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全国大学生数学建模竞
赛历年赛题
Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
全国大学生数学建模竞赛历年赛题
2009：AB
CD
2010：A储油罐的变位识别与罐容表标定
B2010年上海世博会影响力的定量评估
C输油管的布置
D对学生宿舍设计方案的评价
2011:A城市表层土壤重金属污染分析
B交巡警服务平台的设置与调度
C企业退休职工养老金制度的改革
D天然肠衣搭配问题
2012:A葡萄酒的评价
B太阳能小屋的设计
C脑卒中发病环境因素分析及干预
D机器人避障问题
2013:A车道被占用对城市道路通行能力的影响
B碎纸片的拼接复原
C古塔的变形
D公共自行车服务系统
2014:A嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略B创意平板折叠桌
C生猪养殖场的经营管理
D储药柜的设计
2015:A太阳影子定位
B“互联网+”时代的出租车资源配置
C月上柳梢头
D众筹筑屋规划方案设计。
B 题 创意平板折叠桌摘 要本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解.对问题一，依据题目中的数据应用Ｍatlab 和Soli ｄW ｏrks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力,钢筋对各个桌腿的力为零.假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力,是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。
给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α.根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。
加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短,当桌高7０ ｃm,桌面直径80 cm 时，解得木板长a =16７.４16ｃm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.1322aL x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发,给出软件设计的模型。
在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用Sol ｉdWorks 设计新型的平板折叠桌,其中有菱形桌面和椭圆型桌面,见图6~图１２。
关键字:立体几何图形 动态模拟 自锁 Sol ｉdW ｏrks一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1－2所示）。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上,并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度(见图3)。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名)：1.2.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：创意平板折叠桌摘要折叠与伸展也已成为家具设计行业普遍应用的一个基本设计理念，占用空间面积小而且家具的功能又更加多样化自然会受到人们的欢迎，着看创意桌子把一整块板分成若干木条，组合在一起，也可以变成很有创意的桌子，就像是变魔术一样，真的是创意无法想象。
对创意平板折叠桌的最优化设计摘要本文主要研究了创意平板折叠桌的相关问题。
对于问题一，首先，我们根据所提供的已知尺寸的长方形平板和桌面形状，桌高的要求，以圆桌面中心作为原点建立了相应的空间直角坐标系，分别求出了各个桌腿的长度，根据在折叠过程中，钢筋穿过的每个点距离桌面的高度相同这一性质，利用MATLAB程序计算出了每根木棒卡槽的长度和桌脚底端每个点的坐标，其中卡槽长度依次为（从最外侧开始，单位：cm）：0、 4.3564、7.663、10.3684、12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根据底端坐标拟合出了桌脚边缘线的方程并进行了检验。
