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第12章_2_参数模型功率谱估计

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参数模型功率谱估计

参数模型功率谱估计

LSI系统的输入、输出关系：
差分方程 卷积关系 以上两式是LSI系统的时域表示，无论对确 定性信号还是随机信号都成立。现假定输入、 输出是平稳随机信号（输入是白噪声）。
转移函数的两 种表示形式， 独立于信号。
谱分解 的Z域 表示
待辨识 的参数。
Px (z)
u2H (z)H (z1)
u2
B( z ) B( z 1 ) A(z) A(z1)
求解方法：由下面的差分方程入手：
两边同乘 x(n m) ，求均值
p
ak Ex(n m k)x(n) k 1
Eu(n m)x(n)
x(n) 和
u(n) 的
互相关
卷积 关系
因果 系统
结果1： 结果2：
结合 起来
正则方程 （Normal Eq.）
rx (0) rx (1) rx (1) rx (0)
k
可以得到使 最小的 1,L , p 及 min 。
不求导，使用正交原理：
E{x(n m)[x(n) xˆ(n)]} 0, m 1, 2, L , p
e(n)
p
rx (m) k rx (m k), m 1, 2, L , p k 1
Wiener-Hopf Eq.
min E{x(n)[x(n) xˆ(n)]}
u(n)
x(n)
AR模型
1 A(z)
白化滤 x(n)
波器
A(z)
e(n)
x(n)
线性预 测器
1 A(z)
xˆ(n)
e(n)
Yule-Walker 方程的快速计算
－Levinson-Durbin快速算法： 要求解的参数：
ap (1), ap (2),L , ap ( p), 2(min @p )

功率谱估计教材

功率谱估计教材

1 ˆxx (m) r N
ˆ ( w) P BT
N |m|1

n 0
x ( n ) x ( n m)
m m

ˆxx (m) e jwm r
自相关法
由于在估计x的自相关函数时，数据的长度为N， 因此估计的自相关函数r̂xx(m)的长度为2N-1点：
ˆxx (m) r ˆxx (m) r 0
功率谱估计
--非参数估计方法
功率谱估计
经典功率谱估计（非参数法）
自相关法 周期图法
参数谱估计（参数法）
AR、MA、ARMA模型
经典谱估计法-自相关法
自相关法-BT(Blackman-Tukey提出)
随机信号的一个样本数据为[x(0),x(1),…,x(N-1)]，长 度为N。 先根据样本数据估计自相关函数r̂xx(m)，再利用FFT 变换，得到功率谱的估计PBT(w)。
m

jwm ˆ E[rxx (m)]e
窗函数法
则自相关函数的变化：
1 ˆxx (m)] E[r N
n
E[ x(n)v(n) x(n m)v(n m)]

1 E[ x(n) x(n m)] v(n)v(n m) N n
1 rxx (m) N
这样，功率谱估计为：
m N 1 m N 1
| m | N 1 else
ˆ ( w) P BT

jwm ˆ rxx (m) e
周期图法
相关法是利用样本数据对自相关函数进行估计， 进而估计功率谱密度，而周期图法则根据功率 谱密度的另一定义：
1 N 1 Pxx (w) lim E[ | x(n)e jwn |2 ] N N n 0

功率谱计算[解说]

功率谱计算[解说]

功率谱计算功率谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题，涉及的问题很多。

在这里，结合matlab，我做一个粗略介绍。

功率谱估计可以分为经典谱估计方法与现代谱估计方法。

经典谱估计中最简单的就是周期图法，又分为直接法与间接法。

直接法先取N点数据的傅里叶变换（即频谱），然后取频谱与其共轭的乘积，就得到功率谱的估计；间接法先计算N点样本数据的自相关函数，然后取自相关函数的傅里叶变换，即得到功率谱的估计.都可以编程实现，很简单。

在matlab中，周期图法可以用函数periodogram实现。

但是周期图法估计出的功率谱不够精细，分辨率比较低。

因此需要对周期图法进行修正，可以将信号序列x(n)分为n个不相重叠的小段，分别用周期图法进行谱估计，然后将这n段数据估计的结果的平均值作为整段数据功率谱估计的结果。

