2006年江苏地区高二数学函数极值点教案 苏教版

1.3.2极大值与极小值(一)学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一函数的极值点和极值思考1观察y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．答案极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h)．思考2导数为0的点一定是极值点吗？答案不一定，如f(x)＝x3，尽管由f′(x)＝3x2＝0，得出x＝0，但f(x)在R上是单调递增的，不满足在x＝0的左、右两侧符号相反，故x＝0不是f(x)＝x3的极值点．梳理(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)＞0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)＜0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f (x )的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f ′(x )． (2)求方程f ′(x )＝0的根． (3)列表．(4)利用f ′(x )与f (x )随x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．类型一 求函数的极值点和极值 命题角度1 不含参数的函数求极值例1 求下列函数的极值，并画出函数的草图． (1)f (x )＝(x 2－1)3＋1；(2)f (x )＝ln x x. 解 (1)f ′(x )＝6x (x 2－1)2＝6x (x ＋1)2(x －1)2. 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝0时，f (x )有极小值0. 函数的草图如图所示．(2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此，x ＝e 是函数的极大值点，极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．函数的草图如图所示．反思与感悟 (1)讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则． (2)求可导函数f (x )的极值的步骤 ①求导数f ′(x )． ②求方程f ′(x )＝0的根．③观察f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个方程根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个方程根处取得极小值．注意：f ′(x )无意义的点也要讨论，可先求出f ′(x )＝0的根和f ′(x )无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断． 跟踪训练1 求下列函数的极值． (1)y ＝2x 3＋6x 2－18x ＋3； (2)y ＝2x ＋8x.解 (1)函数的定义域为R .y ′＝6x 2＋12x －18＝6(x ＋3)(x －1)， 令y ′＝0，得x ＝－3或x ＝1.当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：从上表中可以看出，当x ＝－3时，函数取得极大值，且y 极大值＝57. 当x ＝1时，函数取得极小值，且y 极小值＝－7.(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ′＝2－8x 2＝2⎝⎛⎭⎫1－4x 2＝2⎝⎛⎭⎫1－2x ⎝⎛⎭⎫1＋2x ， 令y ′＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x ＜－2时，y ′＞0；当－2＜x ＜0时，y ′＜0. 即x ＝－2时，y 取得极大值，且极大值为－8. 当0＜x ＜2时，y ′＜0；当x ＞2时，y ′＞0. 即x ＝2时，y 取得极小值，且极小值为8. 命题角度2 含参数的函数求极值例2 设函数f (x )＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a ≥1. (1)求f (x )的单调区间； (2)讨论f (x )的极值．解 由已知，得f ′(x )＝6x [x －(a －1)]， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝a －1， (1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2， f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 当a >1时，f ′(x )＝6x [x －(a －1)]， 列表如下.从上表可知，函数f (x )在(－∞，0)上单调递增， 在(0，a －1)上单调递减，在(a －1，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知，当a ＝1时，函数f (x )没有极值．当a >1时，函数在x ＝0处取得极大值1，在x ＝a －1处取得极小值1－(a －1)3. 反思与感悟 含参数的函数求极值应从f ′(x )＝0的两根x 1，x 2相等与否入手进行． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1.所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知，①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值． 类型二 已知函数极值求参数例3 (1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，求a 、b 的值； (2)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，求a 的取值范围．解 (1)∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1时取得极小值，∴a ＝2，b ＝9.(2)f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1. 引申探究1．若本例(2)中函数的极大值点是－1，求a 的值． 解 f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得f ′(－1)＝1＋2＋a ＝0，解得a ＝－3，则f ′(x )＝x 2－2x －3，经验证可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值． 2．若本例(2)中函数f (x )有两个极值点，均为正值，求a 的取值范围．解 由题意，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不等正根，设为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a >0，x 1＋x 2＝2>0，x 1x 2＝a >0，解得0<a <1.故a 的取值范围是(0,1)．反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用，确定函数的解析式时，应注意两点 (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪训练3 (1)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且与直线y ＝0在原点处相切，函数的极小值为－4. ①求a ，b ，c 的值； ②求函数的递减区间．