与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习第五章 平面向量、复数 课时跟踪训练25 Word版含解析

第五章平面向量与复数第一节平面向量及其应用一考试说明(1)平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示．(2)向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义．(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(4)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(5)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．二 考情分析5．1 平面向量的概念及线性运算知识点梳理 1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的长度或称模).AB →的模记作||AB →．(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.a ||a 是一个与a 同向的单位向量．－a|a |是一个与a 方向相反_的单位向量．(4)平行向量：方向相同或相反_的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．(7)向量的表示方法：用字母表示；用有向线段表示；用坐标表示． 2．向量的加法和减法(1)向量的加法①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为起点以第二个向量b 的终点B 为终点的向量OB →就是a 与b 的和(如图1)． 推广：A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.图1图2②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作ABCD ，则以A 为起点的对角线AC →就是a 与b 的和(如图2)．在图2中， BC →＝AD →＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式． ③加法的运算性质：a ＋b ＝b ＋a (交换律)；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(结合律)；a ＋0＝0＋a ＝a .(2)向量的减法已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图)．3．向量的数乘及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①||λa ＝|λ||a | ；②当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝μ(λa )； ②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； ③λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 4．两个向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa基础题组5.1平面向量概念1．[教材改编] (AB →－BM →)＋(BO →－CB →)＋OM →＝________．2．[教材改编] 若2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13a －(b －c ＋3x )－b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则x ＝________． 3．[教材改编] M 是△ABC 边BC 的中点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AM →＝________． 4．若四边形ABCD 满足AD →＝12BC →，则四边形ABCD 的形状是________．5．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，且b 是非零向量，则a 与c 的关系是________． 6．已知向量a ，b ，若|a |＝1，|b |＝3，则|a ＋b |的范围是________．题组三 常考题7．[2012·辽宁卷改编] 已知两个非零向量a ，b 满足||a ＋b ＝||a －b ，则下面结论正确的是________．①a ∥b ；② a ⊥b ；③||a ＝||b ；④a ＋b ＝a －b .8．[2015·全国卷Ⅰ改编] 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，若以AB →，AC →表示AD →，则AD →＝________． 9．[2015·全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．易错点：共线向量、零向量概念不清致误 解析1.AC → [解析] 原式＝(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →.2.23a －2b ＋c [解析] 由已知等式，得x ＝23a －2b ＋c . 3.12(a ＋b ) [解析] ∵AB →＋BM →＝AM →，AC →＋CM →＝AM →，CM →＝－BM →，∴AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )． 4．梯形 [解析] AD →＝12BC →表示AD →∥BC →，但|AD →|≠|BC →|，所以四边形ABCD 是梯形．5．共线向量 [解析] 由共线向量的概念知向量a 与向量c 共线．6．[2，4] [解析] 当a 与b 方向相同时，有|a ＋b |＝4；当a 与b 方向相反时，有|a ＋b |＝2；当a 与b不共线时，2<|a ＋b |<4.所以|a ＋b |∈[2，4]．7．② [解析] 易知||a ＋b ＝||a －b 表示以a ，b 为邻边构成的平行四边形的对角线相等，故a ⊥b . 8．－13AB →＋43AC → [解析] AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.9.12 [解析] 因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在唯一实数t ，使得λa ＋b ＝t (a ＋2b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得λ＝t ＝12.高考真题5.1平面向量概念1. 设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则当a 为零向量时，a 的方向任意；当a 不为零向量时，a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.2. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.故选A.3. (2015·东北三省联考)在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形解：依题意得AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，则BC →＝AD →，因此BC ∥AD 且BC ＝AD ，故四边形ABCD 一定是平行四边形．故选D.4. 在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM →＝mAB →，AN →＝nAD →(mn ≠0)，若MN →∥BE →，则n m＝________.解：MN →＝AN →－AM →＝nAD →－mAB →，BE →＝BC →＋ CE →＝AD →－12AB →，因为MN →∥BE →，且向量AD →和AB →不共线，所以n 1＝－m －12，解得nm ＝2.故填2. 5.直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP →|＝________.解：如图，取BC 边中点D ，连接AD ，则12(AB →＋AC →)＝AD →，OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)⇒OP →＝OA →＋AD →⇒OP →－OA →＝AD →⇒AP →＝AD →，因此|AP →|＝|AD →|＝1.故填1.6．[2015·全国卷Ⅱ] 设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．[答案] 12[解析] 因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在唯一实数t ，使得λa ＋b ＝t (a ＋2b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得λ＝t ＝12.7.[2016·北京卷] 设a ，b 是向量，则“|a|＝|b|”是“|a ＋b|＝|a －b|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] D 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为边组成的平行四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为边组成的平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故选D.关键知识点讲解及典型例题 类型一 向量的基本概念 例1. 给出下列命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四点A ，B ，C ，D 构成平行四边形； ④在▱ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解：两个向量起点相同，终点也相同，则两个向量相等；但两个相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确．若|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a ，b 不一定相等，故②不正确．若 AB →＝DC →，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确．正确的是④⑤.故选B.[总结反思] 从共线向量、单位向量、相反向量等的概念及特征逐一进行考察．(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关向量平行的概念和几何中直线与直线的平行是不同的，两个向量平行表示它们的有向线段平行或在一条直线上．