还可以将信号序列x(n)重叠分段，分别计算功率谱，再计算平均值作为整段数据的功率谱估计。

这2种称为分段平均周期图法，一般后者比前者效果好。

加窗平均周期图法是对分段平均周期图法的改进，即在数据分段后，对每段数据加一个非矩形窗进行预处理，然后在按分段平均周期图法估计功率谱。

相对于分段平均周期图法，加窗平均周期图法可以减小频率泄漏，增加频峰的宽度。

welch法就是利用改进的平均周期图法估计估计随机信号的功率谱，它采用信号分段重叠，加窗，FFT等技术来计算功率谱。

与周期图法比较，welch法可以改善估计谱曲线的光滑性，大大提高谱估计的分辨率。

matlab中，welch法用函数psd实现。

调用格式如下：[Pxx,F] = PSD(X,NFFT,Fs,WINDOW,NOVERLAP)X：输入样本数据NFFT：FFT点数Fs:采样率WINDOW：窗类型NOVERLAP，重叠长度现代谱估计主要针对经典谱估计分辨率低和方差性不好提出的，可以极大的提高估计的分辨率和平滑性。

可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。

参数模型谱估计有AR模型，MA模型，ARMA模型等；非参数模型谱估计有最小方差法和MUSIC法等。

《现代信号处理》教学大纲

《现代信号处理》教学大纲

《现代信号处理》教学大纲适用专业：信息与通信工程、物联课程性质：学位课网工程、电子与通信学时数：32 学分数： 2课程号：M081001 开课学期：秋季第(1)学期大纲执笔人：何继爱大纲审核人：陈海燕一、课程的地位和教学目标现代信号处理作为信息类专业研究生的一门专业基础课，是在传统数字信号处理基础上，基于概率统计的思想，用数理统计、优化估计、线性代数和矩阵计算等工具，研究有限数据量的随机信号的分析与处理，且系统可能是时变、非线性的，它是近代才发展起来的前沿学科。

主要讨论基于信号模型分析和滤波的基本理论和基本方法；以现代谱估计和自适应滤波为核心内容，并介绍现代信号处理的新技术。

该课程为众多信号处理的应用领域打下基础，包括通信、声学、图像、雷达、声纳、生物医学等领域的信号处理。

本课程的知识目标是使学生牢固掌握现代信号处理一些最基本的理论、方法和应用，并能跟踪和学习新的理论、方法和技术；内容涉及随机信号统计分析、现代谱估计、自适应滤波器、时频分析与二次型时频分布、信号多速率变换、盲信分离和阵列信号处理方法等；建立现代信号处理的知识体系，对课程内容总体把握；具有一定的实验和模拟仿真的基本知识。

了解现代信号处理重要新技术的发展趋势，为从事信息与通信工程及相关电子系统的工程设计打下坚实的基础。

本课程的能力目标是通过课程的学习提高学生的分析计算方法、演绎推理方法和归纳法等基本数学处理方法；运用数学、物理及工程概念及方法发现问题、分析问题和解决问题的能力，以及理论与实际相结合的能力；能够触类旁通，提高学生的科学学习方法；掌握通信学科的信号分析与处理基本理论和技能，思路开阔，具有运用所学知识的能力、搜集和提炼信息的能力、团队合作能力、表达能力和创新能力等。

本课程的专业素质目标通过本课程的课堂学习、单元知识及章节总结、习题及专题研讨培养学生培养良好严谨的科学研究态度和正确的思维方法，使学生敢于提出问题、善于分析问题和解决问题的能力及具有团队合作精神。

功率谱估计

功率谱估计

功率谱估计引言：对信号和系统进行的分析研究、处理有两类方法：一类是在时域内进行，维纳滤波、卡尔曼滤波以及自适应滤波等都属于时域处理方法；另一类方法是频域研究方法。

对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础，但是在实际生活中大多数信号是随机信号，而随机信号的傅里叶变换是不存在的，在实际应用中，通常通过采集和观测平稳随机过程的一个抽样序列的一段（有限个）数据，根据这有限个已知的数据来估计随机过程的功率谱问题来对随机信号进行分析，这即是频率谱估计。

功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内通过用某种有效的方法来估计出其功率谱密度，从而得出信号、噪声及干扰的一些性质来，提取被淹没在噪声中的有用信号。

功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。

谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。

按照Weiner —Khintchine 定理，随机信号的功率谱和其自相关函数服从傅里叶变换关系，可以得出功率谱的一个定义，如公式（1）所示：()jwm m xx jw xx e m re P -∞-∞=∑=)( 公式（1）对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可以用时间平均来代替，可以推出功率谱的另一定义。

如公式（2）所示：()])(121[2lim ∑-=-∞→+=N N n jwn N jw xx e n x N E e P 公式（2）频率谱估计主要分为经典谱估计和现代谱估计，经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗,主要方法有相关法和周期图法;现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的,应用最广的是AR 参数模型。

