1线性代数 曹贤通

线性代数第六版简介线性代数是一门研究向量空间及其上的线性变换的学科。

在数学领域中，它是一门重要而基础的学科，被广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、经济学等等。

本文将介绍《线性代数第六版》这本书的内容和特点。

作者本书的作者是Gilbert Strang。

Gilbert Strang是美国的一位著名数学家，现任麻省理工学院应用数学系教授。

他的主要研究领域是应用数学和数值分析，特别是在线性代数的教学和应用领域有着丰富的经验。

内容概述本书是一本线性代数的教材，共分为十二个章节。

以下是每个章节的简略概述：1.第一章介绍了向量和矩阵的基本概念，包括向量的几何解释、矩阵运算和矩阵的性质。

2.第二章讨论了线性方程组和矩阵的消元法，以及矩阵的秩和求解线性方程组的方法。

3.第三章介绍了矩阵的逆和逆矩阵的性质，以及逆矩阵的求解方法。

4.第四章讨论了线性变换和坐标变换，以及线性变换对于矩阵的表示。

5.第五章介绍了特征值和特征向量的概念，以及对角化和相似矩阵的性质。

6.第六章讨论了正交向量和正交矩阵，以及正交矩阵的特性和应用。

7.第七章介绍了复向量空间和复数域上的线性代数，包括复数的运算和复向量的性质。

8.第八章讨论了对称矩阵和二次型，以及对称矩阵的对角化和奇异值分解。

9.第九章介绍了线性相关性和线性无关性，并讨论了向量空间的基与维数。

10.第十章讨论了正交补空间和投影运算，以及最小二乘问题的求解方法。

11.第十一章介绍了复数域上的正交矩阵和正交变换，以及复数域上的最小二乘问题。

12.第十二章讨论了内积空间和希尔伯特空间，包括内积、范数和正交性的概念。

特点《线性代数第六版》有以下几个特点：•简洁明了的叙述风格，易于理解和学习。

•丰富的例子和练习，帮助读者掌握概念和方法。

•强调线性代数与实际问题的联系，注重应用层面的讲解。

•提供了大量的实际应用案例，帮助读者将理论知识应用到实际中。

•给出了详细的解题步骤和解答，方便读者自学和复习。

《线性代数》课程教学大纲Linear Algebra—、课程基本信息二、教学目标本课程以应用型人才的培养计划为LI标，以提高学生的数学素质、掌握线性代数的基本思想方法、基本讣算方法与培养学生的数学应用创新能力为教学LI标。

同时为学习后继课程和自我更新奠定必要的数学基础。

（一）知识LI标线性代数将使学生获得行列式、n维向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等相关的基本知识，同时接受基本运算技能的训练，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

（二）能力LI标线性代数培养学生抽象思维能力和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，进而培养学生的创新意识和能力。

（三）素质□标随着社会的发展，线性代数的内容更为丰富、方法更为综合、应用更为广泛。

线性代数不仅是一种工具，而且是一种思维模式；它不仅是一种知识, 而且是一种素养；它不仅是一种科学，而且是一种文化。

本课程将培养学生的思维能力、数学素养及数学文化，在应用型高素质人才培养中起到不可替代的作用。

培养学生科学思维的能力。

为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

三、基本要求本课程是理工等学科各专业的一门重要基础理论课程。

要求学生掌握行列式、n 维向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等基本知识和基本计算方法, 并能利用所学知识解决一些实际问题。

（-）了解克莱姆法则及应用；向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法; 初等矩阵的性质和矩阵等价的概念；线性方程组的基本概念；二次型秩的概念、二次型的标准型的概念及惯性定理。

（二）理解矩阵的等价、相似与合同，矩阵的初等变换和秩；向量的线性相关性, 极大无关组与向量组的秩；齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解：矩阵的特征值与特征向量，矩阵的相似对角化；二次型与标准形。

（三）掌握矩阵与行列式的运算；向量组线性相关性的判定，向量组的极大无关组和秩的计算；线性方程组的解法；矩阵的特征值与特征向量的计算，矩阵的相似对角化的判定；化二次型为标准形的方法。

