大连市2016年高三第二次模拟考试-理数

2016年辽宁省实验中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x∈R|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x＜2}，则A∩B为（）A．{x∈R|1≤x＜2}B．{x∈R|x＜1}C．{x∈R|2＜x≤5}D．{x∈R|2≤x≤5} 2．（5分）已知i是虚数单位，若1+i＝z（1﹣i），则z的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．i D．13．（5分）已知数列{a n}为等差数列，a2+a3＝1，a10+a11＝9，则a5+a6＝（）A．4B．5C．6D．74．（5分）函数f（x）＝3x+x2﹣1的零点个数为（）A．0B．1C．2D．35．（5分）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x6．（5分）已知命题p：若奇函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝f（x），则f（6）＝0；命题q：不等式2x﹣1＞﹣1的解集为{x|x＜2}，则下列结论错误的是（）A．p∧q真B．p∨q真C．（￢p）∧q为假D．（￢p）∧（￢q）为真7．（5分）输人N的值为5，按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（）A．B．C．D．8．（5分）投掷两枚质地均匀的骰子，其向上的点数分别记为a，b，则直线ax﹣y+a﹣b＝0在y轴上截距大于在x轴上截距的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）若向量＝（1，﹣1），|＝||，•＝﹣1，则向量与﹣夹角为（）A．B．C．D．10．（5分）已知圆心为C1的圆（x+2）2+y2＝1，圆心为C2的圆（x﹣4）2+y2＝4，过动点P 向圆C1和圆C2引切线，切点分别为M，N，若|PM|＝2|PN|，则△PC1C2面积最大值为（）A．3B．3C．3D．1511．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧棱BB1⊥平面ABC，AB＝2，AC＝，AA1＝，AC⊥BC，将其放入一个水平放置的水槽中，使AA1在水槽底面内，平面ABB1A1与水槽底面垂直，且水面恰好经过棱BB1，现水槽底面出现一个洞，水位下降，则在水位下降过程中，几何体露出水面部分的面积S关于水位下降的高度h的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图是边长为的正三角形，则该几何体的外接球的体积为（）A．B．C．4πD．16π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（+x）dx＝．14．（5分）已知（x2+x+1）（2x﹣a）5＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中，a0＝﹣32，则a0+a1+a2+…+a7＝．15．（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z＝2x+y的最小值为1，则实数m的值为．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S n﹣1是a n与S n的等比中项，则a2015+的值为．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知向量＝（sin，1），＝（cos，），f（x）＝•．（I）求f（x）的最大值，并求此时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足f（B）＝，a＝2，c ＝3，求sin A的值．18．（12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，各棱长均为2，D、E、F分别是棱AC，AA1，CC1的中点（Ⅰ）求证：B1F∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．19．（12分）甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下2×2列联表：班级与成绩列联表（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与学校有关系；（Ⅱ）采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的320名学生中抽取16名同学．现从这16名同学中随机抽取3名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这3名同学来自甲学校的人数为X，求X的分布列与数学期望．附：（参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d）20．（12分）已知抛物线C：y＝x2，过点Q（1，1）的动直线与抛物线C交于不同的两点A，B，分别以A，B为切点作抛物线的切线l1，l2，直线l1，l2交于点P（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）求△P AB面积的最小值，并求出此时直线AB的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝a x﹣bx+x2﹣5（a＞0，且a≠1），f′（x）为f（x）的导函数，f′（0）＝0．（Ⅰ）求a，b满足的关系式（用a表示b）；（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，若不等式f（x）＜0在开区间（n1，n2）上恒成立（n1，n2∈Z），求n2﹣n1的最大值；（Ⅲ）当a＞1时，若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣成立，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，∠ABD＝90°，线段AD交半圆于点C，过点C作半圆切线与线段BD交于点M，与线段BA延长线交于点F．（Ⅰ）求证：M为BD的中点；（Ⅱ）已知AB＝4，AC＝，求AF的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程ρ＝﹣4cosθ，圆C的圆心到直线l的距离为．（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）已知P（1，0），若直线l于圆C交于A、B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知a，b，c为正数，且a+b+c＝1（Ⅰ）求++的最小值；（Ⅱ）求证：++≥++．2016年辽宁省实验中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（）A．2 B．4 C．2i D．4i3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β4．执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t的值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．已知{a n}为等差数列，3a4+a8=36，则{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．17 C．36 D．816．已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．64 B．C．16 D．9．D是△ABC所在平面内一点，=λ+μ（λ，μ∈R），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC内部（不含边界）的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件10．命题p：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜C．a≥1 D．a≥11．过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（﹣1，2），若•=0，则直线l的斜率k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．函数f（x）=e ax﹣lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤B．0＜a≤C．a≥D．a≥二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2016届高三数学第二次模拟考试试题理（扫描版）2016三校联考二模理数参考答案ABACC DCADC AB 13.21(1)2e +；14.0 ；15.3 ；16. 1201517．（1）()21cos2cos cos 444222xx x x xf x +=+=+ (2)分1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ (4)分 当2,262x k k Z πππ+=+∈，即24,3x k k Z ππ=+∈时， ()f x 的最大值为32 (6)分（2）Q ()1sin 262B f B π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭sin 26B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 20,6263B B <<∴<+<Q ππππ，263B ππ∴+=，3B π∴= ………....8分在ABC ∆中，由余弦定理得，22212cos 4922372b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=……….…10分在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin a bA B=，2sin 7A ∴== (12)分18.解：（方法一）（1）取11AC 中点1D，连接1111,,FD B D DD 1111,AD DC A D DC ==11//DD BB ∴且11DD BB =11//B D BD ∴又11B D ⊄平面EBD ，BD ⊂平面EBD ∴11//B D 平面EBD ……………………...2分又1//D F ED ，1D F ⊄平面EBD ，ED ⊂平面EBD ∴1//D F 平面EBD ..........4分 又1111B D D F D =，111,B D D F ⊂平面11B FD .. (5)分∴平面11//B FD 平面EBD ，又1B F ⊂平面11B FD ，∴1//B F 平面EBD ………….6分（2）连接FDQ 1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AAC C ⊥平面ABC 又Q 平面11AAC C平面ABC AC =，BD AC ⊥，BD ⊂平面ABC∴BD ⊥平面11AAC C ，∴BD DF ⊥ 又在正方形11AAC C 中，90EDF ∠=，∴DF ED ⊥ 又Q BDED D =，∴DF ⊥平面EBD ………………………….…………8分过D 作DH ⊥EB 于H ，连接FH ，∴FH EB ⊥FHD ∴∠为二面角F BE D --的平面角……………………………..……....10分又Q DF Rt EDB ∆中，BD ED EB ==ED DB DH EB ⋅∴==，HF ==cos HD FHD HF ∴∠==.………..12分 （方法二）解：取11AC 中点1D ，连接1DD ，则1DD ⊥平面ABC ，11,DD DB DD DC ∴⊥⊥ 又在等边三角形ABC 中，,AD DC BD DC =∴⊥…………………………….2分∴以D 为原点，1,,DB DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系（1）(0,0,0)D ，B ，(0,1,1)E -∴(0,1,1),DE DB =-=u u u r u u u r设平面EBD 的一个法向量是n =(,,)x y z000y z DE DB ⎧-+=⎧⋅=⎪⎪∴⇒⎨⎨=⎪⋅=⎩⎪⎩uuu r uu u r n n (0,1,1)∴=n 又11(0,1,1)(1)B F B F ∴=-uuu r10B F ∴⋅=uuu r n ，1B F ∴⊥uuu rn ，又1B F ⊄平面EBD ，∴1//B F 平面EBD …..6分 （2）(0,2,0),(1,1)EF BE ==-u u u r u u r设平面EBF 的一个法向量是m =(,,)x y z20000y EF y z BE ⎧=⎧⋅=⎪⎪∴⇒⎨⎨-+=⎪⋅=⎩⎪⎩uu u r uur m m (1∴=m (9)分设二面角F BE D --的平面角为θcos cos ,θ⋅∴=<>==⋅m n m n m n ………………………………………..