周期性教学设计20

三角函数的周期性一、教学内容分析:本节教材选自苏教版数学必修4的1.3三角函数的图像和性质即周期性，周期性是三角函数一个重要性质，在三角函数的教学中总是列为教学重点之一，三角函数的周期性影响到后面三角函数图像的教学是否顺利。

二、学生学习情况分析：任教的学生在年段属中下程度，学生学习兴趣不高，尤其是对比较抽象的概念，学习理解能力存在着一定困难。

三、设计思想本节课的教学重点是三角函数周期性的概念教学，而在现实教学中，存在概念背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分概括本质特征的机会，过早引入定义，以“几项注意”的方式进行概念教学，导致学生对概念理解不深刻，在解决问题上犯些概念不清的错误。

因此，本节课以概念的引入；概念的形成；概念的理解及概念的运用为主，从现实生活中的自然现象引到数学中的特例，从几何画板的图形视觉化讲解到数学语言的规范化，从特例的具体化逐步抽象到概念的一般化，从浅入深逐步理解及运用三角函数的周期性，希望对学生的概念认知起到一定的帮助，能有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。

四、教学目标1．使学生理解函数周期性的概念。

2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法．3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。

五、教学重点与难点教学重点：函数周期性的概念．教学难点：周期函数与最小正周期的意义六、教学过程设计（一）用自然现象引入周期概念问题1：自然界和生活中有许多“过了一定时间某些现象重复出现”的情况，你能举出具体的例子吗？在数学中是否也会存在某些现象重复出现的例子？每天太阳的升起与落下，现在太阳升起，过了一天后太阳又升起；每年四季的变化，现在是秋季，过了一年后又是秋季；每周上课的课表，星期二上午第三节是数学课，下一周的星期二上午第三节还是数学课；公园中转动的摩天轮上的某个位置，每转动一周又回到原来的位置……我们在学习正弦函数、余弦函数的三角函数线时发现，当角α 每增加或减少2π 时，所得角的终边与原来角的终边相同，三角函数值也重复出现。

. （用几何画板演示正弦线、余弦线随着角度的变化而变化现象）这种重复的现象，我们通常用术语“周期”来刻画。

设计意图：周期概念不是凭空产生的，用生活中的实例让学生感知周期的客观存在，可以自然引出学习内容；用数学中的实例让学生体会周期的重复本质，显出研究周期的必要性. 失去这一环节，会使概念研究成为无源之水. 学生少了思维起点，会觉得概念来得突然，好像是来自于脑外的附加物. 这样设计，既有助于实现从自然现象到数学现象的迁移，又有利于学生获取心理逻辑的必然。

（二）概念逐步形成(1)具体函数的周期概念形成因为角 x 与角 x ＋2π 的终边相同，所以sin（x ＋2π）＝ sin x，cos （x ＋2π）＝ cos x问题2：上述两个等式的成立与 x 的取值是否有关？这两个等式的成立与 x 的取值无关. 因为无论 x 取定义域内的什么值，x 与 x ＋ 2π的正弦函数值和余弦函数值在单位圆中的三角函数线分别都是用同一条线段表示的。

将角 x 的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转 1 周，就从角 x 得到角 x ＋2π如果将角的终边绕坐标原点按逆时针方向继续旋转 1 周，2 周，更多周，又会得到角 x ＋4π，x＋6π，…，sin（x ＋2π）＝ sin（x ＋4π）＝…＝如果将角 x 的终边绕坐标原点按顺时针方向旋转 1 周， 2 周，更多周，sin （x - 2π）＝ sin（x - 4π）＝… ＝ sin x，cos（x - 2π）＝ cos（x －4π）…（几何画板再次展示）问题3：从上述等式来看，能发现什么样的规律？自变量 x 每增加一定的值，函数值就重复出现，这里的一定值可以是2π，4π，…，也可以是-2π，三角函数中这种函数值重复出现的现象类似于自然界中的“周而复始”现象. 三角函数所具有的这种性质称为三角函数的周期性.设计意图：让角的终边绕坐标原点按逆时针、顺时针方向分别旋转 1 周，2 周，…，得到相应的数学表达式，从数和形两个方面让学生体会“x 每增加一定值、函数值重复出现”中的“一定值”和“函数值重复”的含义，以加深对三角函数周期的本质理解，同时也为下面抽象周期函数的定义做必要的铺垫. 这样设计体现了“一定值”从正数向实数的过渡。

（2）由具体到一般问题4: 如果将sin（x ＋2π）＝ sin x，sin（x ＋4π）＝ sin x，…，sin （x －2π）＝ sin x，…cos（x ＋2π）＝ cos x，cos（x ＋4π）＝ cos x，…，cos（x - 2π）＝ cos x，…中的 sin 和 cos 抽象成一般的函数，你会用什么符号表示？如果把数2π，4π，…，－2π，…进行抽象你会怎样表示？这组式子又可以怎样表示？上述等式可表示为 f（x ＋2π）＝ f（x）,f（x ＋4π）＝ f（x），…，f （x －2π）＝ f（x），….这组式可表示为 f（x ＋ T）＝ f（x），f（x ＋ 2 T）＝ f（x），…，f（x －T）＝f（x）….把这些非零常数抽象成 T，这组等式可写成 f（x ＋ T）＝f（x）、我们是在将问题进行概括、抽象，它的价值就如同用字母表示数一样，使问题更具有一般性.师生共同讨论周期的概念：一般的，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个 x 值都满足 f（x ＋ T）＝ f（x），那么函数 f（x）就叫做周期函数，这个非零常数 T 就叫做这个函数的周期。

