两条直线的位置关系(平行与垂直)

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两条直线的平行与垂直一、要点两条直线的位置关系有三种，即相交、平行与重合1111:0l A x B y C ++=，或，当直线的斜率存在时y=k 1x+b 12222:0l A x B y C ++=，或，当直线的斜率存在时y=k 2x+b 2方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩两条直线垂直是两条直线相交的特殊情况，它满足条件：12120A A B B +=或如果1l 与2l 的斜率都存在，则121k k =-注意：判别两条直线平行或垂直的前提须是直线都要有斜率，在判断平行时，除了判断两直线的斜率同时存在或同时不存在外，还要注意两直线不能重合；在判断垂直时，要注意特殊情况，一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在。

二、例题讲解1、判断下列两条直线是否相交（1）12:35;:53l y x l y x =+=+；（2）12:3270;:2370l x y l x y ++=+-=（3）1260;:2690l y l x y -+=++=；（4）1260;l y l α-+=的倾斜角为（5）212:120,:(2)340l x m y l m x my ++=-++=2、已知直线1:230l x my +-=与直线2:(31)50l m x my --+=互相平行，求实数m 的值3、求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过点（3，1）且与直线3x+2y-3=0垂直；（2）过点（5，7），且与直线x-3=0垂直（3）过点（- 2，4），且与直线y=5垂直；（4）过点（3，5）且与直线3mx+(m+5)y+3m-7=0垂直4、已知三点A （1，3），B （- 1，- 1），C （2，1），求：（1）△ABC 的重心坐标；（2）△ABC 的面积三、基础演练与综合应用一、选择题1、若直线12,l l 是两条不同的直线，则下列命题①若12l l ，则斜率12k k =；②若斜率12k k =，则12l l ；③若12l l ，则倾斜角12αα=；④若倾斜角12αα=，则12l l ；其中正确的个数为（ ）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2、直线11112222:0;:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，则12l l 是12210A B A B -=的（ ）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3、下列直线中，与2x-y-3=0相交的是（ ）(A)260(0)ax ay a -+=≠(B)2y x =(C) 25y x =+ (D) 23y x =-+4、已知直线212:60;:(2)320l x m y l m x my m ++=-++=，且12l l ，则m 的值为（ ）(A)3(B)0(C)0或2(D)0或- 15、四点A （-m,6），B(- 5,3m)，C(m , 2)，D （3，6）满足AB ∥CD 且AC ⊥BC ，则m 的值为（ ）(A)2(B)3(C) - 1(D)m 不存在二、填空题6、确定12l l 与的位置关系：（1）1l 过点A （2，3），B （- 1，0），2l 过点P （1，0）且斜率为1，则1l ______2l ；（2）1l 过点C （3，1），D （- 2，0），2l 过点M （1，- 4）且斜率为- 5，则1l ______2l ；7、△ABC 的三个顶点分别上A （-1，1），B (0,1，C 1,2)，则三角形的形状是________________8、已知直线1l 的斜率为2，直线2l 经过三点M （3，5），N （x ，7），P （ - 1，y ），若1l ∥2l ，则x=_____，y=_______三、解答题9、试确定m 的值，使过点A(2m ，2)、B （-2，3m ）的直线与过点P （1，2）、Q （-6，0）的直线：（1）平行；（2）垂直10、已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足为（1，p ）求m-n+p 的值11、已知四边形MNPQ 的顶点为M （1，1），N （3，-1），P （4，0），Q （2，2），求证：四边形MNPQ 为矩形12、求m ，n 的值，使直线1:(1)7l y m x n =--+满足：（1）平行于轴；（2）平行于直线2:7150l x y -+=；（3）垂直于直线2:7150l x y -+=（4）与直线(2m+2)x - (m+1)y+mn=0★13、已知直线1:240l x y +-=，求1l 关于直线l ：3x+4y-1=0对称的直线2l 的方程★14、证明：梯形两对角线的中点连线平行于上、下底，且等于两底差的一半。