….…12分 19解：（1）由题意得2560(8020040240) 5.657120*********k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯…………….….…2分 ∵5.657 5.024>，∴能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与所在学校有关系．…3分(2) 16名同学中有甲学校有4人，乙学校有12人……………………..……4分X 的可能取值为0，1，2，3………………..……………………………...…5分31231611(0)=28C P X C ==,2112431633(1)=70C C P X C ==,121243169(2)70C C P X C ===,343161(3)140C P X C ===…..……10分∴113391301232870701404EX =⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………..………12分 20.解：解：设(,)A x x 21112，(,)22212B x x以A 为切点的切线为()y x x x x -=-211112，整理得：y x x x =-21112同理：以B 为切点的切线为：y x x x =-22212y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2112221212则(,)x x x x P +121222 ………..………………………………….…3分 显然，直线AB 斜率存在，不妨设直线AB 的方程为()y k x -=-11()y k x y x -=-⎧⎪⎨=⎪⎩21112得：x kx k -+-=22220 ,x x k x x k +==-1212222，()24140k =-+>V ………….…………………………….…5分∴(,)P k k -1∴点P的轨迹方程为y x =-1……………………..……………………….….6分（2）由（1）知：AB x =-=12 (8)分(,)P k k -1到直线AB的距离为：d =S AB d ∴===12.…………………….…….…10分 当且仅当k =1时，m i nS =1此时直线AB的方程为y x =………….…………………..…...12分方法二：过P 作直线3l x ⊥轴，设l 3交直线y kx k =-+1于点G ，令x k =，则G y k k =-+21S PG x x k k =-=-+=212112222当且仅当k =1时，min S =1，此时直线AB 的方程为y x = 21. 解：（1）()ln 3x f x a a b x '=-+，∵(0)l n f a b '=-=， ∴ln b a = …..…..….3分（2）当a e =时，由（1）知1b =，23()52xf x e x x =-+-，()13x f x e x '=-+ 当0x >时，10xe ->，()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上为增函数当0x <时，10xe -<，()0f x '<，则()f x 在(,0)-∞上为减函数……………...5分 又21(2)30f e -=+>，15(1)02f e -=-<，9(1)02f e =-<，2(2)10f e =->，∵1,2n n Z∈ ， ∴1min 2max ()1,()1n n =-= ∴21max ()1(1)2n n -=--=………...7分（3）若存在12,[1,1]x x ∈-使121()()2f x f x e -≥-成立，即[1,1]x ∈-时max min 1()()2f x f x e -≥-，()ln ln 33(1)ln x x f x a a a x x a a '=-+=+-① 当01x <≤时，由1a >，10,ln 0xa a ->>，()0f x '∴> ② 当10x -≤<时，由1a >，10,ln 0xa a -<>，()0f x '∴<③ 当0x =时，()0f x '=()f x ∴在[1,0]-为减函数，()f x 在[0,1]为增函数，…………………………………….9分min ()(0)4f x f ∴==-，max ()max{(1),(1)}f x f f =- 1(1)(1)2ln (1)f f a a a a--=--> 设1()2ln (1)g x x x x x =-->，2221221()10x x g x x x x -+'=+-=>， ()g x ∴在(1,)+∞为增函数，又1(1)101g =-=，()0g x ∴>在(1,)+∞恒成立即(1)(1)f f >-max 7()(1)ln 2f x f a a ∴==--max min 711()()ln 4ln 222f x f x a a a a e ∴-=--+=-+≥-即ln 1ln a a e e e -≥-=- 令()ln ,(1)h a a a a =->1()10h a a'∴=->()h a ∴在(1,)+∞为增函数， ∵()()h a h e ≥a e ∴≥ ………………………………………………………….…….…….12分22.解: (1),MB MC Q 分别为半圆的切线.MC MB ∴=连结BC ,由已知得.BC CD ⊥MCB MBC ∠=∠Q 且MCB DCM CBD CDM ∠+∠=∠+∠,,DCM CDM DM CM ∴∠=∠∴=又CM MB DM DB M =∴=∴为BD 的中点. .…….5分(2)FC Q 是半圆的切线，由弦切角定理有FBC FCA ∠=∠，且CFB ∠=∴FCB ∆∽FAC ∆，,FC BC AF BCFC AF AC AC⋅∴=∴= 由切割线定理知 2FC FA FB =⋅ ， 222AF BCFA FB AC⋅∴=⋅2222224(4)(4)5165AF AC FB AC FA AF BC AB AC +⋅⋅+∴===--3AF ∴= ………………………….10分23.解:(1) 直线l 的普通方程为(sin )(cos )sin 0.x y ααα--=圆C 的普通方程为2240.x y x ++=(2,0)C -Q C ∴到l 的距离313sin sin 22d αα===∴= ……….4分 50,66ππαπα≤<∴=Q 或 …………………….5分(2)1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩Q 代入2240x y x ++=得22(1cos )(sin )4(1cos )0t t t ααα∴++++=26cos 50.t t α∴++=设,A B 对应参数为12,t t 则12126cos 5t t t t α+=-⎧⎨=⎩ 120t t >Q ∴12,t t 同号 …………………….8分12121212121111t t t t PA PB t t t t t t ++∴+=+===………………………………………….10分24.解：（1）,,,a b c R +∈Q 且1a b c ++=由柯西不等式有2111()(111)9a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭min1119a b c ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭， 当且仅当13a b c === 时取“=”……………………………………………………………..….5分（2）证明：))()(1)()(1)()(1(2)111111(2c b c a c b b a c a b a c b a +++++++++++=+++++ ))((1))((1))((1c b c a c b b a c a b a ++++++++≤ )11(21)11(21)11(21cb c a c b b a c a b a +++++++++++≤cb ac a c b b a -+-+-=+++++=111111111…………………………………………….10分。

2016年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个2．（5分）复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（）A．2 B．4 C．2i D．4i3．（5分）对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β4．（5分）执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t的值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．（5分）已知{a n}为等差数列，3a4+a8=36，则{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．17 C．36 D．816．（5分）已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．7．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.48．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．64 B．C．16 D．9．（5分）D是△ABC所在平面内一点，=λ+μ（λ，μ∈R），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC内部（不含边界）的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件10．（5分）命题p：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜C．a≥1 D．a≥11．（5分）过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（﹣1，2），若•=0，则直线l的斜率k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．（5分）函数f（x）=e ax﹣lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤B．0＜a≤C．a≥D．a≥二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2016年辽宁省大连市普兰店市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）i2016=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i2．（5分）设集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N=R B．M∪∁R N=R C．N∪∁R M=R D．M∩N=M3．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）已知命题p：函数y=3﹣a x+1的图象恒过定点（1，3）；命题q：若函数y=f（x﹣3）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q5．（5分）运行如图所示的程序框图，若输出的S是510，则①应为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤86．（5分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ位于区域（0，1）内的概率为0.4，则ξ位于区域（0，2）内的概率为0.8；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大．其中真命题的序号为（）A．①④B．②④C．①③D．②③7．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．38．（5分）△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足，则角C的范围是（）A．B．C．D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A．