管理探索Һ㊀浅析线性基本原理在智能创新中发挥的作用辛晶晶摘㊀要:线性代数是高等院校中广泛使用的一门科学ꎬ因为量与量的比例为直线ꎬ所以叫线性ꎮ线性代数中有很多数学规律可以应用于科技创新之中ꎮ关键词:线性代数ꎻ奇偶性ꎻ矩阵ꎻ网状思维一㊁Ｎ阶排列的奇偶性在智能检测中的应用(一)学科原理在线性代数中有这样一个原理ꎬ任何一个Ｎ阶排列与Ｎ阶自然排列都可以经过一系列的对换互变ꎬ而且所兑换的个数与这个排列有相同的奇偶性ꎮ也就是说ꎬ原来如果是奇排列经过奇次对换后ꎬ还是奇排列ꎬ原来是偶排列经过偶次对换后ꎬ还是偶排列ꎮ(二)应用场景线性代数的这一特性ꎬ可应用于ＣＣＤ液晶屏检测技术中ꎬ原来需检测２６屏的液晶屏检测技术ꎬ现在只需检测奇数屏与偶数屏两屏即可ꎬ因为他们的对换个数与这个排列具有相同的奇偶性ꎮ智能电表生产属于大批量生产ꎬ每年国网对智能电表的需求量为几千万只ꎬ再加上南网对智能电表的需求㊁国外对智能电表的需求ꎬ还有系统外对智能电表的需求ꎬ整体需求量巨大ꎮ作为智能电表专业生产厂家ꎬ河南许继仪表有限公司每年生产单相智能电表都在６００万只左右ꎬ我们对智能电表的生产由过去的柔性生产线小批量生产转型为智能化自动线生产大批量生产ꎮ在进行智能表自动化生产线设计过程中ꎬ有道工序是智能表液晶屏ＣＣＤ检测工序是生产的瓶颈ꎬ面对如此大批量的智能电表ꎬ如何对液晶屏进行检测?是人工检测还是在线检测?因为人工检测不仅效率低ꎬ而且由于人易疲劳ꎬ易受外界因素的影响ꎬ工人检测易出现质量事故ꎮ因此ꎬ在我们自动化线设计过程中ꎬ对液晶屏质量的检测我们首选自动化在线检测ꎮ(三)存在问题液晶屏ＣＣＤ在线检测设计过程中ꎬ存在一个重要问题是不知检测多少屏才能保证检测的液晶屏合格ꎮ常见的液晶屏有２６个引脚ꎬ液晶屏电表电路板焊接的过程中难免的会出现虚焊㊁漏焊㊁连锡等现象ꎬ这种不可避免的问题会使我们的电表在正常上电显示的时候显示出漏显㊁虚显㊁断显或者白屏的状态ꎬ为了不让有质量的液晶屏转到下一工位影响电表整体质量ꎬ对液晶屏存在的质量问题必须全部都检测出来ꎮ如果我们一个引脚一个引脚的检测ꎬ需检测２６屏才可完全判定一个液晶屏是否质量完好ꎮ这样检测效率低ꎬ并且影响整条自动化线生产效率ꎮ(四)解决方案在智能电表自动化线液晶屏ＣＣＤ在线检测过程中ꎬ只奇数屏和偶数屏两屏即可满足ＣＣＤ自动检测需求ꎬ就能判定液晶屏质量的优劣ꎮ液晶屏ＣＣＤ在线检测方法是先用工业相机照出液晶屏的全屏信息ꎬ并将全屏信息存入电脑中ꎬ然后照出奇数屏信息和偶数屏信息ꎬ分别与存入电脑中的全屏进行对比ꎬ通过比较液晶屏显示数符来判断液晶屏是否合格ꎮ在后台电脑的驱动下ꎬ通过上电端子自动给智能电表上电ꎬ电脑给出信号