解 ①∵函数图象过原点，∴c ＝0， 即f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 又函数f (x )的图象与直线y ＝0在原点处相切， ∴f ′(0)＝0，解得b ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＝x (3x ＋2a )． 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2a3.由题意可知，当x ＝－2a3时，函数取得极小值－4，∴(－2a 3)3＋a (－2a3)2＝－4，解得a ＝－3.∴a ＝－3，b ＝c ＝0.②由①知，f (x )＝x 3－3x 2，且f ′(x )＝3x (x －2)． 由f ′(x )<0，得3x (x －2)<0，∴0<x <2， ∴函数f (x )的递减区间是(0,2)．(2)已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间(a ，a ＋12)(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．解 ∵f (x )＝1＋ln xx，x >0，则f ′(x )＝－ln xx2.当0<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0. ∴f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴函数f (x )在x ＝1处取得极大值．∵函数f (x )在区间(a ，a ＋12)(其中a >0)上存在极值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 答案 (－1,11)2.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则关于函数f (x )的极值点的说法中，正确的为________．(填序号)①无极大值点，有四个极小值点； ②有三个极大值点，两个极小值点； ③有两个极大值点，两个极小值点； ④有四个极大值点，无极小值点． 答案 ③解析 在x ＝x 0的两侧，f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值；f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3处取得极值，则a ＝________. 答案 5解析 由题意，得f ′(－3)＝3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，所以a ＝5.4．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＋b ＝________. 答案 －2解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3，f ′(23)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝3，43＋43a ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，则a ＋b ＝－2.5．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的单调区间，并求极值． 解 (1)f ′(x )＝2ax ＋bx，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝12， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12， ∴a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)得f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x ＋1)(x －1)x.又f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 列表如下.∴f (x )f (x )有极小值f (1)＝12.1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大值或最小值，并不意味着它在整个定义域内是最大值或最小值．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题．课时作业一、填空题1．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则原函数y ＝f (x )的极大值点的个数为________．答案 1解析 由图象可知，从左到右，函数f (x )的图象先减，后增，再减，再增．由极大值点的定义可知，图中与x 轴交点从左到右第二个就是极大值点，极大值点有1个． 2．已知函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ，且f (x )的极小值为1，则f (x )的极大值为________． 答案59273．若函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调减区间为________． 答案 (－1,1)解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ， 令f ′(x )>0，得x >a 或x <－a ； 令f ′(x )<0，得－a <x <a .即在x ＝－a 处取极大值，在x ＝a 处取极小值．∵函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，∴f (a )＝2，f (－a )＝6， 即a a －3a a ＋b ＝2，且－a a ＋3a a ＋b ＝6， 得a ＝1，b ＝4，则f ′(x )＝3x 2－3.令f ′(x )<0，得－1<x <1. 则f (x )的单调减区间为(－1,1)．4．函数f (x )＝34x 4＋23ax 3＋2x 2＋b ，若f (x )仅在x ＝0处有极值，则a 的取值范围是________．答案 [－23，23]解析 f ′(x )＝3x 3＋2ax 2＋4x ，令f ′(x )＝3x 3＋2ax 2＋4x ＝0，可得x ＝0或3x 2＋2ax ＋4＝0，∵f (x )仅在x ＝0处有极值， ∴Δ＝4a 2－48≤0，∴－23≤a ≤2 3.5．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于点(1,0)，则f (x )的极大值、极小值分别为________．答案427，0 解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q .由函数f (x )的图象与x 轴相切于点(1,0)， 得f (1)＝1－p －q ＝0， f ′(1)＝3－2p －q ＝0，由以上两式解得p ＝2，q ＝－1， ∴函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ，则f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝13.当x ≤13时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，当13<x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ≥1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， f (x )极小值＝f (1)＝0， f (x )极大值＝f (13)＝427，∴f (x )的极大值为427，极小值为0.6．