另外，我们通过桌脚边缘线的变化图像来描述折叠桌的折叠过程。
对于问题二，我们以用材最少为目标函数，以稳固性好为约束条件，通过对桌腿进行力学分析和几何分析得到了使得用材最少且稳固性好的圆桌需要满足的条件是钢筋穿过最长腿的位置满足一个不等式。
并且，当平板的长为163.4702cm,宽为80cm,厚度为3cm,最外侧桌腿钢筋处到桌腿底端的距离与桌腿的长度之比为0.4186时，木板的用材最小，其对应的体积V为392330cm3。
对于问题三，为了满足客户需求，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状，我们给出了软件设计的基本算法。
我们考虑了“操场形”桌面和“双曲线形”桌面，得到了“操场形”桌面的的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、4.3564、7.6637、10.3684、12.5926、14.3930、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728; “曲线形”桌面的创意平板折叠桌槽长为（从最外侧开始，单位：cm）：0、1.5756、2.8917、3.9886、4.9005、5.6532、6.2641、6.7397、7.0741、7.2501。
最后，给出了两种桌面的动态变化图。
关键字：曲线拟合最优化设计几何模型折叠桌桌脚边缘线一、问题重述问题背景某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。
基于黄金三角形的创意折叠桌设计陈贵靖;黄景伟;李锐【摘要】根据黄金比例的美观要求,研究了创意平板折叠桌的设计.通过应用黄金等腰三角形原理,采用几何关系方法,对平板折叠桌的木条长度、最外侧齿轮长度、桌角边缘线的描述、开槽长度、折叠桌的动态变化过程等工艺参数进行了探讨.经过算法设计、参数修正,利用MATLAB软件编程获得并实现了平板折叠桌工艺参数,得到创意平板折叠桌的可视化模型,既满足了客户需求又实现了设计美观、符合标准.【期刊名称】《天津科技》【年(卷),期】2016(043)004【总页数】4页(P62-64,67)【关键词】创意折叠桌;黄金等腰三角形;几何关系;工艺参数;可视化模型【作者】陈贵靖;黄景伟;李锐【作者单位】四川理工学院四川自贡643000;四川理工学院四川自贡643000;四川理工学院四川自贡643000【正文语种】中文【中图分类】TP399随着生活水平质量的提高，简洁大方、功能多样、更能合理安排空间的生活创意作品深受人们的喜爱。
2011年，荷兰设计师Robert van Embriqs设计了一种美观的创意平板折叠桌，不仅能满足人们的创意生活需求，还能极大地提升运输效率，方便家居收纳。
本文设计了折叠桌的加工参数(木条数、桌腿木条长度、边缘曲线描述、旋转角度、开槽长度等)，并实现了可视化。
1.1 建立坐标系以桌面圆心作为坐标系原点O，以木板长为X轴，以木板宽为Y轴，取垂直于平面XOY并且过原点O的线作为Z轴。
1.2 桌腿木条长度的计算1.2.1 确定桌腿木条条数设定木板的长度为L、宽度为X、厚度为Y，木条宽度为Z。
则木板宽的两边木条数均为：1.2.2 确定桌腿木条长度1.2.2.1 确定折叠桌中间木条长度将木板分为N个木条，规定棱最短的木条为中间木条。
1.2.2.2 桌腿最外侧木条长度的确定当等腰三角形ABC的底边与腰的长度之比为黄金比，即：时，此三角形称为黄金等腰三角形，[2-3]其顶角为36°。
折叠桌的设计应做到产品稳固性好（力学性能分析）、加工方便、用材最少。
对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等(再加一个特色的)。
对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。
假设桌面均匀受力。
根据题意，为了提高稳固性，需要做力学性能研究，一个好的设计没有实用性就不能使用，所以我们把力学性能分析放在首要地位。
为了使加工更加方便和用材最少，我们会在稳固性好的前提下减少使用的钢筋数量和选择最优加工参数。
首先对于设计者设计的桌子的力学性能分析。
我们将作品除支撑外的所有木条以及对应的销钉和绞都去掉，得到如下图所示的结构（图中另一侧的两个台脚没有画出，实际存在）。