指令ꎬ先后给智能电表奇数屏上电ꎬ偶数屏上电ꎬ采用红外照明ꎬ目标是防止光线干涉ꎬ看不清楚液晶屏的字符ꎬＣＣＤ相机在气缸推动下可纵向移动ꎬ先拍奇数屏ꎬ再拍偶数屏ꎬ分别将拍摄的信息传输到后台电脑ꎬ与电脑中存储的标准屏信息进行比对ꎬ如果合格ꎬ就让电表正常流走ꎬ如果通过比对ꎬ发现哪块电表有瑕疵ꎬ电脑就给出指令ꎬ下线时将有瑕疵的电表剔去ꎮ为了提高在线检测效率ꎬ电能表一次装６个ꎬ分两排ꎬ一排３个ꎬ摄像机也用３个ꎬ与电表液晶屏一一对应ꎬ摄像头装在可纵向移动的支架上ꎬ在气缸推动下ꎬ对两排电表依次摄取信息ꎮ液晶屏ＣＣＤ在线检测过程中ꎬ主要就是信息摄取㊁信息比对ꎬ信息判断的过程ꎮ(五)运行效果国内有少数的企业也实行液晶屏ＣＣＤ检测ꎬ但是他们不知道检测多少屏ꎬ有的检测２６屏ꎬ有的主张检测８屏ꎬ但都不是最佳选择ꎬ不但质量不能保证ꎬ而且运行效率较低ꎬ与检测２６屏相比ꎬ我们的检测效率是他们的１３倍ꎬ与８屏相比ꎬ我们的检测效率是他们的４倍ꎮ实践证明ꎬ我们创新的液晶屏ＣＣＤ在线检测方案是科学的㊁先进的ꎬ是符合时代潮流的ꎮ一条自动化生产线ꎬ采用ＣＣＤ在线检测ꎬ一年多创造经济效益近２００万元ꎮ二㊁矩阵原理在智能制造管理创新中的应用智能制造时代ꎬ互联网㊁大数据㊁云计算㊁机器人的广泛应用和推广ꎬ使得生产力得到极大的提高ꎬ使得人与人之间 零距离 成为可能ꎬ也就是员工与用户通过互联网交互 零距离 接触ꎬ顾客与用户 零距离 ꎬ互联网工厂与用户 零距离 ꎮ企业接入互联网后ꎬ员工就可以充分利用互联网上的各种资源ꎬ可以开放自己与互联网一起成长ꎮ真正实现如管理学大师德鲁克所说的ꎬ２１世纪ꎬ人人都是自己的ＣＥＯꎮ因此ꎬ智能制造时代ꎬ企业组织结构悄悄发生着改变ꎬ由过去的线性组织即科层组织创新为网络状㊁扁平型的小微组织ꎬ企业平台化ꎬ平台上一个一个的小微组织构成一个生机勃勃的大企业ꎮ过去的组织结构是金字塔结构ꎬ若干个小组成一个科室ꎮ若干个科室组成一个部门㊁若干个部门组成一个企业ꎬ员工归属于小组㊁科室㊁平台ꎬ工作时ꎬ上传下达ꎬ领导叫干什么就干什么ꎬ员工的主动性㊁能动性不能充分发挥ꎮ智能制造时代ꎬ企业是一个平台ꎬ一个一个的小微组织如同矩阵的元素ꎬ各矩阵元素组成一个大的矩阵ꎬ矩阵元素之间可以像矩阵计算一样兼并㊁组合ꎬ最终实现员工价值最大化ꎬ实现企业效益最大化ꎬ也实现了企业管理创新ꎮ三㊁结语知识的价值在于应用ꎬ线性代数ꎬ作为一门应用广泛的科学ꎬ其科学规律除了用在计算上ꎬ还可应用在科技创新上ꎬ只有结合实际深度思考ꎬ才有更广泛的应用ꎮ参考文献:[１]江海峰ꎬ吴小华.线性代数[Ｍ].北京:中国科学技术出版社出版ꎬ２０１７.作者简介:辛晶晶ꎬ西安翻译学院ꎮ３４。

