2020高考数学(理)一轮复习配套文档：第2章 第5节 指数与指数函数

第5讲指数与指数函数[考纲解读］1。

理解有理指数幂的含义,掌握指数幂的运算，并能通过具体实例了解实数指数幂的意义．2。

理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性并掌握指数函数的图象及其通过的特殊点．(重点、难点)3。

通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景，并体会指数函数是一类重要的函数模型．［考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的命题热点．预测2020年高考主要与函数的图象、最值、比较大小、指数函数图象过定点为命题方向；也有可能与其他知识相结合进行考查.1．根式2．有理数指数幂（1)幂的有关概念①正数的正分数指数幂：a错误!＝错误!（a>0，m,n∈N*且n〉1）．②正数的负分数指数幂：a－错误!＝错误!＝错误!（a〉0，m，n∈N＊且n〉1)．③0的正分数指数幂等于错误!0；0的负分数指数幂错误!没有意义．(2）有理数指数幂的性质①a r a s＝错误!a r＋s(a>0，r，s∈Q）；②（a r）s＝错误!a rs(a>0,r，s∈Q）；③（ab）r＝错误!a r b r（a〉0，b〉0，r∈Q）．3．指数函数的图象与性质y＝a x（a〉0且a≠1）a>10〈a〈1图象1．概念辨析(1）错误!与（错误!)n都等于a(n∈N＊)．（)(2）[（－2）6] 错误!＝（－2)6×错误!＝(－2）3＝－8.（)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( ）(4）若a m〈a n(a〉0，且a≠1),则m〈n.( ）答案(1）×（2）×(3）√（4）×2．小题热身(1）函数y＝a x－a(a〉0，且a≠1)的图象可能是( )答案C解析函数y＝a x－a的图象过点（1，0),排除A，B，D。

(2）化简错误!的结果是________．答案－错误!解析由题意得x〈0，所以错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!。

2020年高考数学一轮复习《指数与指数函数》考纲解读1. 了解指数函数模型的实际背景.2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质.3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R)；(2)mm n n a a a -=( m ,n ∈R)(3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R)；(4)(ab )m=a m b m (m ∈R)；(5)pp a a-=1(p ∈Q)(6)mn a m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数yx题型归纳及思路提示题型23 指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4的值；(2)若x x-+=11223，x x x x --+-+-33222232的值；(3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求)n a 的值.分析：利用指数运算性质解题.-=--1==.当a =2，b =4，原式===12. (2)先对所给条件作等价变形：()x x x x --+=+-=-=11122222327， ()()x xx x x x ---+=++-=⨯=33111222213618，x 2+x -2=(x +x -1)2-2=72-2=47. 故x x x x --+--==+--3322223183124723. (3)因为nna --=11201420142，所以()nna -++=11222014201412，nnnnna ---+-=-=111112014201420142014201422.所以)n a -=12014. 变式1 设2a =5b =m ，且a b+=112，则m =( ).A.B. 10C. 20D. 100解析 解法一： 2111111,55,22m m m m m m m m ba b a b b a a ==∙=⇒==⇒=+10),0(10522=>=⇒⨯=m m m 。

第五讲指数及指数函数一．根式1.根式的概念根式的概念符号表示备注如果a＝x n，那么x叫做a的n次实数方根n>1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数na0的n次实数方根是0当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数±na负数没有偶次方根2.两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数)；②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．二．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；②正数的负分数指数幂是mna＝1mna＝1na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t＝a s＋t(a>0，t，s∈Q)；②(a s)t＝a st(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝a t b t(a>0，b>0，t∈Q)．【套路秘籍】---千里之行始于足下三．指数函数的图象与性质 （1）指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R . （2）指数函数的图象与性质y ＝a x a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数考向一 指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______．（3）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值： ①x +x−1；②x 2+x−2；③x 32−x−32x 12−x −12.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】 1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.2．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________. 3．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．4.已知x ＋x －1＝3，则3322xx的值为 ．5.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝ . 6．设2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为 ．7．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为 ．考向二 指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有（ ） A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a ≠1【举一反三】1．函数y =（a 2–3a +3）⋅a x 是指数函数，则a 的值为 A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．a >0且a ≠1的所有实数 2．函数f （x ）=（2a –3）a x 是指数函数，则f （1）= A ．8 B ．32 C ．4 D ．23．函数f (x )=(m 2−m −1)a x 是指数函数，则实数m =（ ）【套路总结】指数函数xy a =形如，指数函数的需要同时满足①01a a >≠且②系数为1③次数为1【套路总结】指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）A ．2B ．1C ．3D ．2或−1考向三 指数函数的单调性【例3】函数f (x )=51−|2x+4|的单调递增区间为（ ） A ．[−2,+∞) B ．[−32,+∞)C ．(−∞,−32]D ．(−∞,−2]【举一反三】 1.函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（ ）A ．(−2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−∞,2)2.函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________．3．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．考向四 指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数y =√4−2x 的定义域为_______．（2）设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为 。

