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信号处理课件第12章1参数模型功率谱估计

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功率谱估计教材

功率谱估计教材

1 ˆxx (m) r N
ˆ ( w) P BT
N |m|1

n 0
x ( n ) x ( n m)
m m

ˆxx (m) e jwm r
自相关法
由于在估计x的自相关函数时，数据的长度为N， 因此估计的自相关函数r̂xx(m)的长度为2N-1点：
ˆxx (m) r ˆxx (m) r 0
功率谱估计
--非参数估计方法
功率谱估计
经典功率谱估计（非参数法）
自相关法 周期图法
参数谱估计（参数法）
AR、MA、ARMA模型
经典谱估计法-自相关法
自相关法-BT(Blackman-Tukey提出)
随机信号的一个样本数据为[x(0),x(1),…,x(N-1)]，长 度为N。 先根据样本数据估计自相关函数r̂xx(m)，再利用FFT 变换，得到功率谱的估计PBT(w)。
m

jwm ˆ E[rxx (m)]e
窗函数法
则自相关函数的变化：
1 ˆxx (m)] E[r N
n
E[ x(n)v(n) x(n m)v(n m)]

1 E[ x(n) x(n m)] v(n)v(n m) N n
1 rxx (m) N
这样，功率谱估计为：
m N 1 m N 1
| m | N 1 else
ˆ ( w) P BT

jwm ˆ rxx (m) e
周期图法
相关法是利用样本数据对自相关函数进行估计， 进而估计功率谱密度，而周期图法则根据功率 谱密度的另一定义：
1 N 1 Pxx (w) lim E[ | x(n)e jwn |2 ] N N n 0

现代信号处理_完美版PPT

现代信号处理_完美版PPT

•
测量信号v(n)是均值为零，方差为
2 v
的高斯白噪声；
且v(n)与信号x(n)统计无关，即v(n)不影响信号的谱形状
故有
S y ( y ) S x (x ) v 2 u 2 H () 2 v 2 R u ( m y ) E [ u ( n ) y ( n m ) ] u 2 h ( m )
2
高阶谱估计
➢ 研究的必要性 ➢ 高阶统计量 ➢ 高阶谱 ➢ 高阶累积量和多谱的性质 ➢ 三阶相关和双谱及其性质 ➢ 基于高阶谱的相位谱估计 ➢ 基于高阶谱的模型参数估计 ➢ 多谱的应用
参考:《现代数字信号处理》(184-199；204-205)
3
研究高阶谱的必要性
❖ 关于模型参数估计问题
• 所谓模型参数估计，就是根据有限长的数据序列(如模 型输出端所观测到的信号y(n)来估计图中随机信号模型 的参数，)
i1
i1
即不同ARMA过程具有相同形状的功率谱。这一特性 称为相关函数的多重性或模型的多重性。
9
随机信号的高阶特征（续）
两个具有零均值和相同方差的高斯白色噪声和 指数分布白色噪声显然是不同的随机过程，但它 们的功率谱相同。
用这样两个白色噪声激励同一个ARMA模型，产生的 两个ARMA过程显然是不同的随机过程，但它们的
• 与前面所述不同之处在于：这里考虑了观测过程所引 入的噪声v(n).
v(n)
u(n)
H(z)
x(n) ∑
y(n)
(h(n))
4
研究高阶谱的必要性
❖ 基于二阶统计量的模型参数估计方法的缺陷
• 前述模型参数估计方法中，估计得到的模型参数仅与 信号的自相关函数或功率谱包络相匹配；其功率谱不 含信号的相位特性，亦称盲相。即

功率谱估计

功率谱估计

功率谱估计引言：对信号和系统进行的分析研究、处理有两类方法：一类是在时域内进行，维纳滤波、卡尔曼滤波以及自适应滤波等都属于时域处理方法；另一类方法是频域研究方法。

对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础，但是在实际生活中大多数信号是随机信号，而随机信号的傅里叶变换是不存在的，在实际应用中，通常通过采集和观测平稳随机过程的一个抽样序列的一段（有限个）数据，根据这有限个已知的数据来估计随机过程的功率谱问题来对随机信号进行分析，这即是频率谱估计。

功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内通过用某种有效的方法来估计出其功率谱密度，从而得出信号、噪声及干扰的一些性质来，提取被淹没在噪声中的有用信号。