功率谱估计

功率谱估计

功率谱估计功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。

谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。

维纳滤波、卡尔曼滤波，可用于自适应滤波，信号波形预测等（火控系统中的飞机航迹预判）。

如果我在噪声中加入一个信号波形。

要完全滤波出我加入的信号波形，能够做到吗？如果知道一些信息，利用一个参考信号波形，可利用自适应滤波做到（信号的初始部分稍有失真）。

功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。

下面对谱估计的发展过程做简要回顾:英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。

后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。

该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。

傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。

19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。

这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用，只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT）来计算离散傅立叶变换（DFT），用DFT的幅度平方作为信号中功率的度量。

周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。

1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列。

Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法——参数模型法谱估计的基础。

Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出Yule-Walker方程，可以说，Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。

1930年，著名控制理论专家Wiener在他的著作中首次精确定义了一个随机过程的自相关函数及功率谱密度，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，即，“功率谱密度是随机过程二阶统计量自相关函数的傅立叶变换”，这就是Wiener—Khintchine定理。

参数法功率谱估计

参数法功率谱估计

参数法功率谱估计一、信号的产生（一）信号组成在本实验中，需要事先产生待估计的信号，为了使实验结果较为明显，我产生了由两个不同频率的正弦信号（频率差相对较大）和加性高斯白噪声组成的信号。

（二）程序N=1024;n=0:N-1;xn=2*cos(2*pi*0.2*n)+ cos(2*pi*0.213*n)+randn(1,1024);这样就产生了加有白噪声的两个正弦信号其波形如下0100200300400500600-8-6-4-2246810(a) 两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形二、参数模型法功率谱估计（一）算法原理简介1．参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下：① 假定所研究的过程)(n x 是由一个白噪声序列)(n 激励一个因果稳定的可逆线性系统)(z H 的输出；② 由已知的)(n x ，或其自相关函数)(m r x 估计)(z H 的参数；③ 由)(z H 的参数来估计)(n x 的功率谱。

2．自回归模型，简称AR 模型，它是一个全极点的模型。

“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加权和。

此模型可以表现为以下三式：① ∑=+--=p k k n u k n x a n x 1)()()(；② ∑=-+==p k kk z a z A z H 111)(1)(；③ 2121)(∑=-+=p k jwkk jw x e a e P σ。

3．AR 模型的正则方程建立了参数k a 和)(n x 的自相关函数的关系，公式如下：=)(m r x ∑=--p k x k k m r a 1)( 1≥m 时，=)(m r x 21)(σ+-∑=k r a pk x k 0=m 时。

（二）两种AR 模型阶次的算法1．Yule-Walker 算法(自相关法)（1）算法主要思想Yule-Walker 算法通过解Yule-Walker 方程获得AR 模型参数。

从低阶开始递推，直到阶次p ，给出了在每一个阶次时的所有参数。

功率谱估计浅谈讲解

功率谱估计浅谈讲解

功率谱估计浅谈摘要：介绍了几种常用的经典功率谱估计与现代功率谱估计的方法原理，并利用Matlab对随机信号进行功率谱估计，对两种方法做出比较，分别给出其优缺点。

关键词：功率谱；功率谱估计；经典功率谱估计；现代功率谱估计前言功率谱估计是从频率分析随机信号的一种方法,一般分成两大类:一类是经典谱估计;另一类是现代谱估计。

由于经典谱估计中将数据工作区以外的未知数据假设为零，这相当于数据加窗，导致分辨率降低和谱估计不稳定。

现代谱估计则不再简单地将观察区外的未知数据假设为零，而是先将信号的观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。

周期图、自相关法及其改进方法(Welch)为经典(非参数)谱估计方法, 其以相关和傅里叶变换为基础,对于长数据记录较适用,但无法根本解决频率分辨率低和谱估计稳定性的问题,特别是在数据记录很短的情况下,这一问题尤其突出。

以随机过程的参数模型为基础的现代参数法功率谱估计具有更高的频率分辨率和更好的适应性,可实现信号检测或信噪分离,对语音、声纳雷达、电磁波及地震波等信号处理具有重要意义,并广泛应用于通信、自动控制、地球物理等领域。

在现代参数法功率谱估计方法中,比较有效且实用的是AR模型法，Burg谱估计法,现代谱估计避免了计算相关,对短数据具有更强的适应性,从而弥补了经典谱估计法的不足,但其也有一些自身的缺陷。