若函数f (x )＝(x －2)(x 2＋c )在x ＝2处有极值，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为________． 答案 －5解析 ∵函数f (x )＝(x －2)(x 2＋c )在x ＝2处有极值， 且f ′(x )＝(x 2＋c )＋(x －2)×2x ， ∴f ′(2)＝0，∴(c ＋4)＋(2－2)×4＝0， ∴c ＝－4，∴f ′(x )＝(x 2－4)＋(x －2)×2x .∴函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为 f ′(1)＝(1－4)＋(1－2)×2＝－5.7．若函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3b ，∵当b ≤0时，f ′(x )≥0，此时在(0,1)内单调递增． 当b ＞0时，令f ′(x )＝0，即3x 2－3b ＝0，得x ＝±b . ∵当x ∈(－b ，b )时，f ′(x )<0；当x ∈(b ，＋∞)时， f ′(x )>0，∴x ＝b 是f (x )的极小值点，则0<b <1，∴0<b <1.8．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则f (－1)＝________. 答案 30解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.经检验知，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )≥0，不合题意．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，则f (－1)＝30.9．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 恰有两个零点，则c ＝______. 答案 ±2解析 y ＝x 3－3x ＋c 有两个零点， 即方程x 3－3x ＋c ＝0有两个根，可转化为y ＝x 3－3x 与y ＝－c 的图象有两个交点． 对于y ＝x 3－3x ，令y ′＝3x 2－3＝0，得x ＝±1.由图象(图略)可知，y 有极大值(－1)3－3×(－1)＝2，y 有极小值13－3×1＝－2. ∴c ＝±2.10．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x 的极值点大于0，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3)解析 令y ＝f (x )，则f ′(x )＝a e ax ＋3，函数f (x )取极值的点大于0，即f ′(x )＝a e ax ＋3＝0有正根． 当f ′(x )＝a e ax ＋3＝0成立时，显然有a <0， 此时x ＝1a ln(－3a )，由x >0，可得a <－3. 二、解答题11．判断下列函数是否有极值，如果有极值，求出其极值；若无极值，请说明理由． (1)y ＝8x 3－12x 2＋6x ＋1； (2)y ＝x |x |； (3)y ＝1－23(2)x -.解 (1)∵y ′＝24x 2－24x ＋6，令y ′＝0，即24x 2－24x ＋6＝0，解得x ＝12，当x >12时，y ′>0；当x <12时，y ′>0.∴此函数无极值．(2)显然函数y ＝x |x |在x ＝0处不可导，且y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，－x 2(x <0)，当x >0时，y ＝x 2是单调增函数； 当x <0时，y ＝－x 2也是单调增函数． 故函数y ＝x |x |在x ＝0处无极值．另外，∵当x >0时，y ′＝2x ，y ′＝0无解； 当x <0时，y ′＝－2x ，y ′＝0也无解， ∴函数y ＝x |x |没有极值．(3)当x ≠2时，有y ′＝－2313(2)x --.当x ＝2时，y ′不存在，因此，y ′在x ＝2处不可导．但在点x ＝2处的左右附近y ′均存在，当x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0. 故y ＝f (x )在点x ＝2处有极大值，且极大值为f (2)＝1. 12．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极小值． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx .由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝3，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，3a ＋2b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)知f (x )＝－6x 3＋9x 2.所以f ′(x )＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)． 令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝0.所以当x <0时，f ′(x )<0；当0<x <1时，f ′(x )>0； 当x >1时，f ′(x )<0.所以当x ＝0时，f (x )有极小值，其极小值为0.13．已知函数f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值．解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )， 令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .列表如下.∴f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－52，∴m ＝1. 三、探究与拓展14．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1,4)解析 y ′＝3x 2－3a ，当a ≤0时，y ′≥0， 函数y ＝x 3－3ax ＋a 为单调函数，不合题意，舍去； 当a ＞0时，y ′＝3x 2－3a ＝0⇒x ＝±a ，当1＜a ＜2，即1＜a ＜4时，函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值． 15．已知函数f (x )＝(x 2＋ax ＋a )e x (a ≤2，x ∈R )． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的极大值为3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x ， f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x ＋1)e x ＝(x 2＋3x ＋2)e x . 令f ′(x )>0，解得x <－2或x >－1； 令f ′(x )<0，解得－2<x <－1，所以函数的单调增区间为(－∞，－2)，(－1，＋∞)， 单调减区间为(－2，－1)．(2)令f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax ＋a )e x ＝[x 2＋(2＋a )x ＋2a ]e x ＝(x ＋a )(x ＋2)e x ＝0， 得x ＝－a 或x ＝－2.当a <2，即－a >－2时，列表如下.由表可知，f (x )有极大值f (－2)＝(4－2a ＋a )e －2＝3，解得a ＝4－3e 2<2，当a＝2时，f(x)＝(x2＋2x＋2)e x，此时f′(x)＝(x2＋4x＋4)e x＝(x＋2)2e x≥0，f(x)在R上单调递增，无极值，不满足题意．所以存在实数a≤2，使f(x)的极大值为3，此时a＝4－3e2.。

