概率论与数理统计第四章PPT

32 30 17 21 0 1 2 3 1.27 100 100 100 100
这个数能否作为 X的平均值呢？
若统计100天,
可以想象, 若另外统计100天, 车工小张不出废品, 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27. 一般来说, 若统计n天 ,
(假定小张每天至多出三件废品)
又设飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数 : W kV 2 ( k 0, 常数), 求W 的数学期望.
解: 由上面的公式
1 1 2 E (W ) kv f (v )dv kv dv ka a 3 0
2 2

a
例7 设二维连续型随机变量（X , Y）的概率密度为
A sin( x y ) 0 x , 0 y f ( x, y) 2 2 0 其它 (1)求系数A , ( 2)求E ( X ), E ( XY ).
x f ( x )x
i i i
i
阴影面积近似为
这正是:


f ( xi )xi

x f ( x )dx
的渐近和式.
小区间[xi, xi+1)
定义: 设X是连续型随机变量, 其密度函数为 f (x), 如果积分: xf ( x )dx
概率论


绝对收敛, 则称此积分值为X的数学期望, 即:
2. 设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y), 则： E ( X )
E (Y )


xf X ( x )dx

yfY
( y )dy




xf ( x , y )dxdy,

定理 4.1： 设 =g(X), g(X) 是连续函数， 若 X的分布律为 pk P{ X xk }
且 pk g( xk ) 绝对收敛，则 k 1
E() g( xk ) pk k 1 14
定理4.1的重要性在于计算随机变量的函数 Y=g(X)的数学期望E[g(X)]时，不必求出随 机变量Y的分布律，可由随机变量X的分布 律直接计算E(Y)，应用起来比较方便。
随机变量的概率分布完整地描述了随机变量 的统计规律，但是在实际问题中求得随机变量 的概率分布并不容易，而且对某些问题来说， 只需要知道它的某些特征就够了，不一定非要 求出概率分布。
我们把刻画随机变量某些方面特征的数值 称为随机变量的数字特征。本章主要有： 数学期望，方差，协方差，相关系数和矩。
2
4.1 数学期望
0
1 20
1
2 20
9 2 10 20
1 20
10 i0
xi
fi
以频率为权数的加权平均
3
引例 2：某班有 N 个人，其中有 ni 个人为 ai
k
分， i 1,2,k ， ni N ， 求平均成绩。
i 1
解： 平均成绩为:
1 N
k
ai ni
i 1
k
ai
i 1
ni N
若用 X 表示成绩，则
设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，
若积分 xf (x)dx 绝对收敛，则称积分
xf ( x)dx 的值为X的数学期望。
记为E(X) = xf ( x)dx
数学期望也称为均值。
19
例4.4 设随机变量X 的密度函数为
f
x
x
2
e
x2 2 2

上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。
02
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.
01
例6
例 7
解：
设(X,Y)在区域A上服从均匀分布，其中A为x轴，y轴和直线x+y+1=0所围成的区域。 求EX，E(-3X+2Y)，EXY。
例5
若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机
寿命(以小时计) N 的数学期望.
的分布函数为
三、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出：
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？
一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
若设
i=1,2，…，n
则 是n次试验中“成功” 的次数
解
X~B(n,p),
“成功” 次数 .
则X表示n重努里试验中的
于是
i=1,2，…，n
由于X1,X2,…, Xn 相互独立
= np(1- p)
E(Xi)= p,
D(Xi)=
p(1- p) ,
例7
解
1
展开
2
证：D(X)=E[X-E(X)]2
3
=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}
4
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
5
=E(X2)-[E(X)]2

化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的

DX=Var(X)= E(X EX )2 。 DX 称为标准差。
DX E( X EX )2 (xi EX )2 pi ， 离散型。
i 1
DX (x EX )2 f (x)dx ，
连续型。
II)方差的性质
DX E( X EX )2
1) DX0，若 C 是常数，则 DC=0
2) D(CX ) C 2DX
n!
p k 1q nk
k 1
n(n 1)
p2
(k
n
1)!(n
k )!
(n
2)!
k1 (k 1)!(n k)!
p q k 2 n2(k 2) np
k2 (k 2)!(n 2 (k 2))!
n(n 1) p 2 ( p q) n2 np n 2 p 2 np 2 np
DX EX 2 (EX )2 n2 p2 n p2 np n2 p2 np(1 p) npq
第四章 随机变量的数字特征
§1 数学期望与方差 §2 协方差、相关系数与矩
1、数学期望定义
(1) 离散型
设离散型随机变量 X 的分布律为： P{X xk } pk ， k 1,2, ，
若级数 xk pk 绝对收敛， i 1
则称级数 xk pk 的和为随机变量 X 的数学期望。 i 1
记为 EX，即 EX= xk pk 。 k 1
3) D(aX bY ) a2DX b2DY 2abE( X EX )(Y EY ) ，
a，b 是常数。若 X，Y 独立， 则 D(aX bY ) a2DX b2DY
证：D(aX bY) E[aX bY E(aX bY)]2
E[a(X EX ) b(Y EY)]2
方法2：