下面就给出这两类谱估计的简单原理介绍与方法实现。

经典谱估计法经典法是基于传统的傅里叶变换。

本文主要介绍一种方法：周期图法。

周期图法由于对信号做功率谱估计，需要用计算机实现，如果是连续信号，则需要变换为离散信号。

下面讨论离散随机信号序列的功率谱问题。

连续时间随机信号的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对，即：()()j x x S R e d +∞-Ω-∞Ω=⎰τττ若()x R m 是()x R Ω的抽样序列，由序列的傅里叶变化的关系，可得()()j j n x x m S e R m e ωω∞-=-∞=∑即()j x S e ω与()x R m 也是一对傅里叶变换对。

第14章_参数模型功率谱估计_2

第14章_参数模型功率谱估计_2
k 1
ˆ (n) e(n) x(n) x
对同样一组数据，我们可以实现双向预测：
x(n p) x(n p 1)
x(n 1)
x ( n)
Forward Prediction
前向预测 误差序列
误差功率
Backward Prediction
对同一组数据 的后向预测
后向预测 误差序列
前、后向预测误差序列有如下的关系：
m 1, 2,
,p
初始条件 反射 系数
上述关系引出了线性预测中的Lattice结构。这 一结构在现代谱估计、语音信号处理中有着 重要的应用。
上述的关系还是集总平均。对实际的信号： 单个样本有限长，求均值要简化，对
取代
的范围
N点数据，前向预测误差序列范围
Burg算法 Marple算法
14.7 MA模型
b(0) 1
再推导一步，有：
非线性方程组
MA模型的正则方程
从谱估计的角度，MA模型等效于经典法中 的间接法，所以分辨率低。因此，MA模型 用于谱估计无优势。但，MA模型： 1. 常用于系统辨识；
2. ARMA模型中包含了MA部分。
求解算法：由于MA模型的正则方程是非线性方 程，所以人们提出了很多的求解算法，如谱分解、 基于迭代的方法、基于高阶AR模型近似的方法。 后者最好用，基础是Wold分解定理。 对 x(n) 建立 一个无穷阶 的AR模型 令其等效为 模型 于是有：
i 1
H i
Wp w I
Rp S p Wp
秩为p 1
相关矩阵的 分解：信号 部分和噪声 部分
Sp
VV
i 1 i i
p 1
H
i

功率谱估计的经典方法PPT课件

功率谱估计的经典方法PPT课件
无关，PDF和pdf是随时间变化的，则称其为广义平稳随机过程。
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
6
时间平均
（11）一个平稳随机过程的一个取样序列的时间平均等于它的集合平
均，则称它是遍历性随机过程。时间平均记为 x(n) ，则取样序列的算术
平均值和时间取样自相关序列定义为
x(n) lim 1
功率谱估计的经典方法
版权所有
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
1
离散随机过程
为了描述随机变量，引入了概率分布函数、概率密度函数以及随机变 量的数字特征。这些函数或参数都是针对一维随机变量定义的。统称一 维统计特征。
但对于离散随机过程，因为它是由无限多个随机变量构成的时间序列
xn, n ，因此为完整地描述它，仅知道随机变量的特征是不
Syy(z)

Ryy(m) zm



Rxx(m
p)Rhh (
p)
zm
m
m p





Rxx(n)Rhh ( p)
z n z p

Sxx(z)Shh (z)
m n


S
xx
(
z
)H
(
z
)
H
(
z
1
)
协方差序列的z变换

Sxx(z) Cxx(m) zm , m
称为平稳随机过程的功率谱。在今后的讨论中总假设随机信号的均值为
零，所以有

Sxx(z) Rxx(m) zm , m
由于 Rxx(m) Rxx(m) ，则有 Sxx (z) Sxx (z 1) 。

功率谱估计模型法

功率谱估计模型法

由于系统输入u(n)为白噪声信号，因此：
2
ruu
(m)

E[u(n)u(n

m)]

0
这样rxu(m)为：

rxu (m) 2 h(k) (k m) k 0
2h(m)
m0 else
AR模型估计功率谱密度
而h(m)为系统H(z)的脉冲响应，由于H(z)为因 果系统，因此：
功率谱估计
--参数估计方法
周期图法的不足
估计方法的方差性能差
在功率谱密度计算中没有实现求均值的运算
分辨率低
样本数据x(n)是有限长的，相当于在无限长样本数据 中加载了窗函数(矩形窗、Hanning等)
参数模型功率谱估计
MA模型 AR模型 ARMA模型
平稳随机信号的参数模型
如果一个宽平稳随机信号x(n)通过一个线性时不 变系统(LSI)h(n)，则系统输出y(n)也是宽平稳随 机过程，并且y(n)的功率谱密度和x(n)的功率谱 密度满足下式：
Pyy (w) Pxx (w) | Hh (w) |2
其中Pyy、Pxx分别为系统输出、输入的功率谱密 度，而H(w)为系统脉冲响应的傅立叶变换。

a1


0

rxx ( p

2)


a2



0


rxx (0) ap 0
这就是AR模型的正则方程，也称为YuleWalker方程。
AR模型估计功率谱密度
得到AR模型的参数，就可以估计功率谱密度：
PˆAR (w)
Pxx (w) 2 | H(w) |2