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．（6）零向量，其长度为零，方向不确定，在一些问题中要注意已知的向量是否是零向量的情况；例2 下列命题中，正确的是________．(填序号)①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与向量CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b 为零向量，则a 与c 不一定平行；⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤. 类型二 向量的线性运算 一 平面向量的线性运算例3. 在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解法一：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋ 23(AE →－AB →)＝AB →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AB →＝13AB →＋13AC →＝ 13a ＋13b .解法二：由于G 是△ABC 的中线BE 与CF 的交点，所以G 为△ABC 的重心．延长AG 交BC 于H ， 由重心的性质知，AG →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b .[总结反思] (1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决．(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(3)在解答用已知向量线性表示未知向量的问题时，可以利用共线向量定理，将共线向量用参数表示，再利用平面向量基本定理，建立参数的方程(组)求解参数，最后得出结论．例4 (1)设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.PA →＋PB →＝0B.PC →＋PA →＝0C.PB →＋PC →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0 解：如图，根据向量加法的几何意义有BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故PC →＋PA →＝0.故选B. (2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB →＝2DC →，BE →＝EC →，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝ ( ) A.23a ＋12b B.34a ＋12b C.34a －14b D.23a ＋14b (1)B[解析] (1)由BE →＝EC →知点E 为BC 的中点，取AD 的中点F ，连接EF ，则EF ∥AB ， 且|EF →|＝|AB →|＋|DC →|2，所以FE →＝34a .又AF →＝12AD →＝12b ，所以AE →＝AF →＋FE →＝34a ＋12b .(3)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD → B.12AD → C.BC →D.12BC →解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →.故选A. 二 利用向量的线性运算求参数例5.(1)向量AB →，BC →，MN →在正方形网格中的位置如图4­24­1所示．若MN →＝λAB →＋μBC →，其中λ，μ∈R ，则λμ＝________．图4­24­1(2) 如图4­24­2所示，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上靠近B 的三等分点．若EF →＝mAB →＋nAD →，则2m －3n ＝________．图4­24­2解析: 构造三角形，利用向量运算的三角形法则，即可将向量用已知向量表示出来，从而求得相关参数．(1)2 (2)3 [解析] (1)将MN →向上平移1个单位，可得MN →＝AB →＋12BC →，所以λ＝1，μ＝12，所以λμ＝2.(2)易知在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →.因为点E 是DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 上靠近B 的三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，所以m ＝12，n ＝－23，即2m －3n ＝3.[总结反思] 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，即可求得相关参数．类型三 向量共线的充要条件及其应用例6 已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ， 使得OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1. 证明：(1)先证必要性．若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →， 所以存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →－OB →＝m (OB →－OA →)， 所以OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →. 令λ＝－m ，μ＝1＋m ， 则λ＋μ＝－m ＋1＋m ＝1，即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →， 且λ＋μ＝1. (2)再证充分性．若OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1， 则OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →，所以OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →，所以BC →∥BA →，又BC 与BA 有公共点B ， 所以A ，B ，C 三点共线． 综合(1)(2)可知，原命题成立．[总结反思] （1）证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个向量共线，即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →.但证明两条直线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用．（2）一个常用结论：A ，B ，C 三点共线⇔存在实数λ，μ，对任意一点O (O 不在直线BC 上)，OA →＝λOB →＋μOC →(λ＋μ＝1)．例7 (1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解：BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线．故选A.(2)设两个非零向量a 与b 不共线，若k a ＋b 和a ＋k b 共线，则实数k ＝________.解：因为k a ＋b 和a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b . 所以(k －λ)a ＝(λk －1)b .因为a ，b 是两个不共线的非零向量，所以k －λ＝λk －1＝0， 所以k 2－1＝0.所以 k ＝±1.故填±1.(3)如图，在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点．若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1 解：由N 为AM 的中点， 可得AN →＝12AM →＝λAB →＋μAC →，整理得AM →＝2λAB →＋2μAC →，由B ，M ，C 三点共线可得2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.故选A.例8.经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q .设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，其中m ，n ∈R ，求1m ＋1n的值．解析 因为G 为重心，所以有OG →＝13(a ＋b )，结合P ，G ，Q 三点共线，即有PQ →＝λPG →，利用两向量相等，构建系数之间的关系，进而求解．解：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线可知，存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1m ＋1n ＝3.章节归纳：1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：(1)a ∥b ，有a 与b 方向相同或相反两种情形；(2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a |＝|b |⇒/a ＝±b ； (3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行； (4)对于任意非零向量a ，a||a 是与a 同向的单位向量，这也是求单位向量的方法； (5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；(6)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”．4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．5．对于两个向量共线定理(a (a ≠0)与b 共线⇔存在唯一实数λ使得b ＝λa )中条件“a ≠0”的理解：(1)当a ＝0时，a 与任一向量b 都是共线的；(2)当a ＝0且b ≠0时，b ＝λa 是不成立的，但a 与b 共线．因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我们要求a ≠0.换句话说，如果不加条件 “a ≠0”，“a 与b 共线”是“存在唯一实数λ使得b ＝λa ”的必要不充分条件．课时作业5．1 平面向量的概念及线性运算1．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解：由题意a |a |＝b|b |表示与向量a 和向量b 同向的单位向量相等，故a 与b 同向共线．故选C. 2．