其对应的两种力学模型如图所示：左图是对应简支梁的弯矩图，若f即摩擦力不足够大，则会导致结构发生变化。
右图则是对应桌脚铰接于地面的图，该结构处于几何可变状态，不能受力。
因此我们选择左图对应的力学模型来分析此问题。
当结构增加了木条连接销钉和桌面，形成如下图所示的结构：根据力学原理，每增加一根木条，该结构的超静定次数便多增加一次，因此该结构为多次超静定结构，采取增加木条的方法来增加超静定次数, 降低受力敏感度，是提高其稳定性的重要因素。
多年的工程实践证明, 采用优良的结构形式, 对抵抗较大幅度的超载、随机外力以及避免脆性破坏或连续破坏有十分重要的意义。
另外，为了尽可能减少摩擦力对整个结构受力的影响，桌脚木条与水平面的夹角应该有所限制。
若杆AB的长度为L, f为摩擦力，N为支持力。
根据力矩平衡，对B点求矩，ΣM B=N∙L∙cosθ−f∙L∙sinθ=0，求得f=N∙cotθ，因此θ角趋向于90°时，也即桌脚与水平面垂直的时候，摩擦力为0，此时摩擦力对桌子结构的影响最小。
但是当考虑整体结构的时候，若桌脚与水平面垂直的时候，其他木条则均处于桌面下侧，并向里侧收缩如图所示：根据受力平衡，对于桌脚木条来说就会受到销钉提供的很大的向外侧的力作用，对于力学性能来说是一个很大的影响，因此对于整体结构来说，桌脚与水平面的夹角为90°并不是最佳角度。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：宝鸡文理学院参赛队员(打印并签名)：1.李思怡2.甘功伟3.史少阳指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李晓波（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期：2014年 09 月 15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：对创意平板折叠桌的最优化设计摘要本文主要研究了创意平板折叠桌的相关问题。
对于问题一，首先，我们根据所提供的已知尺寸的长方形平板和桌面形状，桌高的要求，以圆桌面中心作为原点建立了相应的空间直角坐标系，分别求出了各个桌腿的长度，根据在折叠过程中，钢筋穿过的每个点距离桌面的高度相同这一性质，利用MATLAB程序计算出了每根木棒卡槽的长度和桌脚底端每个点的坐标，其中卡槽长度依次为（从最外侧开始，单位：cm）：0、4.3564、7.663、10.3684、12.5926、14.393、15.8031、16.8445、17.5314、17.8728，并且根据底端坐标拟合出了桌脚边缘线的方程并进行了检验?。
数学建模国奖作品-图文创意平板折叠桌摘要本文研究分析了一种平板折叠桌的结构特点，这种平板折叠桌在闲置时可以折叠成一张厚30mm木板；腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度打开后可以展开成一张桌子。
非常方便实用，而且造型新颖，美观大方。
针对第一问，本文通过对题中的图片信息以及所给的附件当中的视频信息，利用VB编程，对该创意平板折叠桌桌面进行了多次的拟合。
在满足题目的要求下，本文对圆周的直线插补做了多种方案。
在其中的一种方案加入了黄金分割比对桌面的尺寸进行了修改，得到了符合实际而且美观的尺寸。
然后在桌面上建立坐标系计算出了每个桌腿的长度，并通过几何关系计算出了开槽长度。
然后用计算出的数据制作了小桌的三维模型。
最后进行了动态模拟，用MATLAB求出线型数学描述。
针对第三问中提出开发一种折叠桌设计软件，本文根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出了所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
本文中针对模型提出的问题进行了详细的回答，其中创造性的提出用黄金分割比的方法来确定最边缘木条与次边缘木条的长比关系，很实用，也很方便，更是使设计美观；其次在模拟实物时使用了机械设计加工软件CATIA，作出了精美正确的模拟实物图；再者在曲线拟合上使用了CAD、MATLAB等实用性软件，使曲线更接近真实值；并且本文中所有公式都是由最基础的表达式变化而来，未引进任何专家论文公式；最后本文采用了VB程序设计来编写数学模型。
但是，本文针对问题提出的解答还有不足，如对已知任意形状桌面和高度的木板进行设计，思维和计算量过大。
