高中数学选修4-4知识点总结说课讲解

高中数学选修4­4坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：2.设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标＝ρcosθ，＝ρsinθＷ.(2)直角坐标化极坐标2＝x2＋y2，θ＝yx（x≠0）.三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r (0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos_θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cos_θ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sin_θ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0即)cos(2002022θθρρρρ--+=r 3．直线的极坐标方程00△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．四柱坐标系与球坐标系简介（了解）1．柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z ）(z ∈R )表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z ∈R ．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z．2．球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ．第二讲：一曲线的参数方程1．参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y ＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。

选修4-4复习讲义1. 极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点； 自极点O 引一条射线OX 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

2．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ； 以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.3. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

4．极坐标与直角坐标的互化：)0x (xy tan ,sin y ,cos x ,y x 222≠===+=θθρθρρ5. 圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ2acos =； 在极坐标系中，以)2,a (C π(a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 θρ2asin =；6. 在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0a )(0,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a cos =θρ.7．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),t (g y ),t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。

坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

坐标系与参数方程 知识点1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y ）是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下，点Ｐ(ｘ,y ）对应到点(,)P x y '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 （1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度）及其正方向(通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(２)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离｜ＯM|叫做点M 的极径，记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点Ｍ的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点Ｍ的极坐标，记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为（0,θ）(θ∈R)．和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示；同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.３.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(２)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角． 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ，半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线（1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或（2）(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ，与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=．二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。

高三数学选修4_4知识点在高三的数学学科中，选修4_4是一个重要的知识点。

下面将介绍选修4_4的主要内容及其相关应用。

一、排列组合排列组合是高中数学中的一个基础概念，也是选修4_4的核心内容之一。

排列指的是从一组元素中选取若干个进行有序排列，而组合则是从一组元素中选取若干个进行无序组合。

排列组合的计算方法主要包括阶乘、排列数和组合数。

1.1 阶乘阶乘是指自然数从1连乘到该数的乘积，用符号"!"表示。

阶乘在排列组合中起到了非常重要的作用，常用于计算排列数和组合数。

1.2 排列数排列数是指从一组元素中选取若干个进行有序排列的方法数，用符号"An"表示。

根据排列数的计算公式可知，An=n!/(n-m)!,其中n表示元素个数，m表示选取的个数。

1.3 组合数组合数是指从一组元素中选取若干个进行无序组合的方法数，用符号"Cn"表示。

组合数的计算公式为Cn=n!/(m!(n-m)!)，其中n 表示元素个数，m表示选取的个数。

二、二项式定理二项式定理是选修4_4的另一个重要内容。

它用于展开一个任意指数幂的二项式式子，并且提供了一个快速计算的方法。

二项式定理的表达式为(a+b)^n，其中a和b为实数，n为自然数。

二项式定理的展开式可以用组合数进行求解，展开后的式子包括n+1项。

三、贝叶斯定理贝叶斯定理是选修4_4的进阶内容，它是概率论中一个重要的定理，由于其在实际问题中的广泛应用而备受关注。

贝叶斯定理描述了在已知相关先验信息和观测数据的情况下，如何更新对该事件的概率估计。

贝叶斯定理的公式为P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率。

四、应用领域选修4_4的知识点在实际问题中有广泛的应用。

在组合数学、概率论、统计学等学科中，排列组合和贝叶斯定理是解决问题的重要工具。

在计算机科学中，排列组合常被用于算法设计和数据结构的研究中。

坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标：设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

高中数学选修4-4知识点归纳高中数学选修4-4主要内容是复数的运算和应用。

复数是实数与虚数的和，形式为a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

1.复数的表示和性质：复数可以用直角坐标系表示，实部和虚部分别对应于横坐标和纵坐标。

复数具有加法、减法、乘法和除法四则运算，遵循实数的运算法则。

复数的共轭复数表示为a-bi，共轭复数具有性质：两个复数的和等于其实部的和加上虚部的和，两个复数的积等于实部的积减去虚部的积。

2.复数的平方根与n次方：对于任意一个复数z=a+bi，令w=x+yi是z的平方根，则w^2=z，即(x+yi)^2=a+bi。

将等式两边展开，得到x^2-y^2+(2xy)i=a+bi。

由此得到实部的方程组x^2-y^2=a和虚部的方程组2xy=b。

解这两个方程组，就可以得到平方根w的实部和虚部。

同样的方法，我们可以计算复数的n次方。

3.复数的模和辐角：复数的模表示复数到原点的距离，记为|z|，计算公式是|z|=√(a^2+b^2)。

复数的辐角表示复数与正实轴之间的夹角，记为θ，计算公式是tanθ=b/a。

复数的辐角一般用弧度表示，可以在求辐角时使用反正切函数。

复数的模和辐角与复数的实部和虚部之间有一定的关系，可以通过公式a=|z|cosθ，b=|z|sinθ进行互相转换。

4.复数的指数形式和三角形式：复数的指数形式表示为z=|z|e^(iθ)，其中e是数学常数自然常数，e≈2.71828。

将复数的指数形式进行展开，可以得到z=|z|(cosθ+isinθ)。

这个形式叫做复数的三角形式，其中|z|表示模，θ表示辐角。

三角形式可以用于复数的运算和求解复数方程。

指数形式可以用于复数乘法和除法的运算，有简洁的表达方式。

5.复数的应用：复数广泛应用于科学和工程领域，尤其是在电学和物理学中。

在电学中，复数可以描述交流电的电压和电流，计算复数的平均功率和相位差。

在物理学中，复数可以描述波的传播和干涉现象，求解复杂的波动方程。

数学选修4-4知识点总结
数学选修4-4主要包括以下几个知识点的学习：
1. 三角函数：学习正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的性质与图像特征。

包括解三角函数的基本方程和性质，以及应用三角函数求解实际问题。

2. 平面向量：研究平面内的向量及其运算。

了解向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和几何意义等内容。

学习解向量的相等、共线、垂直关系，以及应用向量求解实际问题。

3. 解析几何：通过几何方式的代数表示，研究几何问题。

包括直线和圆的方程、直线和圆的性质、两直线的位置关系、两圆的位置关系等内容。

学习应用解析几何解决实际问题。

4. 圆锥曲线：学习圆锥曲线的定义、方程及性质。

包括椭圆、双曲线和抛物线的特点、标准方程及图形性质。

学习应用圆锥曲线解决实际问题。

5. 数学归纳法：学习数学归纳法的基本原理、基本步骤及应用。

了解数学归纳法的证明思路和技巧，并能应用数学归纳法解题。

6. 数列与数学归纳法：学习数列的定义、分类及性质。

了解常用数列的生成规律和求和公式，学习应用数学归纳法解决数列相关问题。

7. 统计与概率：学习统计与概率的相关概念和方法。

包括随机
事件、样本空间、概率等基本概念，以及频率概率和古典概率的计算方法。

学习应用统计与概率解决实际问题。

以上是数学选修4-4的主要知识点总结，通过学习这些知识，可以对三角函数、平面向量、解析几何、圆锥曲线、数学归纳法、数列与数学归纳法、统计与概率等内容有一定的了解和掌握，并能应用于实际问题的解决。

精心整理坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.(1)(2),必须使,x 注：关键在3运动，设 圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程是222()()x a y b r -+-=，它的参数方程为：cos ()sin x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数。