两直线平行与垂直的判定公式平行与垂直是直线相对关系中的两种特殊情况。

在解决几何题目和实际应用中，我们经常需要判断两条直线是否平行或垂直。

本文将为您介绍两直线平行与垂直的判定公式。

两条直线平行的判定条件是：它们的斜率相等。

直线的斜率表示直线在坐标平面上的倾斜程度，斜率相等就意味着两条直线的倾斜程度相同，即它们平行。

设直线AB的斜率为k1，直线CD的斜率为k2，则有以下公式可以用来判断两条直线是否平行：k1=k2其中，斜率的计算公式为：k=(y2-y1)/(x2-x1)其中，(x1,y1)和(x2,y2)是直线上任意两个点的坐标。

举个例子来说明：设直线AB的两个点的坐标分别是A(x1,y1)和B(x2,y2)，直线CD的两个点的坐标分别是C(x3,y3)和D(x4,y4)。

首先计算直线AB和CD的斜率：k1=(y2-y1)/(x2-x1)k2=(y4-y3)/(x4-x3)然后比较斜率，如果k1=k2，则两条直线平行。

两条直线垂直的判定条件是：它们的斜率的乘积等于-1、这是因为当两条直线互相垂直时，它们的斜率之间具有这样的关系。

设直线AB的斜率为k1，直线CD的斜率为k2，则有以下公式可以用来判断两条直线是否垂直：k1*k2=-1举个例子来说明：设直线AB的两个点的坐标分别是A(x1,y1)和B(x2,y2)，直线CD的两个点的坐标分别是C(x3,y3)和D(x4,y4)。

首先计算直线AB和CD的斜率：k1=(y2-y1)/(x2-x1)k2=(y4-y3)/(x4-x3)然后计算斜率的乘积，如果k1*k2=-1，则两条直线垂直。

需要注意的是，当一条直线的斜率为0时，它与x轴平行；当一条直线的斜率不存在时，它与y轴平行。

总结一下，平行直线的判定公式为k1=k2，垂直直线的判定公式为k1*k2=-1、掌握了这两个公式，我们可以准确地判断两条直线的相对关系，以便于解决几何题目和实际问题。