功率谱估计

功率谱估计

E [ x ( n ) x ( k ) x ( p ) x ( q ) ] E [ x ( n ) x ( k ) ] E [ x ( p ) x ( q ) ] E [ x ( n ) x ( p ) ] E [ x ( k ) x ( q ) ] E [ x ( n ) x ( q ) ] E [ x ( k ) x ( p ) ]
✓ 这里由于对信号作了实白噪声的假设，才有无偏估计的结果。
➢ 周期图的均方值
E[IN(1)IN(2)]EN12 XN(ej1)2 XN(ej2)2
N12 n
k
p
RN(n)RN(k)RN(p)RN(q)
q
E[x(n)x(k)x(p)x(q)]e-j1(nk)e-j2(pq)
利用正态白噪声、多元正态随机变量的多阶矩公式，有
Ii()M 1 M n01xi(n)ejn 2
将得到的L个周期图进行平均，作为信号x(n)的功率谱估计， 公式如下：
Pˆxx(ej)L1 iL1 Ii()
估计效果分析：
➢ 偏移分析：
E[Pˆxx(ej)]
1 L
L i1
EIi()EIi()
1 2π
-ππWB(ej)Pxx(ej(-))d
式中
P x(xej)F[T rx(xm )]
W B(ej)F[T w B(m ) ]N 1 ssiiN n n /(/2 (2 )) 2
✓ 周期图的统计平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此周期图是有偏估计，但当N→∞时，wB(m)→1， 三角谱窗函数趋近于δ函数，周期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属于渐近无偏估计。
P ( je ) xx
2
2
1
00Βιβλιοθήκη 123/

功率谱估计

功率谱估计
1 1 N −1 N −1 jω 2 I N (ω ) = X (e ) = ∑ ∑ x(k ) x(n)e jω k e − jω n N N n =0 k =0
2 var[ I N (ω )] = E[ I N (ω )] − E 2 [ I N (ω )]
下面先求周期图的均值，再求其均方值：
1 1 ∞ ∞ jω 2 E[ I N (ω )] = X (e ) = ∑ ∑ E[ x(k ) x(n)]RN (k ) RN (n)e− jω ( n −k ) N N n =−∞ k =−∞
经典谱估计
BT法：1958年，R.Blackmant和J.Tukey提出， 先估计自相关函数，再计算功率谱。 周期图法：1898年，Schuster利用傅里叶级数 去拟合待分析的信号，提出周期图的术语，但 直到FFT出现，周期图法才受到人们的重视。 这种方法直接对观测数据进行FFT，取模平方， 除以N得到功率谱。
11
将 ω = ω1 = ω2 代入上式，得 sin( N ω ) 2 2 E[ I N (ω )]=σ x4 2 + N sin(ω )
sin( N ω ) 2 2 var[ I N (ω )]=E[I N (ω )]-E 2 [I N (ω )]=σ x4 1 + N sin(ω ) 显然，当N趋于无限大时，周期图的方差并不趋于0，而是趋 于功率谱真值的平方，即
N −1 1 N −1 − jω k = ∑ x(k )e ∑ x* (n)e jω n n =0 N k =0
1 N −1 N −1 = ∑ ∑ x(k ) x* (n)e − jω ( k − n ) N k =0 n =0 令 m = k − n，即 k = m + n，则

第12章参数模型功率谱估计

第12章参数模型功率谱估计




a1, a 2 ,a p ,
p
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
由这些参数，得到 x(n) 的功率谱 px (e jw ) 的估计，
即：


p AR (e jw )
p
p
2
1
a k e jwk
k 1
对 在单位圆上均匀抽样，设分点为N个，则得
到离散谱：
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
零，则 (12.1.1) 给出的模型为自回归—移动平 均模型，简称ARMA模型，显然此模型是一 个既有极点，又有零点的模型。
总结：
由于ARMA模型是一个极—零模型，它易于 反映功率谱中的峰值和谷值。AR模型易反映 谱的中峰值，而MA模型易反映谱中的谷值。
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
假定 u(n)、x(n) 都是实平稳的随机信号，u(n)为

x(n


m)
x(n)


x
(n)

0,
m

1,,
p
由此式可得:
(12.2.9)
p
rx (m) ak rx (m k),m 1,2, p k 1
再由最小均方误差公式(书312页下)有 :
(12.1.10)
x min