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解：因为c ∥d ，所以存在实数λ，使得c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1. 此时c ＝－d .所以c 与d 反向．故选D.3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1，2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 四点一定共线解：由题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →＝λAB →.又λ∈(1，2)，所以点B 在线段AM 上．故选B . 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则( )A.AO →＝2OD →B.AO →＝OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →解：因为D 为BC 的中点，所以由2OA →＋OB →＋OC →＝0得OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →，即2OD →＝2AO →，所以AO →＝OD →.故选B.5．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若 AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是( ) A ．[0，1]B ．[0，3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 解：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上， 所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． 且AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →，即DE →＝2μDC →， 所以λ＝2μ.因为0≤λ≤1， 所以0≤μ≤12.故选C.6．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且 AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，x ，y ∈R ，则xy x ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2 D.12解法一：由点G 是△ABC 的重心，知AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)．又M ，N ，G 三点共线(A 不在直线MN 上)，于是存在λ，μ∈R ，使得 AG →＝λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1)，则AG →＝λxAB →＋ μyAC →＝13(AB→＋AC →)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，λx ＝μy ＝13，于是得1x ＋1y ＝3，所以xy x ＋y ＝11x ＋1y＝13.解法二：特殊化法，取MN ∥BC ，易得xy x ＋y ＝13.故选B. 7．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD →＝12AB →，BE →＝23BC →.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解：DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－ AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，所以λ1＝－16，λ2＝23，从而λ1＋λ2＝12.故填12.8．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则m n＝________. 解：如图，设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，因为∠AOC ＝30°，所以|OC →|cos30°＝|OF →|＝m|OA →|＝m ， |OC →|sin30°＝|OE →|＝n|OB →|＝3n ， 两式相除得m3n＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，所以m n ＝3.另外此题也可用坐标求解．故填3.9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且 AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a ＋(－b )＋12a ＝14a －b .10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝ －8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线； (2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝ 2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． 解：(1)证明：因为AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， 所以AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝ －12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，所以AC →与CD →共线．又因为AC →与CD →有公共点C ，所以A ，C ，D 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝ 3e 1－2e 2， 因为A ，C ，D 三点共线，所以AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.故k 的值为43.11．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解：因为A ，M ，D 三点共线， 所以OM →＝λ1OD →＋(1－λ1)OA → ＝12λ1b ＋(1－λ1)a ，① 因为C ，M ，B 三点共线，所以OM →＝λ2OB →＋(1－λ2)OC →＝λ2b ＋1－λ24a ，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧12λ1＝λ2，1－λ1＝1－λ24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝67，λ2＝37. 故OM →＝17a ＋37b .设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB →(λ∈R )，AD →＝μAB →(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2.对于选项A ，若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →⇒λ＝12⇒1μ＝0，故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C ，若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒1λ＋1μ＞2，C 选项错误；对于选项D ，若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1μ＜2，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，D 选项正确．故选D.5．2 平面向量的基本定理及坐标表示知识点梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．向量的夹角(1)已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫做向量a 与b 的夹角(如图)cos θ＝a ·b|a||b |．(2)向量夹角θ的范围)0°≤θ≤180°．a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°. (3)如果向量a 与b 的夹角是90°，我们就说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． 3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解．(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .则实数对(x ，y )叫做向量a的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为(x ，y )．显然，i ＝(1，0)， j ＝(0，1)，0＝(0，0).4．平面向量的坐标运算(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝x 1±x 2，y 1±y 2). (2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1). (3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )_.(4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0。