第47讲 两条直线的位置关系一、课程标准1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 二、基础知识回顾 知识梳理1. 斜率存在的两条直线平行与垂直 若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， 则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，b 1≠b 2； l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；l 1与l 2重合⇔k 1＝k 2，b 1＝b 2．2. 直线的一般式方程中的平行与垂直条件若直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(其中A 1，B 1不同时为0，A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0．3. 两直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． (1)相交⇔方程组有一组解； (2)平行⇔方程组无解； (3)重合⇔方程组有无数组解．4. 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则两点间的距离为d ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2．5. 设点P(x 0，y 0)，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，则点P 到直线l 的距离为d ＝||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2．6. 两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为0)之间的距离d ＝||C 1－C 2A 2＋B 2．三、自主热身、归纳总结1、 若直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则实数m 的值为( )A. 2B. －3C. 2或－3D. －2或－3 【答案】 C【解析】 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或m ＝－3.故选C.2、 若直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( )A. －3B. －43 C. 2 D. 3【答案】 D【解析】 直线ax ＋2y －1＝0的斜率k 1＝－a 2，直线2x －3y －1＝0的斜率k 2＝23.因为两直线垂直，所以－a 2×23＝－1，即a ＝3.3、直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是( )A .324 B . 2 C . 22D . 1 【答案】A【解析】 先将2x ＋2y ＋1＝0化为x ＋y ＋12＝0，则两平行线间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2－122＝324.故选A .4、若三条直线2x ＋y ＋3＝0，2x －y －1＝0和x ＋3ky ＋k ＋1＝0相交于一点，则实数k ＝____． 【答案】110【解析】 由2x ＋y ＋3＝0，2x －y －1＝0两直线交于点(－12，－2)，再将此点代入直线方程x ＋3ky ＋k ＋1＝0中，求得k ＝110.5、若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a)y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝____． 【答案】0或1【解析】 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a)(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.四、例题选讲考点一 两条直线的位置关系例1、已知直线l 1：ax ＋2y ＋3＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1) 当l 1∥l 2时，求实数a 的值； (2) 当l 1⊥l 2时，求实数a 的值．【解析】 (1)(方法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－（a ＋1）解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2.(方法2)∵l 1∥l 2∴⎩⎪⎨⎪⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6解得a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)(方法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23. (方法2)∵l 1⊥l 2，∴a ＋2(a －1)＝0，解得a ＝23.变式1、（1）（江苏省丹阳高级中学2019届模拟）已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8（2）（浙江绍兴一中2019届模拟）设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】（1）A （2）C【解析】（1）因为l 1∥l 2，所以4－mm ＋2＝－2(m ≠－2)，解得m ＝－8(经检验，l 1与l 2不重合)．因为l 2⊥l 3，所以2×1＋1×n ＝0，即n ＝－2.所以m ＋n ＝－10.（2）当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立；当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选C. 变式2、已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 【解析】 (1)由已知可得l 2的斜率存在，且k 2＝1－a.若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在且不为0.∵k 2＝1－a ，k 1＝a b ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a)＝－1.(*)又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.(**)由(*)(**)联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab ＝1－a ，①又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b ，②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.方法总结：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．考点二 两条直线的交点问题例2 已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－16，12 【解析】 如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A(4，0)，B(0，2)．直线y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k(x ＋2)，表示这是一条过定点P(－2，1)，斜率为k 的动直线．因为两直线的交点在第一象限，所以两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)，所以动直线的斜率k 需满足k PA ＜k ＜k PB .因为k PA ＝－16，k PB＝12，所以－16＜k ＜12.变式1、(1)三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1(2)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为__________． 【答案】(1)C (2)5x ＋3y －1＝0【解析】(1)由l 1∥l 3得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若l 1，l 2的交点(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5，且k ≠－10，故选C.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)．由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1，l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1.故直线l 的方程为5x ＋3y －1＝0.变式2、下面三条直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0不能构成三角形，求实数m 的取值集合．【解析】 当三条直线交于一点时：由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y －4＝0，mx ＋y ＝0，解得l 1和l 2的交点A 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m ，－4m 4－m ，由A在l 3上可得2×44－m －3m×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 4－m ＝4，解得m ＝23或m ＝－1. 至少两条直线平行或重合时：l 1、l 2、l 3至少两条直线斜率相等，当m ＝4时，l 1∥l 2；当m ＝－16时，l 1∥l 3；若l 2∥l 3，则需有m 2＝1－3m ，m 2＝－23不可能．综合(1)、(2)可知，m ＝－1，－16，23，4时，这三条直线不能组成三角形，∴m 的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－16，23，4.方法总结：(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，常用的直线系方程如下：①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R ，且m ≠C )；②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；③过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1 ＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2. 考点三、 两直线的距离问题 例3、已知点P(2，－1)．