A作仿真CAD草图绘制关键词：圆周拟合插补算法VB编程CATI动一、问题的提出(1).给定了长方形平板的三围尺寸：120?50?3?cm?，其中作为桌腿的每根木条宽度是2.5cm，贯穿所有桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。
创意折叠桌的动态变化过程的数学描述
王莹;钱江;段付谋
【期刊名称】《应用数学进展》
【年(卷),期】2015(4)3
【摘要】采用参数化–相关点法模型对折叠桌的动态变化过程进行数学描述。
首先通过分析木条在桌面边缘铰接处的坐标、木条与钢筋的交点坐标以及桌脚边缘点坐标三者和桌面铰接处与x轴的夹角θ、桌面半径r之间的关系,将各坐标变量用参数表示,通过参数值的变化观测相应坐标变量的变化,进而用此参数方程对折叠桌的动态变化过程进行数学描述。
而具体解决问题时,也可以直接利用桌面边缘铰接处的坐标、木条与钢筋的交点的坐标表示出桌脚边缘线上各点的坐标,根据三者的函数关系式来描述折叠桌的动态变化过程。
【总页数】8页(P238-245)
【作者】王莹;钱江;段付谋
【作者单位】[1]河海大学理学院,江苏南京;;[1]河海大学理学院,江苏南京;;[1]河海大学理学院,江苏南京
【正文语种】中文
【中图分类】G6
【相关文献】
1.折叠桌的动态变化过程 [J], 史宛蓉
2.休闲观光农业创意折叠桌动态规律与加工参数设计研究 [J], 王一甲;李志慧
3.创意平板折叠桌动态变化过程的数学模型 [J], 杨兆兰
4.创意折叠桌的动态原理分析与参数优化 [J], 胡学峰;朱家明
5.基于数学模型下平板折叠桌的创意设计 [J], 覃雪清;翁世有
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数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究随着的和进步，能够有效节省空间的创意平板折叠桌应运而生，它不仅可以满足人们对空间的需求,而且能够有效节省空间.那么,如何进行创意平板折叠桌数学模型的优化设计呢？XX数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究篇一：XXXX本文针对创意平板折叠桌的设计问题，应用几何思想,通过建立桌面半径和长度、钢筋位置相应的数学模型，描述了折叠桌的动态变化过程。
同时，对折叠桌的设计加工参数等进行了数学描述。
最后通过Lingo和Maｔlab软件编程给出了最优加工参数。
折叠桌；非线性规划模型;几何思想；Lingo和Matlaｂ软件XX随着的不断进步,城市化进程的,高楼大厦密集,城市道路八达，但是与此同时，用地紧张、生存空间拥挤等问题也接踵而来,**行**业都开始广泛关注空间的有效利用,尽可能地节省空间。
空间对于人们的生活环境在功能性和实用性上有着举足轻重的作用,它是蕴含丰富、用之不竭的宝贵**。
当然，一块木板变成一张桌子,通过对折叠桌的动态变化过程的分析与研究（如图１所示），我们需要解决以下三个问题:问题1:建立模型描述此折叠桌的动态变化过程,在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述.问题2:对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数:平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
问题3：根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。
XX1模型准备XX1．1问题分析通过观察折叠桌的动态变化过程，我们发现折叠桌的变化是一个复杂的过程,由平板到立体折叠桌的过程中主要与折叠桌的条数、木条的长度、桌面距离地面的高度、**木条折叠的角度、开槽长度、**木条折叠角度变化的范围、钢筋位置等有关。
同时,又要考虑到加工过程所造成的误差，模型建立过程理想化部分对折叠过程中的影响,以及折叠桌轻巧方便、美观**、加工方便、用材最少、稳固性好、功能性强的特点.分析折叠桌结构可以发现:在折叠桌打开的过程中，随着最外侧的桌腿与地面夹角的不断变化,每根桌腿与地面之间的角度也都发生了改变，通过它们之间的变化关系,可以写出相关方程式并建立非线性规划数学模型对折叠桌的动态变化过程加以描述。
基于Proe多功能折叠桌的设计摘要：多功能成为现在人们对产品的要求之一，本文基于Proe三维软件，利用折叠的原理将餐桌和茶几较好地结合在一起，提高了空间利用率。
