线性代数第三章习题与答案(东大绝版)

习 题 3-11．设)1,0,2(-=α，)4,2,1(-=β，求32-αβ．解：)11,4,8()8,4,2()3,0,6()4,2,1(2)1,0,2(323--=---=---=-βα 2．设)4,3,2,1(=α，)3,4,1,2(=β，且324+=αγβ，求γ． 解：由324+=αγβ得αβγ232-= 所以)0,27,1,25()6,29,3,23()6,8,2,4()4,3,2,1(23)3,4,1,2(2-=-=-=γ。

3．试问下列向量β能否由其余向量线性表示，若能，写出线性表示式：（1）)1,2(-=β，)1,1(1=α，)4,2(2-=α；（2）)1,1(-=β，)1,1(1=α，)1,0(2=α，)0,1(3=α； （3）)1,1,1(=β，)1,1,0(1-=α，)2,0,1(2=α，)0,1,1(3=α；（4）)1,2,1(-=β，)2,0,1(1=α，)0,8,2(2-=α，0α（5）),,,(4321k k k k =β，)0,0,0,1(1=e ，)0,0,1,0(2=e ，)0,1,0,0(3=e ，)1,0,0,0(4=e ． 解：（1）设2211ααβx x +=，即)4,2()4,2()1,1()1,2(212121x x x x x x -+=-+=-从而⎩⎨⎧-=-=+14222121x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==21121x x所以β能由21,αα线性表示，表示式为2121ααβ+=。

（2）设332211αααβx x x ++=，即),()0,1()1,0()1,1()1,1(2131321x x x x x x x ++=++=-从而⎩⎨⎧-=+=+112131x x x x ，有无穷解⎪⎩⎪⎨⎧-=--==cx c x cx 11321所以β能由321,,ααα线性表示，表示式不唯一，为321)1()1(αααβc c c -+--+= （c 为任意常数）（3）设332211αααβx x x ++=即)2,,()0,1,1()2,0,1()1,1,0()1,1,1(213132321x x x x x x x x x +-++=++-=从而⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+1211213132x x x x x x ，因为010********≠=-，所以有唯一解，解为⎪⎩⎪⎨⎧===011321x x x所以β能由321,,ααα线性表示，且表示式为3210αααβ⋅++=（4）设2211ααβx x +=，即)2,8,2()0,8,2()2,0,1()1,2,1(222121x x x x x x -+=-+=-从而⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+1228121221x x x x ，由②，③式得211-=x ，412-=x 代入①式11)41(221≠-=-⋅+-所以该方程组无解， 即β不能由21,αα线性表示。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~r r r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r rr --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

第3章1. 34(30,10,20,16)γαβ=-=---.2. (1) 能，唯一一种表示：12323βααα=--. (2) 不能.(3) 能，很多种表示：123(21)(35)c c c βααα=-+-++，c 为任意常数. 3. 证明略，唯一表达式为：12123234344()()()b b b b b b b βαααα=-+-+-+. 4. (1) 线性无关. (2) 线性相关.(3) 线性相关，因为4个向量，每个向量维数3维. (4) 若a ,b ,c 均不相等，线性无关，否则线性相关. 5. (1) 线性无关 (2) 线性无关 (3) 线性相关.6. 解：设112223334441()()()()0k k k k αααααααα+++++++=，整理可得141122233344()()()()0k k k k k k k k αααα+++++++=，因为已知1234,,,αααα是线性无关的，故有 141223340,0,0,0,k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩系数矩阵1001100111000101011000110011000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()3r A =. 故12233441,,,αααααααα++++是线性相关的.7. 证：因为任意1n +个n 维向量必线性相关，故12,,,,n αααβ 线性相关，存在 不全为零的1n +个数121,,,n k k k + ，使得112210n n n k k k k αααβ+++++= . 若10n k +=，12,,,n ααα 线性相关，矛盾.所以10n k +≠，β可由12,,,n ααα 线 性表出.下证表达式唯一，类似于定理3.5的证明.8. 证：（反证法即得）.假设1234,,,k k k k 不全为零，其中某个为零，其他的不为零.不妨假设10k =，则2233440k k k ααα++=，其中234,,k k k 均不为零，则可推出 234,,ααα是线性相关的，这与已知任意三个向量都线性无关矛盾,故假设不成 立.由假设的任意性可知112233440k k k k αααα+++=，其中1234,,,k k k k 全不为 零.9. 证：设前一向量组的秩为r ，则显然r s ≤，又后一组的秩也为r ，则有1r s s ≤<+，故后一向量组是线性相关的.若r s =,则前一组是线性无关 的，后一组是线性相关的，则由定理3.5知，β可由1α,2α, ,s α线性表出， 且表达式唯一.若r s <，则两组均是线性相关的，且两个向量组的秩是相等 的，也可推出β可由1α,2α, ,s α线性表出. 10. 证：因为12,,n εεε 能由12,,n a a a 线性表示, 所以 1212(,,,)(,,,)n n r r a a a εεε≤ ，而12(,,,)n r n εεε= ，12(,,,)n r a a a n ≤ ，所以12(,,,)n r a a a n = ，从而 12,,n a a a 线性无关.11. 证：因为任一向量β可由12,,,s ααα 线性表出，故n 维基本向量组12,,s εεε能由12,,,s ααα 线性表出，又知12,,,s ααα 可由基本向量组12,,s εεε 表出，故12,,,s ααα 与12,,s εεε 等价，所以12,,,s ααα 的秩为s ，即 12,,,s ααα 线性无关.12. 证：由于123,,ααα线性无关，而1234,,,αααα线性相关，故一定存在123,,k k k , 使得4112233k k k αααα=++.若其中某个i k 不为零，假定10k ≠，则1422331()/k k k αααα=--，知423,,ααα也是极大线性无关组，唯一性矛盾. 故一定有1230k k k ===，即40α=.13. 证：必要性.若12,,,s βββ 线性无关，则12,(,,)s r s βββ= ，又因为 12,12(,,)min{(),(,,,)}s s r r A r βββααα≤ ，而12(,,,)s r s ααα= ，故12,(,,)()s r s r A βββ=≤ ，又因为()r A s ≤，则一定有()r A s =，即矩阵A 可 逆.充分性,若矩阵A 可逆，则在等式两边左乘1A -，然后根据矩阵秩的不等 式可得11212,(,,,)min{(),(,,)}s s r r A r αααβββ-≤ ，显然有112(,,,)()s r s r A s ααα-=≤= ，可推出1212,(,,,)(,,)s s r s r αααβββ=≤ ， 又12,(,,)s r s βββ≤ ，故只能12,(,,)s r s βββ= ，即12,,,s βββ 线性无关. 14. 证：因为向量组12,,,s ααα 的秩为1r ，则其中有1r 个线性无关的向量，设为 112,,,r c c c .向量组12,,,t βββ 的秩为2r ，则其中有2r 个线性无关的向量，设 为212,,,r d d d .则向量组1212,,,,,,s t αααβββ 中线性无关的向量一定在 121212,,,,,,r r c c c d d d 中选取，所以312r r r ≤+. 15. 定义即得.16. （例题）12(,,,)s r r ααα= ，且12,,,r i i i ααα 为其中r 个线性无关的向量.设 k α是向量组中任意一个向量，则12,,,,r i i i k αααα 线性相关，否则向量组的 秩会大于r .所以，由定理3.5，k α可由12,,,r i i i ααα 线性表出，故 12,,,r i i i ααα 为向量组的一个极大线性无关组.17. (1) 11311322601003000004000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,故123()(,,)2r A r ααα==, 1α 2α 3α故一个极大线性无关组是1α，2α.(2) 24611231123100013691000012310000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，4α.(3) 12341234234501233456000045670000A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1234()(,,,)2r A r αααα==, 故一个极大线性无关组是1α，2α.18. (1) 11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组 123423450,2740,x x x x x x x ⎧-+-=⎨-+=⎩方程组的一般解为:34343432722x x x x X x x ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 可得方程组的一个基础解系为：137,,1,022Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，[]21,2,0,1T η=--.通解为1122X k k ηη=+，1k ，2k 为常数.(3) 212112133112054736290010A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，于是得阶梯形方程组12342343230,5470,0,x x x x x x x x ---=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩方程组的一般解为44417,,0,55TX x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，可得方程组的一个基础解系：117,,0,155Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，通解为11X k η=.(4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为:()23423413,,,4TX x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦,可得方程组的一个基础解系：11,1,0,04Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，23,0,1,04Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，31,0,0,14Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.通解为112233X k k k ηηη=++，1k ，2k ，3k 为常数.19. 证:首先由定理3.9知AX O =的基础解系含有n r -个线性无关的解向量.设 12,,,r ηηη 是AX O =的任意n r -个线性无关的解向量，要证12,,,r ηηη 是 AX O =的基础解系，只需证AX O =的任一解向量β都可由12,,,r ηηη 线性 表出.事实上，12,,,,r ηηηβ 必线性相关（否则AX O =的基础解系至少含有 1n r -+个线性无关的解向量，与已知矛盾），所以β都可由12,,,r ηηη 线性 表出，故12,,,r ηηη 是AX O =的基础解系.20. 证:假定一个基础解系为12,,s ηηη ,向量组12,,,s βββ 与其等价，故也含 有s 个向量.已知向量组12,,,s βββ 满足线性无关性，又因为每一个解向量 都可以由12,,s ηηη 线性表出，而12,,s ηηη 和12,,,s βββ 是等价向量组， 根据线性表出的传递性，每个解向量都可以由12,,,s βββ 线性表出，故 12,,,s βββ 也是一个基础解系.21. 证：先证122331,,ηηηηηη+++线性无关.设存在123,,k k k ,使得 112223331()()()0k k k ηηηηηη+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ηηη+++++=，又因为123,,ηηη线性无关，则1312230,0,0,k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 可得只能1230k k k ===，即122331,,ηηηηηη+++线性无关.由于112223331()()()X k k k ηηηηηη=+++++ 131122233()()()k k k k k k ηηη=+++++，可知任意一个向量都可由122331,,ηηηηηη+++线性表出， 即122331,,ηηηηηη+++也是AX O =的一个基础解系.22. 证:（1）反证法，若12,γγ线性相关，则12,γγ一定成倍数关系，不妨令12k γγ=. 又因为12γγ≠,故1k ≠.由于12γγ-为齐次线性方程组AX O =的解，并且 122(1)k γγγ-=-，所以有22(1)(1)A k k A O γγ-=-=，而1k ≠，则有2A O γ=， 这与2A γβ=矛盾，所以假设不成立，即12,γγ线性无关.（2）若()1r A n =-，则齐次线性方程组AX O =的基础解系中只有一个解向 量，又12()A O γγββ-=-=，故112()k γγ-即为基础解系，其中1k 为某个非 零常数，又已知η是齐次线性方程组AX O =的解，则一定有2112()k k ηγγ=-， 即说明12,,ηγγ是线性相关的.23. (1)[]27316121123522401151109417200000A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：123423422,11510,x x x x x x x --+=-⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为：()()3434341129,105,,1111TX x x x x x x ⎡⎤=-+--+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：0210,,0,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,01111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，291,,0,11111Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：01122122191111111051111111010001X k k k k ηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中1k ，2k 为常数. (2) []15231115231131425021131901170091475361100000A β----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦, 于是得阶梯形方程组：12342343452311,23,9147,x x x x x x x x x -+-=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为：()444431751,,714,29189TX x x x x ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01770,,,099Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：13514,,,12189T η⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数.(3) []211331321451010407551132121000152A β---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,于是得阶梯形方程组：12342344324,75511,152,x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩取3x 为自由变量，可得方程组一般解为：333131552,,,1573715TX x x x ⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦，可得一个特解为：01352,,0,15315Tη⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，一个基础解系为：115,,1,077Tη⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数. (4) 方程组本身即为一个阶梯形方程组，其一般解为: []2345234544236,,,,TX x x x x x x x x =+-+-, 可得一个特解为：[]04,0,0,0,0Tη=， 一个基础解系：[]14,1,0,0,0Tη=，[]22,0,1,0,0Tη=-，[]33,0,0,1,0Tη=,[]46,0,0,0,1Tη=- 通解为011223344X k k k k ηηηηη=++++，1k ，2k ，3k ,4k 为常数.24. 解:[]2211230112302325012112020000A βλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦, 当20λλ-=，即0λ=或1λ=时有解. 当20λλ-≠，即0λ≠且1λ≠时无解.若有解，得阶梯形方程组：1234234230,2,x x x x x x x λ+-+=⎧⎨+-=⎩取3x ，4x 为自由变量，则方程组一般解为： []34343444,2,,TX x x x x x x λλ=-+--+， 可得一个特解为：[]0,,0,0Tηλλ=-，一个基础解系为：[]14,2,1,0Tη=-，[]24,1,0,1Tη=-. 则方程组的通解为：01122X k k ηηη=++，其中1k ，2k 为常数，0λ=或1λ=.25. 解:[]11321113211316301121151010001053115230002226A b b a a b β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥---+--⎣⎦⎣⎦，若220a -+=且260b --≠时，即1a =且3b ≠-时，无解. 若1a ≠时，有唯一解为：263420,6,5,11Tb b X b b b a a ++⎡⎤=--+-+⎢⎥--⎣⎦. 若1a =且3b =-时，有无穷多解.此时阶梯形方程组为：12342343321,21,2,x x x x x x x x +++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩取4x 为自由变量，可得方程组一般解为： []448,32,2,TX x x =--， 可得一个特解为：[]08,3,2,0Tη=-， 一个基础解系为：[]10,2,0,1T η=-.则方程组的通解为：011X k ηη=+，其中1k 为常数 26. 证法1：单位矩阵E 的每一列都是AX O =的解，故A AE O ==. 证法2：假设A O ≠，则()0r A r =≠，所以AX O =只有n r -个线性无关的解， 显然矛盾.27.证:已知齐次线性方程组AX O =的系数矩阵的秩为()r r n <，则AX O =的基 础解系中含有n r -个线性无关的解向量.反证法假设12(,,,)t r n r ααα>- ， 则其中有大于n r -个线性无关的解向量，并且其中每个解向量都可由这 12(,,,)t r ααα 个解向量线性表出，这说明AX O =的基础解系中含有大于 n r -个线性无关的解向量，这与已知矛盾，故假设不成立.则 12(,,,)t r n r ααα≤-28.证:(1)AX O =的基础解系中含有()n r A -个线性无关的解向量，BX O =的基 础解系中含有()n r B -个线性无关的解向量.若AX O =的解均为BX O =的解，即有()()n r A n r B -≤-，故()()r A r B ≥.(2)若AX O =与BX O =同解，通过(1)的结论，基础解系中含有相同个数的 线性无关的解向量，则()()n r A n r B -=-，故()()r A r B =. (3)略.(4)不能.只能说基础解系中含有相同个数的线性无关的解向量，但这些解向 量不一定相等.。