(1)求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离．(3)是否存在过点P 且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．【解析】 (1)过点P 的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为(2，－1)，可见过P(2，－1)垂直于x 轴的直线满足条件．此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k(x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得||－2k －1k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)过点P 与原点O 距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1.∴k l ＝－1k OP＝2.由直线的点斜式方程得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0，最大距离为||－55＝ 5.(3)由(2)可知，过P 点不存在与原点距离超过5的直线，∴不存在过P 点且与原点距离为6的直线．变式1、(1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝0(2)若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m ＞0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是 5，则m ＋n ＝( ) A ．0 B ．1 C ．－2D ．－1【答案】 (1)A (2)C【解析】 (1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线为过点P (2,1)且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0＝12，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x ＋y －5＝0. (2)因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m ，解得n ＝－4，m ≠－3，所以直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是 5，所以|m ＋3|1＋4＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.变式2、已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点P.(1) 若点A(5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2) 求点A(5，0)到直线l 距离的最大值．【解析】 (1) 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以P(2，1)．当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝2，符合题意；若直线l 的斜率存在，设l 的方程为y －1＝k(x －2)，即kx －y －2k ＋1＝0.由已知点A(5，0)到直线l 的距离为3，得|3k ＋1|k 2＋1＝3，解得k ＝43，此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0. (2) 由(1)可知交点P(2，1)，如图，过P 作任一直线l ， 设d 为点A 到直线l 的距离，则d≤PA(当l ⊥PA 时等号成立)， 所以d max ＝PA ＝（5－2）2＋（0－1）2＝10.方法总结：1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式．考点四 直线的对称性例4、(1)已知直线l ：x ＋2y －2＝0.①求直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程； ②求直线l 关于点A (1,1)对称的直线方程．(2)光线由点A (－5，3)入射到x 轴上的点B (－2,0)，又反射到y 轴上的点M ，再经y 轴反射，求第二次反射线所在直线l 的方程．【解析】(1)①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x ＋2y －2＝0解得交点P (2,0)．在l 1上取点M (0，－2)， M 关于l 的对称点设为N (a ，b )，则⎩⎨⎧a 2＋2·b －22－2＝0，⎝⎛⎭⎫－12·b ＋2a ＝－1，解得N ⎝⎛⎭⎫125，145，所以kl 2＝145－0125－2＝7， 又直线l 2过点P (2,0)，所以直线l 2的方程为7x －y －14＝0.②直线l 关于点A (1,1)对称的直线和直线l 平行，所以设所求的直线方程为x ＋2y ＋m ＝0.在l 上取点B (0,1)，则点B (0,1)关于点A (1,1)的对称点C (2,1)必在所求的直线上，所以m ＝－4，即所求的直线方程为x ＋2y －4＝0.(2)点A (－5，3)关于x 轴的对称点A ′(－5，－3)在反射光线所在的直线BM 上， 可知l BM ：y ＝33(x ＋2)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，233.又第二次反射线的斜率k ＝k AB ＝－33，所以第二次反射线所在直线l 的方程为y ＝－33x ＋233，即x ＋3y －2＝0.变式、(1)如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是___．(2)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程． 【答案】（1）210 （2）9x －46y ＋102＝0.【解析】 (1)直线AB 的方程为x ＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB 的对称点为D(4，2)，关于y 轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为CD ＝62＋22＝210. (2)在直线m 上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1解得⎩⎨⎧a ＝613，b ＝3013， ∴M′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0得N(4，3)．又∵直线m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0.方法总结：对称性问题有三类：一是点关于点对称；二是点关于线对称；三是线关于线对称；点关于点对称问题比较简单，只要用中点坐标公式即可；点关于线对称要用到两个条件，一是已知点和对称点的连线与已知直线垂直，二是已知点和对称点的中点在已知直线上；线关于线对称问题，一般是在某一条直线上找两个点，求出这两个点关于另一条直线的对称点，然后用两点式求出其方程．通常情况下会用到两直线的交点．五、优化提升与真题演练1、已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且直线l 与l 1平行，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．6D ．0或6【答案】C【解析】由直线l 的倾斜角为3π4得l 的斜率为－1，因为直线l 与l 1平行，所以l 1的斜率为－1.又直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，所以l 1的斜率为33－a ，故33－a＝－1，解得a ＝6.2、(多选)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则实数c 的值是( )A ．2B ．－4C ．5D ．－6【答案】AD【解析】 依题意知，63＝a －2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋－22＝21313，解得c ＝2或－6.3、已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－16，12 【解析】由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1. 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.4、(一题两空)已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________. 【答案】 －1 1【解析】若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1.5、 过点P(0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段恰好被点P 平分，求直线l 的方程．【解析】 设l 1与l 的交点为A(a ，8－2a)，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B(－a ，2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A(4，0)在直线l 上，∴直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.6、已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：4x －2y －1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12； ③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．【解析】：(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋－12＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)．若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116， 所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0； 若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式，有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝12(舍去)； 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718. 所以存在点P ⎝⎛⎭⎫19，3718同时满足三个条件．。