关键词：折叠多功能茶几随着经济的快速发展、货币的贬值，现代人们的生活节奏日益加快，幸福指数却逐渐减低。
尤其是刚毕业的年轻人，刚迈进社会就不得不考虑买房结婚等问题，房屋价格的直线攀升，迫使绝大多数年轻人选择了小户型房屋。
然而年轻人时尚、懂得享受的思想不会因经济的压力而完全丧失，因此又促进了家具精制、多功能的产生。
一、多功能的概念多功能是指一种物品可实现两种以上的功能，比如折叠沙发，白天收齐摆在客厅可当沙发，晚上打开可当床使。
本文将餐桌和茶几相结合，可将客厅变餐厅，最大化利用房屋的各个角落。
二、多功能折叠餐桌的设计1.折叠原理。
折叠的概念在生活中无处不在，比如叠被子、叠衣服、折叠自行车、折叠小板凳等。
折叠是将占地较大的物品利用重合的技巧收纳起来，目的是便于收藏或减小占用空间。
2.折叠方法。
（1）双杆交叉支撑。
这种方式结构简单，一般采用金属材料。
但由于支撑比较占空间，导致原本茶几储物的功能减退。
（2）复式折叠方式。
复式结构多样化（这里不一一列出），可以根据空间进行结构选择设计，设计样式不统一，设计思维具有发散性。
现有的成品也表现为多样化，能更加合理地利用空间，增加茶几内部空间利用率，功能更多样更全面。
（3）滑竿式收缩。
这种方式利用了螺旋升降的原理，结构更简洁，操作方便，更容易被大众所接受。
3.基于Proe的三维建模。
综合上述分析比较，结合各折叠方式的优缺点，选用滑竿式折叠原理，并借用Proe软件仿真建模，在折叠桌下面增加收纳抽屉，滑竿上升时可做餐桌如图一，滑竿下降时可做茶几如图二。
1-折叠桌面，2-活动支撑，3-滑竿，4-茶几图一.餐桌效果1-主桌面，2-折叠桌面，3-活动支撑，4-升降滑竿，5-固定滑竿，6-抽屉图二.茶几效果三、折叠桌的组成及折叠过程分析1.折叠桌的组成。
1、已知平板尺寸和高度，如何将抽象的描述动态变化过程这一问题数学化？
动态变化过程可以表述为曲线方程问题，其要点是参量的选取，哪些变量在整个折叠过程中是变化的？通过这些变量就能清晰的了解平板变化到桌子的过程。
在此基础上，给出设计加工参数。
开槽长度和桌角边缘线是肯定的描述的，同时可以引入其他变量，如角度等等，可以参照剪式铰的公式增加需要的参量。
第一问切记，要用数学模型和数学描述。
2、三个目标：稳固性好、加工方便、用材最少。
任意给定桌子高度和桌面直径，求平板尺寸和折叠桌的最优加工参数，切记，是最优加工参数；用哪些指标呢？简单举例：平板尺寸（材料最少）、钢筋位置（稳固性好）、开槽长度（加工方便），也可以根据需要自己增加；多目标规划问题，可以用很多方法来解，函数表达式要合理。
3、已知高度和桌面边缘线、桌角边缘线，求解平板尺寸和加工参数。
第三问需要在前两问的基础上进行整合，并建立数学模型。
自己设计的创意折叠桌就各凭本领了。
贯穿3个问题的主线是桌子的基本构架：长方形平板的尺寸和桌子的高度，这两个参量肯定存在着某种联系，而这两个参量的联系又与稳固性好、加工方便、用材最少密不可分。
具体到怎么做，就要看各个参赛队伍的想法了。
B题建模很重要，主要看模型，所以在模型上要多下功夫。
同时，也不要忽视了桌子本身的结构、角度、力学原理等问题，都可能扩展做题思路。
创意平板折叠桌建模布慧楠1402214026侯爽1402214025张力琨1402214041摘要折叠家具突破传统家具的设计模式，通过折叠可以将面积或体积较大的物品尽量压缩。
细细品味，会发现一种独特的美感，更别说他们还无一例外地兼具到了实用主义。
或拥有灵活自由的使用方式，或功能多样化，为居室腾出不少空间。
某公司设计了一款折叠桌，并以此为背景提出了三个问题，本文利用受力分析、几何知识、以及非线性优化模型等解决了问题。
针对问题一，给定了给定了一块木板的长度、宽度和高度、木条的宽度，以及折叠桌的高度，利用折叠桌的对称性，以任一桌脚为原点，建立空间直角坐标系通过几何模型观察桌面与桌脚木条角度的关系，计算出每条桌角木条顶点处的坐标。
利用Matlab程序，画出桌脚边缘线的变化。
最后根据桌角边缘线的变化，画出折叠桌的动态变化。
针对问题二，针对稳定性好、加工方便、用料最少三个限制条件求出非线性规划的目标函数和限制函数。
由于要求稳定性好，所以桌子应该能承受最大的力量。
在保证稳定性的条件下，如何用最少的木条和选择最佳设计加工参数。
针对问题三，公司开发出一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌长度、高度、桌面边缘线的形状大小、桌脚边缘线的大致形状，给出所需材料的形状、尺寸，以及切实可行的加工参数。