B． C．D．10．（5分）已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5） D．[，5）11．（5分）P为圆C1：x2+y2=9上任意一点，Q为圆C2：x2+y2=25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2016）2f（x+2016）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2016）B．（﹣∞，﹣2018）C．（﹣2018，0）D．（﹣2016，0）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上）13．（5分）若sin（π+x）+sin（+x）=，则sin2x=．14．（5分）已知函数f（x）=+sinx，则f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=．15．（5分）的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2n=n﹣a n，a2n+1=a n+1，则a1+a2+a3+…+a100=．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项a1=1，a n+1=f（a n）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：数列{a n+1}为等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．19．（12分）据IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，风能风区分类标准如下：假设投资A项目的资金为x（x≥0）万元，投资B项目资金为y（y≥0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3．（1）记投资A，B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（2）某公司计划用不超过100万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A 项目的投资不得低于B项目，根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值．20．（12分）已知抛物线C1：y2=4x和C2：x2=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，C1，C2交于O，A两点（O为坐标原点），且F1F2⊥OA．（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，点P坐标为（﹣1，﹣1），求△PMN面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1≠x2，证明：＜f′（）．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H．（1）求证：C，D，E，F四点共圆；（2）若GH=8，GE=4，求EF的长．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜3，求a的取值范围．2016年辽宁省大连市普兰店市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）i2016=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【解答】解：i2016=（i4）504=1．故选：B．2．（5分）设集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N=R B．M∪∁R N=R C．N∪∁R M=R D．M∩N=M【解答】解：A、∵集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，∴M∪N={x|x＜2}≠R，故错误；B、∵集合N={x|0＜x＜1}，全集为R，∴C R N={x|x≤0或x≥1}，又集合M={x|x ＜2}，则M∪C R N=R，本选项正确；C、∵集合M={x|x＜2}，全集为R，∴C R M={x|x≥2}，又集合N={x|0＜x＜1}，则N∪C R M={x|0＜x＜1或x≥2}≠R，故错误；D、∵集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}≠M，故错误，故选：B．3．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），且（+λ）⊥，∴（+λ）•=0，即（λ+1，2λ）•（3，4）=0，∴3（λ+1）+4×2λ=0，解得λ=﹣．故选：A．4．（5分）已知命题p：函数y=3﹣a x+1的图象恒过定点（1，3）；命题q：若函数y=f（x﹣3）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q【解答】解：y=3﹣a x+1的图象恒过（﹣1，2），因此p为假命题；若函数f（x﹣3）为偶函数，即图象关于y轴对称，D的图象即f（x﹣3）整体向左平移三个单位得到，所以E的图象关于直线x=﹣3对称，因此q为假命题；参考四个选项可知，p∨￢q为真命题，故选：D．5．（5分）运行如图所示的程序框图，若输出的S是510，则①应为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=21+22+23+…+2n=510，即，解得：n=8，故①应为“n≤8”，故选：D．6．（5分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ位于区域（0，1）内的概率为0.4，则ξ位于区域（0，2）内的概率为0.8；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大．其中真命题的序号为（）A．①④B．②④C．①③D．②③【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统（等距）抽样，不是分层抽样，∴①是假命题；②∵线性相关系数r的绝对值越接近1，两变量间线性关系越密切，∴“两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1”是真命题；③∵变量ξ～N（1，σ2），∴P（0＜ξ＜2）=2P（0＜ξ＜1）=0.8，∴③是真命题；④∵随机变量K2的观测值k越大，判断“X与Y有关系”的把握越大，∴④是假命题．∴以上真命题的序号是②③；故选：D．7．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．2 C．D．3【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选：B．8．（5分）△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足，则角C的范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由，得：a（a+c）+b（b+c）≥（b+c）（a+c），化简得：a2+b2﹣c2≥ab，同除以2ab，利用余弦定理得，，所以，故选：A．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A．B． C．D．【解答】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，∴母线长为，圆锥的表面积S=S底面+S侧面=×π×12+×2×2+×π×=2+．故选：A．10．（5分）已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）A．[，5]B．[0，5]C．[0，5） D．[，5）【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得，∴A（2，﹣1），联立，解得，∴．令u=2x﹣2y﹣1，则，由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；当经过点时，直线在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u=．∴，∴z=|u|∈[0，5）．故选：C．11．（5分）P为圆C1：x2+y2=9上任意一点，Q为圆C2：x2+y2=25上任意一点，PQ中点组成的区域为M，在C2内部任取一点，则该点落在区域M上的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：【法1】设Q（x0，y0），中点M（x，y），则P（2x﹣x0，2y﹣y0）代入x2+y2=9，得（2x﹣x0）2+（2y﹣y0）2=9，化简得：（x﹣）2+（y﹣）2=，又x02+y02=25表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M轨迹是在以（，）为圆心，以为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有x2+y2=r2（1≤r≤4），那么在C2内部任取一点落在M内的概率为，故选B．【法2】设P（3cosθ，3sinθ），Q（5cosα，5sinα），M（x，y），则2x=3cosθ+5cosα，①2y=3sinθ+5sinα，②，①2+②2得：x2+y2=（θ﹣α）=r2，所以M的轨迹是以原点为圆心，以r，（1≤r≤4），为半径的圆环，那么在C2内部任取一点落在M内的概率为，故选：B．12．（5分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2016）2f（x+2016）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2016）B．（﹣∞，﹣2018）C．（﹣2018，0）D．（﹣2016，0）【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，F（x+2016）=（x+2016）f（x+2014），F（﹣2）=（﹣2）f（﹣2），F（x+2016）﹣F（﹣2）＞0，∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，∴x+2016＜﹣2，即x＜﹣2018．故选：B．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上）13．（5分）若sin（π+x）+sin（+x）=，则sin2x=﹣．【解答】解：∵sin（π+x）+sin（+x）=﹣sinx﹣cosx=，平方可得1+sin2x=，由此求得sin2x=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）已知函数f（x）=+sinx，则f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=7．【解答】解：∵f（x）=+sinx，∴f（x）+f（﹣x）=，且f（0）=1，∴f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=7．故答案为：7．15．（5分）的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为．【解答】解：=，则（1+x3）3的展开式的通项公式为，当k=1时，展开式的常数项a=，即a=3，此时直线y=ax=3x，由得x2=3x，解得x=0或x=3，则由积分公式得=（）|=，故答案为：；16．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a2n=n﹣a n，a2n+1=a n+1，则a1+a2+a3+…+a100= 1306．【解答】解：∵a2n=n﹣a n，a2n+1=a n+1，∴a n=n﹣a2n，a n=a2n+1﹣1，∴a2n+1+a2n=n+1，∴a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a98+a99）=1+2+3+…+50=1275，a100=50﹣a50=50﹣（25﹣a25）=25+a12+1=26+（6﹣a6）=32﹣（3﹣a3）=29+（a1+1）=31，∴a1+a2+a3+…+a100=1275+31=1306．故答案为：1306．三.