线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。

同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。

introduction to linear algebra 每章开头方框-概述说明以及解释1.引言1.1 概述线性代数是数学中的一个重要分支，主要研究向量空间和线性变换的性质及其应用。

它作为一门基础学科，在多个领域如物理学、计算机科学以及工程学等都有广泛的应用。

线性代数的研究对象包括向量、向量空间、矩阵、线性方程组等，通过对其性质和运算法则的研究，可以解决诸如解线性方程组、求特征值与特征向量等问题。

线性代数的基本概念包括向量、向量空间和线性变换。

向量是指在空间中具有大小和方向的量，可以表示为一组有序的实数或复数。

向量空间是一组满足一定条件的向量的集合，对于向量空间中的任意向量，我们可以进行加法和数乘运算，得到的结果仍然属于该向量空间。

线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的运算。

线性方程组与矩阵是线性代数中的重要内容。

在实际问题中，常常需要解决多个线性方程组，而矩阵的运算和性质可以帮助我们有效地解决这些问题。

通过将线性方程组转化为矩阵形式，可以利用矩阵的特殊性质进行求解。

线性方程组的解可以具有唯一解、无解或者有无穷多解等情况，而矩阵的行列式和秩等性质能够帮助我们判断线性方程组的解的情况。

向量空间与线性变换是线性代数的核心内容。

向量空间的性质研究可以帮助我们理解向量的运算和性质，以及解释向量空间的几何意义。

线性变换是一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的运算，通过线性变换可以将复杂的向量运算问题转化为简单的矩阵运算问题。

在线性变换中，我们需要关注其核、像以及变换的特征等性质，这些性质可以帮助我们理解线性变换的本质和作用。

综上所述，本章节将逐步介绍线性代数的基本概念、线性方程组与矩阵、向量空间与线性变换的相关内容。

通过深入学习和理解这些内容，我们能够掌握线性代数的基本原理和应用，为进一步研究更高级的线性代数问题打下坚实的基础。

1.2文章结构在文章结构部分，我们将介绍本文的组织结构和各章节的内容概述。

物理学中的群论第⼀章线性代数物理学中的群论第⼀章线性代数声明：这是我根据黄飞⽼师上课内容记的笔记（易懂）。

教材：马中骐的物理学中的群论书（不好懂，所以我没看）。

希望对学群论的⼈有所帮助。

这两章线性代数考试不会考，但⾮常重要，后⾯都在⽤。

1.1节线性空间和⽮量基1.⽮量基有加法和数乘、⼀组线性⽆关的客体2.⽮量3.m维线性空间：就是定义了加法和数乘m个基⽮量对应m维简单来说，线性空间就是⽮量空间，线性空间中只有加法和数乘（即只有两个⽮量相加、数乘），但是没有⽮量乘法，也没有长度这样的概念。

如果在线性空间中引⼊点乘，长度、垂直的概念，此时称为内积空间。

线性空间性质：4.实线性空间：5.⽮量、基⽮量的矩阵表⽰⽮量矩阵表⽰：列矩阵基⽮量矩阵表⽰：、、按基⽮量展开，其第个分量为基⽮量矩阵表⽰是只有⼀个分量为1，其他分量为零的列矩阵。

6.线性空间的维数1）线性相关、线性⽆关2）线性空间的维数线性空间的维数：线性空间中线性⽆关的⽮量的最⼤个数。

m 维线性空间中，线性⽆关的⽮量数⽬不能⼤于m 。

⽮量基是线性⽆关的，m 维线性空间中任何 m 个线性⽆关的⽮量都可以作为⼀组⽮量基。

7.线性空间的⼦空间⼦空间就是在m 维线性空间中，有⽐m 维数⼩的个数的线性⽆关⽮量的所有的线性组合，构成⼀个n 维线性空间。

⽐如三维空间中，两个基⽮量的所有线性组合构成x-y 平⾯，是⼆维线性空间，是⼦空间。

我们通常说的⼦空间是⾮平庸的⼦空间，不包括零空间和全空间。

8.两个⼦空间的和两个⼦空间的和：两个⼦空间和的所有⽮量及这些⽮量的线性组合的集合， 记作；注意并⾮和的所有⽮量的集合，因为除了将这些⽮量放在⼀块以外，还需要将它们线性组合。

例如，构成的⼦空间和构成的⼦空间的和是整个三维空间。

9.两个⼦空间的交两个⼦空间的交：，例如，构成的⼆维⼦空间和构成的⼀维⼦空间的交是零空间（零⽮量构成的空间）。

10.两个⼦空间的直和两个⼦空间的直和：若是、的和（即），且下⾯三个等价的条件中任意⼀条成⽴：则称为两个⼦空间和的直和，记作 ，此时与称为中互补的⼦空间。