1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解:∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4T T=-----=-∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]TTTαα+=-+-=2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα==3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α解:∵ 1236325αααα=+-[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],T T TT=+--=∴ [1,2,3,4].T α=3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ==== 时， 11220m m k k k ααα+++= 成立， 则向量组12,,m ααα 线性相关解：不正确.如：[][]121,2,3,4T Tαα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。

(2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k 使11220,m m k k k ααα+++≠ 则向量组12,,,m ααα 线性无关。

解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,TTk αα====存在k 使121220,,.αααα+≠但显然线性相关(3) 如果向量组12,,,m ααα 线性无关,则其中任何一个向量都不能由其余向量线性表出. 解： 正确。

（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m ααα 线性相关，与题没矛盾。

(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。

解：不正确。

例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,TTTααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. ) ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311;解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011.(4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000410003011020201. 2.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1))⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛323513123;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106126311101042111000010********* 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------10612631110104211.4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B ,求X 使AX =B ;解 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫⎝⎛---==-4741121BA X .5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A ,求X .解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011100101010110001~,所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式. 例如,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013; 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211,矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431,矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812. 解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301,矩阵的秩为3,070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B . 11.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r .(1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x xx x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x xx x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--80311102132124~⎪⎭⎫ ⎝⎛----600034111008331,于是R (A )=2, 而R (B )=3, 故方程组无解.(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000000021101201,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x (k为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412w z y x w z y x w z y x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010002/102/12/11,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x ,即⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数). (4)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x .解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007/57/97/5107/67/17/101,于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=++=ww z z w z y w z x 757975767171,即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x (k 1, k 2为任意常数). 14. 写出一个以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1042013221c c x为通解的齐次线性方程组. 解 根据已知, 可得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10420132214321c c x xx x ,与此等价地可以写成⎪⎩⎪⎨⎧==+-=-=2413212211432c x cx c c x c c x ,或 ⎩⎨⎧+-=-=432431432x x x x x x ,或 ⎩⎨⎧=-+=+-04302432431x x x x x x , 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15. λ取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解? 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(00)1(11011 ~λλλλλλλλλλr. (1)要使方程组有唯一解, 必须R (A )=3. 因此当λ≠1且λ≠-2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2≠0. 因此λ=-2时, 方程组无解.(3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R (A )=R (B )<3, 故 (1-λ)(2+λ)=0, (1-λ)(λ+1)2=0. 因此当λ=1时, 方程组有无穷多个解.16. 非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x 当λ取何值时有解？并求出它的解. 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112λλB ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(000)1(32110121λλλλ.要使方程组有解, 必须(1-λ)(λ+2)=0, 即λ=1, λ=-2. 当λ=1时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121111212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001101101,方程组解为⎩⎨⎧=+=32311xx x x 或⎪⎩⎪⎨⎧==+=3332311x x x x x x , 即⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x (k 为任意常数).当λ=-2时,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=421121212112B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000021102101,方程组解为⎩⎨⎧+=+=223231x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=33323122x x x x x x ,即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x (k 为任意常数).17. 设⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2122)2(321321321λλλλx x x x x x x x x .问λ为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解. 解B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------154224521222λλλλ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)4)(1()10)(1(0011102452λλλλλλλλ.要使方程组有唯一解, 必须R (A )=R (B )=3, 即必须 (1-λ)(10-λ)≠0,所以当λ≠1且λ≠10时, 方程组有唯一解. 要使方程组无解, 必须R (A )<R (B ), 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)≠0, 所以当λ=10时, 方程组无解.要使方程组有无穷多解, 必须R (A )=R (B )<3, 即必须 (1-λ)(10-λ)=0且(1-λ)(4-λ)=0,所以当λ=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为B ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000001221, 方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==++-=33223211x x x x x x x , 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (k 1, k 2为任意常数). 18. 证明R (A )=1的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量b T , 使A =ab T .证明 必要性. 由R (A )=1知A 的标准形为)0 , ,0 ,1(001000000001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,即存在可逆矩阵P 和Q , 使)0 , ,0 ,1(001⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=PAQ , 或11)0 , ,0 ,1(001--⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=Q P A .令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=-0011P a , b T =(1, 0, ⋅⋅⋅, 0)Q -1, 则a 是非零列向量, b T 是非零行向量, 且A =ab T .充分性. 因为a 与b T 是都是非零向量, 所以A 是非零矩阵, 从而R (A )≥1. 因为1≤R (A )=R (ab T )≤min{R (a ), R (b T )}=min{1, 1}=1, 所以R (A )=1.19. 设A 为m ⨯n 矩阵, 证明(1)方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A )=m ; 证明 由定理7, 方程AX =E m 有解的充分必要条件是R(A)=R(A,E m),而| E m|是矩阵(A,E m)的最高阶非零子式,故R(A)=R(A,E m)=m.因此,方程AX=E m有解的充分必要条件是R(A)=m.(2)方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=n.证明注意,方程YA=E n有解的充分必要条件是A T Y T=E n有解.由(1)A T Y T=E n有解的充分必要条件是R(A T)=n.因此，方程YA=E n有解的充分必要条件是R(A)=R(A T)=n.20.设A为m⨯n矩阵,证明:若AX=AY,且R(A)=n,则X=Y.证明由AX=AY,得A(X-Y)=O.因为R(A)=n,由定理9,方程A(X-Y)=O只有零解,即X-Y=O,也就是X=Y.。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3403130212011312)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020031001201 )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--30003100120133~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----174034301320 1312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320 21233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000310*******1~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00031005010(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------12433023221453334311141312323~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------10105663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2212210022100343112423213~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000002210032011(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------3473238234202173132 242321232~rr r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~r r r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4100041000202011111034221)1(~rr r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00410001********* 32~r r +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000410003********* 2．解 在秩是r 的矩阵中,可能存在等于0的1-r 阶子式,也可能存在等 于0的r 阶子式.例如，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000010000100001α 3)(=αR 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3．解 )(A R ≥)(B R设r B R =)(，且B 的某个r 阶子式0≠D r .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得 到的，所以在A 中能找到与D r 相同的r 阶子式D r ，由于0≠=D D r r ， 故而)()(B R A R ≥.4． 解 设54321,,,,ααααα为五维向量,且)0,0,1,0,1(1=α,)0,0,0,1,1(2-=α,则所求方阵可为,54321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααααA 秩为4,不妨设 ⎪⎩⎪⎨⎧===)0,0,0,0,0(),0,0,0,0()0,,0,0,0(55443αααx x 取154==x x 故满足条件的一个方阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0010000010000001100101 5．.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013r r 21~↔⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------56456401211~12133r r r r 2000056401211~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----r r 二阶子式41113-=-．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073131223123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------15273321059117014431~27122113r r rr r r 2000591170144313~23秩为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----r r .二阶子式71223-=-． (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812434241322~rr rr r r ---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210131223~r r r r ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023114000016000071210344314211614~r r r r r r r r -÷÷↔↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00100007121002301秩为3 三阶子式0702385523085570≠=-=-．6． 解 (1) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---34113100101~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1343344321kx x x x(2) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----5110531631121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00001001021~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=4432242102x xx x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10010012214321k k x x x x(3) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********~即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x故方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x(4) 对系数矩阵实施行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----3127161311423327543⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000001720171910171317301~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x 7． 解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--603411100833180311102132124~2)(=A R 而3)(=B R ,故方程组无解．(2) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000021101201~即得⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=zz z y z x 212亦即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021112k z y x(3) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000100011112~即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===++-=0212121w z z y y z y x 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021010210012121k k w z y x(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----00007579751025341253414312311112~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000007579751076717101~ 即得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=w w z z w z y w z x 757975767171 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00757610797101757121k k w z y x8．解 (1) 0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2) )()(B R A R <⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21111111λλλλλB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+----22)1)(1()2)(1(0)1(11011~λλλλλλλλλλ由0)1)(1(,0)2)(1(2≠+-=+-λλλλ得2-=λ时,方程组无解.(3) 3)()(<=B R A R ,由0)1)(1()2)(1(2=+-=+-λλλλ,得1=λ时,方程组有无穷多个解. 9．解 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=)2)(1(0)1(321101212111212112~2λλλλλλB 方程组有解，须0)2)(1(=+-λλ得2,1-==λλ当1=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001111321k x x x当2-=λ时,方程组解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022111321k x x x10．解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------154224521222λλλλ初等行变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------2)4)(1(2)10)(1(00111012251λλλλλλλλ 当0≠A ,即02)10()1(2≠--λλ 1≠∴λ且10≠λ时，有唯一解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(≠--λλ，即10=λ时，无解.当02)10)(1(=--λλ且02)4)(1(=--λλ，即1=λ时，有无穷多解.此时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000001221原方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)11．解 （1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10010001323513123⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----10121121023200010023~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2102121129227100010003~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267100010001~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267 (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20143011000010012110012102321~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------1061263111010421110010000100001~故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211 12．解(1) ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=132231113122214B A 初等行变换~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41231521010010001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∴-4123152101B A X (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛132321433312120B A 初等列变换~⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---474112100010001⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==∴-4741121BAX ． 第四章 向量组的线性相关性1．解 21v v -TT)1,1,0()0,1,1(-=T)10,11,01(---=T)1,0,1(-= 32123v v v -+TTT)0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3-+=T)01203,41213,30213(-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=T)2,1,0(=2． 解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++-整理得)523(61321a a a a -+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61TT T --+=T)4,3,2,1(=3．解 (1) 设)0,,0,0,1(11 ==e a032====m a a a满足m a a a ,,,21 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a 线性表示. (2) 有不全为零的数m λλλ,,,21 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλ原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111 其中m e e ,,1 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1 ,m b b ,,1 均线性相关 (3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ )m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关取021====m a a a 取m b b ,,1 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的.(4) Ta )0,1(1= Ta )0,2(2= Tb )3,0(1= Tb )4,0(2=⎪⎭⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾. 4．证明 设有4321,,,x x x x 使得044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相 关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 0110110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒x x x x 由011011000111001=知此齐次方程存在非零解则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.5．证明 设02211=+++r r b k b k b k 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221rr r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001001101121r k k k因为01111011≠=故方程组只有零解则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关 6．解 (1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛482032251345494751325394754317312514131233~r r r r rr --- ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛53153103210431731252334~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0003100321043173125所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---141131302151201221114132~r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------2221512015120122114323~r r r r ↔+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组． 7．解 (1) 3131,2a a a a ⇒=-线性相关.由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛824241010094121321T TT a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00032198204121~秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛743165143121321T TTa a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------10550189903121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000189903121~秩为2,最大线性无关组为TTa a 21,.8．证明 n 维单位向量n e e e ,,,21 线性无关 不妨设:nnn n n n n n n n a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++= 22112222121212121111所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛TnT Tnn n n n n T nT Ta a a k k k k k k k k k e e e2121222211121121 两边取行列式，得TnTTnn n n n n TnTT a a a k k k k k k k k k e e e2121222211121121=由002121≠⇒≠TnTT TnTT a a a e e e即n 维向量组n a a a ,,,21 所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21 线性无关.9．证明 设n εεε,,,21 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量Tn k k k a ),,,(21 =则有n n k k k a εεε+++= 2211即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.必要性⇒n a a a ,,,21 线性无关，且n a a a ,,,21 能由单位向量线性表示，即nnn n n n nn n n k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++=22112222121212121111故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n T T Tnn n n n n T nT T k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121 两边取行列式，得TnTTnn n n n n TnTT k k k k k k k k k a a a εεε2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nnn n n n TnTT k k k k k k k k k a a a令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯nn n n n n nn k k k k k k k k k A212222111211则 由⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-T n TTT nTTT n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεε212112121即n εεε,,,21 都能由n a a a ,,,21 线性表示，因为任一n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21 线性表示.充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21 可由n a a a ,,,21 线性表示，由8题知n a a a ,,,21 线性无关.10． 证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,,含有的向量个数 (秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ''',,等价,易知B A ,均可由C 线性表示,则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤ 设A '与B '中的向量共同构成向量组D ,则B A ,均可由D 线性表示, 即C 可由D 线性表示,从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D ),D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.11.证明:设T n a a a A ),,,(21 = Tn b b b B ),,,(21 =且B A ,行向量组的最大无关组分别为Tr T T ααα,,,21 Ts T T βββ,,,21显然,存在矩阵B A '',,使得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s T TT nT T A a a a ααα 2121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T s TT T n T T B b b b βββ2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+∴T n T n T T T T b a b a b a B A 2211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=T s T T T s T TB A βββααα2121因此 ()()()B R A R B A R +≤+ 12．证明 ⇒若B 组线性无关 令),,(),,(11s r a a A b b B ==则有AK B =由定理知)()}(),(min{)()(K R K R A R AK R B R ≤≤= 由B 组:r b b b ,,,21 线性无关知r B R =)(，故r K R ≥)(. 又知K 为s r ⨯阶矩阵则},min{)(s r K R ≤由于向量组B :r b b b ,,,21 能由向量组A :s a a a ,,,21 线性表示,则s r ≤ r s r =∴},min{综上所述知r K R r ≤≤)(即r K R =)(．⇐若r k R =)(令02211=+++r r b x b x b x ,其中i x 为实数r i ,,2,1 =则有0),,,(121=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r r x x b b b又K a a b b s r ),,(),,(11 =,则0),,(11=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r s x x K a a由于s a a a ,,,21 线性无关,所以021=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅r x x x K即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++00002211221122221121221111r rs s s r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k （1）由于r K R =)(则(1)式等价于下列方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111r rr r r r r r r x k x k x k x k x k x k x k x k x k由于0212221212111≠rrrrr r k k k k k k k k k所以方程组只有零解021====r x x x .所以r b b b ,,,21 线性无关, 证毕.13．证明 集合V 成为向量空间只需满足条件： 若V V ∈∈βα,，则V∈+βα若R V ∈∈λα,，则V ∈λα1V 是向量空间，因为：0),,,(2121=+++=n Tn ααααααα 0),,,(2121=+++=n Tn βββββββTn n ),,,(2211βαβαβαβα+++=+且)()()(2211n n βαβαβα++++++0)()(2121=+++++++=n n αααβββ 故1V ∈+βα),,,(,21n R αααλαλ =∈00)(2121=⋅=+++=+++λαααλλαλαλαn n 故1V ∈λα2V 不是向量空间，因为：)()()(2211n n βαβαβα++++++211)()(2121=+=+++++++=n n αααβββ 故2V ∉+βα),,,(,21n R λαλαλαλαλ =∈λλαααλλαλαλα=⋅=+++=+++1)(2121n n故当1≠λ时，2V ∉λα 14．证明 设),,(321a a a A =11101110,,321a a a A =0211101011)1(1≠-=-=- 于是3)(=A R 故线性无关.由于321,,a a a 均为三维,且秩为3, 所以321,,a a a 为此三维空间的一组基,故由321,,a a a 所生成的向量空间 就是3R .15．证明 设{}R k k a k a k x V ∈+==1122111,{}R x V ∈+==1122112,λλβλβλ任取1V 中一向量,可写成2211a k a k +, 要证22211V a k a k ∈+,从而得21V V ⊆ 由22112211βλβλ+=+a k a k 得⎩⎨⎧=+-+=⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==+1212112122121211212332k k k k k k k k λλλλλλλλλλ上式中,把21,k k 看成已知数,把21,λλ看成未知数0211021≠=-=D 21,λλ⇒有唯一解21V V ⊆∴同理可证: 12V V ⊆ (001112≠=D )故21V V =16．解 由于0623111321,,321≠-=-=a a a 即矩阵),,(321a a a 的秩为3故321,,a a a 线性无关，则为3R 的一个基. 设3322111a k a k a k v ++=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-=++723053232321321k k k k k k k k ⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒132321k k k 故321132a a a v -+= 设3322112a a a v λλλ++=，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++--=++1323893232321321λλλλλλλλ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==⇒233321k k k 故线性表示为3212233a a a v --=17．.解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=0041431004012683154221081~初等行变换A所以原方程组等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=-=4323141434x x x x x 取3,143-==x x 得0,421=-=x x 取4,043==x x 得1,021==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4010,310421ξξ(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=00019719141019119201~367824531232初等行变换A 所以原方程组等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=4324311971914191192x x x x x x取2,143==x x 得0,021==x x 取19,043==x x 得7,121==x x因此基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=19071,210021ξξ(3)原方程组即为1212)1(------=n n x x n nx x取0,11321=====-n x x x x 得n x n -=取0,114312======-n x x x x x 得1)1(+-=--=n n x n取0,12211=====--n n x x x x 得2-=n x所以基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=-21100010001),,,(121n nn ξξξ 18．解由于2)(=B R ,所以可设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=43211001x x x x B 则由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=00001001825931224321x x x x AB 可得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛59228020802301003014321x x x x ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2125212114321x x x x ， 故所求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2125212111001B ． 19．解 显然原方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01233210214321k k x x x x ,(R k k ∈21,)即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x 消去21,k k 得⎩⎨⎧=+-=+-023032431421x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组. 20．解 由于矩阵的秩为3，134=-=-r n ，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于321,,ηηη均为方程组的解，由 非齐次线性方程组解的结构性质得齐次解齐次解齐次解=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+-=+-6543)()()()()(22121321ηηηηηηη为其基础解系向量，故此方程组的通解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54326543k x ，)(R k ∈21．证明 设A 的秩为1r ，B 的秩为2r ，则由0=AB 知，B 的每一列向量 都是以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量． 当n r =1时,该齐次线性方程组只有零解,故此时0=B ,n r =1，02=r ，n r r =+21结论成立．(2) 当n r <1时,该齐次方程组的基础解系中含有1r n -个向量,从而B 的列向量组的秩1r n -≤,即12r n r -≤,此时12r n r -≤,结论成立。