功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。

谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。

按照Weiner —Khintchine 定理，随机信号的功率谱和其自相关函数服从傅里叶变换关系，可以得出功率谱的一个定义，如公式（1）所示：()jwm m xx jw xx e m re P -∞-∞=∑=)( 公式（1）对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可以用时间平均来代替，可以推出功率谱的另一定义。

如公式（2）所示：()])(121[2lim ∑-=-∞→+=N N n jwn N jw xx e n x N E e P 公式（2）频率谱估计主要分为经典谱估计和现代谱估计，经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗,主要方法有相关法和周期图法;现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的,应用最广的是AR 参数模型。

功率谱估计

功率谱估计

功率谱估计功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。

谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。

维纳滤波、卡尔曼滤波，可用于自适应滤波，信号波形预测等（火控系统中的飞机航迹预判）。

如果我在噪声中加入一个信号波形。

要完全滤波出我加入的信号波形，能够做到吗？如果知道一些信息，利用一个参考信号波形，可利用自适应滤波做到（信号的初始部分稍有失真）。

功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。

下面对谱估计的发展过程做简要回顾:英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。

后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。

该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。

傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。

19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。

这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用，只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT）来计算离散傅立叶变换（DFT），用DFT的幅度平方作为信号中功率的度量。

周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。

1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列。

Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法——参数模型法谱估计的基础。

Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出Yule-Walker方程，可以说，Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。

1930年，著名控制理论专家Wiener在他的著作中首次精确定义了一个随机过程的自相关函数及功率谱密度，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，即，“功率谱密度是随机过程二阶统计量自相关函数的傅立叶变换”，这就是Wiener—Khintchine定理。

信号处理课件第12章1参数模型功率谱估计

信号处理课件第12章1参数模型功率谱估计

总效果：
紧随 的峰值
紧跟 谱的峰值
4. AR谱的统计性质
AR谱估计的方差反比于 的长度N和SNR
5. AR谱估计的不足 若 的SNR不高，那么
可看作
AR谱变为ARMA谱， 既有极点，又有零点， 分辨率会有下降。
区别
AR 模型阶次p的选择
Levinson递推给出：
（1）最终预测误差准则
递减、恒正
线性预测的Wiener-Hopf Eq.
注意到：对同一信号 x(n) ，都使用其 rx (m)
得到了两组方程：
来自AR模型： Yule-Walk 方程
来自LP： Wiener-Hopf
方程
结论：对同一信号，二者是相同的，即
k ak k 1, 2, , p
min
2
一个 p 阶AR模型的系数可用来构成一个 p 阶的线性预测器，反之亦然。并且：
熵
i 1
i1 离散型随
H (X ) p(x) ln p(x)dx
机变量
连续型随机变量
Burg最大熵谱估计的思路是： 已知某随机信号自相关函数 rx (m) 的 p 1 个值
rx (0), rx (1), , rx ( p) ，现希望以这 p 1 个值对
m p 的自相关函数予以外推。外推的方法很多， Burg的准则是：外推后的自相关函数对应的时 间序列具有最大的熵，即是最随机的。
当
的真 实功率谱
AR谱
有：
AR模型自 相关函数 匹配性质
增加 ，等效地扩大了
相等的部分
所以，理论上：我们可用一个全极点模型来近
似已知谱
，达到任意精度。
由：
（1）全局跟随性质（global)

参数法功率谱估计

参数法功率谱估计

参数法功率谱估计一、信号的产生（一）信号组成在本实验中，需要事先产生待估计的信号，为了使实验结果较为明显，我产生了由两个不同频率的正弦信号（频率差相对较大）和加性高斯白噪声组成的信号。

（二）程序N=1024;n=0:N-1;xn=2*cos(2*pi*0.2*n)+ cos(2*pi*0.213*n)+randn(1,1024);这样就产生了加有白噪声的两个正弦信号其波形如下0100200300400500600-8-6-4-2246810(a) 两个正弦信号与白噪声叠加的时域波形二、参数模型法功率谱估计（一）算法原理简介1．参数模型法是现代谱估计的主要内容，思路如下：① 假定所研究的过程)(n x 是由一个白噪声序列)(n 激励一个因果稳定的可逆线性系统)(z H 的输出；② 由已知的)(n x ，或其自相关函数)(m r x 估计)(z H 的参数；③ 由)(z H 的参数来估计)(n x 的功率谱。