课时跟踪训练(二十七)[基础巩固]一、选择题1．对于任意向量a ，b ，c ，下列命题中正确的是( )A ．|a ·b |＝|a ||b |B ．|a ＋b |＝|a |＋|b |C ．(a ·b )c ＝a (b ·c )D ．a ·a ＝|a |2[解析] ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴|a ·b |≤|a ||b |，∴A 错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a ＋b |≤|a |＋|b |，只有当a ，b 同向时取“＝”，∴B 错误；∵(a ·b )c 是与c 共线的向量，a (b ·c )是与a 共线的向量，∴C 错误；∵a ·a ＝|a ||a |cos0＝|a |2，∴D 正确．故选D.[答案] D2．(2018·辽宁协作体期末)四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AD →－AB →|＝|AD →＋AB →|，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形[解析] 因为四边形ABCD 中，AB →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形．因为|AD →－AB →|＝|AD →＋AB →|，所以|BD →|＝|AC →|，即对角线相等，所以平行四边形ABCD 是矩形．故选C.[答案] C3．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0 C.32D ．3 [解析] 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32. [答案] A4．(2018·新疆维吾尔自治区二检)已知向量a ，b 满足a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为( )A.32B ．－32C ．±32D ．1[解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.又(3a ＋2b )⊥(λa －b )，所以(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2－3a ·b ＋2λa ·b －2b 2＝12λ－18＝0，解得λ＝32.[答案] A5．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A ．2 B. 2 C ．1 D.22 [解析] 因为(a ＋b )⊥a ，所以(a ＋b )·a ＝0，即|a |2＋a ·b ＝0，又因为|a |＝1，所以a ·b ＝－1.又因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即2a ·b ＋|b |2＝0，所以|b |2＝2，所以|b |＝ 2.[答案] B6．(2015·安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →[解析] ∵AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，∴a ＝12AB →，b ＝AC →－AB →＝BC →，∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴|b |＝2，a ·b ＝12AB →·BC →＝－1，故a ，b 不垂直，4a ＋b ＝2AB →＋BC →＝AB →＋AC →，故(4a ＋b )·BC →＝(AB →＋AC →)·BC→＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故选D.[答案] D二、填空题7．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．[解析] (a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝1＋a ·b －2×22＝－6，∴a ·b ＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝π3.[答案] π38. (2018·沧州百校联盟期中)如图，△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，D 是BC 的中点，则BA →·AD →的值为________．[解析] 如图，建立直角坐标系，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)，D (0,2)．则BA →＝(3，－4)，AD →＝(－3,2)．∴BA →·AD →＝3×(－3)－4×2＝－17.[答案] －179．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(－2,2)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，且c与a 的夹角为π4，则k ＝________.[解析] 由题意得c ＝(k －2，k ＋2)，因为cos 〈c ，a 〉＝c ·a |c |·|a |＝k －2＋k ＋22·(k －2)2＋(k ＋2)2＝22，所以kk 2＋4＝22，解得k ＝2. [答案] 2三、解答题10．(2017·合肥模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值；(3)求向量a 在b 方向上的投影．[解] (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.∴λ的值为52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22. [能力提升]11．若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a －b 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3[解析] 由|a ＋b |2＝|a －b |2，得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2，得a ·b ＝0.又|a －b |2＝4a 2，得a 2－2a ·b ＋b 2＝4a 2，得b 2＝3a 2.由(a －b )·b ＝－b 2，设a －b 与b 的夹角为θ，则cos θ＝(a －b )·b |a －b ||b |＝－b 22|a |·3|a |＝－3a 223a2＝－32.因为θ∈[0，π]，所以θ＝5π6，故选C.[答案] C12．(2017·山西大学附中期末)已知a ，b 是平面内互不相等的两个非零向量，且|a |＝1，a －b 与b 的夹角为150°，则|b |的取值范围是( )A ．(0，3]B ．(0,1]C ．(0,2]D ．(0,22][解析] 如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b . 由|a |＝1，a －b 与b 的夹角为150°，可得△OAB 中，OA ＝1，∠OBA ＝30°.由正弦定理可得△OAB 的外接圆的半径r ＝1，则点B 为圆上的动点．由图可设b ＝OB →＝(1＋cos θ，sin θ)，则|b |＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2＋2cos θ.∴|b |∈(0,2]．故选C.[答案] C13．(2018·河北保定模拟)若a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，〈a ，b 〉为钝角，则实数λ的取值范围是________．[解析] ∵a ＝(2＋λ，1)，b ＝(3，λ)，由a ·b ＝3(2＋λ)＋λ<0，得λ<－32.若a ，b 共线，则λ(2＋λ)－3＝0，解得λ＝－3或λ＝1.即当λ＝－3时，a ，b 共线反向．∴若〈a ，b 〉为钝角，则λ<－32且λ≠－3.[答案] (－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 14．(2016·浙江卷)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．[解析] 不妨令a ·e ≥0，b ·e ≥0，对任意的单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，即a ·e ＋b ·e ≤6，即(a ＋b )·e ≤6成立．∵a ＋b 与e 同向时等号成立，∴|a ＋b |≤ 6.∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6.∵|a |＝1，|b |＝2，∴a ·b ≤12，故a ·b 的最大值为12.[答案] 1215．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．[解] (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.16.如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP →＝x ·OA →＋y ·OB →.(1)若BP →＝P A →，求x ，y 的值；(2)若BP →＝3P A →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°时，求OP →·AB →的值．[解] (1)∵BP →＝P A →，∴BO →＋OP →＝PO →＋OA →，即2OP →＝OB →＋OA →，∴OP →＝12OA →＋12OB →，即x ＝12，y ＝12.(2)∵BP →＝3P A →，∴BO →＋OP →＝3PO →＋3OA →，即4OP →＝OB →＋3OA →，∴OP →＝34OA →＋14OB →，∴x ＝34，y ＝14.OP →·AB →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫34OA →＋14OB →·(OB →－OA →) ＝14OB →·OB →－34OA →·OA →＋12OA →·OB →＝14×22－34×42＋12×4×2×12＝－9.[延伸拓展]1．(2017·湖北黄冈二模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值与最小值的和为( )A ．0 B. 3 C. 2 D.7[解析] ∵a ⊥(a －2b )，∴a ·(a －2b )＝0，即a 2＝2a ·b ，又|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝12，a 与b 的夹角为60°.设OA →＝a ，OB →＝b ，以O 点为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，b ＝(1,0)． 设c ＝(x ，y )，则c －2a ＝(x －1，y －3)，c －b ＝(x －1，y )． 又∵(c －2a )·(c －b )＝0，∴(x －1)2＋y (y －3)＝0.即(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝34，∴点C 的轨迹是以点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，32为圆心，32为半径的圆．又|c |＝x 2＋y 2表示圆M 上的点与原点O (0,0)之间的距离，所以|c |max ＝|OM |＋32，|c |min ＝|OM |－32，∴|c |max ＋|c |min ＝2|OM |＝212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝7，故选D.[答案] D2．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a百度文库，精选习题试题习题，尽在百度 ＋b |恒成立，则a ，b 的夹角的大小为__________．[解析] |a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a ·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a ·b )2－4(－1－2a ·b )≤0⇒(a ·b ＋1)2≤0，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.[答案] 23π。