最后，对建立的模型和求解方式做一个客观评价，并指出改进方式。
关键字：折叠桌非线性规划目标规划受力分析1、问题重述1.1引言创意折叠木制品为了表现木制品的优雅和设计师所要表达的优雅和功能性。
为了增大有用面积，将木板的宽为直径做圆的直径，将剩余部分成了若干长短不同的木条。
分别用两根钢筋固定两侧的木条，使用者只需提起木板两侧，便可在重力作用下成为桌子。
1.2问题的提出（1）给定长方形平板尺寸120 cm ×50 cm ×3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。
试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数。
（2）折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。
对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。
（3）公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。
要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。
2.问题假设1.忽略加工误差。
2.木条紧密连接，无缝隙。
3.木条与桌面连接处无缝隙。
4.忽略开槽宽度。
3.符号说明4、模型建立及求解4.1问题一的模型建立及求解：(1)考虑问题一时，首先要分析题目中给了哪些相关的量，题目中最先提出了桌面为圆形，可以从直径入手。
由平板的长宽高和木条的宽度可以得到木条的数量，其中还有钢筋和卡槽的位置都可以作为求解时的数据。
(2)画出折叠桌的平面俯视图以及侧视图如图4.1.1和图4.1.2所示。
图4.1.1图4.1.2其中平板长为120cm ，宽度为50cm ，每根木条宽度为2.5cm ，由圆的对称性我们只需对四分之一(右下)圆进行分析，如图：我们由外向内进行计算，每根木条桌椅最内侧i D 到 i E 距离：i a =则每根木条长度为i 01C 2i s a =-，再根据木桌完全展开后桌腿侧面图进行分析如图，可算得各开槽长度01i i (a )k 22s c --=，其中有平板长度和木条宽度可以得到四分之一圆(右下)共有十根木条。
(3)以任意一个桌脚为原点建立空间直角坐标系。
设定最外层桌腿与x 轴的夹角为0∂，标注出钢筋的所在位置。
如下图所示：图4.1.3(4)用MATLAB 编程，(见附录程序一)可得到每条桌腿木条的长度和开槽的大小，由于桌腿木条分为两组，每组有20根木条，且每组桌腿也对称。
所以表格中只列出1/4的桌腿木条长度和卡槽大小。
得到的数据如下：表4.4.4 折叠桌腿和开槽长度(5)因为折叠桌的沿中心轴对称，所以我们只以1/4的桌子来考虑，其他的对称就行，由于平板为长方体，所以每根木条的桌脚在钢筋轴的下方加上各自的开槽长度相等，即最外侧桌脚长度的一半，在前面我们已经求出了每根木条的卡槽长度，在桌椅完全展开的情况下求得木条与桌面的最大夹角∂，对于任意角度 都满足一个函数等式 1160c c *cos *cos ()2i x c --∂=∂-，就由此可求出多组木条桌脚顶点的轨迹，即桌脚边缘线的数学描述。
如图4.1.4为用MATLAB 程序（见附录程序三）画出的平板折叠后静态的边缘线。
图4.1.5描述了边缘线一系列的运动过程。
图4.1.4图4.1.5(7)做动态图时，首先要建立直角坐标系，假设桌腿木条和桌面的夹角为1160c c *cos *cos ()2i x c --∂=∂-，以桌面圆心为坐标系原点建立空间直角坐标系，根据题目已给的参数和几何关系分别表示出桌面,,x y z 坐标函数。
根据这些函数，应用MATLAB 程序（见附录程序二）画出折叠桌的动态图。
以下为动态图的四个动态过程。
图4.1.64.2问题二模型建立与求解(1)根据问题二题目要求折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对与顾客任意给定桌面的高度和木条宽度h，0m进行折叠桌椅设计，通过建立多目标优化模型来求解。
(2)产品的稳定性：对桌椅四分之一桌腿进行力矩分析如图4.2.1所示，若要桌椅的稳定新较好择期受力要稳定，通过问题一已得结果对我们的可以轻易的知道在桌椅完全展开后，随着最外侧支撑木条桌椅逐个内侧增加时，桌椅木条与桌面的夹角是逐渐增大的。