Ex(n)x(n)
AIC (k ) N ln( pk ) 2k
其中 N为数据xN (n)的长度，当阶次 k由1增加
时，FPE(k) 和 AIC(k)都将在某一个 k处取得极
小值。将此时的 k定为最合适的 p 。在实际
运用时发现，当数据较短时，它们给出的阶次 偏低，且二者给出的结果基本上是一致的。上 面两式仅为阶次选择提供一个依据，究竟阶次 取多少为好，还要在实践中由所得到的结果作 多次比较后，予以确定。

功率谱估计模型法汇总

功率谱估计模型法汇总
功率谱估计
--参数估计方法
周期图法的不足
估计方法的方差性能差
在功率谱密度计算中没有实现求均值的运算
分辨率低
样本数据x(n)是有限长的，相当于在无限长样本数据 中加载了窗函数(矩形窗、Hanning等)
参数模型功率谱估计
MA数模型
FFT谱 LPC谱
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
AR模型与线性预测的关系
线性预测系数aj构成的全极点滤波器H(z)：
其逆过程为：
S(n) G(z) E(n)
AR模型与线性预测的关系
AR模型：
H ( z)
1 1 ai z
i 1 p i
对应的输入、输出关系：
如果一个宽平稳随机信号x(n)通过一个线性时不 变系统(LSI)h(n)，则系统输出y(n)也是宽平稳随 机过程，并且y(n)的功率谱密度和x(n)的功率谱 密度满足下式：
Pyy ( w) Pxx ( w) | H h ( w) |
2
其中Pyy、Pxx分别为系统输出、输入的功率谱密 度，而H(w)为系统脉冲响应的傅立叶变换。
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
1
加窗时域信号
0.5
0
-0.5
-1
0
50
100
150
200
250
300
50
FFT谱 LPC谱
0
-50
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
1
清音
时域信号
0.5
0

功率谱功率谱估计

功率谱功率谱估计

(3)去非平稳 为了进行频谱分析，可以构造出平稳随机信号， 方法是减去系统的变化趋势。对于线性或近似线性 增长的趋势项，可用多项式拟合的办法来去，对于 其它类型的趋势项可用滤波的方法来去除。
四、估计质量的评价
设a是广义平稳随机过程 x ( n) 的一个数字特征 ˆ 是a的一个估计 a 1、偏倚 ˆ ] E{a a ˆ } a E{a ˆ} b[a 它表示了估计值与实际值的接近程度。 ˆ ] 0, 叫无偏估计 b[a ˆ ] 0, 叫有偏估计 b[a 2、方差 2 ˆ ˆ var[a] E{[a E{a}] } 它表示了估计值相对估计均值的分散程度。
k 1
p q
h(n)
x(n)
若u(n)是一个方差为 的白噪声,则x(n)的功率谱 j 2 j 2 S x (e ) | H ( e ) |
2
B( z ) B (1 / z ) 或 S x ( z ) H ( z ) H (1 / z ) A( z ) A* (1 / z * )
最大熵 参数化 最小交叉熵 ……
三、随机信号分析的预处理
要讨论问题通常是零均值信号的谱估计问题， 一般信号都很少满足要求，所有需作预处理 (1)取样： 若信号未经取样，则在满足取样定理的 前提下取样可根据信号带宽的物理限制，粗略估计 取样间隔。 ~ (2)去均值 x ( n) x ( n) m x
H (z)
1 1 ak z k
k 1 p
称为AR模型
（ 3 ）若ak 和br均不为 0,
x( n) a k x( n k ) br u( n r ) H ( z )
k 1 r 0 p q