课时跟踪训练(二十五)[基础巩固]一、选择题1．如图所示，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A.AB →＝DC→B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝0[解析]A 显然正确，由平行四边形法则知B 正确．C 中AB →－AD →＝DB →，所以错误．D 中AD →＋CB →＝AD →＋DA →＝0.[答案]C2．若a ，b 是向量，则“a ＝b ”是“|a |＝|b |”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析]两个向量相等指的是大小相等方向相同，所以a ＝b 是|a |＝|b |的充分不必要条件，故选A.[答案]A3．(2017·吉林大学附属中学第五次摸底)在梯形ABCD 中，AB→＝3DC →，则BC →＝( )A ．－13AB →＋23AD →B ．－23AB →＋43AD→C.23AB →－AD → D ．－23AB →＋AD→[解析] 在线段AB 上取点E ，使BE ＝DC ，连接DE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则BC →＝ED →＝AD →－AE →＝AD →－23AB →.故选D.[答案] D4．(2017·贵州省高招适应性考试)已知向量e 1与e 2不共线，且向量AB→＝e 1＋m e 2，AC→＝n e 1＋e 2，若A ，B ，C 三点共线，则实数m ，n 满足的条件是( )A ．mn ＝1B ．mn ＝－1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－1[解析] 解法一：因为A ，B ，C 三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得AB →＝λAC →，所以有e 1＋m e 2＝nλe 1＋λe 2，由此可得⎩⎨⎧1＝nλ，m ＝λ，所以mn ＝1.解法二：因为A ，B ，C 三点共线，所以必有1n ＝m1，所以mn ＝1.[答案] A5．(2017·河北三市联考)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则mn 等于( )A ．－12B.12C ．－2D ．2[解析]∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ(n e 1－e 2)，则⎩⎨⎧λn＝m ，－λ＝2，故m n＝－ 2.[答案] C6．(2017·四川成都七中一诊)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上[解析]∵2OP →＝2OA →＋BA →，∴2OP →－2OA →＝BA →，即2AP →＝BA →，∴点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B.[答案] B7．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC→＝2CD→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO→＝xAB→＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0[解析]由AO →＝x AB →＋(1－x )AC →，得AO →－AC →＝x (AB →－AC →)，∴CO →＝x CB →＝－2x CD →，又点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴0<－2x <1，∴－12<x <0.[答案]C8.如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD→＝14AC→＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为( )A ．23B ．33C ．43D ．53[解析]因为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝33.[答案]B二、填空题9．(2018·河北邯郸模拟)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.[解析]由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12.[答案]1210．(2018·四川成都期中)在△ABC 中，CA→＝a ，CB→＝b ，M 是CB 的中点，N 是AB 的中点，且CN 、AM 交于点P ，则AP→＝________(用a ，b 表示)．[解析]如图所示，AP →＝AC →＋CP→＝－CA →＋23CN→＝－CA →＋23×12(CA →＋CB →)＝－CA →＋13CA →＋13CB→＝－23CA →＋13CB→＝－23a ＋13b .[答案]－23a ＋13b[能力提升]11．(2017·河北衡水中学三调考)在△ABC 中，AN→＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝m AB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4[解析]根据题意设BP →＝n BN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋n BN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又AP →＝m AB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎨⎧n ＝2，m ＝－1，故选B.[答案]B12．(2017·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )A.58B.14 C ．1D.516[解析]DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.[答案]A13．(2017·河北石家庄一模)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)[解析]设OC →＝m OD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以m OD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B.[答案]B14．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP→＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的()A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点[解析]设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM→＋23OC →，即3OP →＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点．[答案]B15．已知△ABC 的面积为12，P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA →＋PB→＋2PC →＝3AB →，则△ABP 的面积为________．[解析]由PA →＋PB →＋2PC →＝3AB →，得PA →＋PB →＋2PC →＝3PB →－3PA →，∴4PA →＋2(PC →－PB →)＝0，∴2PA →＝CB →，由此可得P A 与CB 平行且|CB |＝2|P A |，故△ABP 的面积为△ABC 的面积的一半．又△ABC 的面积为12，故△ABP 的面积为6.[答案]616．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.[解](1)∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0.(2)证明：显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b .又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。

课时跟踪训练(二十八)[基础巩固]一、选择题1．(2018·银川调研)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形[解析] 由AB →＋CD →＝0得平面四边形ABCD 是平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0得DB →·AC →＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.[答案] C2．(2017·湖南省五市十校高三联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] 解法一：设向量a ，b 的夹角为θ，BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，∴|BC →|＝|b |＝2，|AB →|＝2|a |＝2，∴|a |＝1，AC →2＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－12，θ＝120°.解法二：BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量AB →与BC →的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.[答案] C3．(2017·云南省高三统一检测)在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12[解析]AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24，故选C.[答案] C4．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2D.23[解析] 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .AB →·BC →＝1，即ac cos B ＝－1.