第三章 习题与答案 习题 A1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1,3)T T T=--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-=+- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1251613109491512561037⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2.从以下方程中求向量α1233()2()5()-++=+αααααα，其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1).TT T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα，1232104651112632532515118310124⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα故1234⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,即(1,2,3,4)T =α.3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关.5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关.6.判断下列向量组的线性相关性(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,); (2) (2,0),(0,-1);(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);(4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).解 (1)设有三个数123,,k k k ,使123(1,1,0)(0,1,1,) (3,0,0,)=(0,0,0)k k k ++则有方程组131223000k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,因为系数行列式10311030010D =≠.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关. (2)设有两个数12,k k 使12(2,0)(0,-1)=(0,0)k k + 则有方程组12200k k =⎧⎨-=⎩,由此解得120k k ==,所以两个向量线性无关.另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关. (3)设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(-4,-5,2,6)(2,-2,1,3)(6,-3,3,9)(4,-1,5,6)=(0,0,0,0)k k k k +++,则有方程组1234123412341234426405230235063960k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪----=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,其系数行列式42645231021356396D ----==,所以方程组有非零解,向量组线性相关.(4) 设有四个数1234,,,k k k k ,使1234(1,0,0,2,5)(0,1,0,3,4)(0,0,1,4,7)(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)k k k k +++则有方程组14243412341234203040234110547120k k k k k k k k k k k k k k +=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎩由前三个方程得1424342,3,4k k k k k k =-==-,代入第五个方程得4140k -=, 即40k =,从而1230k k k ===,所以向量组线性无关.7.设123α,α,α线性无关,证明:122331αα,αα,αα+++也线性无关. 证 设有三个数123,,k k k ,使()()()112223331αααααα0k k k +++++=, 则()()()131122233ααα0k k k k k k +++++=,因123α,α,α线性无关,故13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,因系数行列式10111020011D ==≠,所以只有1230k k k ===, 由此知122331αα,αα,αα+++线性无关.8.设12α,α,,αn 线性无关,问向量组122311αα,αα,,αα,ααn n n -++++ 是线性相关,还是线性无关?并给出证明. 解 设有n 个数12,,,,n k k k 使()()()()112223111αααααααα0n n n n n k k k k --++++++++= ,则得方程组1122310000n n n k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其系数行列式11000011100000110001(1),000110000011n n D +==+-可见,当n 为奇数时,20n D =≠,方程组仅有零解,向量组线性无关, 当n 为偶数时,0n D =,方程组有非零解,向量组线性相关.9.设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,证明:向量组12α,α,,αn 线性相关的充分必要条件是det()0ij a =.证 必要性:设12α,α,,αn 线性相关,则存在不全为0的n 个数12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= ,即有方程组()11121211212222112200*0n n n nn n nn n a k a k a k a k a k a k a k a k a k +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 该方程组有非零解,故系数行列式0n D =,即det()0ij a =,充分性: 对于方程组(*)当det()0ij a =时,系数行列式0n D =,所以有非零解,即存在不全为0的12,,,,n k k k 使1122ααα0n n k k k +++= 成立,故12α,α,,αn 线性相关.10.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.已知n 维标准单位向量组12e ,e ,,e n 能由它们线性表出,证明: 12α,α,,αn 线性无关.证 设12α(,,,)(1,2,,)i i i in a a a i n == ,则有1122αe e e ,i i i in n a a a =+++可见12α,α,,αn 也能由12e ,e ,,e n 线性表出,从而两个向量组等价. 因为12e ,e ,,e n 线性无关,所以12α,α,,αn 也线性无关.11.设12α,α,,αn 是一组n 维向量.证明:它们线性无关的充分必要条件是:任一n 维向量都可由它们线性表出.证 必要性:设12α,α,,αn 线性无关,β为任一n 维向量,则12α,α,,αn ,β必线性相关.(个数大于维数),因此β可由12α,α,,αn 线性表出.充分性:设任一n 维向量β都可由12α,α,,αn 线性表出.因此12α,α,,αn 与12e ,e ,,e n 等价,从而12α,α,,αn 线性无关.12.判断下列向量是否线性相关,并求出一个极大线性无关组.(1)123α(1,2,1,4),α(9,100,10,4),α(2,4,2,8);T T T =-==--- (2) 123α(1,1,0),α(0,2,0),α(0,0,3);T T T ===(3) 1234α(1,2,1,3),α(4,1,5,6),α(1,3,4,7),α(2,1,1,0);T T T T ==---=---=- 解 (1)19221004A 1102448-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 192082001900320-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭192010000000-⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭102010000000-⎛⎫⎪ ⎪→⎪ ⎪⎝⎭, 向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.(2) 100A 120003⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭100020003⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为3, 123α,α,α为一个极大线性无关组.(3) 14122131A 15413670⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪--- ⎪--⎝⎭141209530953018106⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪--- ⎪---⎝⎭1412095300000000⎛⎫ ⎪--- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭向量组的秩为2, 12α,α为一个极大线性无关组.13.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(1,1,0,0,0)--. 解 所求方阵可写成1030011000A 001000001000000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则1030001300A 00100000100000⎛⎫⎪- ⎪⎪→⎪⎪ ⎪⎝⎭显然(A)4R =.14.已知12α,α,,αs 的秩为r ,证明: 12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证 设12α,α,,α,r i i i 为12α,α,,αs 中任意r 个线性无关的向量,因为向量组的秩为r ,故1212α,α,,α,α,(,,)r i i i i r i i i i ≠ 线性相关.可见12α,α,,αs 中的每个向量都可由12α,α,,α,r i i i 线性表出.因此, 12α,α,,α,r i i i 是12α,α,,αs 的一个极大线性无关组.15.用初等变换化下列矩阵为阶梯形,并判断其秩.(1)001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (2)1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭;(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭;(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.解 (1) 001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭131********r r ↔⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为3.(2) 1234110215610-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2131123403360336r r r r+-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭32123403360000r r -⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭,秩为2.(3)023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭12011203430471r r ---⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭213134011200130039r r r r ++--⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪--⎝⎭323011*********r r ---⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭, 秩为2.(4)1725314353759413254759413420253248⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭213143317253143201330153015r r r r r r ---⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭433217253143201310020000r r r r --⎛⎫⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭1310022013172531430000r r ↔⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭2131217100200110253190000r r r r --⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭23100202531900110000r r ↔⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪- ⎪⎝⎭,秩为3. 16.证明: 两个矩阵和的秩不超过这两个矩阵秩的和,即 (A B)(A)(B)R R R +≤+.证 设1A (α,,α),(A),n R r == 1α,,αr 为一个极大线性无关组,1B (β,,β),(B),n R s == 1β,,βs 为一个极大线性无关组, 1A B (r ,,r )n += .因为1r ,,r n 可由1α,,αn ,1β,,βn 线性表出,从而也可由1α,,αr ,1β,,βs 线性表出.故()1A B (r ,,r )n R R +=≤ ()11α,,α,β,,βr s R r s =+=(A)(B)R R +.17.设A 与B 可乘,且AB 0=,证明: (A)(B)A R R +≤的列数. 证法一 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵 由AB 0=,有11111111n l m mn n nl m n n l a a b b a a b b ⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0000m l⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 比较等式两边对应元素,有111111111100n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩,11121211220,0n n m mn n a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ ,11111100l n nl m lmn nl a b a b a b a b ++=⎧⎪⎨⎪++=⎩ . 可见B 的列向量组为上述l 个齐次线性方程组的解向量,因此有 (B)(A)R n R ≤-, 移项得(A)(B)R R n +≤(A 的列数).证法二 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n l ⨯矩阵, 12(A),(B)R r R r ==,因为1(A)R r =,则A 的标准形可写成1E 000r ⎛⎫⎪⎝⎭,即存在可逆阵P,Q 使得 PAQ 1E 000r ⎛⎫=⎪⎝⎭.又设()111B Q B B r m n r m ⨯--⨯⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 则10(AB)(PAB)(PAQQ B)R R R -===,但()111111B E 0B PAQQ B Q B B 000r m r r m n r m ⨯⨯---⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 可见11(B )(PAQQ B)0r m R R -⨯==,又因为12(Q B)(B)R R r -==,所以()12(B )n r m R r -⨯=,而()1B n r m -⨯共1n r -行,因此12n r r -≥,即12r r n +≤或(A)(B)R R n +≤.习题 B1.证明: 12α,α,,αs (其中1α0≠)线性相关的充要条件是至少有一个α(1)i i s <≤可被121α,α,,αi - 线性表出.证 必要性:设12α,α,,αs 线性相关(1α0≠),则存在不全为0的s 个数12,,,s k k k 使1122ααα0s s k k k +++= ,设i k 是12,,,s k k k 中最后一个不为零的数,即0i k ≠,而10i s k k +=== ,则1122ααα0i i k k k +++= ,因为1α0≠,所以1i >,即1i s <≤,(否则120,0s k k k ≠=== 则1α0k =不能成立),于是1111αααi i i i ik k k k --=--- ,即αi 可由121α,α,,αi - 线性表出.充分性:如果1111αααi i i k k --=++ ,则11111ααα0αα0i i i i s k k --+++-+++= ,而11,,,1,0,,0i k k -- 不全为0,所以12α,α,,αs 线性相关.2.证明:一个向量组的任一线性无关组都可扩充为一个极大线性无关组. 证 设有向量组12α,α,,αn 秩为s ,12α,α,,αr i i i 是它的任意一个线性无关组,如果r s =,则它就是12α,α,,αn 的一个极大线性无关组.如果r s <,则12α,α,,αn 的其余向量中一定可以选出向量1αr i +,使12α,α,,αr i i i ,1αr i +线性无关(否则与12α,α,,αn 秩s r >矛盾),只要1r s +<,重复上述过程,直到r i s +=时为止.这样121α,α,,α,α,,αr r s i i i i i + 就是由12α,α,,αr i i i 扩充成的一个极大线性无关组.3.已知两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表出,证明:这两个向量组等价. 证 设12A :α,α,,α;s 12B:β,β,,βt 为两个秩为r 的向量组, 1212α,α,,α;β,β,,βr r 分别为A,B 极大线性无关组,设B 可由A 线性表出,则有()()1212β,β,,βα,α,,αTr r K = ,其中K 为组合系数构成的r 阶方阵,因为1212α,α,,α;β,β,,βr r 线性无关,所以K 可逆,()()11212α,α,,αβ,β,,βr r K -= ,从而12α,α,,αr 可由12β,β,,βr 线性表出,从而可由12β,β,,βt 线性表出,又12α,α,,αs 可由12α,α,,αr 线性表出,所以12α,α,,αs 可由12β,β,,βt 线性表出,即A 可由B 线性表出,因此向量组A ,B 等价.4.设向量组12α,α,,αs 的秩为r ,在其中任取m 个向量12α,α,,αm i i i ,证明:{}12α,α,,αm i i i R r m s ≥+- .证 设12α,α,,αm i i i 的秩为t ,从它的一个极大线性无关组(含t 个向量)可扩充为12α,α,,αs 的一个极大线性无关组(含r 个向量),所扩充向量的个数为r t -个.但12α,α,,αs 中除了12α,α,,αm i i i 外,还有s m -个向量,故r t s m -≤-,即t r m s ≥+-.5.设n m ⨯阶矩阵A 的秩为r ,证明:存在秩为r 的n r ⨯阶矩阵P 及秩为r 的r m ⨯阶矩阵Q ,使A PQ =.证 因(A)R r =,故可经有限次初等行变换和初等列变换化为标准形,即存在m 阶可逆阵F 和n 阶可逆阵G ,使得 E 0GAF 00r ⎛⎫=⎪⎝⎭,即11E 0A GF ,00r--⎛⎫= ⎪⎝⎭记111212122G G G ,G G -⎛⎫= ⎪⎝⎭111212122F F F F F -⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中1111G ,F 均为r 阶方阵,则111211121121222122G G F F E0E 0A G F GG F F 0000rr--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112212122G 0F F G 0F F ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=1111111221212122G F G F G F G F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()11112121G F F G ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 记1121G P G ⎛⎫=⎪⎝⎭,则P 为n r ⨯矩阵且(P )R r =(因1G -可逆,故其前r 列线性无关), ()1121Q F F =,则Q 为r m ⨯矩阵且(Q)R r =(因1F -可逆,故其前r 列线性无关),而A PQ =.。