对完全展开后的桌椅进行受力分析如下图：图4.2.1(3)我们整体的对受力最复杂的钢筋进行受力分析，简化模型，此时只存在两种木条，一种是木条与桌面夹角小于90°，另一种则是木条与桌面夹角大于90°只有这样钢筋的受力分析才能达到如图效果，如果木条与桌面全部小于或大于90°则受力不可能达到稳定，有考虑到每根木条的受力大小均衡，在木条夹角渐变过程是与桌面夹角大于或小于9°的木条数应该尽可能相等，所以我们对四分之一桌角的中间桌腿与桌面夹角经行分析的到方程及其约束条件2rm<90°。
加工方便：我们建立模型时要求在满足顾客要求的同时尽可能的是木条宽度最大，因为在实际生产中，模板是整体进行切割，如果木条宽度越大则木条数九越少这样在实际模板切割的时候难度就会减低，从而达到加工方面的优化。
用材最少：由问题已可知在给定模板宽度以及高度时，要是所用木材最少即为模板的长度最小，在模型中我们以最中间的木条建立约束条件，在满足参数要求的同时使得内侧木条最短则整个模板就是最短的，从而达到用材最少的优化目标，由问题一中的图可知在桌子完全展开后最内侧的桌腿想上移动距离是最大，再钢筋刚好达到该木条最下端是此时是一个临界值，可得约束条件0i d <。
通过以上分析建立多目标优化方程如下：1min z=s 、10122c s =、0132i c s =、0004sin h s ∂=、50i d <016h c <、(4)求得的结果如下：MATLAB 程序见附录程序四表4.2.2 问题二的最优设计加工参数4.3问题三模型建立与求解(1)是在第二问的基础上继续完善数学模型，将模型转换为带坐标的方程格式，将其余的设计参数设置成桌高、木条数、边缘线坐标等的方程，形成一系列数量关系式，达到只要我们将客户需求的数据输入关系式，就会得出一组设计参数，此功能可以在MATLAB 或者EXCEL中实现，设置好自己的未知数和方程(请记得将公式文件或者编程代码放在附件中)，然后随便赋值，直接得出设计参数。
最后就是随便给一组数据(客户需求)设计一款成品。
通过赋值，得出设计参数，利用三维软件制作出来。
注：尺寸分析尽量用机械软件分析，数据精确度高，动态分析利用仿真能达到，机械软件初学者还是建议用3D仿真，因为机械软件运动仿真过程繁杂，3D仿真效果随意，而且灯光效果不错，但机械软件对许多尺寸设计合理与否能检测出来，截屏保存，仿真后感兴趣的同学可以输出GIF格式的图片或者视频，如果所有软件都是初学者，仿真不能达到就只能随机找到8个动态位置装配完成截屏保存就行，这种办法不能检测设计参数合理与否，不到万不得已不建议用这种办法。
软件选择有利有弊，一定要根据自己的实际情况选择。
（2）创意折叠桌一：其桌面为菱形，通过问题一程序的改变便可以做出动态图。
根据程序运行的结果，可比较出菱形桌较圆形桌虽然桌面面积有所下降，但折叠桌高度增加，此折叠桌设计更适用于较高人群使用。
同时，由于菱行曲线较圆形曲线设计更为简单，误差更小。
所以加工方便。
（MATLAB见附录程序五）(3)动态图：5、模型分析通过观察此模型求出的参数与实际木桌的尺寸进行比较，基本满足实际木桌的数值，说明此模型求出的结果是符合要求的，具有较高的可行性、可信度。
可以认为在参数的求解过程中，空间模型建立过程到问题的求解，误差在一定范围内；可以认为此模型，算法程序设计使用符合题目的要求。
通过与实际承诺书对比比较，具有较大的参考价值。
6、模型的评价模型的优点：(1)将实物桌子的桌腿和桌面转化为点、线、面的问题，简化了问题的复杂性，降低了计算难度。
(2)模型利用了计算机的能力和人的空间分析能力，使得模型的可实际参考价值增大。
(3)模型采用了多种数学方法，减小了数字处理的误差，提高了结果的可行度。
模型的缺点：(1)没有考虑桌腿和桌面的厚度。
(2)没有考虑人工的感干预时的误差影响。
(3)没有考虑到实际桌子的生产情况，使得数据可用度降低。
7、模型的改进与推广基于所建立的模型，求出的一系列参数，在实际参考价值来看还是有较大的误差，此模型通过对问题剖析，结合生活实际，综合木桌子的实际数字，建立空间坐标系，将复杂的问题变成空间几何问题，再将桌面和桌椅的厚度忽略不计，使得我们所建立的模型难度降低，可以快速的求出参数。
整个求解过程中，模型的假设信息作为求解问题的前提被使用，在问题求解后，对结果得出的整个过程进行分析，结合实际木桌的尺寸，可以考虑在木桌的预处理时对所求模板进行有效的空间切割，从而使的更方便与参数的求解和减少模型求解过程的误差。
模型的改进，在上述过程中，对桌椅的厚度加以考虑使得模型求出参数更加真实。