在△ABC 中，根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即a ＝ 3.[答案] A5．(2018·河南郑州七校联考)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10[解析] 依题意得，AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0.所以AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5.[答案] C6．(2018·福建高三质检)△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →.若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )A.13 B.23 C.43D ．2[解析] 以点A 为坐标原点，以AB →的方向为x 轴的正方向，以AC →的方向为y 轴的正方向，建立如图平面直角坐标系，由题知B (2,0)，C (0,1)，P (2λ，0)，Q (0,1－λ)，BQ →＝(－2,1－λ)，CP →＝(2λ，－1)．∵BQ →·CP →＝－2，∴1＋3λ＝2，解得λ＝13，故选A.[答案] A 二、填空题7．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．[解析] 由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC →与AB →的夹角为90°.[答案] 90°8．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．[解析] 由题意可得a ·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝(2a －b )2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝ 8－8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]，所以|2a－b |的最大值与最小值的和为4.[答案] 49．(2018·湖北襄阳优质高中联考)在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．[解析]如图，以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)．设F (m,2)，0≤m ≤2，由AF →·AB→＝(m,2)·(2，0)＝2m ＝2，得m ＝1，则F (1,2)，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.[答案]2三、解答题10．已知四边形ABCD 为平行四边形，点A 的坐标为(－1,2)，点C 在第二象限，AB →＝(2,2)，且AB →与AC →的夹角为π4，AB →·AC →＝2.(1)求点D 的坐标；(2)当m 为何值时，AC →＋mAB →与BC →垂直．[解] (1)设C (x ，y )，D (m ，n )，则AC →＝(x ＋1，y －2)． ∵AB →与AC →的夹角为π4，AB →·AC →＝2.∴AB →·AC →|AB →||AC →|＝222＋22·(x ＋1)2＋(y －2)2＝22，化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.①又AB →·AC →＝2(x ＋1)＋2(y －2)＝2，化为x ＋y ＝2.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.又点C 在第二象限，∴C (－1,3)．又CD →＝BA →，∴(m ＋1，n －3)＝(－2，－2)，解得m ＝－3，n ＝1.∴D (－3,1)．(2)由(1)可知AC →＝(0,1)， ∴AC →＋mAB →＝(2m,2m ＋1)， BC →＝AC →－AB →＝(－2，－1)．∵AC →＋mAB →与BC →垂直，∴(AC →＋mAB →)·BC →＝－4m －(2m ＋1)＝0，解得m ＝－16.[能力提升]11．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形[解析] 因为AB →|AB →|，AC→|AC →|分别为AB →，AC →方向上的单位向量，故由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0可得BC ⊥AM (M 是∠BAC 的平分线与BC 的交点)，所以△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形．[答案] A12．(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118[解析]建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.设F (x 0，y 0)，则DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－34，EF →＝(x 0，y 0)．∵DE →＝2EF →，∴2x 0＝14，2y 0＝－34，即x 0＝18，y 0＝－38.∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38.∴AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－538，BC →＝(1,0)，∴AF →·BC →＝18.故选B.[答案] B13．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的最大值为________．[解析] 以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图平面直角坐标系，则C (1,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，设E (x,0)，x ∈[0,1]，则EC →·EM →＝(1－x,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1－x ，12＝(1－x )2＋12，x ∈[0,1]单调递减，当x ＝0时，EC →·EM →取得最大值32.[答案] 3214. (2018·广东湛江一中等四校联考)如图，已知△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上且满足AM MC ＝MP PB ＝2，若|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝120°，则AP →·BC →的值为________．[解析] ∵|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝120°，∴AB →·AC →＝2×3×cos120°＝－3.∵MP →＝23MB →，∴AP →－AM →＝23(AB →－AM →)，化为 AP →＝23AB →＋13AM →＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →.∴AP →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23AB →＋29AC →·(AC →－AB →)＝49AB →·AC →＋29AC →2－23AB →2＝49×(－3)＋29×32－23×22＝－2.[答案] －215．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． [解] (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0. 故22sin x －22cos x ＝0，∴tan x ＝1.(2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1＝12，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12. 又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴x －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12，故x 的值为5π12.16．(2017·江西上饶调研)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c 边的长．[解] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )， 对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0<C <π， ∴sin(A ＋B )＝sin C ，∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin2C ， ∴sin2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， ∴c ＝6.[延伸拓展](2017·陕师大附中四模)如图，已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上，则PC →·PD →的取值范围是________．[解析] 设CD 的中点为M ，连接PM ，则PC →·PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PM →－12CD →·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫PM →＋12CD →＝|PM →|2－14|CD →|2＝|PM →|2－4.易知|PM →|∈[2,25]，故PC →·PD →的取值范围是[0,16]．[答案] [0,16]合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习，对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。