2．自回归模型，简称AR 模型，它是一个全极点的模型。

“自回归”的含义是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p 个输出的加权和。

此模型可以表现为以下三式：① ∑=+--=p k k n u k n x a n x 1)()()(；② ∑=-+==p k kk z a z A z H 111)(1)(；③ 2121)(∑=-+=p k jwkk jw x e a e P σ。

3．AR 模型的正则方程建立了参数k a 和)(n x 的自相关函数的关系，公式如下：=)(m r x ∑=--p k x k k m r a 1)( 1≥m 时，=)(m r x 21)(σ+-∑=k r a pk x k 0=m 时。

（二）两种AR 模型阶次的算法1．Yule-Walker 算法(自相关法)（1）算法主要思想Yule-Walker 算法通过解Yule-Walker 方程获得AR 模型参数。

从低阶开始递推，直到阶次p ，给出了在每一个阶次时的所有参数。

数字信号处理-时域离散随机信号处理课件：功率谱估计


功率谱估计
E[I
N
(1)I
N
(2
)]
E
1 N2
X N (e j1 ) 2
X N (e j2
)
2
1 N2
n
k
p
RN (n)RN (k)RN ( p)RN (q)
q
E[x(n)x(k )x( p)x(q)]e-j1(nk)e-j2 ( pq)
利用正态白噪声、多元正态随机变量的多阶矩公式，有
Pxx (e j ) rxx (m)e jm m
(4.1.1)
功率谱估计
rxx (m)
1 2π
Pxx(e j )e jnd
(4.1.2)
rxx(m) E[x*(n)x(n m)]
(4.1.3)
（4.1.1）式被称做功率谱的定义，对于平稳随机信号，服 从各态历经定理，集合平均可以用时间平均代替，由（4.1.1） 式还可以推出功率谱的另一个定义，推导如下：
N 2N 1 nN
m
令l=n+m, 则
Pxx(e
j
)
lim
N
1 2N 1
N
x(n)e
n N
jn
*
x(l)e
l
jl
lim 1
N
2
x(n)e jωω
N 2N 1 nN
(4.1.5)
功率谱估计
上式中x(n)是观测数据，Pxx(ejω)是随机变量，必须对Pxx(ejω)
取统计平均值， 得到
显然，当N趋于无限大时，周期图的方差并不趋于0，而趋
于功率谱真值的平方，即
var[I
N
()]
N
4 x
(4.2.16)

《功率谱估计》课件


实验数据展示 功率谱估计结果对比 误差分析 实验结论与展望
结果分析：对比不同方法的结果，分析优缺点 实验误差来源：讨论实验误差的来源，如设备、环境等因素 改进方向：提出针对实验误差的改进措施，提高实验精度 未来展望：探讨功率谱估计在未来的应用和发展趋势
功率谱估计的应用 案例
语音信号处理：用于语音分析和编码，提高语音质量 图像和视频信号处理：用于图像和视频的压缩和传输，降低带宽需求 雷达和声呐信号处理：用于目标检测和跟踪，提高定位精度
通信领域：用于调制解调、频 谱管理、频谱监测等
生物医学工程：用于心电图信 号处理、脑电图信号处理等
总结与展望
介绍了功率谱估计的基本概念和原理 分析了功率谱估计的常用方法 探讨了功率谱估计在实际应用中的优势和局限性 总结了本次PPT的主要内容和知识点
功率谱估计技术的进一步优化 拓展应用领域，如语音、图像等 结合深度学习等先进技术，提高估计精度 探索与其他领域的交叉研究，如信号处理、通信等
信号的分类
信号的时域和频域 表示
功率谱估计的基本 概念
功率谱估计的应用 场景
功率谱估计的方法
FFT算法原理 FFT算法优缺点分析
FFT算法实现步骤
FFT算法在功率谱估计中的应 用
最小二乘法的基本 原理
功率谱估计的数学 模型
基于最小二乘法的 实现过程
算法的优缺点及改 进方向
卡尔曼滤波原理
功率谱估计与卡尔 曼滤波结合
《功率谱估计》PPT 课件
汇报人：PPT
目录
添加目录标题
功率谱估计的基本 概念
功率谱估计的方法
功率谱估计的原理 与步骤
功率谱估计的实验 与分析
功率谱估计的应用 案例
添加章节标题

