∠==,故30BAC ︒∠=, 故选:D 【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角 25．A 【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得()2113m AP AB m AD +=+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以1133DF DC AB ==， 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点， 所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=，所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭， 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得34λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.26．无27．D【分析】过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出21312AM n n n AB n n ==--+，再根据AMmAB =可得231n m n =-，整理可得213m n +=，最后选出正确答案即可. 【详解】如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得1AC AN n=，所以11AE AC EM CN n ==-，由12BD DC =可得12BM ME =，所以21312AM n n n AB n n ==--+，因为AM mAB =，所以231n m n =-， 整理可得213m n+=.故选：D .【点睛】本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.28．B【分析】先根据向量的模将||+||m n n +转化为关于||n 的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.【详解】()22224419||=1||3m m n m nn m n =+∴+=+⋅+=，，,22n m n +⋅=,()2222=52-m n m m n n n ∴+=++⋅,25||+||m n n n n ∴+=-+， 令()2(05),5x x f x x x n =<≤=-,则()2'125f x x =-，令()'0f x =，得10,2x =∴当1002x <<时，()'0f x >，当1052x <<时， ()'0f x <， ∴当102x =时， ()f x 取得最大值1010f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B. 【点睛】向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 29．D【分析】将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +=，可得到3m OC OD =且,,A B D 共线；由AOB ABC O S S D CD∆∆=和,OC OD 反向共线，可构造关于m 的方程，求解得到结果. 【详解】由2OA OB mOC +=得：12333m OA OB OC += 设3m OC OD =，则1233OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：OC 与OD 反向共线 3ODm m CD ∴=- 734AOB ABC OD m m C S S D ∆∆∴==-= 4m ⇒=- 本题正确选项：D【点睛】本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系.30．B【分析】过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合14AD AB →→=，12AE AC →→=，证出37AM AC →→=和17AN AB →→=，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得AB →和AC →表示AF →. 【详解】 解：过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ， 已知14AD AB →→=，12AE AC →→=， //FN AC ，则MFE ABE △△和MCF ACD △△， 则：MF ME AB AE =且MF MC AD AC=， 即：2MF ME AB AC =且14MF MC AC AB =，所以124MC MF ME AB AC AC ==， 则：8MC ME =，所以37AM AC =， 解得：37AM AC →→=， 同理//FM AB ，NBF ABE △△和NFD ACD △△， 则：NF NB AE AB =且NF ND AC AD=， 即：12NF NB AB AC =且14NF ND AC AB =，所以142NB NF ND AC AB AB ==， 则：8NB ND =，即()8AB AN AD AN -=-， 所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即28AB AN AB AN -=-， 得：17AN AB =， 解得：17AN AB →→=， 四边形AMFN 是平行四边形，∴由向量加法法则，得AF AN AM →→→=+， 所以1377AF AB AC →→→=+. 故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力. 31．C【分析】利用已知条件得到O 为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到AOB C π∠=-，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，进而求出::A B C S S S 的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案. 【详解】如图，因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅， 所以()00OB OA OC OB CA ⋅-=⇒⋅=，同理0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=， 所以O 为ABC ∆的垂心。