解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项a1=1，a n+1=f（a n）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：数列{a n+1}为等比数列；（3）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵又∵α为锐角∴α=∴∴f（x）=2x+1=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1）（2）∵a n+1∵a1=1∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．（3）由上步可得a n+1=2n，∴a n=2n﹣1∴18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．【解答】解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，…（1分）∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，…（3分）且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，…（5分）∴．…（6分）（2）连结B1M，…（7分）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，…（9分）∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…（10分）设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形∴，则MC 1=2，，∴cos=，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．…（12分）19．（12分）据IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，风能风区分类标准如下：假设投资A项目的资金为x（x≥0）万元，投资B项目资金为y（y≥0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3．（1）记投资A，B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（2）某公司计划用不超过100万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A 项目的投资不得低于B项目，根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值．【解答】解：（1）∵投资A项目的资金为x（x≥0）万元，未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4，∴A项目投资利润ξ的分布列：∴Eξ=0.18x﹣0.08x=0.1x．∵投资B项目资金为y（y≥0）万元，未来一年内，位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3．∴B项目投资利润η的分布列：∴∴η=0.21y﹣0.01y=0.2y．…（6分）（2）由题意知x，y满足的约束条件为，…（9分）由（1）知，z=Eξ+Eη=0.1x+0.2y，当x=50，y=50，∴z取得最大值15．∴对A、B项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元．…（12分）20．（12分）已知抛物线C1：y2=4x和C2：x2=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，C1，C2交于O，A两点（O为坐标原点），且F1F2⊥OA．（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，点P坐标为（﹣1，﹣1），求△PMN面积的最小值．【解答】解：（1）由已知得：F1（1，0），，∴=（﹣1，），…（1分）联立，解得，或，即O（0，0），A（，），∴，…（3分）∵F1F2⊥OA，∴•=0，即，解得p=2，∴C2的方程为x2=4y．…（5分）（2）设过O的直线方程为y=kx，（k＜0），联立，得M（，），联立，得N（4k，4k2），…（7分）P（﹣1，﹣1）在直线y=x上，设点M到直线y=x的距离为d1，点N到直线y=x 的距离为d2，=•|OP|•（|d1|+|d2|）…（8分）则S△PMN=（+）=2（||+|k﹣k2|）=2（﹣）…（10分）≥+=8，当且仅当k=﹣1时，“=”成立，即当过原点直线为y=﹣x时，…（11分）△PMN面积取得最小值8．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=xlnx．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1≠x2，证明：＜f′（）．【解答】（1）解：定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+x•=1+lnx，令f′（x）＞0，则lnx＞﹣1=ln，∴x＞；令f′（x）＜0，则lnx＜﹣1=ln，∴0＜x＜，∴f（x）的单调增区间是（，+∞），单调减区间是（0，）．f（x）极小值=f（）==﹣，f（x）无极大值．（2）证明：不妨设x 1＜x2，⇔＜ln+1，即﹣+x2﹣x1，＜，两边同除以x1得，＜ln﹣1，令=t，则t＞1，即证：tln＜ln+t﹣1，令g（t）=tln﹣t+1，g′（t）=ln+t+﹣1=ln=ln（1+）﹣，令（x＞0），h（x）=ln（1+x）﹣x，h′（x）=＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，即ln（1+x）＜x，即g′（t）=ln（1+）﹣＜0恒成立，∴g（t）在（1，+∞）上是减函数，所以g（t）＜g（1）=0，∴tln＜ln+t﹣1得证，∴成立．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．在答题卡选答区域指定位置答题，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是圆O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是圆O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作圆O的切线，切点为H．（1）求证：C，D，E，F四点共圆；（2）若GH=8，GE=4，求EF的长．【解答】解：（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又∵∠ABD=∠ACD，∠ACD=∠AFE．∴C，D，E，F四点共圆；（2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE•GF=GC•GD．∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC•GD，∴GH2=GE•GF．又因为GH=8，GE=4，所以GF=16．∴EF=GF﹣GE=12．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．【解答】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（5分）（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t …（8分）又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x0∈R，使f（x0）+x0＜3，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x﹣2a|，a∈R，∴不等式f（x）＜1 即|x﹣2a|＜1，求得2a﹣1＜x＜2a+1．再根据不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，（2）令g（x）=f（x）+x=|x﹣2a|+x=，故g（x）=f（x）+x的最小值为2a，根据题意可得2a＜3，a ＜，故a 的范围是（﹣∞，）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

辽宁师范大学附属中学高三精品卷测试数学（理）命题人：高三数学备课组第Ⅰ卷( 60分)一．选择题:（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1．设集合2⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩⎭xA ，{}ln 0B x x =<，则A B = （ ） A ．11(,)22-B ．1(0,)2C ．1[,1)2D ．1(0,]22. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z ⋅=（ ） A. 13i B. 13i - C. 1312i +D. 1213i +3．已知x ，y 满足约束条件 则目标函数2z x y =-的最大值为( ) A ．12-B ．1C ．4D ．5 4.已知命题p:函数()1xf x x =-的图象的对称中心坐标为(1,1)；命题q ：若函数()g x 在区间[],a b 上是增函数，且()g x >0，则有()()()()()bag a b a g x dx g b b a -<<-⎰成立.下列命题为真命题的是( )A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.p q ⌝∧⌝ 5.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年 商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图 所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则 图中的x 为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.46. 按右图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =A. 45B. 47C. 49D. 517．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力， 特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．10,20,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩由于爱好者众多，高三学生队队员指定由1班的6人、 2班的8人、5班的10人按分层抽样构成一个12人的 篮球队．首发阵容有5人组成，要求每个班至少1人， 至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270C ．390D ．3008.在△ABC 中，三个内角错误！未找到引用源。