功率谱估计的经典方法PPT课件

无关，PDF和pdf是随时间变化的，则称其为广义平稳随机过程。
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
6
时间平均
（11）一个平稳随机过程的一个取样序列的时间平均等于它的集合平
均，则称它是遍历性随机过程。时间平均记为 x(n) ，则取样序列的算术
平均值和时间取样自相关序列定义为
x(n) lim 1
功率谱估计的经典方法
版权所有
吉林大学通信工程学院信息科学实验室
1
离散随机过程
为了描述随机变量，引入了概率分布函数、概率密度函数以及随机变 量的数字特征。这些函数或参数都是针对一维随机变量定义的。统称一 维统计特征。
但对于离散随机过程，因为它是由无限多个随机变量构成的时间序列
xn, n ，因此为完整地描述它，仅知道随机变量的特征是不
Syy(z)

Ryy(m) zm



Rxx(m
p)Rhh (
p)
zm
m
m p





Rxx(n)Rhh ( p)
z n z p

Sxx(z)Shh (z)
m n


S
xx
(
z
)H
(
z
)
H
(
z
1
)
协方差序列的z变换

Sxx(z) Cxx(m) zm , m
称为平稳随机过程的功率谱。在今后的讨论中总假设随机信号的均值为
零，所以有

Sxx(z) Rxx(m) zm , m
由于 Rxx(m) Rxx(m) ，则有 Sxx (z) Sxx (z 1) 。

功率谱估计

1 1 N −1 N −1 jω 2 I N (ω ) = X (e ) = ∑ ∑ x(k ) x(n)e jω k e − jω n N N n =0 k =0
2 var[ I N (ω )] = E[ I N (ω )] − E 2 [ I N (ω )]
下面先求周期图的均值，再求其均方值：
1 1 ∞ ∞ jω 2 E[ I N (ω )] = X (e ) = ∑ ∑ E[ x(k ) x(n)]RN (k ) RN (n)e− jω ( n −k ) N N n =−∞ k =−∞
经典谱估计
BT法：1958年，R.Blackmant和J.Tukey提出， 先估计自相关函数，再计算功率谱。 周期图法：1898年，Schuster利用傅里叶级数 去拟合待分析的信号，提出周期图的术语，但 直到FFT出现，周期图法才受到人们的重视。 这种方法直接对观测数据进行FFT，取模平方， 除以N得到功率谱。
11
将 ω = ω1 = ω2 代入上式，得 sin( N ω ) 2 2 E[ I N (ω )]=σ x4 2 + N sin(ω )
sin( N ω ) 2 2 var[ I N (ω )]=E[I N (ω )]-E 2 [I N (ω )]=σ x4 1 + N sin(ω ) 显然，当N趋于无限大时，周期图的方差并不趋于0，而是趋 于功率谱真值的平方，即
N −1 1 N −1 − jω k = ∑ x(k )e ∑ x* (n)e jω n n =0 N k =0
1 N −1 N −1 = ∑ ∑ x(k ) x* (n)e − jω ( k − n ) N k =0 n =0 令 m = k − n，即 k = m + n，则
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rx (2) L rx ( p) 1 2
rx (1)
L
rx ( p 1)
a1
0
rx (2) rx (1) M M
rx (0)
L
rx ( p 2)
a2
0
M
M M M
rx ( p) rx ( p 1) rx ( p 2) L rx (0)
a
p
0
Toeplitz 自相关阵
12.1 平稳随机信号的参数模型
经典谱估计： 分辨率低（受窗函数长度的限制）; 方差性能不好； 方差和分辨率之间的矛盾。
对平稳信号建模: 用于功率谱估计:提高分辨率，减小方差； 也可用于信号的特征提取，预测，编码及 数据压缩 等。
从功率谱估计的角度，对平稳信号建模的步骤：
步骤1
假定所研究的平稳过程 x(n) 是由一白噪声 序列 u(n) 激励一线性系统所产生的输出；
4 Marple S L. Digital Spectrum Analysis with Application. 1987
12.2 AR模型的正则方程与参数计算
目标：找到已知参数和未知参数的关系， 以便求解未知参数：
未知参数： a1, a2,L , ap, 2 : p 1个
已知参数： rx (m), m 0,1,L p
p
rx (0) krx (k) k 1
min ：最小
预测误差功率
p