22.4平面向量及其加减运算一、选择题1. 在四边形 ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，那么四边形 ABCD 为 ( )A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形2. 等腰梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 P ，点 E ，F 分别在两腰 AD ，BC 上，EF 过点 P 且 EF ∥AB ，则下列等式正确的是 ( ) A ． AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ B ． AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ． PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ D ． EP⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 四边形 ABCD 中，若向量 AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与 CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平行向量，则四边形 ABCD ( ) A ．是平行四边形 B ．是梯形C ．是平行四边形或梯形D ．不是平行四边形，也不是梯形4. 设 b ⃗ 是 a 的相反向量，则下列说法错误的是 ( )A ． a 与 b ⃗ 的长度必相等B ． a ∥b ⃗C ． a 与 b ⃗ 一定不相等D ． a 是 b ⃗ 的相反向量 5. 下列四式不能化简为 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是 ( ) A ． (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ )+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ． (AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) C ． MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D ． OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 平行四边形 ABCD 中，BC⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( ) A ． BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ． DA ⃗⃗⃗⃗⃗ C ． AB⃗⃗⃗⃗⃗ D ． AC⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的 3 个顶点 A ，B ，C 的向量分别为 a ，b ⃗ ，c ，则向量 OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A ． a +b ⃗ +cB ． a −b ⃗ +cC ． a +b ⃗ −cD ． a −b ⃗ −c8. 化简下列各式： ① AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ② AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ③ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ④ NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 结果为零向量的个数是 ( ) A ． 1B ． 2C ． 3D ． 49. 下列说法不正确的是 ( )A ．零向量是没有方向的向量B ．零向量的方向是任意的C ．零向量与任一向量平行D ．零向量只能与零向量相等二、填空题10. 向量的两个要素是 和 ．11. △ABC 是等腰三角形，则两腰上的向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系是 ． 12. 下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同；②若 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 ABCD 是平行四边形； ③若 ABCD 是平行四边形，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ④ a =b ⃗ ，b ⃗ =c ，则 a =c ． 其中正确的序号是 ．13. 如图所示，四边形 ABCD 与 ABDE 都是平行四边形，则：①与向量 AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行的向量有 ； ②若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=1.5，则 ∣∣CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣= ．14. 在四边形 ABCD 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 ABCD 是 形． 15. 化简 (AB⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的结果是 ． 16. 化简：OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 17. 一架飞机向北飞行 300 km ，然后改变方向向西飞行 300 km ，则飞机两次位移的和为 ． 三、解答题18. 如图：已知 a ，b ⃗ ，c ，d ，求作向量 a −b ⃗ ，c −d．19. 如图 △ABC 中，M ，N ，P 分别是 AB ，AC ，BC 边的中点，在图中画出：PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．20. 如图，D ，E ，F 分别是 △ABC 各边的中点，(1) 写出图中与 DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，FD ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量． (2) 写出向量 DE⃗⃗⃗⃗⃗ 的相反向量． (3) 设 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用 a ，b ⃗ 表示 FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．21. 如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A ，B ，C 的坐标分别为 (2,0)，(−1,3)，(−2,−2)．(1) 在图中作向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 在图中作向量 OB⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (3) 填空：AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = ． 22. 已知平行四边形 ABCD ，点 E 是 BC 边的中点，请回答下列问题：(1) 在图中求作 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的和向量：AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ； (2) 在图中求作 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的差向量：AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC⃗⃗⃗⃗⃗ = ； (3) 如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，所有与 BE⃗⃗⃗⃗⃗ 互为相反向量的向量是 ．答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】由 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得四边形 ABCD 是平行四边形 由 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 得四边形 ABCD 的一组邻边相等， ∴ 一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2. 【答案】D【解析】根据相等向量的定义，分析可得，A ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 错误，B ．AC⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 错误，C ．PE⃗⃗⃗⃗⃗ 与 PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 错误， D ．EP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同，且大小都等于线段 EF 长度的一半，正确； 故选D ． 3. 【答案】C 4. 【答案】C 5. 【答案】C【解析】A ：(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;B ：(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;C ：MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ； D ：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．6. 【答案】A【解析】 ∵ 在平行四边形 ABCD 中，DC⃗⃗⃗⃗⃗ 与 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是一对相反向量， ∴DC⃗⃗⃗⃗⃗ =−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 7. 【答案】B【解析】如图，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则 OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b ⃗ +c ．8. 【答案】D【解析】① AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ；② AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ； ③ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ； ④ NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ． 9. 【答案】A 二、填空题10. 【答案】大小；方向11. 【答案】 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣AC∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 【解析】两腰上的向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系是 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣AC∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 12. 【答案】③④【解析】①向量相等与起点、终点无关，故①不正确；②若 AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在同一条直线上，是不能构成平行四边形的，故②不正确； ③正确，因为 ∣AB∣⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =∣∣DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 且 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同； ④正确，向量相等具有传递性．从而正确命题的序号为③④．13. 【答案】 ED⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ； 3 【解析】① ED⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ② CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∣∣CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=3． 14. 【答案】平行四边【解析】根据向量的加法的平行四边形法则可得， 以 AB ，AC 为邻边做平行四边形 ABCD ，则可得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形． 15. 【答案】 AC⃗⃗⃗⃗⃗ 【解析】根据向量的线性运算法则， (AB⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE⃗⃗⃗⃗⃗ −DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .16. 【答案】 0⃗【解析】 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . 17. 【答案】 300√2 km【解析】如图．由于每次飞行的位移是向量，∴ 可以用向量加法的三角形法则考虑．由向量加法三角形法则知合位移的大小 ∣s∣=√2，∣s 1∣=300√2(km )．三、解答题18. 【答案】在平面内任取一点 O ，作 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d ， 可以得到 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c −d ． 19. 【答案】 ∵M 是 AB 的中点，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA⃗⃗⃗⃗⃗ −PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 如图所示．20. 【答案】(1) ∵D ，E ，F 分别是 △ABC 各边的中点，∴DE⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (2) −DE⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (3) FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −b⃗ ． 21. 【答案】(1) 如图： (2) 如图：(3) 0⃗【解析】(3) AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ． 22. 【答案】 (1) AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (3) EB⃗⃗⃗⃗⃗ ，CE ⃗⃗⃗⃗⃗。

初二数学向量练习题1. 已知向量a = 2i + 3j，向量b = -3i + 4j，求a + b的结果。

解析：将向量a和向量b的对应分量相加即可得到向量a + b的结果。

a +b = (2i + 3j) + (-3i + 4j)= 2i + (-3i) + 3j + 4j= -1i + 7j因此，向量a + b的结果为-1i + 7j。