2016届东北三省四市教研联合体高三第二次模拟数学（理）试题（WORD版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题． 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3. 考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、集合{}13A x x =-<<，集合1393x B x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B = （ ） A.()1,2 B.()1,2- C. ()1,3 D. ()1,3- 2.31ii+-的虚部为A. 2B. －2C. －2iD. 2i 3. 已知向量)1,2(-=a ，)1,0(=b ，则|2|b a +=（ ） A. 22 B.5 C. 2 D. 44. 下列函数中与()22xxf x -=+具有相同的奇偶性的是A ． sin y x =B ．21y x x =++ C ．||y x = D ．|lg |y x =5. 甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法A 、10B 、16C 、20D 、246、执行右图的程序框图，则输出的S ＝（ ） A. 21 B. 34 C. 55 D. 89 7. 已知sin()cos()66ππαα-=+，则cos 2α＝（ ）A. 1B. －1C.12D.07. 如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥A B A P 11-的左视图可能为（）A B C D 9. 将函数)2sin()(ϕ+=x x f )2|(|πϕ<的图象向右平移12π个单位后的图象关于y 轴对称，则函数)(x f 在]2,0[π上的最小值为（ ）A.0B.－1C. 21-D.23-10、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为（ ） A.2 B.3 C. 2 D. 5 11、已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD 内接于半径为1的球，顶点P 在底面ABCD 上的射影是ABCD 的中心，当四棱锥P －ABCD 的体积最大时，四棱锥的高为A 、34 B 、1 C 、43 D 、5312、已知24log (5)(1),41()32|1|2,14x x x f x x x ⎧+++-≤≤-⎪=⎨⎪---<≤⎩，21()2(44)8g x x x x =--+-≤≤给出下列四个命题：①函数[()]y f g x =有且只有三个零点； ②函数[()]y g f x =有且只有三个零点； ③函数[()]y f f x =有且只有六个零点； ④函数[()]y g g x =有且只有一个零点； 其中正确命题的个数是A 、1B 、2C 、3D 、4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置上）13. 已知实数y x ,满足120x y x y ≤+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则y x z +=2的最大值为 . 14.F 1，F 2分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且11()2OB OA OF =+ ， 21()2OC OA OF =+ 则||||OB OC +＝ .15. 在一幢10m 高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为 m.16.设G 是一个非空集合，*是定义在G 上的一个运算.如果同时满足下述四个条件： （ⅰ）对于,a b G ∀∈，都有a b G *∈；（ⅱ）对于,,a b c G ∀∈，都有()()a b c a b c **=**； （iii ）对于,a G e G ∀∈∃∈，使得a e e a a *=*=；（iv ）对于,'a G a G ∀∈∃∈，使得''a a a a e *=*=（注：“e ”同（iii ）中的“e ”）. 则称G 关于运算*构成一个群.现给出下列集合和运算：①G 是整数集合，*为加法；②G 是奇数集合，*为乘法；③G 是平面向量集合，*为数量积运算；④G 是非零复数集合，*为乘法. 其中G 关于运算*构成群的序号是___________（将你认为正确的序号都写上）.三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 满足161511,2a a ==-，且数列{}n a 的每一项加上1后成为等比数列。

2016年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|}，则A∩B=（）A．（1，2） B．（﹣1，2）C．（1，3） D．（﹣1，3）2．（5分）的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．﹣2i D．2i3．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2 B．C．2 D．44．（5分）下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（）A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x|D．y=|lgx|5．（5分）甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10 B．16 C．20 D．246．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．21 B．34 C．55 D．897．（5分）已知，则cos2α=（）A．1 B．﹣1 C．D．08．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A 的左视图可能为（）A．B．C．D．9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣10．（5分）已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．211．（5分）已知底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，四棱锥的高为（）A．B．1 C．D．12．（5分）已知f（x）=，g（x）=﹣x2﹣x+2（﹣4≤x≤4）给出下列四个命题：①函数y=f[g（x）]有且只有三个零点；②函数y=g[f（x）]有且只有三个零点；③函数y=f[f（x）]有且只有六个零点；④函数y=g[g（x）]有且只有一个零点．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为．14．（5分）F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则||+|| ．15．（5分）在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为m．16．（5分）设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：（ⅰ）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；（ⅱ）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；（iii）对于∀a∈G，∃e∈G，使得a*e=e*a=a；（iv）对于∀a∈G，∃a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）．则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算：①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法．其中G关于运算*构成群的序是（将你认为正确的序都写上）．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}满足，且数列{a n}的每一项加上1后成为等比数列．（Ⅰ）求{a n}；（Ⅱ）令b n=|log2（a n+1）|，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．（Ⅰ）求男生跳远成绩的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人数；（Ⅲ）若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．19．（12分）如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=4，M为CE中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB ⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．20．（12分）曲线上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC的中点．（Ⅰ）求动点C的轨迹f（x）的方程；（Ⅱ）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2+y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=e1﹣x cosx，a∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）在上的单调性；（Ⅱ）证明：∀x∈[﹣1，]，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（x+1）＞0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．2016年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|}，则A∩B=（）A．（1，2） B．（﹣1，2）C．（1，3） D．（﹣1，3）【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），集合B={x|}=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，2），故选：B．2．（5分）的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．﹣2i D．2i【解答】解：==1+2i，故虚部是2，故选：A．3．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2 B．C．2 D．4【解答】解：向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．故选：B．4．（5分）下列函数中与f（x）=2x+2﹣x具有相同的奇偶性的是（）A．y=sinx B．y=x2+x+1 C．y=|x|D．y=|lgx|【解答】解：f（x）的定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），∴f（x）是偶函数．对于A，y=sinx是奇函数，对于B，y=x2+x+1的对称轴为x=﹣，∴y=x2+x+1非奇非偶函数，对于C，|﹣x|=|x|，∴y=|x|是偶函数，对于D，y=|lgx|的定义域为（0，+∞），故y=|lgx|为非奇非偶函数．故选：C．5．（5分）甲、乙两人要在一排8个空座上就坐．若要求甲、乙两人每人的两旁都空座．则有多少种坐法（）A．10 B．16 C．20 D．24【解答】解：有8个座位，现有2个人入座，则有6个空位，因而可以采用插空法求解，∵要求入座的每人左右均有空位，∴6个座位之间形成5个空，安排2个人入座即可∴不同的坐法种数为A52=20，故选：C．6．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．21 B．34 C．55 D．89【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，Q=1，i=3满足条件i≤10，F=2，Q=1，S=2，i=4满足条件i≤10，F=3，Q=2，S=3，i=5满足条件i≤10，F=5，Q=3，S=5，i=6满足条件i≤10，F=8，Q=5，S=8，i=7满足条件i≤10，F=13，Q=8，S=13，i=8满足条件i≤10，F=21，Q=13，S=21，i=9满足条件i≤10，F=34，Q=21，S=34，i=10满足条件i≤10，F=55，Q=34，S=55，i=11不满足条件i≤10，退出循环，输出S的值为55．故选：C．7．（5分）已知，则cos2α=（）A．1 B．﹣1 C．D．0【解答】解：∵，∴cosα﹣sinα=cosα﹣sinα，∴cosα=﹣sinα，∴|sinα|=|cosα|=，则cos2α=2cos2α﹣1=0，故选：D8．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A 的左视图可能为（）A．B．C．D．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥P﹣A1B1A的左视图中，B1、A1、A 的射影分别是C1、D1、D．故选D．9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x ﹣）+φ）]=sin（2x+φ﹣）的图象，∵图象关于y轴对称，∴由诱导公式和偶函数可得φ﹣=kπ+，解得φ=kπ+，k ∈Z，由|φ|＜可得当k=﹣1时φ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，]可得2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣即x=0时，函数f（x）在[0，]上取最小值sin（﹣）=﹣，故选：D．