课时跟踪训练(二十六)[基础巩固]一、选择题1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(2,3)表示成λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(2,1)B ．e 1＝(3,4)，e 2＝(6,8)C ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(3，－2)D ．e 1＝(1，－3)，e 2＝(－1,3)[解析] 根据平面向量基本定理可知，e 1，e 2不共线，验证各选项，只有选项C 中的两个向量不共线，故选C.[答案] C2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝( ) A ．－12a ＋32b B.12a －32b C.32a －12bD ．－32a ＋12b[解析] 设c ＝λ1a ＋λ2b ，则(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，∴λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，解得λ1＝12，λ2＝－32，所以c ＝12a －32b . [答案] B3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．2[解析] 解法一：因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.解法二：因为a ＋b 与4b －2a 平行，所以存在常数λ，使a ＋b ＝λ(4b －2a )，即(2λ＋1)a ＝(4λ－1)b ，根据向量共线的条件知，向量a 与b 共线，故x ＝2.[答案] D4．(2018·四川成都双流中学月考)设向量a ＝(2，x －1)，b ＝(x ＋1,4)，则“x ＝3”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当a ∥b 时，有2×4－(x －1)(x ＋1)＝0.解得x ＝±3.故“x ＝3”是“a ∥b ”的充分不必要条件，故选A. [答案] A5．(2018·广西柳州模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3，2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( )A ．－13 B.13 C ．－3D ．3[解析] k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)． a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 则由(k a ＋b )∥(a －3b )得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.[答案] A6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2[解析] 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.[答案] A 二、填空题7．已知平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，C (－3,4)，则顶点D 的坐标是________．[解析] 设D (x ，y )， ∵A (4,2)，B (5,7)，C (－3,4)， ∴AB →＝(1,5)，DC →＝(－3－x,4－y )． ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB →＝DC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－3－x ＝1，4－y ＝5.解得x ＝－4，y ＝－1. ∴点D 的坐标为(－4，－1)． [答案] (－4，－1)8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．[解析] ∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)． ∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2. ∴a ＝(－4，－2)． [答案] (－4，－2)9．已知A (－1,2)，B (a －1,3)，C (－2，a ＋1)，D (2,2a ＋1)，若向量AB →与CD →平行且同向，则实数a 的值为________．[解析] 解法一：由已知得AB →＝(a,1)，CD →＝(4，a )，因为AB →与CD →平行且同向，故可设AB →＝λCD →(λ>0)，则(a,1)＝λ(4，a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4λ，1＝aλ，解得⎩⎨⎧a ＝2，λ＝12.故所求实数a ＝2.解法二：由已知得AB →＝(a,1)，CD →＝(4，a )，由AB →∥CD →，得a 2－4＝0，解得a ＝±2.又向量AB →与CD →同向，易知a ＝－2不符合题意．故所求实数a ＝2.[答案] 2 三、解答题10．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值．[解] (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)解法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32. 解法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →， ∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0，∴m ＝32.[能力提升]11．(2018·河北石家庄期末)如图所示，在矩形OACB 中，E 和F 分别是边AC 和BC 上的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝( )A.83B.32C.53D ．1[解析] ∵AC →＝3AE →，∴OC →－OA →＝3OE →－3OA →，OE →＝23OA →＋13OC →.同理可得：OF →＝23OB →＋13OC →.代入OC →＝λOE →＋μOF →，得OC →＝λ·2OA →＋OC →3＋μ·2OB →＋OC →3， ∴OC →＝2λ3－λ－μOA →＋2μ3－λ－μOB →.又∵OC →＝OA →＋OB →，∴⎩⎨⎧2λ3－λ－μ＝1，①2μ3－λ－μ＝1，②①＋②得λ＋μ＝32. [答案] B12．(2018·安徽蚌埠上学期期中)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ，12与向量n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2[解析] ∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3.可化为1－cos2A ＋3sin2A ＝3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1， ∵A ∈(0，π)， ∴⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6. 因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C. [答案] C13．(2017·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．[解析] P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )， Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)． [答案] {(－13，－23)}14．线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.[解析] 由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →时，⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝6，－4＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3，x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →时，有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝－1，x ＋y ＝6. 综上可知x ＋y ＝－2或6. [答案] －2或615．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)且OP →＝OA →＋tAB →. (1)求点P 在第二象限时，实数t 的取值范围；(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的实数t ；若不能，请说明理由．[解] ∵O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)， ∴OA →＝(1,2)，AB →＝(4－1,5－2)＝(3,3)．(1)设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y >0，且(x ，y )＝(1,2)＋t (3,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13. (2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )， 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.由⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，得此方程组无解， ∴四边形OABP 不可能为平行四边形．。