第三章 课后习题及解答将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合：1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21T--=--=--===αααααT2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得14321=+++k k k k24321=--+k k k k14321=-+-k k k k14321=+--k k k k解得.41,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+=. 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得02321=++k k k ，04321=+++k k k k ，0342=-k k ，1421=-+k k k .解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T1===ααα4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T 1==-=βββ，解：3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+065032032132131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关.4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+-=+0142407203033213212131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件.解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是0=α.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关，则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立.7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关.证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ，整理得，0)()(221121=-++ααk k k k ，因为21,αα线性无关，所以⎩⎨⎧=-=+02121k k k k ，可解得021==k k ，故2121,αααα-+线性无关.方法二，因为=-+）（2121,αααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111,21）（αα， 又因为021111≠-=-，且21,αα线性无关，所以向量组2121,αααα-+的秩为2，故2121,αααα-+线性无关.8.设有两个向量组s ααα,,,21 和,,,,21s βββ 其中,13121111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k a a a a α,3222122⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks a a a a α ,,321⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ks s s s s a a a a αs βββ,,,21 是分别在s ααα,,,21 的k 个分量后任意添加m 个分量mj j j b b b ,,,21),,2,1(s j =所组成的m k +维向量，证明：(1) 若s ααα,,,21 线性无关，则s βββ,,,21 线性无关； (2) 若s βββ,,,21 线性相关，则s ααα,,,21 线性相关.证：证法1，(1)设()s A ααα,,,21 =，()s B βββ,,,21 =，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，即,)(s A r = 且s B r =)(，s βββ,,,21 线性无关.证法2，因为s ααα,,,21 线性无关，所以齐次线性方程0=AX 只有零解，再增加方程的个数，得0=BX ，该方程也只有零解，所以s βββ,,,21 线性无关.(2) 利用反证法可证得，即假设s ααα,,,21 线性无关，再由（1）得s βββ,,,21 线性无关，与s βββ,,,21 线性相关矛盾.9. 证明：133221,,αααααα+++线性无关的充分必要条件是321,,ααα线性无关.证：方法1，（133221,,αααααα+++）=（321,,ααα）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110011101因为321,,ααα线性无关，且02110011101≠=，可得133221,,αααααα+++的秩为3所以133221,,αααααα+++线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.设存在321,,k k k 使得0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ，整理得，0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k因为321,,ααα线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，可解得0321===k k k ，所以133221,,αααααα+++线性无关. 必要性，（方法1）设133221,,αααααα+++线性无关，证明321,,ααα线性无关，假设321,,ααα线性相关，则321,,ααα中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,ααα可由线性表示，则向量组133221,,αααααα+++可由32,αα线性表示，且23>，所以133221,,αααααα+++线性相关，与133221,,αααααα+++线性无关矛盾，故321,,ααα线性无关.方法2，令133322211,,ααβααβααβ+=+=+=，设存在321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，由133322211,,ααβααβααβ+=+=+=得）（）（）（32133212321121,21,21βββαβββαβββα---=-+=+-=，代入 0332211=++αααk k k 得，0212121321332123211=++-+-+++-）（）（）（βββββββββk k k ，即 0)()()(332123211321=+-+++-+-+βββk k k k k k k k k因为321,,βββ线性无关，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=-+000321321321k k k k k k k k k可解得0321===k k k ，所以321,,ααα线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m ααα,,,21 ）（2>m 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关； 解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。

一、判断题1. 设A ，B 为n 阶可逆方阵，则.AB BA =。

F2. 设A ，B 为n 阶可逆方阵，则22()().A B A B A B -=-+ F3. 设A ，B 为n 阶可逆方阵，则.AB A B = T4. 设A 为n 阶方阵，则()().T T A A **=。

T 5. 设A 为n 阶矩阵，则1.n A A -*=。

T6. 若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BAC=E 。

（ F ）7. 对任意n 阶方阵C B A ,,，若AC AB =，则一定有C B =。

( F )8. 对任意n 阶方阵,,B A 若E AB =，则一定有B A =-1。

( T )9. 设A 、B 为同阶可逆矩阵，则(A +B )-1=A -1+ B -1。

( F )10. 设A ，B 为n 阶可逆矩阵，则()()()111T T T AB A B ---⎡⎤=⎣⎦。

( T )二、选择+填空11. 若32,1T A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭033,167T B -⎛⎫= ⎪⎝⎭则9() .8T AB -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12. 设矩阵120826,435534A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且满足方程2A+X=B-2X ，则X=⎽⎽⎽⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---211222⎽⎽⎽⎽⎽。

13. 设3阶方阵121233,A αααααα⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，，均为三维行向量，211213010100B ,P 100P 010001101αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，则必有（ C ） 12211212()APP B ()AP P B ()PP A B (D)PP A B A B C ====14. 设矩阵4154,6158X X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矩阵满足X =则矩阵（ A ）。

02122221()()()(D)54032530A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭15. 已知矩阵111121,()2,231A r A λλ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪+⎝⎭若则（ A ）()1()3()1(D)4A B C -16. 若有1133016,02135k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭则（ A ）()1()2()5(D)1A B C --17. 01130301,11()02142T A B AB ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则= 。