10．（5分）已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．11．（5分）已知底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD内接于半径为1的球，顶点P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，四棱锥的高为（）A．B．1 C．D．【解答】解：设正方形的边长为2a，四棱锥的高为h，则由射影定理可得2a2=h（2﹣h），四棱锥P﹣ABCD的体积V=×4a2h=h2（2﹣h）=≤=，当且仅当h=4﹣2h，即h=时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，故选：．12．（5分）已知f（x）=，g（x）=﹣x2﹣x+2（﹣4≤x≤4）给出下列四个命题：①函数y=f[g（x）]有且只有三个零点；②函数y=g[f（x）]有且只有三个零点；③函数y=f[f（x）]有且只有六个零点；④函数y=g[g（x）]有且只有一个零点．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：f（x）在[﹣4，﹣1]上是增函数，在（﹣1，1]上是减函数，在[1，4]是增函数，且f（﹣4）=﹣4，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（4）=4．∴f（x）在区间（﹣4，﹣1），（﹣1，1），（1，4）上各有1个零点，且f（x）的值域为[﹣4，4]．设f（x）的三个零点分别为x1，x2，x3，∵f（﹣3）=log22﹣＜0，f（﹣2）=log23﹣＞0，∴﹣3＜x1＜﹣2，令2|x﹣1|﹣2=0得x2=0，x3=1．作出f（x）的大致函数图象如图所示：做出y=g（x）的函数图象如图所示：显然g（x）在[﹣4，4]上为减函数，且g（x）的值域为[﹣4，4]．令g（x）=0得x=4﹣4，故g（x）的零点为4﹣4．（1）设f[f（x）]=0，则f（x）=x1，或f（x）=0，或f（x）=2．∵﹣3＜x1＜﹣2，由y=f（x）的函数图象可知f（x）=x1只有一解，f（x）=0有三解，f（x）=2有两解，∴f[f（x）]有六个零点，故③正确．（2）设f[g（x）]=0则g（x）=x1或g（x）=0或g（x）=2，显然以上方程各有一解，∴f[g（x）]由三个零点，故①正确．（3）设g[f（x）]=0，则f（x）=4﹣4，∵0，由f（x）的函数图象可知f（x）=4﹣4有三个解，∴g[f（x）]有三个零点，故②正确．（4）设g[g（x）]=0，则g（x）=4﹣4，由g（x）的函数图象可知g（x）=4有一解，∴g[g（x）]有一个零点，故④正确．故选：D．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得C（2，0）将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．14．（5分）F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则||+|| 6．【解答】解：椭圆=1的a=6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，=（+），可得B为AF1的中点，=（+），可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|=|AF2|，|OC|=|AF1|，即有||+||=（|AF1|+|AF2|）=a=6，故答案为：6．15．（5分）在一幢10m高的房屋顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为30°，假定房屋与塔建在同一水平地面上，则塔的高度为40m．【解答】解如图所示，过房屋顶C作塔AB的垂线CE，垂足为E，则CD=10，∠ACE=60°，∠BCE=30°，∴BE=CD=10，BC=2CD=20，EC=BD=．∵∠ACE=60°，∠AEC=90°，∴AC=2CE=20，∴AE==30．∴AB=AE+BE=30+10=40．故答案为：40．16．（5分）设G是一个非空集合，*是定义在G上的一个运算．如果同时满足下述四个条件：（ⅰ）对于∀a，b∈G，都有a*b∈G；（ⅱ）对于∀a，b，c∈G，都有（a*b）*c=a*（b*c）；（iii）对于∀a∈G，∃e∈G，使得a*e=e*a=a；（iv）对于∀a∈G，∃a'∈G，使得a*a′=a′*a=e（注：“e”同（iii）中的“e”）．则称G关于运算*构成一个群．现给出下列集合和运算：①G是整数集合，*为加法；②G是奇数集合，*为乘法；③G是平面向量集合，*为数量积运算；④G是非零复数集合，*为乘法．其中G关于运算*构成群的序是①④（将你认为正确的序都写上）．【解答】解：①若G是整数集合，则（i）两个整数相加仍为整数；（ⅱ）整数加法满足结合律；（iii）∃0∈G，∀a∈G，则）0+a=a+0=a；（iv）∀a∈G，在整数集合中存在唯一一个b=﹣a，使a+（﹣a）=（﹣a）+a=0；故整数集合关于运算*构成一个群；②G是奇数集合，*为乘法，则e=1，不满足（iv）；③G是平面向量集合，*为数量积运算，则不满足（i）a*b∈G；④G是非零复数集合，*为乘法，则（i）两个非零复数相乘仍为非零复数；（ⅱ）非零复数相乘符合结合律；（iii）∃1∈G，∀a∈G，则）1×a=a×1=a；（iv）∀a∈G，在G中存在唯一一个，使．故答案为：①④．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知数列{a n}满足，且数列{a n}的每一项加上1后成为等比数列．（Ⅰ）求{a n}；（Ⅱ）令b n=|log2（a n+1）|，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）由题意，数列{a n+1}是等比数列，设公比为q，则a1+1=512，，∴，即数列{a n+1}是以512为首项、为公比的等比数列，所以，；（II）由（I）可知b n=|11﹣2n|，当，当，故．18．（12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试跳远的成绩用茎叶图表示如下（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．（Ⅰ）求男生跳远成绩的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从男、女生中共抽取5人，求抽取的5人中女生人数；（Ⅲ）若从男、女生测试成绩“合格”的学生中选取2名参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．【解答】解：（I）利用茎叶图，得男生跳远成绩的中位数（cm）．…（2分）（Ⅱ）用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是，…（4分）根据茎叶图，女生有18人，∴抽取的女生有（人）；…（6分）（Ⅲ）依题意，男生、女生测试成绩合格的分别有8人、10人…（7分）X的取值为0，1，2，则，，，…（10分）X的分布列如下：…（11分）∴EX==．…（12分）19．（12分）如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=4，M为CE中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB ⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求二面角M﹣NA﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接ED，MN∥ED，又MN⊄平面EFDA，ED⊂平面EFDA所以MN∥平面EFDA（Ⅱ）由题意平面EFDA⊥平面EFCB，平面EFDA∩平面EFCB=EF，CF⊥EF，CF⊂平面EFCB所以CF⊥平面EFDA，以F为坐标原点，FE方向为x轴，FD方向为y轴，FC方向为Z轴，建立空间直角坐标系．由题意F（0，0，0），E（2，0，0），C（0，0，2），D（0，2，0），M（1，0，1），N （0，1，1），A（2，1，0），设平面AMN的法向量为=（x，y，z），则=（﹣1，﹣1，1），=（﹣2，0，1），则•=﹣x﹣y+z=0，•=﹣2x+z=0，令x=1，则z=2，y=1，即平面AMN的法向量为，=（1，1，2），同理得平面AFN的法向量为=（1，﹣2，2），设所求的二面角为θ则|cosθ|=||=，又所求二面角为锐角，）所以求二面角的余弦值为．20．（12分）曲线上任意一点为A，点B（2，0）为线段AC的中点．（Ⅰ）求动点C的轨迹f（x）的方程；（Ⅱ）过轨迹E的焦点F作直线交轨迹E于M、N两点，在圆x2+y2=1上是否存在一点P，使得PM、PN分别为轨迹E的切线？若存在，求出轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设C（x，y），A（m，n），则，∴，又，∴所求方程为x2=4y；（Ⅱ）假设存在点P（x0，y0），使得PM、PN分别为轨迹E的切线，设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y=kx+1，联立，得x2﹣4kx﹣4=0，则，切线PM的方程为，点P（x0，y0）代入化简得．同理得，知x1，x2是方程的两根，则x1x2=4y0=﹣4．∴y0=﹣1，代入圆方程得x0=0，∴存在点P（0，﹣1）．此时轨迹E与直线PM、PN所围成的图形的面积：S==1．21．（12分）已知函数f（x）=e1﹣x cosx，a∈R．（Ⅰ）判断函数f（x）在上的单调性；（Ⅱ）证明：∀x∈[﹣1，]，总有f（﹣x﹣1）+2f′（x）•cos（x+1）＞0．【解答】解：（I）由题f'（x）=﹣e1﹣x（cosx）﹣e1﹣x sinx=﹣e1﹣x（sinx+cosx）…（2分）因为所以f'（x）＜0…（3分）所以函数f（x）在上单调递减…（4分）（II）f（﹣x﹣1）=e x+2•cos（﹣x﹣1）=e x+2•cos（x+1）．而2f'（x）•cos（x+1）=﹣2e1﹣x（sinx+cosx）•cos（x+1），…（5分）又因为，所以cos（x+1）＞0．…（6分）要证原不等式成立，只要证e x+2﹣2e1﹣x（sinx+cosx）＞0，只要证e x+2＞2e1﹣x（sinx+cosx），只要证，在上恒成立．…（7分）首先构造函数，，因为=，可得，在x∈[﹣1，0]时，g'（x）≤0，即g（x）在[﹣1，0]上是减函数，在时，g'（x）＞0，即g（x）在上是增函数，…（8分）所以，在上，g（x）min=g（0）=0，所以g（x）≥0．所以，，等成立当且仅当x=0时．…（10分）其次构造函数h（x）=e2x+1﹣（2x+2），，因为h'（x）=2e2x+1﹣2=2（e2x+1﹣1），可见时，h'（x）≤0，即h（x）在上是减函数，时，h'（x）＞0，即h（x）在上是增函数，所以在上，，所以h（x）≥0，所以，e2x+1≥2x+2，等成立当且仅当时．…（11分）综上所述，，因为取等条件并不一致，所以，在上恒成立，所以，总有f（﹣x﹣1）+2f'（x）•cos（x+1）＞0成立．…（12分）请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，由角分线定理可知，=，即AB•MD=AD•BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由CP•MD=CB•BM，可知=，又因为BC=CD，所以=所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA又因为∠PBC=∠BAC所以∠BAC=∠BCA所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．。