课时跟踪训练(二十八)[基础巩固]一、选择题1．(2018·银川调研)若平面四边形ABCD 满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是( )AB → CD → AB → AD → AC→ A ．直角梯形 B ．矩形C ．菱形D ．正方形[解析]　由＋＝0得平面四边形ABCD 是平行四边形，由(－)·AB → CD → AB → AD→ ＝0得·＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，AC → DB → AC→ 故选C.[答案]　C2．(2017·湖南省五市十校高三联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足＝2a ，＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )AB → AC → A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°[解析]　解法一：设向量a ，b 的夹角为θ，＝－＝2a ＋b －2a ＝b ，∴||＝|b |＝2，||＝2|a |＝2，∴|a |＝1，2BC → AC → AB → BC → AB → AC →＝(2a ＋b )2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8＋8cos θ＝4，∴cos θ＝－，θ＝120°.12解法二：＝－＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角为向量与BC → AC → AB → AB → 的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.BC→[答案]　C3．(2017·云南省高三统一检测)在▱ABCD 中，||＝8，||＝6，N 为DC AB → AD→ 的中点，＝2，则·＝( )BM → MC → AM → NM→ A ．48 B ．36 C ．24D ．12[解析]　·＝(＋)·(＋)＝·＝2－AM → NM → AB → BM → NC → CM → (AB → ＋23AD → )(12AB → －13AD → )12AB → 2＝×82－×62＝24，故选C.29AD→ 1229[答案]　C4．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，·＝1，则BC ＝( )AB → BC→ A. B. 37C ．2D.223[解析]　设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .·＝1，即ac cos B ＝－1.AB → BC→ 在△ABC 中，根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即a ＝.3[答案]　A5．(2018·河南郑州七校联考)在四边形ABCD 中，＝(1,2)，＝(－4,2)，AC → BD →则该四边形的面积为( )A. B ．2 55C ．5D ．10[解析]　依题意得，·＝1×(－4)＋2×2＝0.所以⊥，所以四边形AC → BD → AC → BD → ABCD 的面积为||·||＝××＝5.12AC → BD → 12520[答案]　C6．(2018·福建高三质检)△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝2，AC ＝1，设点P ，Q 满足＝λ，＝(1－λ).若·＝－2，则λ＝( )AP → AB → AQ → AC → BQ → CP→ A. B.1323C.D ．243[解析]　以点A 为坐标原点，以的方向为x 轴的正方向，以的方向为AB → AC → y 轴的正方向，建立如图平面直角坐标系，由题知B (2,0)，C (0,1)，P (2λ，0)，Q (0,1－λ)，＝(－2,1－λ)，＝(2λ，－1)．∵·＝－2，∴1＋3λ＝2，解BQ → CP → BQ → CP→得λ＝，故选A.13[答案]　A 二、填空题7．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若＝(＋)，则与的夹角AO → 12AB → AC → AB → AC→ 为________．[解析]　由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即与的夹角为90°.AC → AB→ [答案]　90°8．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(，－1)，则|2a －b |的最大值与最3小值的和为________．[解析]　由题意可得a ·b ＝cos θ－sin θ＝2cos，则3(θ＋π6)|2a －b |＝＝＝ ∈[0,4]，所以|2a －b |的(2a －b )24|a |2＋|b |2－4a ·b 8－8cos (θ＋π6)最大值与最小值的和为4.[答案]　49．(2018·湖北襄阳优质高中联考)在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝2，点E 2为BC 的中点，点F 在边CD 上，若·＝，则·的值是________．AB → AF → 2AE → BF→[解析]　如图，以A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (，0)，E (，1)．设F (m,2)，0≤m ≤，由·＝(m,2)·(，0)222AF → AB→ 2＝m ＝，得m ＝1，则F (1,2)，所以·＝(，1)·(1－，2)＝.22AE → BF→ 222[答案]　2三、解答题10．已知四边形ABCD 为平行四边形，点A 的坐标为(－1,2)，点C 在第二象限，＝(2,2)，且与的夹角为，·＝2.AB → AB → AC →π4AB → AC→ (1)求点D 的坐标；(2)当m 为何值时，＋m 与垂直．AC → AB → BC→[解]　(1)设C (x ，y )，D (m ，n )，则＝(x ＋1，y －2)．AC→ ∵与的夹角为，·＝2.AB → AC →π4AB → AC→ ∴＝＝，化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.①AB → ·AC →|AB → ||AC →|222＋22·(x ＋1)2＋(y －2)222又·＝2(x ＋1)＋2(y －2)＝2，化为x ＋y ＝2.②AB → AC→ 联立①②解得Error!或Error!又点C 在第二象限，∴C (－1,3)．又＝，∴(m ＋1，n －3)＝(－2，－2)，解得CD → BA→ m ＝－3，n ＝1.∴D (－3,1)．(2)由(1)可知＝(0,1)，AC→ ∴＋m ＝(2m,2m ＋1)，AC → AB→ ＝－＝(－2，－1)．BC → AC → AB→ ∵＋m 与垂直，∴(＋m )·＝－4m －(2m ＋1)＝0，解得m ＝－AC → AB → BC → AC → AB → BC→ .16[能力提升]11．在△ABC 中，已知向量与满足·＝0，且·＝AB → AC → (AB → |AB → |＋AC → |AC → |)BC → AB → |AB → |AC → |AC → |，则△ABC 为( )12A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形[解析]　因为，分别为，方向上的单位向量，故由·AB → |AB → |AC → |AC → |AB → AC → (AB → |AB → |＋AC →|AC → |)＝0可得BC ⊥AM (M 是∠BAC 的平分线与BC 的交点)，所以△ABC 是以BC BC→为底边的等腰三角形，又·＝，所以∠BAC ＝60°，所以△ABC 为等边三AB → |AB → |AC →|AC → |12角形．[答案]　A12．(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则·的值为( )AF → BC→ A ．－ B. 5818C. D.14118[解析]建立如图所示的直角坐标系，则A，B ，C ，D .(0，32)(－12，0)(12，0)(－14，34)设F (x 0，y 0)，则＝，＝(x 0，y 0)．DE → (14，－34)EF→ ∵＝2，∴2x 0＝，2y 0＝－，即x 0＝，y 0＝－.∴F .∴＝DE → EF → 14341838(18，－38)AF → ，＝(1,0)，∴·＝.故选B.(18，－538)BC → AF → BC→ 18[答案]　B13．在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则·的最大值为________．EC → EM→[解析]　以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图平面直角坐标系，则C (1,1)，M，设E (x,0)，x ∈[0,1]，则·＝(1－x,1)·(1，12)EC → EM→ ＝(1－x )2＋，x ∈[0,1]单调递减，当x ＝0时，·取得最大值.(1－x ，12)12EC → EM→ 32[答案]　3214. (2018·广东湛江一中等四校联考)如图，已知△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上且满足＝＝2，若||＝2，||＝3，∠BAC ＝120°，AMMC MPPB AB → AC→则·的值为________．AP → BC→[解析]　∵||＝2，||＝3，∠BAC ＝120°，∴·＝2×3×cos120°＝－3.AB → AC → AB → AC→ ∵＝，∴－＝(－)，化为MP → 23MB → AP → AM → 23AB → AM→ ＝＋＝＋×＝＋.AP → 23AB → 13AM → 23AB → 1323AC → 23AB → 29AC→ ∴·＝·(－)＝·＋2－2＝×(－3)AP → BC → (23AB → ＋29AC → )AC → AB → 49AB → AC → 29AC → 23AB→ 49＋×32－×22＝－2.2923[答案]　－215．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈.(22，－22)(0，π2)(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为，求x 的值．π3[解]　(1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0.故sin x －cos x ＝0，∴tan x ＝1.2222(2)∵m 与n 的夹角为，∴cos 〈m ，n 〉＝＝＝，π3m ·n|m |·|n |22sin x －22cos x1×112故sin＝.(x －π4)12又x ∈，∴x －∈，x －＝，即x ＝，(0，π2)π4(－π4，π4)π4π65π12故x 的值为.5π1216．(2017·江西上饶调研)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且·(－)＝18，求c 边的长．CA → AB → AC→[解]　(1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，对于△ABC ，A ＋B ＝π－C,0<C <π，∴sin(A ＋B )＝sin C ，∴m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，cos C ＝，C ＝.12π3(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .∵·(－)＝18，∴·＝18，CA → AB → AC → CA → CB→即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，∴c ＝6.[延伸拓展](2017·陕师大附中四模)如图，已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上，则·的取值范围是________．PC → PD →[解析]　设CD 的中点为M ，连接PM ，则·＝·＝||2－||2＝||2－4.易知||∈[2,2]，PC → PD → (PM → －12CD → )(PM → ＋12CD → )PM → 14CD → PM → PM → 5故·的取值范围是[0,16]．PC → PD → [答案]　[0,16]。