《极大值和极小值》教学设计——张博赢一．教学目标1知识与技能（1）结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；（2）理解函数极值的概念，会用导数求函数的极值（3）培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力。

2，过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，由直观到抽象来探索函数的极值与导数的关系．3情感态度与价值观1通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结；2通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识．培养学生的探索精神。

二．学情分析由于我授课的班级为本校普通班，学生基础普遍较弱，学习能力不强，推理能力和计算能力不是很好，所以授课过程中要求节奏较为缓慢，需要留出学生将知识内化的时间，尽量做到深入浅出，做到手不离笔边，边探究边总结边练习，从而形成自己的知识。

还有本班同学性格较为内向，所以尽量做到多引导，多沟通，尽量做到思维多元化，在学习的过程中也锻炼学生的品格。

三．教材分析1.本节的作用和地位所用教材为《高中课程标准试验教科书-数学（选修2-2）》（苏教版），第1章“导数在研究函数中的应用——极大值和极小值”，它是学生学习了导数在研究函数中的应用——单调性之后，继续学习的第二种应用，也是为第三种应用——最大值和最小值作知识铺垫和方法引导，具有承上启下、完善知识结构、拓展提升能力的作用。

2.本节主要内容本节主要内容是让学生透彻理解函数的极值和极值点的概念，并以图像形式逐步给出极值和导数的关系，从而用求导研究函数的相关极值问题，培养学生关注抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养水平的提升。