)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布

xf (x)dx x dx 2
0

1




（自学）例4.9 设二维随机变量(X,Y)具有概 率密度 15x 2 y 0 x y 1 f ( x) y 0 其它
设Z=XY，试求Z的数学期望。 解

y=x
1
E (Z ) E ( XY )


推广：设(X,Y)是二维随机变量，Z=g(X,Y)，其中g(•,•) 是连续函数。
(1)设(X,Y)是离散型随机向量，分布律为
P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…
则当 g ( xi , y j ) pij 绝对收敛时，Z的数学期望存在，且
i 1 j 1
E ( X ) xi p i
i 1
i
记作 E(X)，即
注意：随机变量X的数学期望E(X)完全是由X的分布律
确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因
此要求级数
x p 绝对收敛。若级数 x p 不绝对收敛，
i 1 i i i 1 i i


则称随机变量X的数学期望不存在。
证 将C看成是离散型随机变量，分布律P(X=C)=1，则 E(C)=C 2、设C是常数，X为随机变量，则E(CX)=CE(X);
证 设X的密度函数为f(x)，则

E (CX )

xf ( x)dx CE ( X ) Cxf ( x)dx C

3、设X,Y为任意两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y); 证 设(X,Y)~f(x,y)，边缘密度函数为fX(x)，fY(y)
第四章 随机变量的数字特征

02 典型例题
应用 设市场上对某种产品每年需求量为X 吨 ，其中X ~ U [200,400],
每出售一吨可赚300元 , 售不出去，则每吨需保管费100元，问应
该组织多少货源, 才能使平均利润最大？
f
X
(
x)
1 200
,
0,
200 x 400, 其它
解 设组织n吨货源, 利润为 Y，
Y
因此只要掌握了期望的计算，所有的数字特征计算都解决了！
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
01 随机变量函数的数学期望
(1) Y = g(X) 的数学期望
设离散 r.v. X 的概率分布为 P( X xi ) pi , i 1, 2,
若无穷级数 g(xi ) pi 绝对收敛，则 i 1 E(Y ) g(xi ) pi i 1
设连续 r.v. X 的密度为 f (x)
若广义积分 g(x) f (x)dx 绝对收敛, 则
例 设风速V是一个随机变量，它服从（0，a）上的均匀分布，而飞 机某部位受到的压力F是风速V 的函数：
F kV 2
（常数k > 0），求F 的数学期望.
01 随机变量函数的数学期望
如何计算随机变量函数的数学期望?
一种方法是: 因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它 的分布可以由X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就 可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.
xf (x, y)dxdy
0
0
dx
2xdy 1
1 x1
3
E(3X 2Y )
(3x 2 y) f (x, y)dxdy
0
0

三、正态总体下的常用统计量的分布
定理1 若 X1,X 2,, X n 是取自正态总体 N (, 2 ) 的 样本，则有：
(1)
X

1 n
n i 1
X
i~
N (, 2 )
n
(5) X ~ t(n 1)
S/ n
(2) U X ~ N (0,1)
(3)
/ n
1
n
nS
2 n

(n
1)S 2

(Xi X)2
i 1
三、正态总体下的常用统计量的分布
统计量是随机变量，在研究数理统计问 题时，往往需要讨论所研究的统计量的分 布，它对统计方法的应用起着举足轻重的 作用，通常称统计量的分布为抽样分布。 在实际问题中用正态随机变量来刻划的随 机现象比较普遍，因此，在下面的讨论中 ，总是假定总体服从正态分布。
《概率统计》
第四章 参数估计与假设检验
主要内容
第四章 参数估计与假设检验
第一节 数理统计基础与抽样分布 第二节 点估计 第三节 区间估计 第四节 假设检验
第一节 数理统计基础与抽样分布
一、总体、个体与样本 二、统计量与样本矩 三、正态总体下的常用统计量的分布
一 总体、个体与样本
我们知道，虽然从理论上讲，对随机变量 进行大量的观测，被研究的随机变量的概率特 征一定能显现出来，可是实际进行的观测次数 只能是有限的，有的甚至是少量的。