第一章练习题参考答案一、填空题.1.-6d;2. 12;3. 23231414()()a a b b a a b b --;4. 1(1)(1)n n ---;5. -10;6. 0;7.-888;8. 4;-6.9. 132531445213253241541325344251,,a a a a a a a a a a a a a a a . 二、计算题. 1. 14().j k k j D x x ≤<≤=∏-2. 117!(2)27D =-+++.3. (1)(2)2121(1)(1)2n n n n n D x x x ---+=- ;4. 34560;5. 11[1]()nni i i i a x a x a==+⋅∏--∑.6.11024x +.7. 3(2)x x + 三、3(1)2n n -第三章练习参考答案 一、选择题1. C ；2. C ；3. C;4.C. 二、填空题1. (1)m nab -； 2.100122010345⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 3. 2123n --； 4. 108； 5. 2132-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； 6. 0； 7. 301050103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；8. 12； 9. 1100BA B A--⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 10. 3E ；11. 3A E +； 12. 25A ；13. 88000880008808⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 14. 12.三、计算与证明题 1. 600006006060031⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦； 2. 02100000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 3. (1) T CA , (2) 101214122--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 4. 2a =-； 5. 12345B A A E -=++; 6. -16; 7. 001010100B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 8. 见课堂笔记; 9. 111212132122222331323233114411441144b b b b b b b b b b b b ⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦. 10. 22211212513--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 11. 略. 第四章练习参考答案一、选择题1. C ；2. D ；3. B;4.D. 二、填空题1. (1,2,0,4)(0,3,3,10)T T t -+--, 其中t 为任意实数；2. 12,αα; 2；3. 3-；4.122113311441233224423443,,,,,E E E E E E E E E E E E ------; dimV=6;(2,3,1,4,2,2)T--； 5. 极大无关组为12,αα; 3124122,23αααααα=-+=-+;6. 12(1,0,1,1)(1,1,0,1)(1,3,1,0),T T Tk k α=-+-+-- 其中 12,k k 是任意数；7.141113M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 15(,)33TX =-. 三、计算与证明题1.(1) 当1b =时, 极大无关组为124,,ααα, (2) 当1b =时, 4α不能由12,αα线性表示, 3α能由12,αα线性表示(3122ααα=-+).2. (1) 5λ≠时，123,,ααα是基，21311222131222M λλλ⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥+⎢⎥--⎣⎦； （2）ξ在基123,,βββ下的坐标为 (1,0,1)T；（3）所有非零向量为 (3,3,2)T k -. 3. (1) 只要证123,,0ααα≠ ,(2) 1232,0),1,1),2,1,5)TTTβββ==-=-;(3)M ⎤⎥⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣; （4）坐标为10)T β=.4. 1)通解为0112233X k k k ξηηη=+++, 其中021(,,0,0,0)33T ξ=-，1(5,2,3,0,0)Tη=，2(1,0,0,1,0)Tη=-，3(1,2,0,0,3)Tη=-， 123,,k k k 为任意数.2）解向量的极大无关组是0010203,,,.ξξηξηξη+++5. 1）过渡矩阵111100010010010M ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦； 2）α在基I 下的坐标为(1,1,1,1)TX =，α在基II 下的坐标为(4,1,1,1)TX =---； 3）(1,1,1,1)Tk β=，k 为任意常数.6. 15,5a b ==, 3121322βαα=+；7. 因为1V 的零元素00000⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不在1V 中，所以1V 不是V 的子空间；而2V 是V 的子空间（主要验证运算封闭），2V 的基是2111010,,;dim 3.001001V -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦6-10． 证明略。

第三章习题3-11． 设s =12gt ２，求2d d t s t=．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g ds s t s dt t t t →→=-⨯-==-- 21lim (2)22t g t g →=+= 2． 设f (x )=1x，求f '(x 0) (x 0≠0)． 解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠ 3．试求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程。

解：设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为002x x y x ='=，切线方程为0002()y y x xx -=-。

由已知直线过点(3,8),得 00082(3)y x x -=- (1)又点00(,)x y 在曲线2y x =上，故200y x = (2)由(1),(2)式可解得002,4x y ==或004,16x y ==，故所求直线方程为44(2)y x -=-或168(4)y x -=-。

也即440x y --=或8160x y --=。

4． 下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1) 0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2) f (x 0)=0, 0limx x →0()f x x x-＝A ； (3) 0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x→-→--+--'=-=--0()A f x '∴=- (2)00000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=---0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+--00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim lim h h f x h f x f x h f x h h→-→+-+--=+-000()()2()f x f x f x '''=+= 02()A f x '∴=5． 求下列函数的导数： (1) y (2) y ；(3) y 322x ．解：(1)12y x x ==11221()2y x x -''∴=== (2)23y x -=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y xx xx -==15661()6y x x-''∴===6． 讨论函数y x =0点处的连续性和可导性． 解：30lim 0(0)x x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→-===∞-∴函数y =0x =点处连续但不可导。