（ppt演示）设计意图：概念抽象需要典型丰富的实例，让学生通过实例逐级、逐段地进行概括抽象，可以感悟概念形成过程，对概念的属性有深刻的理解. 把sin 和cos 抽象成f，把2π，4π，…－2π，…，抽象成T，得到周期函数的定义，进而使周期函数不仅具有高度的抽象性，而且更具有应用的广泛性. 这样的概括过程，不仅体现了学生形成周期函数的心路历程，而且也反映了概念形成的心智过程. 这一环节，体现了函数从具体到一般，周期从实数向字母抽象的过程。

（三）概念的理解（1）正面分析概念，找出关键字词（ppt演示）①存在T（非零常数）。

②每一个x D ∈，就是取遍D 中的每一个x ，可见周期性是函数在定义域上的整体性质。

③每一个x D ∈，都有x T D +∈，0T ≠，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件。

④满足 f （x ＋ T ）＝ f （x ）（2）对比记忆，加深印象如果函数f （x ）对于定义域中的每一个x ，都有① f （-x ）＝ f （x ），那么函数f （x ）叫做偶函数② f （-x ）＝ -f （x ），那么函数f （x ）叫做奇函数③ f （x ＋ T ）＝ f （x ），那么函数f （x ）叫做周期函数（3）列举反例，换角度思考例1,。

判断下列语句的真假（ppt 演示）（1）),4sin()24sin(πππ=+所以2π是x y sin =的周期。

（2）,6sin )26sin(πππ≠+所以x y sin 2=不是π的周期.。

（3）),sin()0sin(x x =+所以0是x y sin =的周期。

（4）),2sin()22sin(x x =+π所以π2是x y sin =的周期。

解析: （1）错。

自变量x 不满足每一个，（2）是反例。

（2）对。

（3）错。

T 要求非零（4）错。

因为对 2x 而言，每增加 2π，sin 2x 的值就重复而 2x 每增加 2π，就等同于 x 增加 π，所以 π 是对 x 的周期。

设计意图： 抓住定义中的关键字词设计反例，目的是让学生体会使用这些字词的必要性，加深对周期函数概念的理解，使概念理解过程成为学生主动思辨的过程. 教师提出反例，让学生设计反例，是概念教学的重要环节. 从不同角度加深对概念内涵的理解，是概念学习的必然过程. 这一环节，体现了学生对概念正面理解和反面理解相结合的思想。

而与奇函数、偶函数的概念对比也是有利于加深学生对周期概念的认知。

（四）最小正周期由周期的定义可知，若 T 为 f （x ）的周期，对任意 x ，以 x ＋ T 代替 x ，有 f （x ＋ 2T ）＝ f （x ＋ T ）再以 x ＋ 2T 代替 x ，又有 f （x ＋ 3T ）＝ f （x ＋ 2T ），如此继续下去，则有 f （x ）＝ f （x ＋ T ）＝ f （x ＋ 2T ）＝ …，所以 kT （k ∈Z 且k≠0） 也是 f （x ）的周期.最小正周期：对于一个周期函数 f （x ），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f （x ）的最小正周期. （ppt 演示） 问题5：能说出正弦函数和余弦函数的最小正周期吗？是不是任何周期函数都有最小正周期？sin x 和 cos x 的最小正周期为 2π（证明见本章后链接）. 常函数 f （x ）＝ 2 没有最小正周期。

今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期，不是每个周期函数都有最小正周期。

（五）概念应用例2．求函数x x f 2cos )(=的最小正周期T.解： 令 2x ＝ u ，由定义得 cos2（x ＋ T ）＝ cos （2x ＋ 2T ）＝ cos 2x ，对任意x 都成立，即 cos （u ＋ 2T ）＝ cos u 对任意 u 都成立. 由 y ＝ cos u 的最小正周期是 2π 得 2T ＝ 2π，T ＝ π，所以 y ＝ cos 2x 的周期为 π。

说明：（1）教师板书演示，其余学生板演（2）回归概念，采用化归思想、整体思想，应用换元法例 3. 求函数 y ＝ Asin （ωx ＋ φ），x ∈R （A 、ω、φ 为常数，A ≠0，ω ＞ 0） 的周期.证明：令 u ＝ ωx ＋ φ，则 y ＝ Asin ［ω（x ＋ T ）＋ φ］＝Asin ［（ωx ＋ φ）＋ ωT ］＝ Asin （ωx ＋ φ）对任意 x 都成立，即Asin （u ＋ ωT ）＝ Asin u 对任意 u 都成立，由 y ＝ Asin u 的最小正周期2π故 y ＝ Asin （ωx ＋ φ）的周期为T ＝ωπ2问题6:从函数 y ＝ Asin （ωx ＋ φ）的周期的求法中，你发现了什么？ 你能猜出 y ＝ Acos （ωx ＋ φ），x ∈R （A 、ω、φ 为常数，A ≠0，ω ＞ 0）的周期吗？会证明吗？（几何画板演示探讨A φω、、对周期是否有影响）周期 T 是对自变量 x 而言，是自变量 x 的改变量，而不是 ωx 的改变量；正弦函数的周期与“ω”有关，与“A 、φ”无关；余弦函数的周期为2π ，具体证法与正弦函数周期的证法相仿.若条件为 ω≠0，正弦函数和余弦函数的周期ωπ2例4.求下列函数的最小正周期T.（1）x x f sin 3)(=（2）x x f 2sin )(=（3）)421sin(2)(π+=x x f 解析：公式法设计意图： 应用概念解决问题有助于学生对概念的理解和巩固，围绕根据周期函数求周期，既有助于学生理解、掌握概念，又拓宽了概念的应用空间；.几何画板的图形演示与严谨的概念证明相结合，为得出 正弦函数和余弦函数的周期ωπ2做足铺垫，使得用公式法求周期顺理成章，水到渠成。