q
称为ARMA模型

功率谱估计概念

功率谱估计概念

功率谱估计概念
功率谱估计是对信号的功率谱密度进行估计的过程，是信号处理中的基本问题之一。

功率谱密度描述了信号中不同频率分量的功率分布，对于分析信号的频域特性、噪声抑制、信号识别等领域具有重要意义。

在许多实际应用中，我们常常需要从采集到的信号数据中估计其功率谱。

这是因为功率谱是描述信号本质特征的重要手段，能帮助我们了解信号中各个频率分量的强度和分布情况。

比如在通信、雷达、音乐、语音处理、生物医学工程等领域，都需要对信号的功率谱进行估计和分析。

传统的功率谱估计方法包括周期图法、自相关法、Burg法等。

但这些方法通常需要较长的数据样本，并且对数据的预处理和窗函数选择敏感，计算复杂度也较高。

随着现代信号处理技术的发展，新的功率谱估计方法不断涌现，如基于小波变换的方法、基于神经网络的方法等。

这些新方法能够更准确地估计信号的功率谱，并且对噪声和干扰具有较强的鲁棒性。

在估计信号的功率谱时，我们需要关注估计的精度、稳定性、计算复杂度等问题。

不同的应用场景对功率谱估计的要求也不同，需要根据实际情况选择合适的方法。

同时，功率谱估计也是信号处理领域中一个富有挑战性的研究方向，仍有许多问题需要进一步研究和探索。

总的来说，功率谱估计是信号处理中的一项重要技术，广泛应用于各个领域。

随着科技的不断发展和进步，相信未来会有更多高效、准确的功率谱估计方法出现，推动相关领域的技术进步和应用创新。

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上三角+中间块+下三角：上、下加窗； 中间块：上、下不加窗； 中间块+上三角：下不加窗、上加窗； 中间块+下三角：上不加窗、下加窗；
12.6 AR模型系数求解算法
AR模型系数求解算法很多，人们目前仍在探 讨新的求解算法。目前，常用的算法是：
1. 自相关法 2. Burg算法 3. 协方差(covariance)方法； 4. 改进的协方差算法（modified ~) ,
i 1
可以证明：
噪声空 间只有 一个特 征向量
VM 1, ei 0, i 1, 2,
,M
VM 1 和信
号向量正交
即： eiHVM 1 M vM 1(k) exp( jik) 0 k 0 i 1, 2, , M
M
eiHVM 1 vM 1(k) exp( jik) 0 k 0
i 1, 2, , M
exp(
j2M
)
A2
rx
(2)
exp( jMM )
AM
rx
(M
)
5. 由
M
rx (0) Ai w 求出 w i 1
按上述步骤，可求出正弦信号的参数－ Pisarenko 谐波分解
若噪声空间向量不止一个，估计信号的频率， 可应用谱估计的方法。
1. 若
Pˆx ()
1
p1 k eH ( )Vk 2
7. peig.m 用自相关矩阵分解的特征向量
法估计信号的功率谱，其基本调用格式是：
[Px, F] = peig(x, order, Nfft, Fs),
[Px, F，V, E] = peig(x, order, Nfft, Fs),
x :信号向量，order:模型的阶次，Fs:抽样频率， Nfft:对x作FFT时的长度。Px:估计出的功率谱， F是频率轴坐标。对peig, 输出的E 是由自相关矩 阵的特征值所组成的向量，V是由特征向量组成 的矩阵。V的列向量张成了噪声子空间，V的行 数减去列数即是信号子空间的维数。
rx (q 1) rx (q)
rx (q p 2)
ARMA模型 的正则方程
rx (q p 1) a(1) rx (q 1)
rx
(q
p
2)
a(2)
rx
(q
2)
rx (q)
a(
p)
rx (q p)
可以先 求
，然后再解第一个方程，求
出
；但这样做的效果不好，一是
的性能不好，二是第一个方程也不好求解。首
1
K
VkVkH
e
EV(Eigenvector)方法
用特征分解求出的功率谱曲线
与本章内容有关的MATLAB文件：
（一） 有关功率谱估计的MATLAB文件
1. pyulear.m 用 AR 模 型 的 自相关 法估 计信号的功率谱，其基本调用格式是：
[Px, F] = pyulear(x, order, Nfft, Fs) 2. pburg.m 用AR模型的Burg算法估计信
5. pmem.m 最大熵功率谱估计，其估计 性能类似pyulear, 其基本调用格式是： [Px, F] = pmem(x, order, Nfft, Fs)
6. pmusic.m 用自相关矩阵分解的MUSIC 算法估计信号的功率谱，其基本调用格 式是： [Px, F] = pmusic(x, order, Nfft, Fs)
k M 1
k 1, k M 1 ~ p 1
PˆMUSIC () eH ()
1
p1
VkVkH
e
k M 1
MUSIC(Multiple Signal Classification)方法
2. 若
k 1/ k , k M 1 ~ p 1
PˆEV ()
1
eH
(
)
p1 k M 1
i j i j