第三章 向量组的线性相关性基本教学要求：1. 理解n 维向量的概念.2. 理解向量的线性组合、线性相关和线性无关的概念.3. 掌握向量的线性相关和线性无关的有关理论及判断方法.4. 了解向量组的极大线性无关组与秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.5. 理解矩阵的秩的概念，掌握求秩的方法.一、向量及其运算 1. 向量的概念有大小无方向的量，叫做数量或标量.既有大小又有方向的量则是向量，又称矢量，用有序数组表示：12n a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或 ()12,,,n a a a .前者称为n 维列向量，后者称为n 维行向量.列向量通常记作a 、或a 、或α，对应的行向量则相应地记作Ta 、或Ta 、或T α.如不特别说明，向量一般常指列向量. 以下讨论主要针对实向量.2. 向量的运算因为向量是矩阵，所以它有许多与矩阵相同的运算及运算规律(P 62)：(1)相等； (2)加法； (3)数乘； (4)转置，但向量没有矩阵形式的“乘法”和“逆”，而有所谓的“向量的乘法”运算——内积.向量的加法和数乘运算称为向量的线性运算.例3.1(例3.1 P 62)(5)内积(P 63) 设向量1212(,,,),(,,,)T T n n a a a b b b αβ==，令1122[,]n n a b a b a b αβ=+++，称[,]αβ为α与β的内积.例如，内积的性质：①[,][,]αββα=(对称性)；②[,][,][,]αβγαγβγ+=+，[,][,]k k αβαβ=(线性性)； ③[,]0αα≥.当且仅当αο=时，[,]0αα=(正定性).2n a =++为向量α的长度(或范数)，记为α(或α).当1α=时，称α为单位向量.如果αο≠，则1αα是与α同方向的单位向量.对任意非零向量αβ、，称[,],arccosαβαβαβ=⋅，(0,αβπ≤≤)为向量α与β的夹角.如果[,]=0αβ，则称α与β正交.3.应用(1)向量表示线性方程组(P 65) 考虑线性方程组1111221n n 12112222n n 2m11m22mn n m a x a x a x b ,a x a x a x b ,a x a x a x b .+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(1)若设1i 12i 2i mi m a b a ba (i 1,2,,n),b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)式可表示为1122n n x a x a x a b +++=. (2)(2)向量表示矩阵(P 64)111121n 21222n 2m1m2mn m a a a a a a A a a a ⎛⎫α⎛⎫ ⎪ ⎪α ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪α⎝⎭⎝⎭或 ()11121n 21222n 12n m1m2mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪=βββ ⎪⎪⎝⎭，12m ,,,ααα与12n ,,,βββ分别称为矩阵A 的行向量组与列向量组.二、向量组的线性相关性 1. 基本概念由同维数的列向量(或行向量)组成的集合叫做向量组.定义3.1 对向量β和向量组12s ,,,ααα，若存在一组数12s k ,k ,,k 使1122s s k k k β=α+α++α， (3) 则称向量β可由向量组12s ,,,ααα线性表示，也称β是向量组12s ,,,ααα的一个线性组合. (P 64)例如：3112210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23可由向量组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0111，线性表示.例如：10532436327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是向量组1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合，而1052236327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭是向量组1052,3,6327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭的另一个线性组合.根据定义3.1，方程组(2)有解可表述为向量b 可由向量组12n a ,a ,,a 线性表示.式(3)可以用分块矩阵的乘积形式表示为(P 64)1212s s k k (,,,)k ⎛⎫ ⎪ ⎪β=ααα ⎪ ⎪⎝⎭；(当12s ,,,,βααα为列向量时)或 1212s s (k ,k ,,k )α⎛⎫ ⎪α ⎪β= ⎪ ⎪α⎝⎭. (当12s ,,,,βααα为行向量时)定义3.2 对向量β和向量组12s ,,,ααα，若存在一组不全为零的数12s k ,k ,,k 使1122s s k k k α+α++α=ο， (4)则称向量组12s ,,,ααα线性相关；否则，称向量组12s ,,,ααα线性无关.(P 65)定义3.2表明： 向量组12s ,,,ααα线性相关，即齐次线性方程组1122s s x x x α+α++α=ο有非零解. (P 65) 向量组12s ,,,ααα线性无关，即齐次线性方程组1122s s x x x α+α++α=ο只有零解. (P 65)又根据Cramer 法则，有n 个n 维向量线性相关⇔n 个向量构成的矩阵的行列式为0. n 个n 维向量线性无关⇔n 个向量构成的矩阵的行列式不为0.例如，311022100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭表明向量组311,,210--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关.0700230321321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k ，即0723032001321 =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k .由于只有零解，所以向量组1002,3,0327⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关.定义3.3一组两两正交的非零向量称为正交向量组.由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组. (P 66)例如，n 维标准单位向量组e 1=(1,0,…,0)T , e 2=(0,1,…,0)T , …, e n =(0,0,…,1)T是一个规范正交向量组.2. 有关结论(P 66-68) (1)向量组12s ,,,ααα线性相关⇔12s ,,,ααα中至少有一个向量可由其余向量线性表示. (定理3.3 P 67)向量组12s ,,,ααα线性无关⇔12s ,,,ααα中任意一个向量不能由其余向量线性表示.(2)一个向量α线性相关⇔α=ο. (P 66) 一个向量α线性无关⇔α≠ο.(3)两个向量,αβ线性相关 k l ⇔α=ββα或＝(几何上，即,αβ共线或平行). (P 66) 两个向量,αβ线性无关 k l ⇔α≠ββ≠α且(几何上，即,αβ不共线或不平行).(4)三个向量,,αβγ线性相关，即,,αβγ共面. (P 66) 三个向量,,αβγ线性无关，即,,αβγ不共面.(5)正交向量组线性无关. (定理3.1 P 66)标准单位向量组是线性无关向量组.(6)若向量组有一个部分组线性相关，则该向量组线性相关.(部分相关，整体相关) (定理3.2 P 67) 线性无关向量组的任一部分组线性无关.(整体无关，部分无关) (推论2 P 67)推论 含有零向量的向量组线性相关. (推论1 P 67)(7)设向量组12s ,,,ααα线性无关，12s ,,,,αααβ线性相关，则β可由向量组12s ,,,ααα线性表示，且表示式唯一.(表示式中的系数称为β关于向量组12s ,,,ααα的坐标) (定理3.4 P 67)(8)线性相关向量组的缩短向量组线性相关.线性无关向量组的加长向量组线性无关. (定理3.5 P 68) 证 设()Ti 1i 2i mi a ,a ,,a (i 1,2,,s)α==是一组m 维向量，令1122s s k k k α+α++α=ο，即1111221s s 2112222s sm11m22ms s a k a k a k 0,a k a k a k 0,a k a x a k 0.+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(5) 不妨去掉最后一个方程(这对应于12s ,,,ααα同时去掉了最后一个分量)，有1111221s s 2112222s sm 111m 122m 1s s a k a k a k 0,a k a k a k 0,a k a x a k 0.---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(6) 显然，若方程组(5)有非零解，那么方程组(6)也必然有非零解，即线性相关向量组的缩短向量组线性相关.反之，若方程组(6)只有零解，那么方程组(5)也必然只有零解，即线性无关向量组的加长向量组线性无关.例如，(9)任意n+1个n 维向量线性相关. 证 设12n 1,,,+ααα为n+1个n 维向量，那么①若12n ,,,ααα线性相关，则12n 1,,,+ααα线性相关；②若12n ,,,ααα线性无关，则由Cramer 法则知，线性方程组1122n n n 1x x x +α+α++α=α有唯一解,即n 1+α可由12n ,,,ααα线性表示，故12n 1,,,+ααα线性相关.推论任意m 个n(n<m)维向量线性相关.3. 向量组线性相关/线性无关的判定方法(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)秩法(第三、四节). 三、秩 (一)向量组的秩 1. 向量组的等价设有两个向量组：(Ⅰ)α1,α2,…,αr ；(Ⅱ)β1,β2,…,βs .定义3.4 若向量组(Ⅰ)中的每个向量都可由向量组(Ⅱ)线性表示，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出；若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可以互相线性表出，则称它们等价. (定义3.10 P 69)向量组等价的性质：1)反身性；2)对称性；3)传递性. (P 69)若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出，则有s ×r 矩阵C 使(α1,α2,…,αr )=(β1,β2,…,βs )C ，C 为表出矩阵.记A=(α1,α2,…,αr ), B=(β1,β2,…,βs )，上式即为A=BC.实际上，A=BC既表示A的列向量组可由B的列向量组线性表出，也表示A的行向量组可由C的行向量组线性表出.注意：当A、B为同型矩阵，A、B的行(列)向量组等价，必有矩阵A、B等价；反之，矩阵A、B等价，它们的行(列)向量组未必等价. (P70)定理3.1如果向量组α1,α2,…,αm线性无关，则有规范正交向量组ε1,ε2,…,εm与之等价. (定理3.6P70) 证令β1=α1，β2=α2+k1β1且[β2,β1]=0，得k1=-[α2,β1]/[β1,β1]，所以β2=α2-([α2,β1]/[β1,β1])β1，βm=αm+k1β1+…+k m-1βm-1且[βm,β1]=0, [βm,β2]=0,…, [βm,βm-1]=0，得k1=-[αm,β1]/[β1,β1], k2=-[αm,β2]/[β2,β2],…, k m-1=-[αm,βm-1]/[βm-1,βm-1]，所以βm=αm-([αm,β1]/[β1,β1]) β1-…-([αm,βm-1]/[βm-1,βm-1]) βm-1，则β1,β2,…,βm是正交向量组，且(α1,α2,…,αm)=(β1,β2,…,βm)[][][][][][]2221m111112m,,,,,,101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝αβαβββββαβββ⎭，故向量组β1,β2,…,βm与向量组α1,α2,…,αm等价.再将向量组β1,β2,…,βm规范化，便得到与α1,α2,…,αm等价的规范正交向量组ε1,ε2,…,εm.例3.2(例3.5 P70)定义3.5 如果实矩阵A满足AA T=E，则称A为正交矩阵. (定义3.11 P71)正交矩阵的性质：(1)A 1=±；(2)实矩阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量组(或列向量组)为规范正交向量组.2. 极大线性无关组定义3.6 如果向量组T 中有一部分向量组α1,α2,…,αr 满足： (1)α1,α2,…,αr 线性无关；(2)T 中任一向量β与α1,α2,…,αr 线性相关，则称α1,α2,…,αr 为向量组T 的一个极大线性无关向量组，简称极大无关组.(定义3.12 P 71)极大无关组的含义：向量组中没有比“极大无关组”“更大的”的线性无关向量组.注意：一个向量组可能有极大无关组，也可能没有极大无关组；可能有一个极大无关组，也可能有多个极大无关组.如：只有零向量的向量组没有极大无关组；线性无关的向量组只有一个极大无关组；102,,013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有多个极大无关组.定理3.2 向量组与它的任一极大线性无关组等价. (定理3.7 P 72) 推论1 向量组中的任意两个极大线性无关组等价. (推论 P 72)定理3.3 若列向量组α1,α2,…,αr 线性无关，且(α1,α2,…,αr )A=O ，则A=O . (定理3.8 P 72)定理3.4 等价的线性无关向量组含有相同个数的向量. (定理3.9 P 72) 推论 一个向量组的所有极大线性无关组中的向量个数相等. (推论 P 72)定义3.7 一个向量组的极大线性无关组中的向量个数称为向量组的秩，记为R(·)或rank(·). (定义3.13 P 72)规定：不存在极大无关组的向量组的秩为0. 例如，102R ,,2013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=.相关结论： (1){}12s R ,,,s ααα≤.(2)对于任意的同维向量组12s ,,,ααα和12t ,,,βββ，总有{}{}{}{}{}{}12s 12t 12s 12t 12s 12t max R ,,,,R ,,,R ,,,,,,,R ,,,R ,,,αααβββ≤αααβββ≤ααα+βββ (3)若向量组12s ,,,ααα可由向量组12t ,,,βββ线性表出，则{}{}12s 12t R ,,,R ,,,ααα≤βββ.(定理3.10 P 73)推论1 等价的向量组的秩相等. (推论1 P 73) 推论2 若向量组12s ,,,ααα线性无关，且可由向量组12t ,,,βββ线性表出，则s t ≤. (推论2P 73)推论3 若向量组12s ,,,ααα可由向量组12t ,,,βββ线性表出，且s t >，则12s ,,,ααα线性相关. (推论3 P 73)推论4 任意m 个n(n<m)维向量线性相关. (推论4 P 73)求极大无关组的方法：(1)观察法；(2)基本结论法；(3)初等变换法(第四节).(二)矩阵的秩定义3.8 在一个m n ⨯矩阵A 中任选k 个行与k 个列(1k min{m,n}≤≤)，位于这些行、列交叉处的k 2个元素按原相互位置关系所形成的k 阶行列式，称为矩阵A 的一个k 阶子式. (定义3.14 P 73)定义3.9 若矩阵A 有不等于零的r 阶子式，且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，则r 称为矩阵A 的秩，记为R(·)或rank(·). (定义3.15 P 73)定义3.9指出：(1) 矩阵的秩为r ，则矩阵所有r+1及以上阶子式(如果存在的话)都等于零； (2) 矩阵的秩是矩阵不等于零的最高阶子式的阶数； (3) 0≤R(A)≤min{m,n}； (4) R(A T )= R(A)；(5) 可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数.例3.3(例3.6 P 74) 求矩阵A 和B 的秩，其中1234512302312456,0003421000000A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2. 求矩阵的秩定理3.5初等变换不改变矩阵的秩. (定理3.11 P 74)推论1 若A ～B ，则R(A)= R(B). (推论 P 75) 推论2行阶梯形矩阵的秩等于元素不全为零行的行数.定理3.5、推论1和推论2给出了一个求矩阵秩的方法：对矩阵做初等行变换将其化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中元素不全为零行的行数即为矩阵的秩.例3.4(类似例3.8 P 75)求矩阵12101210A 10112022-⎛⎫⎪--⎪= ⎪-⎪-⎝⎭的秩. 解 因为2131434123+,221210121012101210000002011011020100002022042000---↔---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r ， 所以R(A)2=.例3.5(例3.7 P 75) 证明：R(AB )≤min{R(A),R(B)}. 证 因为()()R AB R AB A ≤，而()()12c c BAB A O A -→，所以()()()R AB R O A R A ≤=.又()()()()()T T T T R AB R (AB)R B A R B R B ==≤=，所以R(AB)min{R(A),R(B)}≤.3. 求向量组的秩与极大无关组定理3.6 矩阵的秩等于矩阵的行向量组的秩(称为矩阵的行秩)，也等于矩阵的列向量组的秩(称为矩阵的列秩). (定理3.12 P 76)证A ～B(对A 作行变换，B 是A 的行最简形矩阵)⇒R(A)=R(B)，A 、B 的行向量组等价又R(B)=R(B 的行向量组)⇒R(A)=R(B 的行向量组)=R(A 的行向量组)又R(A)=R(A T )⇒R(A T )=R(A T 的行向量组)=R(A 的列向量组) ⇒ R(A)=R(A 的列向量组)定理3.6给出了求向量组秩的方法：首先由向量组构成矩阵，然后求矩阵的秩，从而得向量组的秩.例3.6求向量组α1=(1,2,-1,3)T , α2=(1,3,2,5)T , α3=(-2,2,-4,3)T , α4=(1,-5,-6,-8)T , α5=(2,-3,-7,-5)T 的秩. 解 A =(α1,α2,α3,α4,α5)=2131413242233211212112122325301677124670325535385029111111212112120167701677,00161616001110033300000-+-----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→⎪ ⎪-----⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r所以R(α1,α2,α3,α4,α5)=3.定理3.7 完全的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性；完全的初等列变换不改变矩阵的行向量组的线性相关性.例 3.7(例 3.9 P 76) 讨论向量组α1=(1,2,-1,3)T , α2=(1,3,2,5)T , α3=(-2,2,-4,3)T , α4=(1,-5,-6,-8)T , α5=(2,-3,-7,-5)T 的线性相关性，求极大无关组，并用极大无关组表示其余向量.解 A=(α1,α2,α3,α4,α5)=2131413242123233261121211212232530167712467032553538502911111121211212016770167700161616001110033300000r r r r r r r r r r r r r -+---+---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→⎪ ⎪-----⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪---⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭→312211010100010101101011,011100111000000000r r r --⎛⎫⎛⎫⎪⎪---- ⎪ ⎪→⎪ ⎪---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故R(α1,α2,α3,α4,α5)=3，说明α1,α2,α3,α4,α5中任意4个向量都线性相关.α1,α2,α3 (α1,α2,α4、α1,α2,α5都)是一个极大无关组，且α4=-α2-α3，α5=α1-α2-α3.定义3.10 若矩阵的秩等于矩阵的行数，则称矩阵是行满秩的；若矩阵的秩等于矩阵的列数，则称矩阵是列满秩的.既是行满秩又是列满秩的矩阵称为满秩矩阵(即可逆矩阵).求秩的方法：(1)观察法；(2)定义法；(3)基本结论法；(4)初等变换法.常识结论：(1)R(AB)min{R(A),R(B)}≤ (2)R(AB)R(A)R(B)A ≥+-的列数(3)max{R(A),R(B)}R(A B)R(A)R(B)≤≤+ 简证：见向量组的基本结论 (4)R(A B)R(A)R(B)±≤+ 简证：∵12c c (A B B)(A B)±→∴R(A B)R(A B B)R(A B)R(A)R(B)±≤±=≤+四、向量应用实例[实例3-1] 几何应用 [实例3-2] 混凝土配制问题 [实例3-3] 药方配制问题五、习题(P 80-84) 选择题：1-5. AC B C A6. 提示：AB=C ，A=CB -1表明，A 与C 的列向量组可以互相线性表出，故选B.7. 提示：当c 1≠0时，|(α1,α2,α3)|≠0, |(α1,α2,α4)|≠0，故排除选项A,B. |(α1,α3,α4)|≡0，故选C.当c 3+c 4≠0时，|(α2,α3,α4)|≠0，故排除选项D.填空题：1. 提示：方法一α1,α2,α3,α4线性相关⇔|(α1,α2,α3,α4)|=0⇒k=-5/13方法二初等变换法α1,α2,α3,α4线性相关⇔R(α1,α2,α3,α4)<42. 提示：β可由α1,α2线性表示⇔线性方程组(α1,α2)x=β有解⇔(α1,α2,β)～B,R(α1,α2,β)=R(α1,α2)⇒k=-19/23. 提示：设A=(α1,α2,α3,α4)，作初等变换A=(α1,α2,α3,α4)～B (B为A的行最简矩阵)⇒R(A)=R(B)=44.提示：α1,α2,α3线性无关⇔|(α1,α2,α3)|≠0⇒abc≠0三、解答题：1. 略.2. 提示：(1) 能.α2,α3,α4线性无关⇒α2,α3线性无关⇒若α1,α2,α3线性相关，则α1必可由α2,α3线性表示(2)不能.因为若α4可由α1,α2,α3线性表示，则α4就可由α2,α3线性表示，这与α2,α3,α4线性无关矛盾.3. 提示：(1)-(3)可用行列式法判断，(3)-(4)可用初等变换法4.提示：设A=(α1T,α2 T,α3 T,α4 T)，然后对A作行初等变换，将A化为行最简矩阵.5.提示：设A=(α1,α2,α3)，则当|(α1,α2,α3)|≠0时，β可由α1,α2,α3唯一线性表示，且表达式唯一.6. 提示：(1)当k1,k2,…,k m全为零时等式自然成立；否则，若k1=0，此时等式为k2α2+…+k mαm=ο，由于α2,…,αm 线性无关，得k2=…=k m=0，所以k1,k2,…,k m或全不为零.(2)由(1)知l1,l2,…,l m全不为零.设a=k1/l1，则两式相减，得(k 1-a l 1)α1+(k 2-a l 2)α2+…+(k m -a l m )αm =ο，因k 1-a l 1=0，由(1)知(k 2-a l 2)=…=(k m -a l m )=0，即k 1/l 1= k 2/l 2=…=k m /l m .8. 提示：令 k 1(a α1-α2)+k 2(b α2-α3)+k 3(c α3-α1)=ο， (1) 即(k 1a-k 3)α1+(k 2b-k 1)α2+(k 3c-k 2)α3=ο.α1,α2,α3线性无关⇒k 1a-k 3=0, k 2b-k 1=0, k 3c-k 2=0 (2)式(2)是关于k 1,k 2,k 3的齐次线性方程组，所以a α1-α2,b α2-α3,c α3-α1线性相关⇔存在不全为零的k 1,k 2,k 3使式(1)成立，即方程组(2)有非零解.⇔a11b00abc 101c--=⇒=-.9. 提示：因为α1,α2,…,αs 线性相关，所以存在不全为零的数k 1,k 2,…,k s 使k 1α1+k 2α2+…+k s αs =ο.设i 是k 1,k 2,…,k s 中不为零的数的最大下标，由α1≠ο可知i>1，于是αi 就可由α1,…,αi-1线性表示.10. 证112223n n 1k ()k ()k ()α+α+α+α++α+α=ο， 即 1n 1122n 1n n (k k )(k k )(k k )-+α++α+++α=ο.因12n ,,,ααα线性无关，得1n 1122233n 1n n k k 0k 1001k k 0k 1100k k 0k A 0110001k k 0k ∆-+=⎧⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=⇔=κ=ο⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=⎪⎝⎭⎩⎝⎭. 而1n A 1(1)+=+-0,2, n n ⎧=⎨⎩为偶数，为奇数.所以，当n 为偶数时，α1+α2,α2+α3,…,αn +α1线性相关； 当n 为奇数时，α1+α2,α2+α3,…,αn +α1线性无关.11.提示：n 个n 维向量α1,α2,…,αn 线性相关⇔存在不全为零的数k 1,k 2,…,k n 使k 1α1+k 2α2+…+k n αn =ο.⇔|(α1,α2,…,αn )|=0. (克拉默法则)12.证 因为e 1, e 2, …, e n 可由α1,α2,…,αn 线性表出，所以R(e 1, e 2, …, e n )≤R(α1,α2,…,αn ).又因为α1,α2,…,αn 可由e 1, e 2, …, e n 线性表出，所以R(α1,α2,…,αn )≤R(e 1, e 2, …, e n ).因此R(α1,α2,…,αn )=n ，α1,α2,…,αn 线性无关.13. 证 充分性 因为任一n 维向量都可由α1,α2,…,αn 线性表示，所以标准单位向量组e 1, e 2, …, e n 可由α1,α2,…,αn 线性表出，于是由第11题可知，α1,α2,…,αn 线性无关.必要性 设α1,α2,…,αn 线性无关，因n+1个n 维向量线性相关，所以任一n 维向量β都可由α1,α2,…,αn 线性表示.14. 提示：先进行schimidt 正交化，然后规范化.15.提示：方法一 令A=(α1,α2,α3,α4,β)，则()1234111110112123a 24b 3351a 85⎛⎫ ⎪-⎪ααααβ= ⎪++ ⎪+⎝⎭1111112100112101121012100100225200010a b a b a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪++ ⎪⎪-++⎝⎭⎝⎭1021001121,10000000021000110100,110010100010a b b a a b a a b a ⎧-⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-→ ⎪⎨+ ⎪⎪++ ⎪⎪ ⎪⎪≠-+ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩当当所以，(1)当a=-1且b≠0时，β不能由α1,α2,α3,α4线性表示. (2)当a≠-1时，β能由α1,α2,α3,α4唯一地线性表示为1232b a b 1ba 1a 1a 1++β=-α+α+α+++. (3)当a=-1且b=0时，β能由α1,α2,α3,α4线性表示，但表示不唯一.方法二 向量β能不能由向量组α1,α2,α3,α4线性表示等同于非齐次线性方程组1234(,,,)x αααα=β是否有解.根据克拉默法则，令|(α1,α2,α3,α4)|=0，得a=-1，否则，a ≠-1. 所以当a ≠-1时，此时β可由α1,α2,α3,α4唯一地线性表示； 当a=-1时，对矩阵(α1,α2,α3,α4,β)作初等行变换，得()123410210011210000b 00000-⎛⎫⎪- ⎪ααααβ= ⎪⎪⎝⎭，所以当a=-1且b≠0时，β不能由α1,α2,α3,α4线性表示.16.解 向量组α1,α2与向量组β1,β2,β3等价，即α1,α2与β1,β2,β3可以互相线性表出，并且R(α1,α2)=R(β1,β2,β3).4332431323113231110110422211120021111310204222r r r r r r +++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭3213231021110000000000r r ↔⎛⎫⎪⎪→ ⎪⎪⎝⎭12312121231012321201121212,,,00000000001101101120,,,0000000000⎧-⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⇒βββαα⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭→⎨-⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⇒ααβββ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩可由线性表出可由线性表出17. 提示：根据极大线性无关组的定义.18.(3)解 213123202310231 0343001304710013r r r r----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭32r r 02310013,0000 R 2.+-⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭∴=(4)解 322141r r r 3r r r 17253143172531435375941322013 5475941341002202532483015---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭42313132323231r 225r r r r 17r r r r 2r r r r 31r 02531910020011025319100200110000000010028010500110000 R 3.⨯---↔-↔-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭∴=，19. 提示：x y y x 2y x 2y x 2y A y x y y x y y y x y y x 111111y x y 0x y 0,x 2y 0y y x 00x y 000000y x y y x 0,x 2y 0y y x 0y x x y 111000,x 2y 0x y R(A)1000+++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→-+≠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭⎝⎭→⎨⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎛⎫ ⎪+≠=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭→且111010,x 2y 0x y R(A)3001000y x 0,x 2y 0x y R(A)00y x x y 000y x 0,x 2y 0x y R(A)20y x x y ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪+≠≠⇒=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎩⎨⎧⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪+==⇒=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪--⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪+=≠⇒= ⎪⎪⎪ ⎪--⎪⎪⎝⎭⎩⎩且且且 所以 0,x y 0,1,x y 0,R(A)2,x 2y 0,3,x 2y x y.==⎧⎪=≠⎪=⎨=-≠⎪⎪≠-≠⎩且20. 提示：按阶梯形矩阵构造1030011000000100000100000⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 或 1030011000000100000100011⎛⎫⎪-- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭……21. 证∵12c c (A+B B)(A B)-→∴R(A B)R(A B B)R(A B)R(A)R(B)+≤+=≤+22.证∵21c c (B)A O A O E B E O +-⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A O R EB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥R(A)+R(B) A O R =E O ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 的列数∴R(A)+R(B)≤A 的列数23.证∵A 2-A=(A-E)A=O∴R(A-E)+R(A)≤n (第22题) ∵ E=(E-A)+A∴R(E)=R((E-A)+A)≤R(A-E)+R(A) (第21题) ∴R(A-E)=n-r24. 提示：E-A 2=(E-A)(E+A)=O, 2E=(E+A)+(E-A)25. 证因为A 的秩为r ，所以存在n 阶初等行矩阵P 1,P 2,…,P k 与m 阶初等列矩阵Q 1,Q 2,…,Q l ，使得()rr k2112l r r m n m n rE O E P P P AQ Q Q =E O O O O ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()r 11111112krl 21r m n rE P P PP Q=E O Q Q Q O ------⨯⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则A=PQ，其中()()()()r rr m n r E R P R =R Q R E O r O ⨯⨯⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.26.解det(B)1231231231232323123233123123det(,24,39)det(,3,5)det(,3,2)det(,,2)2det(,,) 2.=α+α+αα+α+αα+α+α=α+α+αα+αα+α=α+α+αα+αα=ααα=ααα=27. 提示：设A=(α1,α2,α3,β1,β2,β3)，则312r r r 101111101111A 013a 23013a 23115135001a 01--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2131323r 2r r r r r r 1011112102(a 1)00001a 011001+a 100104a 20001a 01----⎧⎛⎫⎪ ⎪→--⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎩R(A)=3, R(B )≥2.(1)因为α1,α2,α3不能由β1,β2,β3线性表出，所以R(B)<R(A)，故a=1. (2)β1=2α1+4α2-α3,β2=α1+2α2,β3=α3.28. 解 因为向量α=(2,4,-3)与向量β=(-1,-2,3/2)平行，所以直线L 1与L 2平行.又直线L 1过点(1,2,3)，且点(1,2,3)也在直线L 2上，所以直线L 1与L 2重合.六、计算实践实践指导：（1）理解向量线性组合、线性相关和线性无关的概念； （2）了解向量线性相关和线性无关的有关理论，掌握判别方法；（3）理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵秩的概念； （4）会求向量组的极大线性无关组及秩，会求矩阵的秩.例3.1设三阶矩阵()T 122A 212,a,1,1304-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭α，已知Aα与α线性相关，求a.解()TA a,2a 3,3a 4α=++，Aα与α线性相关a 2a 33a 4a 1a 11++⇒==⇒=-. 例3.2 已知()()1231234R ,,R ,,,3,ααα=αααα=()1235R ,,,4αααα=，证明：()12354R ,,,4αααα-α=.解 ()()1231234R ,,R ,,,3ααα=αααα=⇒4112233k k k α=α+α+α12354(,,,)αααα-α()()12351122331212353,,,k k k 100k 010k ,,,001k 0001=αααα-α-α-α-⎛⎫⎪-⎪=αααα ⎪- ⎪⎝⎭()()123541235R ,,,R ,,,4⇒αααα-α≤αααα=()()()()1235112123543123512354 ,,,100k 010k ,,,001k 0001R ,,,R ,,,-⇒αααα-⎛⎫ ⎪-⎪=αααα-α ⎪- ⎪⎝⎭⇒αααα≤αααα-α ⇒()12354R ,,,4αααα-α=例3.3 已知向量组α1=(1,2,-1,1),α2=(2,0,t,0),α3=(0,-4,5,-2)的秩是2，求t .解1231211A 20t 00452α-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=α= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪α--⎝⎭⎝⎭1211121104t 220452045200t 30--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-+-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.()R A 2t 3=⇔=，故t 3=.例3.4设n m m n n A B E ⨯⨯=，则[A ]. (A )n m m n R(A )R(B )n ⨯⨯==； (B)n m m n R(A )n,R(B )m ⨯⨯==； (C)n m m n R(A )m,R(B )n ⨯⨯==； (D)n m m n R(A )R(B )m ⨯⨯==.例3.5若n m m n n A B E (n m)⨯⨯=<，证明：n m m n R(A )R(B )n ⨯⨯==.证明 反证法.显然m n R(B )n ⨯≤.若m n R(B )n ⨯<，则n n m m n n R(E )min(R(A ),R(B ))n ⨯⨯=≤<，这是矛盾的结果，所以必有()n m R A n ⨯=.同理，有()m n R B n ⨯=.例3.6n A 0=说明什么? 答： 说明n A 不可逆；(第二章)齐次线性方程组n A x =ο有非零解； (第一、四章)()n R A n <；(第三章)n A 的行向量组线性相关; 行秩n <；(第三章) n A 的列向量组线性相关; 列秩n <；(第三章)n A 的标准形为rE O (r n)O O ⎛⎫<⎪⎝⎭；(第二、三章) 0是n A 的特征值. (第五章)例3.7设向量组Ⅰ：α1,α2,…,αr 可由向量组Ⅱ：β1,β2,…,βs 线性表示，下列命题正确的是[A ]. (A )若向量组Ⅰ线性无关，则r s ≤； (B)若向量组Ⅰ线性相关，则r s >； (C)若向量组Ⅱ线性无关，则r s ≤； (D)若向量组Ⅰ线性相关，则r s >.例3.8设(β1,β2,…,βs )=(α1,α2,…,αt )A t×s ，且α1,α2,…,αt 线性无关，试判断β1,β2,…,βs 的线性相关性.七、知识扩展1. 设α1,α2,…,αn 为n 维列向量组，A 是m×n 矩阵，下列选项正确的是[A ].（2006 数一） (A) 若α1,α2,…,αn 线性相关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性相关； (B) 若α1,α2,…,αn 线性相关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性无关； (C) 若α1,α2,…,αn 线性无关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性相关； (D) 若α1,α2,…,αn 线性无关，则A α1,Aα2,…,Aαn 线性无关. 提示：∵12n 12n (A ,A ,,A )A(,,,)ααα=ααα∴12n 12n R(A ,A ,,A )R(A(,,,))ααα=ααα12n min{R(A),R(,,,)}≤ααα若α1,α2,…,αn 线性相关，则12n R(A ,A ,,A )n ααα<. 选A .注意到，若α1,α2,…,αn 线性无关，则R(A α1,A α2,…,A αn )=R(A).2. 已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关，则向量组[C ]. （1994 数一）(A) α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1线性无关； (B) α1-α2, α2-α3, α3-α4, α4-α1线性无关； (C)α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4-α1线性无关； (D) α1+α2, α2+α3, α3-α4, α4-α1线性无关. 提示：观察法3.设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有[A ]. (2004 数一) (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； (C) A 的行向量组线性相关，B 行向量组线性相关； (D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. 提示：方法一()()A O,B O,R A R B A ≠≠+≤的列向量数n()()()()R A 1,R B 1R A n 1,R B n 1≥≥⎧⎪⇒⎨≤-≤-⎪⎩，故选A . 方法二设1212n n A (,,,)O,B O β⎛⎫⎪β⎪=ααα≠=≠ ⎪ ⎪β⎝⎭，i1i2in 1j 2j nj (a ,a ,,a ),(b ,b ,,b )⇒∃≠ο≠οi11i22in n 1j 12j 2nj n a a a ,b b b ,β+β++β=ο⎧⇒⎨α+α++α=ο⎩故选A .4.设n 维列向量组α1,α2,…,αm (m<n)线性无关，n 维列向量组β1,β2,…,βm 线性无关的充要条件为[D ].（2000 数一）(A) 向量组α1,α2,…,αm 可由向量组β1,β2,…,βm 线性表示； (B) 向量组β1,β2,…,βm 可由向量组α1,α2,…,αm 线性表示； (C) 向量组α1,α2,…,αm 与向量组β1,β2,…,βm 等价； (D) 矩阵A=(α1,α2,…,αm )与矩阵B=(β1,β2,…,βm )等价.提示：因为m m E E A ~,B ~A,B O O ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价，故选D .(A)⇒β1,β2,…,βm 线性无关；反之，β1,β2,…,βm 线性无关⇒(A).例如，100010001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭与　1　，0，1.(B)⇒β1,β2,…,βm 线性无关.(C)⇒β1,β2,…,βm 线性无关；反之，β1,β2,…,βm 线性无关⇒(C). **注意向量组等价与矩阵等价的差别5.设四维向量组α1=(1+a,1,1,1)T ,α2=(2,2+a,2,2)T ,α3=(3,3,3+a,3)T ,α4=(4,4,4,4+a)T ，问a 为何值时α1,α2,α3,α4线性相关？当α1,α2,α3,α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余量用该极大线性无关组线性表出.（2006 数一）提示：()12341a23412a 34,,,123a 41234a +⎛⎫ ⎪+ ⎪αααα= ⎪+ ⎪+⎝⎭ i 11i r r c c i 2,3,4i 2,3,41a23410a234a a 000a 00a0a 000a 0a00a 000a -+==++⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⇒当a=0或a=-10时，α1,α2,α3,α4线性相关.且当a=0时，R (α1,α2,α3,α4)=1，一个极大线性无关组为α1；当a=-10时，R (α1,α2,α3,α4)=3，一个极大线性无关组为α2,α3,α4.6. 设向量组α1=(1,1,1,3)T,α2=(-1,-3,5,1)T,α3=(3,2,-1,p +2)T,α4=(-2,-6,10,p)T ，问：(1)p 为何值时，该向量组线性无关? 此时用α1,α2,α3,α4表示向量α=(4,1,6,10)T .(2) p 为何值时，该向量组线性相关? 此时求它的秩和一个极大线性无关组. (1999)(答案：p≠2,p=2) 提示：方法一 初等行变换法(1)()12341132413261,,,15110631p 2p 10--⎛⎫⎪--⎪ααααα= ⎪-⎪+⎝⎭()()())p 2113 24021 43001 01000p 21p 10002010021p p 2~0010100011p p 2≠--⎛⎫⎪---- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭故p≠2，这时()()123421p 1p 2p 2p 2--α=α+α+α+α--. (2) p=2，秩为3，一个极大线性无关组为α1,α2,α3.（另一个极大线性无关组为α1,α3,α4.） 方法二 行列式法 计算1234,,,αααα113211321326021415110001031p 2p 0p 20p 20p 2---------==-+-≠⇒≠⎧⎨=⇒=⎩当p≠2，令()1234,,,x αααα=α，计算()())()()12341132413261,,,15110631p 2p1010002010021p p 2,0010100011p p 2--⎛⎫⎪-- ⎪ααααα=⎪-⎪+⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭得()()123421p 1p 2p 2p 2--α=α+α+α+α--.7.设R(A m×n )=m<n ，则下述结论正确的是[C ]. (A)A m×n 的任意m 个列向量必线性无关. (B)A m×n 的任意一个m 阶子式不等于零. (C)若矩阵B 满足BA=O ，则B=O.(D)A m×n 通过初等行变换必可以化为(E m O)的形式. 提示：T T BA OA B O =⇒=T T T R(A)R(B)R(A )R(B )A ⇒+=+≤的列数m =R(B)0B O ⇒=⇒=，故选C .(D)的正确说法是A m×n 通过初等变换必可以化为(E m O)的形式.8.设A 是m×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵B=AC 的秩为r 1，则[C ]. (A)r>r 1；(B)r<r 1； (C)r=r 1；(D)r 与r 1的关系依C 而定.(1994 数三)提示：由B=AC 及C 是n 阶可逆矩阵知B ～A ，故选C .9.设A,B 都是n 阶非零矩阵，且AB=O ，则A 和B 的秩(A)必有一个等于零； (B)都小于n ；(C)一个小于n ，一个等于n ； (D)都等于n.(1994 数四)提示：由A,B 都是n 阶非零矩阵，且AB=O⇒()()A O,B O,R A R B A ≠≠+≤的列向量数n⇒()()()()R A 1,R B 1,R A n 1,R B n 1,≥≥⎧⎪⎨≤-≤-⎪⎩故选B .10.设A 是4×3矩阵，且R(A)=2，而102B 020103⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则R(AB)=2. (1996 数一)提示：B 可逆.11.已知矩阵123Q 24t 369⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭及3阶非零矩阵P 满足PQ=O ，则[C ].(A) t=6时，P 的秩必为1； (B) t=6时，P 的秩必为2； (C)t≠6时，P 的秩必为1；(D) t≠6时，P 的秩必为2. (1993 数一)提示：t=6时，R(Q)=1, R(P)≤2；t≠6时，R(Q)=2, R(P)≤1. 又因P ≠O ⇒R(P)≥1，故选C.12.设122A 4t3311-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，B 为3阶非零矩阵，且AB=O ，则t=-3. (1997 数一) 提示：AB OR(A)R(B)A =⇒+≤的列向量数3B O R(B)1≠⇒≥所以R(A)2≤.但显然R(A)2≥，故R(A)2=.于是由A 0t 3=⇒=-.或由21331r r r r 3r 122122122A 4t 30t 1401131107700t 3------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭R(A)2t 30t 3=⇒+=⇒=-.13.设矩阵k1111k 11A 11k 1111k ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，且R(A)=3，则k=-3.提示：k 3k 3k 3k 31k 11A ~11k 1111k ++++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭k 30001k 100~10k 10100k 1+⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭()R A 3k 3=⇒=-.14.设n(n ≥3)阶矩阵1a a a a1a a A aa 1a a a a1⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若矩阵A 的秩为n-1，则a 必为 (A)1； (B)11n -； (C) -1； (D)1n 1-. (1998 数三) 提示：()()()n 1a 1n 1a 1n 1a 1a1a A ~a a1⎛-+-+-+⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭11101a 01,a n 1001a ~000a 1a 01,a=n 1a 01a ⎧⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪≠-⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪⎪-⎪-⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎩ n 31,a 1,1R(A)n,a 1a ,n 11n 1,a=.n 1≥⎧⎪=⎪⎪⇒=≠≠-⎨-⎪⎪--⎪⎩-且 故选B.。