2016届辽宁省大连市高三下学期双基检测数学（理）试题一、选择题1．已知全集{2,4,6,8,10}U =，集合A ，B 满足(){8,10},{2}U U C AB AC B ==,则集合B =（ ）（A ）{4,6} （B ）{4} （C ）{6} （D ）Φ 【答案】A【解析】因为()[()[(){2,8,10}U U U C B C AB AC B ==，所以{4,6}B =，故选A ． 【考点】集合的交、并、补运算． 2．已知复数1z i =+，则4z =（ ）（A ）4i - （B ）4i （C ）4- （D ）4 【答案】C【解析】4222(1)(1)(2)4z i i i =++==-，故选C ． 【考点】复数的运算．3．已知函数()f x 定义域为R ，则命题p ：“函数()f x 为偶函数”是命题q ：“000,()()x R f x f x ∃∈=-”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若()f x 偶函数，则有()()f x f x =-；若()s i n (f x x π=，则有(1)s i n ()f π-=-=，(1)sin 0f π==，即(1)(1)f f -=，而()sin()f x x π=为奇函数，所以命题p ：“函数()f x 为偶函数”是命题q ：“000,()()x Rf x f x ∃∈=-”的充分不必要条件，故选A ．【考点】1、函数的奇偶性；2、充分条件与必要条件． 4．执行如图的程序框图，输出的C 的值为（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）8 （D ）13 【答案】B【解析】第一次循环，得2,1,2,4C A B k ====；第二次循环，得3,2,3,5C A B k ====；第三次循环，得5,3,5,65C A B k ====>，不满足循环条件，退出循环，输出5C =，故选B ． 【考点】程序框图．5．已知互不重合的直线,a b ,互不重合的平面,αβ,给出下列四个命题，错误．．的命题是（ ） （A ）若a //α，a //β，b αβ=，则a //b（B ）若βα⊥，a α⊥，β⊥b ，则b a ⊥（C ）若βα⊥，γα⊥，a =γβ ，则a α⊥ （D ）若α//β，a //α，则a //β【答案】D【解析】A 中，过直线a 作平面γ分别与,αβ交于,m n ，则由线面平行的性质知a m n ，所以m α，又由线面平行的性质知mb ，所以a b ，正确；B 中，由a α⊥，β⊥b ，知,a b 垂直于两个平面的交线，则,a b 所成的角等于二面角的大小，即为90︒，所以b a ⊥，正确；C 中，在α内取一点A ，过A 分别作直线m 垂直于,αβ的交线，直线n 垂直于,αγ的交线，则由线面垂直的性质知m β⊥，n γ⊥，则m a ⊥，n a ⊥，由线面垂直的判定定理知a α⊥，正确；D 中，满足条件的a 也可能在β内，故D 错，故选D ．【考点】空间直线与平面间的位置关系． 6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） （A ）54钱 （B ）43钱 （C ）32钱 （D ）53钱 【答案】B【解析】设所成等差数列的首项为1a ，公差为d ，则依题意，有11111154552234a d a a d a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪++=+++++⎩，解得141,36a d ==-，故选B ． 【考点】等差数列的通项公式及前n 项和．7．ABC ∆中，2,3,60AB AC B ==∠=，则cos C =（ ）（A）3 （B）3± （C）3- （D）3【答案】D【解析】由正弦定理，得sin sin AB AC C B =，即23sin sin 60C =︒，解得sin C =．因为AB AC <，所以C B ∠<∠，所以cos 3C ==，故选D ． 【考点】1、正弦定理；2、同角三角函数间的基本关系．8．已知点(,)x y 满足不等式组43021032190x y x y x y -+≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）（A ）7- （B ）1- （C ）1 （D ）2 【答案】C【解析】作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知当目标函数2z x y =-经过点(5,2)A 时取得最大值，所以max 5221z =-⨯=，故选C ．【考点】简单的线性规划问题．9．若抛物线24y x =上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则OFP ∆的面积为（ ） （A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2 【答案】B【解析】由抛物线的方程，知其准线为1x =-，(1,0)F ，设(,)P P P x y ，则由抛物线的定义，有12p x +=，所以1p x =，所以2p y =±，所以11||||12122OFP P S OF y ∆=⨯⨯=⨯⨯=，故选B ．【考点】抛物线的定义及几何性质．10．已知直线m x y +=和圆122=+y x 交于B A 、两点，O 为坐标原点，若32AO AB ⋅=，则实数=m （ ） （A ）1± （B ）23± （C ）22± （D ）21±【答案】C【解析】由221x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得222210x mx m ++-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x m+=-，21212m x x -=，所以21212m y y -=．因为1121(,),(,)A O x y A B x x y y=--=--，所以112121(,)(,)x y x x y y ----＝22121121121211()()()x x x y y y x x y y x y --+--=--++＝2132122m --+=，解得2m =±，故选C ． 【考点】1、直线与圆的位置关系；2、向量数量积．11．在区间[]0,π上随机地取两个数x 、y ,则事件“sin y x ≤”发生的概率为（ ）（A ）1π（B ）2π （C ）21π （D ）22π【答案】D【解析】在区间[]0,π上随机地取两个数x 、y 构成的区域的面积为2π，事件“sin y x ≤”发生的区域的面积为00sin cos |2xdx x ππ=-=⎰，所以所求概率为22π，故选D ．【考点】1、定积分运算；2、几何概型．12．函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对定义域内的任意x ，均有3(()ln )2f f x x x --=，则()f e =（ ） （A ）31e + （B ）32e + （C ）31e e ++ （D ）32e e ++ 【答案】B【解析】令3()ln t f x x x =--，则()2f t =．由()f x 在(0,)+∞上的单调性知，t 取值为唯一常数．由3()ln t f x x x =--得3()ln t f t t t =--，即3ln 20t t t ++-=，易知1t =为此方程的根．又3ln 2y t t t =++-在(0,)+∞上单调递增，所以方程3ln 20t t t ++-=有唯一根，所以有且仅有1t =，所以3()ln 1f x x x =++，所以()f e =32e +，故选B ．【考点】1、函数的单调性；2、函数的零点．二、填空题13．双曲线2221x y -=的渐近线方程为 ．【答案】y x =【解析】由双曲线的方程知1,a b ==，所以双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=±． 【考点】双曲线的几何性质．14．101()2x x-的展开式中，4x 项的系数为 （用数字作答）． 【答案】15-【解析】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r rr T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，解得3r =，所以，4x 项的系数为33101()152C -=-．【考点】二项式定理．15．数列{}n a 前n 项和2n n S =，则n a = ． 【答案】12,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩ 【解析】当2n ≥时，2n n S =，112n n S --=，两式相减，得11222n n n n a --=-=．又当1n =时，12a =，不满足12n n a -=，所以n a =12,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩．【考点】递推数列．16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为 ．【答案】34π【解析】由三视图知几何体是一三棱锥，如图所示，其中平面ABC ⊥平面BCD ，根据图形的对称性知，三棱锥A BCD -的外接球的球心O 在棱,BD AC 中点连线段EF上．连结,O A O D ，设球的半径为R ．由三视图知4A E C E ==，则12EF AF AC ===，2DE =，所以在Rt OAF∆中，2O R =-，在Rt ODE ∆，OE =，则由OF OE EF +==2172R =，所以外接球的表面积为2434R ππ=．【考点】1、三棱锥的外接球；2、球面的表面积．三、解答题17．已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><经过点7(,2),(,2)1212ππ-，且在区间7(,)1212ππ上为单调函数．（Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设*()()3n n a nf n N π=∈，求数列{}n a 的前30项和30S ． 【答案】（Ⅰ）2ω=，23πϕ=-；（Ⅱ）-【解析】试题分析：（Ⅰ）由三角函数图象与性质及所经过点的特征建立方程求得,ωϕ的值；（Ⅱ）由三角函数的性质知数列{}n a 的周期为3，从而求得30S ． 试题解析：（Ⅰ）由题可得72,2()122122k k k Z ωππωππϕπϕπ+=-+=+∈，解得2ω=，22()3k k Z πϕπ=-∈，∵||ϕπ<，∴23πϕ=-． （Ⅱ）∵*222sin()()33n n a n n N ππ=-∈，数列*22{2sin()}()33n n N ππ-∈的周期为3．前三项依次为∴32313(32)0(31)3(n n n a a a n n n --++=-⨯+-⨯=*()n N ∈，∴30123282930()()S a a a a a a =+++⋅⋅⋅+++=-【考点】1、三角函数图象与性质；2、周期数列的求和．18．2015年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：（Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）（ⅰ）根据上述数据，估计“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中，消费金额小于3千元的概率；（ⅱ）现从“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位，记消费金额小于3千元的人数为X ，试求出X 的期望和方差．【答案】（Ⅰ）频率分布直方图见解析，甲的中位数大；（Ⅱ）（ⅰ）35；（ⅱ）65． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由频数分布表中的数列画出频率分布直方图，根据中位数的概念得到中位数的范围，从而比较其大小；（Ⅱ）（ⅰ）根据古典概率公式求解；（ⅱ）由题知3~(5,)5X B ，从而求得期望和方差． 试题解析：（Ⅰ）频率分布直方图如下图所示，))甲的中位数在区间)3,2[内，乙的中位数在区间[1,2)内，所以甲的中位数大． （Ⅱ）（ⅰ）估计在甲电商购物的消费者中，购物小于3千元的概率为35； （ⅱ）由题可得购物金额小于3千元人数3~(5,)5X B ， ∴3326()53,()55555E X D X =⨯==⨯⨯=． 【考点】1、频率分布直方图；2、古典概型；3、数学期望．19．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为3的菱形，60=∠ABC ．⊥PA 面ABCD ，且3=PA ．F 在棱PA 上，且1=AF ，E 在棱PD 上．B（Ⅰ）若//CE 面BDF ，求ED PE :的值； （Ⅱ）求二面角A DF B --的大小． 【答案】（Ⅰ）:1:1PE ED =；（Ⅱ）arctan3． 【解析】试题分析：（Ⅰ）法一：过E 作//EG FD 交AP 于G ，连接CG ，连接AC 交BD 于O ，连接FO ，可推出//EG 面BDF ，从而得到面//CGE 面BDF ，进而得//FO CG ，从而由中位线定理求得比值；法二：取BC 中点G ，连接AG ，由菱形的性质可得出⊥PA 面ABCD ，从而以AG 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，求出BDF 的一个法向量n ，设PE PD λ=，则用λ表示出CE ，从而由0n CE ⋅=求得λ，进而求得结果；（Ⅱ）法一：过点B 作BH ⊥直线DA 交DA 延长线于H ，过点H 作HI ⊥直线DF 交DF 于I ，易证得BIH ∠是二面角A DF B --的平面角，从而通过解三角形求得二面角的大小；法二：利用空间夹角公式求解． 