Note : if p M , then det(Sp ) 0, and
M 1 M 2 p1 0,
so :
M
S p
iViVi H
i 1
p 1
I
ViVi H
i 1
V1 ~ VM 主 特征向量
借用特征向 量的特点
M
p1
Rp iViViH w ViViH
i 1
i 1
号的功率谱，其基本调用格式是：
[Px, F] = pburg(x, order, Nfft, Fs)
3. pcov.m 用AR模型方差方法估计信号的 功率谱，其基本调用格式是： [Px, F] = pcov(x, order, Nfft, Fs)
4. pmcov.m 用AR模型的改进的方差方法估 计信号的功率谱，其基本调用格式是： [Px, F] = pmcov(x, order, Nfft, Fs)
（a）MA(10) （b）MA(16) （c） ARMA(10,10) （d）ARMA(10,13)
12.10 基于矩阵特征分解的功率谱估计
假定信号由 M 个复正弦加白噪声组成：
M
rx (k) Ai2 exp( jik) w (k) i 1 M
Px () 2 Ai2 ( i ) w i1
令：
b
ab (k)
0,
k 1, 2,
可以得到使 b 最小的 ab (1),
,p
, ab ( p)
及
b min
。当然也可使用正交原理得：
后向预测的Wiener-Hopef Eq
可以证明：
前、后向预 测对等关系
上述结果表明，使用已知的 p 个数据，我们可 以实现前向预测，也可以实现后向预测，两种 情况下可各自得到对等的Wiener-Hopf方程。 将它们单独使用，所得分辨率都不理想。可以 设想，如将二者结合起来，即同时使前向、后 向预测误差功率为最小，应能得到更好的分辨 率。人们在线性预测方面进行了大量的研究。
先，建立一个超定方程（方程个数>未知数）：
rx (q) rx (q p 1) rx (M 1)
rx (q 1) rx (q p 2) rx (M 2)
rx
(q
p
1)
a(1)
rx (q 1)
rx (q)
a(2)
rx
(q
p)
rx (M
p)
a(
p)
rx (M )
Lattice 结构， 递推算 法
使用前、 后向预测
前、后 都不加 窗
令：
再用 Levinson 递推求 其它
得到 的 求解公式：
先求：
递推步骤 1. 令： 2. 求
时的参数
求出
3. 求出
，再求
4. 用Levinson算法，求 时的
5. 重复上述过程，直到
Burg算法：一个公 认的较好的算法。
Burg 算法的特点： 1. 同时使用前向后后向预测，即使 最小
用求伪逆的方法可求出 aˆ ；注意，伪逆可用 奇异值分解（SVD）的方法求解；求出 aˆ 后， 剩下的工作是求 bˆ
ARMA 模型系数求解的方法：
1. 先求出：
，它们可构成 Aˆ(z) ；
u(n) B(z)
Aˆ ( z)
A( z )
u(n) B(z)
2. 用 对 滤波；
3. 滤波输出 相当于一 MA（q) 过程，按 上节MA模型的求解方法，可求 出 ARMA(p,q)模型 的 参数。
k 1
e(n) x(n) xˆ(n)
对同样一组数据，我们可以实现双向预测：
x(n p) x(n p 1)
x(n 1) x(n)
Forward Prediction 前向预测 误差序列 误差功率
Backward Prediction
对同一组数据 的后向预测
后向预测 误差序列
后向预测 误差功率
M
所以： Rp
AieieiH w I
i 1
关阵的 表示
M
Rp
AieieiH w I
i 1
秩是
秩为 M
再定义
M
S p
Ai ei eiH
i 1
Wp wI
秩为p 1 Rp Sp Wp
相关矩阵的 分解：信号 部分和噪声 部分
p 1
Sp
iViVi H
i 1
特征 分解
Vi HVj
1, 0,
b(0) 1
再推导一步，有：
非线性方程组
MA模型的正则方程
从谱估计的角度，MA模型等效于经典法中 的间接法，所以分辨率低。因此，MA模型 用于谱估计无优势。但，MA模型：
1. 常用于系统辨识；
2. ARMA模型中包含了MA部分。
求解算法：由于MA模型的正则方程是非线性方 程，所以人们提出了很多的求解算法，如谱分解、 基于迭代的方法、基于高阶AR模型近似的方法。 后者最好用，基础是Wold分解定理。
2.
的选择保证前、后不加 窗，即
3. 在每一级， 仅对 最小，然后套用自 相关法的Levinson递推算法，影响分辨率；
4. 直接用数据递推，方法简单。
三、改进的协方差法——Marple方法 同Burg 算法
注意：这是Marple 算法和Burg算法的最 大区别。Burg算法仅：
上述最小化的结果是得到一个协方差方程：
注意：矩阵
的结果，
即是对有限长数据求出的自相关
函数，因此，上式等效于：
自相关法的特点：
1. 只用前向预测，且 分辨率不好;
等效前、后加窗,
2. 用 ，得到的 是Toeplits阵，才 可能用Levinson算法求解；
3. 实际上是我们前面讨论过的Yule-Walker 方 程。方法最简单。