习题三A 组1 •填空题.(1)设口 = (1,1,1), 6 = (-1,-1,-1),则ah x= _____________ , a vh= _________ro o>1 ](3)若么=(1, 2, 3), B — 1, —, — , A — a}d ,则 A n =I 2 3丿‘1 0⑷设A= 0 2J o解0.(5)设 a = (l, 0, -if ，矩阵 A=aa l \ 斤为正整数，贝 i\kE - A n解 k 2(k-2n ).(6)设昇为斤阶矩阵，且A =2,贝ij AA T= _________ , AA ： = _______2(2)设八1-3 2),B =-3丿1 -13 1 3>则AB = (0 0丿(—3 -3丿2 13232 3 1 1)0 ,正整数 /7 > 2 ,则 A n -2A ,l ~' =2“+i2".(cos& -sin&\(7)、sin& cos& 丿cos& sin&\、一sin& cos& 丿0 0、2 0 ,则(A*y =4 5,解討丫2(10)设矩阵/二,矩阵B满足BA = B + 2E,则B二，B<-1 2(2 0(11)设/，〃均为三阶矩阵，AB = 2A + B f B= 0 4,2 0‘0 0 P解0 1 0b o oj(12)设三阶矩阵/满足|力|二*, (3A)~l-2A* =1627(13)设/为加阶方阵,B为兀阶方阵,同=Q,\B\ = b, C =°, 则\c\ =(8)设…®?工0 ,则、\Z曾丿1)a n1%■■1 1■色丿丿a lP(9)设A= 22、0 ,贝=2丿/0、0 ,矩阵〃满足关系式ABA =2BA ^E,其屮才'为力的伴随矩阵，则|B | =解*•解0.解一3・是nxp 矩阵，C 是pxm 矩阵，加、n 、p 互不相等，则下列运算没有(B) ABC ；解D.(2)设/是mxn 矩阵(m n), B 是nxm 矩阵，则下列解(一l)〃5b ・(15)设4阶矩阵/的秩为1,则其伴随矩阵/的秩为 (14)设三阶矩阵/ =R(4)解1.(17)设矩阵力'a 、b\ a }b 2■ ■a 2b 2 ■ • ■a n b2,其中匕・工0, (Z=l,2,•••,/?),则力的秩，且7?(J) = 3,则丘=0、 -2i,则将/可以表示成以下三个初等矩阵的乘积(D) AC T .的运算结果是n 阶力•阵.(A) AB ；解B.(B) A YBT；(C) B r A T ；(D) (4B)T.(16 )设？1 = •咕、 ・仇 ・ a n b n)解2.选择题.(1)设/是mxn 矩阵,(3) 设力」是斤阶方阵，AB = O,贝I 」有 ________ • (A) A = B = Ox(B) A + B = O ； (C)同=0或|同=0；(D)同 + 圖=0・解C ・(4) 设力，〃都是斤阶矩阵，则必有 _______ . (A) \A + B\ = \^ + \B\； (B) AB = BA ； (C) \AB\ = \BA\ ；(D) (/1 + B)T M /T + BT ・解C ・(5) 设/,B 是斤阶方阵，下列结论正确的是 __________ ・ (A)若均可逆，则A^B 可逆； (B)若力，〃均可逆，则力〃可逆； (C)若A + B 可逆，则A-B 可逆；(D)若A + B 可逆，则4〃均可逆.解B.(6) 设斤阶方阵A,B,C 满足关系式 ABC = E ，则必有 ___________ ・ (A) ACB = E ； (B) CBA = E ；(C) BAC = E ；(D) BCA = E .解D.(7) 设昇，B,力 + B, /T+BT 均为斤阶可逆矩阵，贝等于 ________________________ (A)(B) A + B ；(C) (D) g + 3)".解C.(8) 设£B,C 均为兀阶矩阵，若B = E + MB , C = A^CA.则B-C 为 ________________ . (A) E\ (B) —E ； (C) ； (D) —A.. 解A.(9) 设矩阵A = (a i .} 满足才其中才是/的伴随矩阵，川为昇的转置矩阵.若\ "3x3。