2020年高考理科数学一轮总复习：指数与指数函数第5讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n ＞1时，x n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，n ＞1)． ②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a m na >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a－m n ＝1a m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质R导师提醒1．指数函数图象和性质的1个注意点指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0<a<1来研究．2．掌握指数函数图象与底数大小的关系如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)na n＝(na)n＝a.()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.()(3)函数y＝a－x是R上的增函数．()(4)函数y＝a x2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()(6)若a m<a n(a>0，且a≠1)，则m<n.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×化简416x8y4(x<0，y<0)得()A．2x2y B．2xyC ．4x 2yD ．－2x 2y解析：选D.因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝(16x 8·y 4)14＝(16)14·(x 8)14·(y 4)14＝2x 2|y |＝－2x 2y .(教材思考改编)函数y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B.作出y ＝2x与y ＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x的图象(图略)，观察可知其关于y 轴对称． 已知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，则A 的坐标为( ) A ．(0，1) B ．(2，3) C ．(3，2)D ．(2，2)解析：选B.令x －2＝0，则x ＝2，f (2)＝3，即A 的坐标为(2，3)． 函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )解析：选B.当x ≥1时，f (x )＝2x －1；当x <1时，f (x )＝21－x .若指数函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知0<a 2－1<1， 即1<a 2<2，得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)指数幂的化简与求值(自主练透) 1．化简⎝⎛⎭⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12(a >0，b >0)＝________．解析：原式＝2×23·a 32·b－3210·a 32·b－32＝21＋3×10－1＝85. 答案：852．计算：⎝⎛⎭⎫－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝________．解析：原式＝⎝⎛⎭⎫－32－2＋50012－10（5＋2）（5－2）（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 答案：－16793．化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23－23b a ×a ·3a 25a ·3a＝________(a >0)． 解析：原式＝a 13[（a13）3－（2b 13）3]（a 13）2＋a 13·（2b 13）＋（2b 13）2÷a 13－2b 13a×（a ·a 23）12（a 12·a 13）15＝a 13(a 13－2b 13)×a a 13－2b 13×a 56a 16＝a 2.答案：a 24．若x 12＋x －12＝3，则x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值为________．解析：由x 12＋x －12＝3，得x ＋x －1＋2＝9，所以x ＋x －1＝7，所以x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47.因为x 32＋x －23＝(x 12＋x －12)3－3(x 12＋x －12)＝27－9＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25.答案：255．化简a ·－1a＋(5a )5＋6a 6的值为________． 解析：由题意可知a <0，故原式＝－－（－a ）2a＋a ＋(－a )＝－－a.答案：－－a指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[提醒]运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．指数函数的图象及应用(典例迁移)(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．【解析】(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)作出曲线|y|＝2x＋1(如图)，要使该曲线与直线y＝b没有公共点，只需－1≤b≤1.【答案】(1)D(2)[－1，1][迁移探究1](变条件)将本例(2)中的条件改为：若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．解：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b如图所示．由图象可得，b的取值范围是(0，1)．[迁移探究2](变条件)将本例(2)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，求k的取值范围．解：因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．1．如图，函数y ＝x ＋a ，y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )解析：选B.y ＝x ＋a ，过定点(0，a )，y ＝a x (a ＞0，a ≠1)过定点(0，1)， 当a ＞1时，y ＝x ＋a ，y ＝a x 均为增函数，当0＜a ＜1时，y ＝x ＋a 为增函数，y ＝a x 为减函数， 于是观察只有B 符合， 故选B.2．函数y ＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1，故a b ∈(0，1)．答案：(0，1)3．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________．解析：方程|a x －1|＝2a (a ＞0，且a ≠1)有两个不等实根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．(1)当0＜a ＜1时，如图①，所以0＜2a ＜1，即 0＜a ＜12；(2)当a ＞1时，如图②，而y ＝2a ＞1不符合要求．所以0＜a ＜12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12指数函数的性质及应用(多维探究) 角度一 指数函数单调性的应用(1)已知a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝2－43，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则下列关系式中正确的是( ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <bD ．a <b <c(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】 (1)把b 化简为b ＝⎝⎛⎭⎫1243，而函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝⎛⎭⎫1243<⎝⎛⎭⎫1223<⎝⎛⎭⎫1213，即b <a <c .(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a －7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3， 因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，即0≤a <1.故a 的取值范围是(－3，1)，故选C. 【答案】 (1)B (2)C角度二 指数型复合函数的单调性(1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________． (2)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．【解析】 (1)设u ＝－x 2＋2x ＋1，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间． 又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， 所以f (x )的减区间为(－∞，1]．(2)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．【答案】 (1)(－∞，1] (2)(－∞，4] 角度三 指数函数性质的综合问题 已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域和值域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)讨论f (x )的单调性．【解】 (1)f (x )的定义域是R ，令y ＝a x －1a x ＋1，得a x＝－y ＋1y －1，因为a x －1a x ＋1≠1在定义域内恒成立，所以y ≠1.因为a x >0，所以－y ＋1y －1>0，解得－1<y <1，所以f (x )的值域为(－1，1)．(2)因为f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)f (x )＝（a x ＋1）－2a x ＋1＝1－2a x ＋1.设x 1，x 2是R 上任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2a x2＋1－2a x 1＋1＝2（a x 1－a x 2）（a x 1＋1）（a x 2＋1）. 因为x 1<x 2，所以当a >1时，a x 2>a x 1>0， 从而a x 1＋1>0，a x 2＋1>0，a x 1－a x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，f (x )为R 上的增函数； 当0<a <1时，a x 1>a x 2>0，从而a x 1＋1>0，a x 2＋1>0，a x 1－a x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，f (x )为R 上的减函数．(1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：选C.因为指数函数y ＝0.6x 在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以0.60.6＞0.61.5，即a ＞b ，又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，所以a ＜c ，故选C. 2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)， 单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3， 所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g （x ），由指数函数的性质知， 要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g （x ）的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R ) 故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.指数式的巧算(1)计算(3－2)2 018·(3＋2)2 019的值为________． (2)若67x ＝27，603y ＝81，则3x －4y＝________．【解析】 (1)原式＝(3－2)2 018·(3＋2)2 018·(3＋2)＝[(3－2)·(3＋2)]2018·(3＋2)＝3＋ 2.(2)因为67x ＝27，603y ＝81， 所以67＝271x＝33x，603＝811y＝34y.所以33x÷34y ＝67603＝19，即33x －4y ＝19＝3－2.所以3x －4y＝－2.【答案】 (1)3＋2 (2)－2指数的运算除了熟练运用定义和法则外，根据不同的题目结构，会有不同的方法技巧，展现出其运算之“芬芳”．如本例(1)，化为同指数后计算，而本例(2)则化为同底数后计算．化简求值：(1)3⎝⎛⎭⎫－543＋⎝⎛⎭⎫827－23＋(5－2)－1＋4（3－π）4； (2)已知a ＋a －1＝5，求a 2＋a －2和a 12＋a －12的值．解：(1)原式＝－54＋⎝⎛⎭⎫233×()－23＋5＋2＋π－3＝－54＋94＋5＋2＋π－3＝5＋π.(2)因为a ＋a －1＝5，。