几何中的平行与垂直关系在几何学中，平行和垂直是两个重要的关系。

平行指的是两条直线或两个平面永远不相交，而垂直则表示两条直线或两个平面相交且交角为90度。

这两种关系在现实生活和数学应用中起着重要的作用。

本文将详细介绍几何中的平行与垂直关系。

1. 平行关系平行关系是几何学中最基本的关系之一。

两条直线平行的定义是：它们永远不相交，无论延长多少。

平行关系可以用符号“||”来表示。

例如，在平面上有AB和CD两条直线，如果AB || CD，则表示AB与CD平行。

在平行关系中，有几个重要的性质：1.1 平行线的性质1.1.1 平行线与转角定理当一对平行线被一条截线切割时，其内部和外部对应的转角相等。

这被称为平行线与转角定理。

例如，在平面上有两条平行线AB和CD，线段EF截断了这两条平行线，那么∠AEF = ∠DEF。

1.1.2 平行线的传递性如果AB || CD，CD || EF，则必有AB || EF。

这是平行线的传递性定理。

传递性在证明中经常使用，有助于推导其他平行线的性质。

1.2 平行线判定在几何学中，有几种方法可以判定平行线：1.2.1 同位角相等法如果两条直线被一条截线切割，并且同位角相等，那么这两条直线是平行的。

例如，如果∠ABC = ∠DEF，并且线段AD与BC相交，则AD || BC。

1.2.2 内错角相等法如果两条直线被一条截线切割，并且内错角相等，那么这两条直线是平行的。

例如，如果∠ABC = ∠DFE，并且线段DE与BC相交，则DE || BC。

2. 垂直关系垂直关系是几何学中另一个重要的关系。

两条直线或两个平面垂直的定义是：它们相交且相交角为90度。

垂直关系可以用符号“⊥”来表示。

例如，在平面上有AB和CD两条直线，如果AB ⊥ CD，则表示AB与CD垂直。

在垂直关系中有几个重要的性质：2.1 垂直线的性质2.1.1 垂直线与转角定理当一对垂直线被一条截线切割时，其内部和外部对应的转角互补。

两条直线的位置关系——平行与垂直【基础回顾】1.两条直线平行（1）直线1l ：11y k x b =+与2l ：22y k x b =+平行12k k ⇔=且12b b =（2）直线1l ：1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行1221A B A B ⇒=（3）平行直线的假设（平行直线系）11:l y kx b =+且1l //2l ，则2l 可以设为：2y kx b =+（12b b ≠）11:0l Ax By C ++=且1l //2l ，则2l 可以设为：20Ax By C ++=（12C C ≠）2.两条直线垂直（1）直线1l ：11y k x b =+与2l ：22y k x b =+垂直121k k ⇔=-（2）直线1l ：1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行12120A A B B ⇔+=（3）垂直直线的假设（垂直直线系）11:l y kx b =+且1l ⊥2l ，则2l 可以设为：21y x b k=-+ 11:0l Ax By C ++=且1l ⊥2l ，则2l 可以设为：20Bx Ay C -+=【典型例题】例1 若1l ，2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为α，β，则下列命题中正确的是 .①1l //2l ，则t an t a n αβ=；②若αβ=，则1l //2l ；③若tan tan αβ=，则1l //2l ；④若1l //2l ，则αβ=. 例2 直线1l ：2(1)40x m y +++=与直线2l ：320mx y +-=平行，则m 的值为（ ）A. 2B. 3-C. 2或3-D. 2-或3- 练习：1l ：(2)(1)0m x m y ++-=，2l ：(1)(23)20m x m y -+++=，12l l ⊥，则m 为（ ）A. 1-B. 1C. 1±D. 32-例3 已知点(2,2)A 和直线l ：34200x y +-=. 求：（1）过点A 和直线l 平行的直线方程；（2）过点A 和直线l 垂直的直线方程.例4 （1）当a 为何值时，直线1l ：2y x a =-+与直线2l ：2(2)2y a x =-+平行？（2）当a 为何值时，直线1l ：(21)3y a x =-+与直线2l ：43y x =-垂直？【夯实基础】1.对于两条不同的直线1l 、2l ：①两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；②若直线1l 、2l 都有斜率且斜率相等，则1l //2l ；③若直线12l l ⊥，则它们的斜率互为负倒数；④若直线1l 、2l 的斜率互为负倒数，则12l l ⊥. 其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知直线420ax y +-=与250x y b -+=互相垂直，垂足为(1,)c ，则a b c ++的值为（ ）A. 4-B. 20C. 0D. 243.四边形ABCD 的顶点坐标为(4,5)A ，(1,1)B ，(5,3)C ，(8,7)D ，则四边形ABCD 为（ ） A. 平行四边形 B. 梯形 C. 矩形 D. 菱形4.将直线20x y m +-=平行移动到点(4,4)M ，所得直线方程变为0x ny t ++=，则n ，t 的值为（ ）A. 2,12n t ==B. 2,12n t ==-C. 2,12n t =-=D. 2,12n t =-=- 5.若(2,1)OP =- ，0PQ OP ⋅= ，则PQ 所在直线的方程为（ ）A. 20x y +=B. 240x y +-=C. 250x y -+=D. 230x y ++=6.已知三条直线10x y ++=，280x y -+=，350ax y +-=只有两个不同的交点，则a = .7.已知直线1l 的斜率为0，且直线12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为 .8.若直线l 经过点(2,1)a --和点(2,1)a --，且与经过点(2,1)-，斜率为23-的直线垂直，则实数a 的值是 .9.直线1l ：370x y +-=，2l ：20kx y --=与x 轴，y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则k = .10.已知三角形的顶点为(2,4)A ，(1,2)B -，(2,3)C -，则BC 边上的高AD 所在直线的方程为 .11.已知定点(0,1)A ，点B 在直线0x y +=上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是 .12.已知两直线1l ：40ax by -+=，2l ：(1)0a x y b -++=，当直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与2l 垂直时，求a ，b 的值.13.已知(0,3)A ，(1,0)B -，(3,0)C ，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形（A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列）.。