习题三 A 组1. 设1232()3()2()αααααα-++=+，求α，其中1110α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭， 2011α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，3340α⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭。

解123103423221312430103αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关。

(1)131-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，210⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，141⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；（2）230⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭，140-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭解（1）121121121101101314077011011011101022000000000-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭::::, R(A)=2，线性相关（2）210210*********00102002000002-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭::, R(A)=3，线性无关 3. a 取什么值时，下列向量组线性相关？111a α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 211a α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，311a α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ 解 (法一)求系数行列式3211112(1)(2)11a a a a a a a a-=-+=+-+，令其为0，得1a =-。

由此可知，当1a =-时，R(A)<3，即题给向量组线性相关。

(法二)()23121212311110110101,,111101101111111111r r r r r r a a a a a a a a a a a a a a a a a ααα-+--+-+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭:::向量组线性相关，所以10a +=，即1a =-4. 设123,,ααα线性无关，证明：1α，12αα+，123ααα++也线性无关. 证明：设112123123()()0,k k k αααααα+++++=即123123233()()0.k k k k k k ααα+++++=由123,,ααα线性无关，有1232330,0,0.k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩ 所以1230k k k ===，即112123,,αααααα+++线性无关. 5.设1(1,1,1)α=，2(1,2,3)α=，3(1,3,)t α=，问： (1) t 为何值时向量组123,,ααα线性相关。