3重点难点分析教学重点：利用导数研究函数的极值。

教学难点：函数的极值正向或逆向问题的考察。

4课时要求：本节课共三课时，本节选取第一课时四．教学理念1关注学生的进步和发展。

首先，要求教师有“对象”意识。

不唱独角戏，离开“学”，就无所谓“教”，因此，教师必须确立学生的主体地位，树立“一切为了学生的发展”的思想。

1．3.2极大值与极小值[对应学生用书P16]已知y＝f(x)的图象(如图)．问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．问题2：当x＝b时，函数值f(b)有何特点？提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值．1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．2．类似地，上图中f(x2)为函数的一个极小值．3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．观察图(Ⅰ)．问题1：试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.问题2：试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.1．极大值与导数之间的关系如下表：增减2．极小值与导数之间的关系如下表：减增1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．2．函数的极值并不惟一(如图所示)．3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f(x1)是极大值，f(x4)是极小值，而f(x4)>f(x1)．[对应学生用书P17][例1](1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝ln x x.[思路点拨]按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域．[精解详析](1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：因此，函数f (x )的极大值为f (－1)＝10； 极小值为f (3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此函数f (x )的极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．[一点通] (1)求可导函数极值的步骤： ①求导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )的值在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．(2)注意事项：①不要忽视函数的定义域；②要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有________个极小值．解析：由图可知，在区间(a ，x 1)，(x 2,0)，(0，x 3)内f ′(x )>0； 在区间(x 1，x 2)，(x 3，b )内f ′(x )<0. 即f (x )在(a ，x 1)内单调递增， 在(x 1，x 2)内单调递减， 在(x 2，x 3)内单调递增， 在(x 3，b )内单调递减．所以，函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个极小值， 极小值为f (x 2)．答案：12．关于函数f (x )＝x 3－3x 2有下列命题，其中正确命题的序号是________．①f (x )是增函数；②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值．解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝2. 易知当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；极大值为f (0)，极小值为f (2)．答案：③④3．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.[例2] 已知f (x[思路点拨] 解答本题可先求f ′(x )，利用x ＝－1时有极值0这一条件建立关于a ，b 的方程组．解方程组可得a ，b 的值，最后将a ，b 代入原函数验证极值情况．[精解详析] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.[一点通] 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则ab ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2，易知在x ＝1的左右两侧都有f ′(x )＞0， 即函数f (x )在R 上是单调递增的，因此f (x )在x ＝1处并不存在极值，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.ab ＝－44. 答案：－445．已知函数y ＝3x －x 3＋m 的极大值为10，则m 的值为________ . 解析：y ′＝3－3x 2＝3(1＋x )(1－x )， 令y ′＝0得x 1＝－1，x 2＝1，经判断知极大值为f (1)＝2＋m ＝10，m ＝8. 答案：86．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值．讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值．解：∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0.解得a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ， ∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1，所以f (－1)＝2是极大值，f (1)＝－2是极小值．[例3] 已知a (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ [精解详析] (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2＋3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2； 极大值为f (1)＝a ＋2.由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象，如图所示．这里，极大值a ＋2大于极小值a －2.(2)结合图象，当极大值a ＋2＝0或极小值a －2＝0时，曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰有两个实数根．综上，当a ＝±2时，方程恰有两个实数根．[一点通] 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．7．在例3中当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x ) 与x 轴仅有一个交点？ 解：函数f (x )的大致图象如图所示：当函数f (x )的极大值a ＋2<0或极小值a －2>0时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，所以所求实数a 的范围是a <－2或a >2.8．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝a 1＋x ＋2x －10，所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0，因此a ＝16.(2)由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)． f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x ，当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(1,3)．(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x ＝1或x ＝3时，f ′(x )＝0，所以f (x )的极大值为f (1)＝16ln 2－9， 极小值为f (3)＝32ln 2－21，所以要使直线y＝b与y＝f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)．因此b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．根据可导函数极值的定义、方法、步骤，要弄清以下几点：(1)极大(小)值未必是最大(小)值，可以有多个数值不同的极大(小)值；(2)极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值；(3)极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；(4)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．[对应课时跟踪训练(七)]一、填空题1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图象如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为________．解析：极大值点在导函数f′(x0)＝0处，且满足x0左侧为正，右侧为负，由图象知有3个．答案：32．(新课标全国卷Ⅰ改编)函数f(x) 在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则p是q的________条件．解析：设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p 则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分3．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝________.解析：f′(x)＝2x＋x·2x ln 2，令f′(x)＝0，得x＝－1ln 2.答案：－1ln 24．设a∈R，若函数y＝e ax＋3x，x∈R取极值的点大于0，则a的取值范围是________．解析：令x＝f(x)，则f′(x)＝a e ax＋3，函数f(x)取极值的点大于0，即f ′(x )＝a e ax ＋3＝0有正根．当f ′(x )＝a e ax ＋3＝0成立时，显然有a ＜0， 此时x ＝1a ln ⎝⎛⎭⎫－3a ， 由x ＞0可得a ＜－3. 答案：(－∞，－3)5．(福建高考改编)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________．①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②－x 0是f (－x )的极小值点； ③－x 0是－f (x )的极小值点； ④－x 0是－f (－x )的极小值点． 解析：不妨取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝⎛⎭⎫－33，∴排除①；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，∴排除②；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，∴排除③，∵－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点，∴填④.答案：④ 二、解答题6．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．解：(1)f ′(x )＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为f (－2)＝283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为f (2)＝－43.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象如图所示．7．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：(1)∵f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0解得x<－a，或x>a，由f′(x)<0解得－a<x<a，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．8．(重庆高考)已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．解：(1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a －b )(e 2x －e －2x )＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e－2x －3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0， 故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x －c ， 而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4，当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x －4>0，此时f (x )无极值； 当c >4时，令e 2x ＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1,2＝c ±c 2－164>0， 即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2. 当x 1<x <x 2时f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值． 综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。