1 n
n i 1
xi
(2)
S 2 1 n n 1 i1
Xi X
2

1 n 1
n i 1
X
2 i
2
nX

解：
1 (5 0.5x)( 3 x2 x)dx
0
2
4.65(元)
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21
4.1.2 随机变量函数的数学期望
将定理4.1推广到二维随机变量的情形．
定理4.2 设Z是随机变量X，Y的函数Z = g(X，Y)， g是连续函数．
(1) 若(X，Y)是二维离散型随机变量，其分布律
为P{X xi ,Y yj } pij, i, j 1,2,, 则有
解：由于 P{ X k} k e ，k = 0，1，2，…，
k!
因而
E( X ) kP{ X k} k k e
k0
k0 k!
k e
k1 (k 1)!
e
k 1
k1 (k 1)!
e k ee k0 k!
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12
4.1.1 数学期望的概念
2. 连续型随机变量的数学期望
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4.1.2 随机变量函数的数学期望
定理4.1 设Y为随机变量X的函数:Y = g(X) (g是连续
函数).
(1) 设X是离散型随机变量，其分布律为
P{X xk } pk , k 1,2,
若级数 g( xk ) pk绝对收敛,则 E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk
f ( x) 25( x 4.2)， 4 x 4.2，
0，
其 它.
求pH值X的数学期望E(X).
解：
E( X ) xf ( x)dx
4
4.2
x 25( x 3.8)dx x (25)(x 4.2)dx
3.8
4
4
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dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2



( t )e
dt
1-91
31
1 E( X ) x e 2
( x )2 2 2
dx 令t
t2 2
x

，得
E( X )
1 2



( t )e
t2 2
得
从而
的概率密度为:
1-91
21
故所求数学期望分别为
1-91
22
三.数学期望的性质
性质1: 设 C 为常数，则 性质2: 设 C 为常数，X 为随机变量， 则有 性质3: 设 X , Y 为任意两个随机变量, 则有 为 n 个随机变量，
推论1 设
为常数，则
1-91
23
性质4 设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有
证: 因为 X 和 Y 相互独立，所以 于是
推广:
1-91 24
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球 落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的 均值 解 引入随机变量
显然有
1-91
25
例7. 将 n只球随机放入M 只盒子中去，设每只球 落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数 X 的 均值
1-91
18
例5. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。
解: 设T 为乘客到达车站的时刻， 则
其概率密度为
设Y 为乘客等车时间，则
1-91
19
已知
1-91

人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次 试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由 怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者， 即认为其接待时间是有规定的。
1.3 频率与概率
某人向目标射击， 以A表示事件“命中目标”， P（ A） =？ 定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；

(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
2.概率的性质 P(8-9) (1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) (3)事件差 A、B是两个事件， 则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
种取法.
1、抽球问题
例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中 任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白
N () C
2 5
1 1 N ( A) C3 C2

CC 3 P( A) 2 C5 5
1 3
1 2
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白 球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有

五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系
设试验 E 的样本空间为Ω, 而 A, B, Ak (k = 1,2,L 是Ω 的子集 ) .
出现, 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 1、包含关系 则称事件 则称事件 B 包含事件 A,记作 B ⊃ A 或 A ⊂ B. 记作
特别地 若事件A包含事件B,而且事件B包含 事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B. 2.两事件的和与并
ω ω
三、样本空间 样本点
定义 随机试验的每一个可能的结果，称 为基本事件，随机试验的所有可能的结果的 全体称为样本空间，用Ω或S表示。则Ω中的 点就是基本事件，也称作样本点，常用w表 w 示。
四、随机事件的概念
随机事件 随机事件E的样本空间Ω的子（或 某些样本点的子集），称为E的随机事件， 简称事件。 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
概率论与数理统计教程
沈恒范 编
高等教育出版社
目 录
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 事件与概率 离散型随机变量 连续型随机变量 大数定律与中心极限定理 数理统计的基本概念 点估计 假设检验 方差分析与回归分析
第一章
事件与概率
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
至少发生一个” “二事件 A, B至少发生一个”也是一 个事件, 称为事件 A与事件B的和事件.记作AU B，显然 AU B = {e | e ∈ A或e ∈ B}.
推广：

*
例2：从上例的袋中不放回的摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例3：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
例4：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(n≤N)，设每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球数不限， 记A＝{ 恰有n个盒子各有一球 }，求P(A)． 解：
原来这不是等可能概型
总样本点数为 ，每点出现的概率相等，而其中有 个 样本点使 发生，
①，②，…，
n
S＝{ }，
①，②，…，
a
{ }
{红色}
解2： 视哪几次摸到红球为一样本点
解4： 记第k次摸到的球的颜色为一样本点： S＝{红色,白色}，
*ห้องสมุดไป่ตู้
解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来 访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.
例7：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归