2. 已知向量c = 3i - 2j，向量d = i + 2j，求c - d的结果。

解析：将向量c和向量d的对应分量相减即可得到向量c - d的结果。

c -d = (3i - 2j) - (i + 2j)= 3i - 2j - i - 2j= 2i - 4j因此，向量c - d的结果为2i - 4j。

3. 已知向量e = 5i - j，向量f = 2j - 3i，求e · f的结果。

解析：向量的点积等于对应分量相乘后求和。

e ·f = (5i - j) · (2j - 3i)= 5i · 2j + 5i · (-3i) + (-j) · 2j + (-j) · (-3i)= 10ij - 15i² - 2j² + 3ij= 10ij + 3ij - 15i² - 2j²= 13ij - 15i² - 2j²由于i² = -1，j² = -1，所以可以简化为：e ·f = 13ij - 15i² - 2j²= 13ij - 15(-1) - 2(-1)= 13ij + 15 - 2= 13ij + 13因此，向量e · f的结果为13ij + 13。

4. 已知向量g = pi + qj，向量h = ri + sj，求g和h的夹角的余弦值。

解析：向量g和向量h的夹角的余弦值可以通过它们的点积与模的乘积来计算。

初二数学向量练习题1. 已知向量AB = 3i + 4j，向量AC = 2i - 3j，求向量BC的坐标表示和模长。

解析：向量BC可以表示为 BC = AC - AB。

带入已知向量的坐标，得到 BC = (2i - 3j) - (3i + 4j) = -i - 7j。

所以，向量BC的坐标表示为 BC = -i - 7j。

向量的模长可以使用勾股定理求解。

根据勾股定理，向量BC的模长为 BC的平方根，即|BC| = √((-1)^2 + (-7)^2) = √(1 + 49) = √50 = 5√2。

2. 已知向量AB = -3i + 2j，向量AC = 4i - 5j，求向量BA的坐标表示和模长。

解析：向量BA可以表示为 BA = -AB。

带入已知向量的坐标，得到 BA = -(-3i + 2j) = 3i - 2j。

所以，向量BA的坐标表示为 BA = 3i - 2j。

向量BA的模长同样可以使用勾股定理求解。

根据勾股定理，向量BA的模长为 BA的平方根，即|BA| = √((3)^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13。

3. 已知向量AB = 2i + 3j，向量AC = 3i - 4j，求向量AD的坐标表示和模长。

解析：向量AD可以表示为 AD = AC - CD。

我们需要先求解向量CD的坐标表示，然后再计算向量AD。

根据向量的性质，向量CD = AB + BC。

带入已知向量的坐标，得到 CD = (2i + 3j) + (3i - 4j) = 5i - j。

所以，向量CD的坐标表示为 CD = 5i - j。

根据向量的性质，向量AD = AC - CD。

带入已知向量的坐标，得到 AD = (3i - 4j) - (5i - j) = -2i - 3j。

所以，向量AD的坐标表示为 AD = -2i - 3j。

向量AD的模长可以使用勾股定理求解。

根据勾股定理，向量AD的模长为 AD的平方根，即|AD| = √((-2)^2 + (-3)^2) = √(4 + 9) = √13。

平面向量练习题•填空题。

1. AC DB CD BA 等于_______________ •2. 若向量a=( 3, 2), b =( 0,—1),则向量2b —a的坐标是_________________ .3. ____________________________________________________________________________平面上有三个点A( 1,3)，B (2, 2), C( 7，x)，若/ ABC = 90°,则x的值为__________________ . 4•向量a、b满足|a|=1,|b|= J2 ,(a+b)丄(2a-b),则向量a与b的夹角为____________ .1 一5.已知向量a=( 1, 2), b =( 3, 1),那么向量2a —© b的坐标是_______________ .6 .已知A (—1, 2) , B (2 , 4), C (4, —3) , D (x , 1),若AB 与CD 共线，则| BD | 的值等于 _____________ .7. 将点A (2 , 4)按向量a=(—5 , —2)平移后，所得到的对应点A'的坐标是________ .8. 已知a=(1, —2), b =(1,x),若a丄b,则x 等于_____9. 已知向量a, b 的夹角为120,且|a|=2,| b |=5,则(2a- b) • a= ________10. 设a=(2, —3), b =(x,2x),且3a • b =4,则x 等于_____11. 已知AB (6,1), BC (x,y),cD ( 2, 3),且BC // DA ,则x+2y 的值为_________________12. 已知向量a+3 b, a-4 b分别与7a-5 b,7a-2 b垂直，且|a|z 0,| b |工0，则a与b的夹角为 ______uuu uuu imr13. 在厶ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2 ,则OA OB OC 的最小值是.2 214•将圆x y 2按向量v=(2 , 1)平移后，与直线x y 0相切，则入的值为—.二.解答题。