rx (m) k rx (m k), m 1, 2, L , p k 1
线性预测的Wiener-Hopf Eq.
注意到：对同一信号 x(n) ，都使用其 rx (m)
得到了两组方程：
来自AR模型： Yule-Walk 方程
现在希望用它们预测 x(n)
பைடு நூலகம்
L
x(n p) x(n p 1)
x(n 1) x(n)
p
xˆ(n) k x(n k) k 1
线性预测
e(n) x(n) xˆ(n)
误差序列
E e2(n) E x(n)
p
k
x(n
k
)
2
k 1
均方误差
令：
0, k 1, 2,L , p
LSI系统的输入、输出关系：
差分方程 卷积关系 以上两式是LSI系统的时域表示，无论对确 定性信号还是随机信号都成立。现假定输入、 输出是平稳随机信号（输入是白噪声）。
转移函数的两 种表示形式， 独立于信号。
谱分解 的Z域 表示
待辨识 的参数。
Px (z)
u2H (z)H (z1)
u2
B( z ) B( z 1 ) A(z) A(z1)
求解方法：由下面的差分方程入手：
两边同乘 x(n m) ，求均值
p
ak Ex(n m k)x(n) k 1
Eu(n m)x(n)
x(n) 和
u(n) 的
互相关
卷积 关系
因果 系统
结果1： 结果2：
结合 起来
正则方程 （Normal Eq.）
rx (0) rx (1) rx (1) rx (0)
2
R
a
O
p
又称 YuleWalker 方程
利用Yule-Walker 方程，可求解出AR模型参数：
a1, a2,L , ap, 2
于是模型可以构造，可以实现功率谱估计。
为了深入了解AR模型的特点，现探 讨另外一个问题，即线性预测问题：
提法：设 x(n) 在 n 时刻之前的 p 个数据
x(n p), x(n p 1),L , x(n 1) 已知
AR（Auto—Regressive，自回归）模型
若：
并假定：b0 1
则：
全 极 点 模 型
MA（Moving—Average,移动平均）模型 若： 则：
全 零 点 模 型
ARMA（Auto-Regressive MovingAverage,自回归－移动平均） 模型
如果：
ai : i 1 ~ p 不全 bi : i 1 ~ q 为零
2 Makhoul J. Linear Prediction: a tutorial review. Proc. IEEE, 62(April):561-580,1975
3 Kay S M. Modern Spectrum Estimation: Theory and Application. 1988
则：
极—零模型 ARMA模型
AR模型: 全极模型， 线性，用的最多， 被研究的也最多，性能很好；
MA模型：全零模型，看起来简单； 但是非线性；
ARMA模型：极－零模型，二者的综合。
具体选用那一个模型，一是取决于 信号的特点，二是取决于信号处理任务 的需要，需区别对待。
推荐如下参考文献：
1 Kay S M, Marple S L. Spectrum Analysis : a modern Perspective. Proc. IEEE, 69(Nov):1380-1419,1981
来自LP： Wiener-Hopf
方程
结论：对同一信号，二者是相同的，即
k ak k 1, 2, L , p
min
2
一个 p 阶AR模型的系数可用来构成一个 p 阶的线性预测器，反之亦然。并且：
p
由于 e(n) x (n) xˆ(n) x(n) k x(n k)
步骤2
由 x(n) 的先验知识，如 rx (m) ,估计 H (z)
的参数：
H (z) B(z) A(z)
b0 , b1,L , bq a1, a2 ,L , ap
参 数
一旦上述系数被求出，则：H (z)
即是对 x(n) 建立的数学模型。
步骤3
功率谱估计：
随机信 号通过 LSI系 统的输 入输出 关系
第12章 参数模型功率谱估计
12.1 平稳随机信号的参数模型 12.2 AR模型的正则方程与参数计算 12.3 AR模型谱估计的性质与阶次选择 12.4 AR模型的稳定性与信号建模 12.5 关于线性预测 12.6 AR模型系数的求解算法 12.7 MA模型 12.8 ARMA模型 12.9 Pisarenko谐波分解与MUSIC 算法
k
可以得到使 最小的 1,L , p 及 min 。
不求导，使用正交原理：
E{x(n m)[x(n) xˆ(n)]} 0, m 1, 2, L , p
e(n)
p
rx (m) k rx (m k), m 1, 2, L , p k 1
Wiener-Hopf Eq.
min E{x(n)[x(n) xˆ(n)]}