平行四边形和梯形第 1 节平行与垂直【知识梳理】1.平行与垂直（1）平行①.平行的含义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

如图：［提示：平行是两条直线的位置关系，所以提到平行时，不能孤立地说某条直线是平行线，至少要有两条直线才成立。

]②.表示方法：平行可以用符号“∥”表示。

a与b相互平行，记作a∥b，读作a平行与b。

(2)垂直①.垂直的含义：两条直线相交成直角，就是说这两条直线相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

如图：（互相垂直的两条直线相交成直角，与怎样摆放无关)［提示：垂直是两条直线相交的特殊情况，两条直线垂直是相互的，所以不能独立地说哪条直线是垂线。

］②.表示方法：垂直可以用符号“⊥”表示。

如图中a与b相互垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。

（3）归纳总结：①.同一个平面内的两条直线的位置关系不相交-—平行相交—-垂直或不垂直②。

平行:在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

③。

垂直：两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足. （4）拓展提高：①.阐释“同一平面内”：“同一平面内”是确定两条直线是不是平行关系的前提，如果不在同一个平面内，那么有些直线虽然不相交，但也不能称为互相平行.图1 图2 图1：a与b在同一个平面内,而且不相交，就说a与b相互平行。

图2：a与b不在同一个平面内，所以不能称a与b相互平行。

②。

把两根小棒都摆成和第三根小棒平行，这两根小棒会有什么关系？在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

即如果a∥c,b∥c，则a∥b。

③。

把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直,这两根小棒会有什么关系？在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。

即如果a⊥c，b⊥c，则a∥b。

2.垂线的画法及应用（1)过直线上一点画已知直线的垂线①.方法一:用三角尺画垂线②.用量角器画垂线（2)过直线外一点画已知直线的垂线同过直线上一点画已知直线的垂线的方法相同。

两条直线的位置关系讲义一、知识梳理1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.(ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2.(2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 注意：1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )．(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )．2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.5．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.( )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上．( ) 题组二：教材改编2．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋13．已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________.题组三：易错自纠4．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－35．直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是______．6．若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________.三、典型例题题型一：两条直线的位置关系典例已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．思维升华：(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．跟踪训练 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．题型二：两直线的交点与距离问题1．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是_____．2．若直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为___________．思维升华：(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．题型三：对称问题命题点1：点关于点中心对称典例过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．命题点2：点关于直线对称典例如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A．3 3 B．6C．210 D．25命题点3：直线关于直线的对称问题典例已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．跟踪训练：已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线．注意：用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．二、垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解．典例2求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．三、过直线交点的直线系典例3经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为______．四、反馈练习1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定2．“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝04．一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B ．2 C ．3 D ．45．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423 B ．42 C.823D ．22 6．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点 ( )A ．(0,4)B ．(0,2)C ．(－2,4)D ．(4，－2)7．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.9．已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________．10．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________．11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12； ③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．13．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为()A．(－2,4) B．(－2，－4)C．(2,4) D．(2，－4)14．已知动直线l：ax＋by＋c－2＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3，则12a＋2c的最小值为________．15.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________．16．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是______________．。