试题解析：（Ⅰ）法一：过E 作//EG FD 交AP 于G ，连接CG ，连接AC 交BD 于O ，连接FO ．∵//EG FD ，EG ⊄面BDF ，FD ⊂面BDF ， ∴//EG 面BDF ，又EGCE E =，//CE 面BDF ，,EG CE ⊂面CGE ,∴面//CGE 面BDF ，又CG ⊂面CGE ，∴//CG 面BDF ，又面BDF 面PAC FO =，CG ⊂面PAC ， ∴//FO CG ．又O 为AC 中点，∴F 为AG 中点，∴1FG GP ==， ∴E 为PD 中点，:1:1PE ED =．法二:取BC 中点G ，连接AG ，∵ABCD 是60=∠ABC 的菱形， ∴AG AD ⊥，又⊥PA 面ABCD ，∴分别以AG 、AD 、AP为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -如图所示．则33(0,3,0),,0),,0),(0,0,1),(0,0,3),22D B C F P - ∴339(0,3,1),(,0)2DF DB =-=-， 设面BDF 的一个法向量(,,)n x y z =，则由00n DF n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得309022y z x y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，不妨令3z =，则解得1x y ==， ∴(3,1,3)n =．设(0,3,3)PE PD λλλ==-，则3(3,33)22CE CP PE λλ=+=--+-， ∵//CE 面BDF ，∴0n CE ⋅=，即93399022λλ--++-=，解得12λ=．∴:1:1PE ED =．（Ⅱ）法一: 过点B 作BH ⊥直线DA 交DA 延长线于H ，过点H 作HI ⊥直线DF 交DF 于I ，∵⊥PA 面ABCD ，∴面PAD ⊥面ABCD ， ∴BH ⊥面PAD ，由三垂线定理可得DI IB ⊥， ∴BIH ∠是二面角A DF B --的平面角．由题易得39,222AH BH HD===，且HI AFHD DF ==，∴20HI =， ∴tan BIH ∠==∴二面角A DF B --的大小为arctan3．法二:接（Ⅰ）法二，显然面PAD 的一个法向量(1,0,0)m =，∴39cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅． ∴二面角A DF B --的大小为． 【考点】1、空间平行关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，过2F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于B A 、两点，满足2||6AF c =． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）N M 、是椭圆C 短轴的两个端点，设点P 是椭圆C 上一点（异于椭圆C 的顶点），直线NP MP 、分别和x 轴相交于Q R 、两点，O 为坐标原点，若4OR OQ ⋅=，求椭圆C 的方程．【答案】（Ⅰ）e =（Ⅱ）2214x y +=．【解析】试题分析：（Ⅰ）法一：把A 点横坐标代入椭圆求得||y ，从而得到,a c 的关系式，进而求得离心率；法二：直角12AF F ∆中，由勾股定理得到,a c 的关系式，从而求得离心率；（Ⅱ）设00(0,),(0,),(,)M b N b P x y -，则由MP 、NP 的方程中分别令0y =得到R 与Q 点横坐标，从而由4OR OQ ⋅=求得a 的值，进而求出,c b 值，得到椭圆方程．试题解析：（Ⅰ）法一：A 点横坐标为c ，代入椭圆得22221c y a b+=，解得22||||b y AF a ==，∴2b a =．即22a c -=，设c e a =，∴210e +-=，解得e =法二：直角12AF F ∆中，122||2,||F F c AF ==， ∴由勾股定理得22211||412AF c c =+，即1||AF =，∴2663a =+=，∴2c a =，即2e = （Ⅱ）设00(0,),(0,),(,)M b N b P x y -， 则MP 方程为00y b y x b x -=+，令0y =得到R 点横坐标为bx b y -； NP 方程为00y b y x b x +=-，令0y =得到Q 点横坐标为bx b y +； 222222220222200()||||4,b y a b b x b OR OQ a b y b y -∴⋅====-- ∴223,1c b ==,∴椭圆C 的方程为2214x y +=．【考点】1、椭圆的方程与性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线的方程．21．设函数2)(aax e x f x--=（x R ∈，实数[0,)a ∈+∞, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数1.64872=⋅⋅⋅）．（Ⅰ）若0)(≥x f 在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若m x e x+≥ln 对任意0>x 恒成立，求证：实数m 的最大值大于2.3．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）法一：求导，分0a =与0a >讨论函数的单调性，求得a 的取值范围；法二：将问题转化为1()2xe a x ≥+，从而分12x ≤-、12x >-讨论函数的单调性，求得a 的取值范围；（Ⅱ）设()ln (0)g x x x =+->，通过求导讨论函数()g x 的单调性，求得其最值使问题得证． 试题解析：（Ⅰ）法一：'()xf x e a =-．（1）当0a =时，()xf x e =，∴0)(≥x f 在x R ∈上恒成立；（2）当0a >时，'()0f x >可得ln x a >，'()0f x <可得ln x a <．∴()f x 在(,ln )a -∞为减函数，在(ln ,)a +∞为增函数．∴()(ln )ln 2a f x f a a a a ≥=--， 要使得0)(≥x f 在x R ∈上恒成立，必有ln 02aa a a --≥，即a ≤ 综上实数a的取值范围为．法二：若0)(≥x f 在x R ∈上恒成立，即1()2xe a x ≥+．（1）当12x ≤-时，∵0a ≥，0x e >，∴原不等式显然成立； （2）当12x >-时，有2xe a x ≤+，设()2xe h x x =+，则21()2'()1()2xe x h x x -=+． ∴'()h x 在1(,)2+∞上大于0；在11(,)22-上小于0．∴()h x 在1(,)2+∞上单调递增；在11(,)22-上单调递减，∴min 1()()2h x h ==，∴a ≤综上：实数a的取值范围为．（Ⅱ）设()ln (0)2g x x x =+->，则1'()(0)g x x x =>，'()0g x >，可得x >'()0g x <，可得0x <<． ∴()g x在)+∞上单调递增；在上单调递减．∴()g x g ≥=1.64872=⋅⋅⋅1.6>，∴()2.3g x >．由（Ⅰ）可得2x e ≥+，∴ln x e x -的最小值大于2.3，若m x e x+≥ln 对任意0>x 恒成立，则m 的最大值一定大于2.3．【考点】1、不等式恒成立；2、利用导数研究函数的单调性；3、函数最值与导数的关系．22．选修4－1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，,,DA AB CB AB DO CO ⊥⊥⊥．（Ⅰ）求证：CD 是⊙O 的切线；（Ⅱ）设CD 与⊙O 的公共点为E ，点E 到AB 的距离为2，求11CE DE+的值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1．【解析】试题分析：（Ⅰ）易知,DA BC 为切线，然后由题中的垂直关系证得AOD ∆∽BCO ∆，从而推出Rt OCD ∆∽Rt BCO ∆，进而使问题得证；（Ⅱ）若DA CB =，显然可得111CE DE+=；若D A C B ≠，不妨设DA CB >，过E 作EF AB ⊥交AB 于F ，过C 作CG AD ⊥交AD 于G ，交EF 于H ，从而由平行线分线段成比例求值．试题解析：（Ⅰ）证明：由题可知,DA BC 为⊙O 的切线． ∵90DOC ∠=，∴90AOD BOC ∠+∠=；∵90OBC ∠=，∴90OCB BOC ∠+∠=；∴AOD OCB ∠=∠，∴AOD ∆∽BCO ∆，∴OC BCOD OA=， 又∵AO OB =，∴OC BCOD OB=，∴Rt OCD ∆∽Rt BCO ∆，∴OCD ∠=BCO ∠， ∴CO 是BCD ∠的平分线，∴圆心O 到CD 的距离等于半径OB ，∴CD 是⊙O 的切线．（Ⅱ）若DA CB =，显然可得111CE DE+=． 若DA CB ≠，不妨设DA CB >．过E 作EF AB ⊥交AB 于F ，过C 作CG AD ⊥交AD 于G ，交EF 于H ．由（Ⅰ）可得,DA DE CB CE ==，在CGD ∆中，有EH CE GD CD =，即2CE CE DE CE CE DE -=-+，化简得111CE DE+=． 综上：111CE DE+=．【考点】1、切线的性质；2、三角形相似．23．选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C ：⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos a y a a x （ϕ为参数，实数0>a ），曲线2C ：⎩⎨⎧+==ϕϕsin cos b b y b x （ϕ为参数，实数0>b ）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线)20,0(:παραθ≤≤≥=l 与1C 交于A O 、两点，与2C 交于B O 、两点．当0=α时，1||=OA ；当2πα=时，2||=OB ．（Ⅰ）求b a ,的值；（Ⅱ）求||||||22OB OA OA ⋅+的最大值．【答案】（Ⅰ）12a =，1b =；1． 【解析】试题分析：（Ⅰ）化12,C C 方程为普通方程，再分别化为极坐标方程，从而求得b a ,的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得12,C C 的极坐标方程，从而由三角函数的图象与性质求得最大值．试题解析：（Ⅰ）将1C 化为普通方程为222()x a y a -+=，其极坐标方程为2cos a ρθ=，由题可得当0θ=时，||1OA ρ==，∴12a =． 将2C 化为普通方程为222()x y b b +-=，其极坐标方程为2sin b ρθ=,由题可得当2πθ=时，||2OB ρ==，∴1b =．（Ⅱ）由,a b 的值可得1C ，2C 的方程分别为cos ρθ=，2sin ρθ=, ∴222||||||2cos 2sin cos sin 2cos21OA OA OB θθθθθ+⋅=+=++)14πθ=++，52[,],)14444ππππθθ+∈++1，当2,428πππθθ+==时取到．【考点】参数方程与普通方程和极坐标方程的互化；2、三角函数图象与性质． 24．选修4－5：不等式选讲 设函数|1||2|)(ax a x x f -++=（x R ∈，实数0a <）． （Ⅰ）若25)0(>f ，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求证：2)(≥x f ．【答案】（Ⅰ）2a <-或102a -<<；（Ⅱ）见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据0a <去掉绝对值，从而求得a 的取值范围；（Ⅱ）用零点分段法得出()f x 的解析式，从而分2a x ≥-、1x a≤求出()f x 的最小值，进而使问题得证．试题解析：（Ⅰ）∵0<a ，∴115(0)||||2f a a a a =+-=-->，即25102a a ++>， 解得2a <-或102a -<< （Ⅱ）13,2111()|2|||,2113,a x a x a af x x a x x a x a a a x a x a a ⎧+-≥-⎪⎪⎪=++-=---<<-⎨⎪⎪--+≤⎪⎩,当2a x ≥-时，1()2a f x a ≥--；当12a x a <<-时，1()2a f x a >--； 当1x a ≤时，2()f x a a≥--．∴min 1()2a f x a =--≥=，当且仅当12a a -=-即a =号， ∴2)(≥x f ．【考点】1、绝对值不等式的性质；基本不等式．。