§2。

5 指数与指数函数考纲展示► 1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．考点1 指数幂的化简与求值1.根式（1)根式的概念若________，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子错误!叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)a的n次方根的表示x n＝a⇒错误!答案:(1)x n＝a2．有理数指数幂(1）幂的有关概念①正分数指数幂：a错误!＝________（a＞0,m,n∈N＊，且n＞1）；②负分数指数幂:a错误!＝________＝________(a＞0，m，n∈N＊,且n＞1)；③0的正分数指数幂等于________，0的负分数指数幂________．（2）有理数指数幂的性质①a r a s＝________(a＞0,r,s∈Q）；②(a r）s＝________(a＞0,r,s∈Q);③(ab）r＝________(a＞0,b＞0，r∈Q）．答案：（1）①na m②错误!错误!③0 无意义(2)①a r＋s②a rs③a r b r(1）［教材习题改编］若x＋x－1＝5，则x2－x－2＝________.答案：±5错误!解析:把x＋x－1＝5两边平方,可得x2＋x－2＝23,所以（x－x－1）2＝x2－2＋x－2＝21，所以x－x－1＝±错误!，所以x2－x－2＝(x＋x－1)(x －x－1）＝±5错误!.(2）［教材习题改编］若x错误!＋x错误!＝3，则错误!＝________。

答案:错误!解析：由x错误!＋x错误!＝3，得(x错误!＋x错误!)2＝9，即x＋x－1＝7.错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

根式化简与指数运算的误区：混淆“na n”与“(错误!）n”；误用性质．（1)错误!＝__________；答案:｜a－b｜＝错误!解析：错误!＝｜a－b|＝错误!(2）化简［(－2)6］错误!－（－1)0的结果为________．答案：7解析：[(－2)6]错误!－(－1)0＝（26）错误!－1＝8－1＝7。