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机械优化设计第1阶段练习题

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江南大学现代远程教育 第一阶段练习题
考试科目:《机械优化设计》 第一章至第三章 （总分100分）
学习中心（教学点） 批次： 层次： 专业： 学号： 身份证号： 姓名： 得分：
一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

在每小题列出的四个选项中只有一
个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在横线上。

） (1)、对于约束问题
()()()()22
12221122132min 44 g 10
g 30 g 0
f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥
根据目标函数等值线和约束曲线，判断()
1[1,1]T X =为 ，()251
[,]22
T
X =为 。

A ．内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点
(2)、对于一维搜索，搜索区间为[a ，b]，中间插入两个点a 1、b 1，a 1<b 1，计算出f(a 1)<f(b 1)，则缩短后的搜索区间为___________。

A [a 1，b 1] B [ b 1，b] C [a 1，b] D [a ，b 1]
(3)、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。

A 设计变量 B 约束条件 C 目标函数 D 最佳步长
(4) 、一维搜索试探方法——黄金分割法比二次插值法的收敛速度 。

A 、慢 B 、快 C 、一样 D 、不确定
(5)、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是 ，假设要
求在区间[a ，b]插入两点α1、α2，且α1<α2。

A 、其缩短率为0.618 B 、α1=b-λ（b-a ）
C 、α1=a+λ（b-a ）
D 、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。

二、填空题(本题共9个空，视难易程度每空3-4分，共30分。

)
(1)、机械优化设计的一般过程中， 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。

(2)、当优化问题是________的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。

(3)、应用外推法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 趋势。

(4)、包含n 个设计变量的优化问题，称为 维优化问题。

(5)、函数
C X B HX X T T
++2
1的梯度为 。

(6)、 、 、 是优化设计问题数学模型的基本要素。

(7)、用黄金分割法求一元函数3610)(2
+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 。

三、已知实对称矩阵
522251215A ⎡⎤-⎢⎥
=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
判别A 是否正定。

（本题共10分。

）
四、求二元函数22121221x 4820f x x x +--+（
,x ）=x 在[](0)00T
X =处函数变化率最大的方向和数值。

（本题共20分）
五、求二元函数221,212
21()4820f x x x x x x =+--+在点(0)1(0)
(0)242x X
x ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦处的二阶泰勒展开式。

(本题20分)
参考答案：
一、单项选择题：（本题共5小题，每小题4分，共20分）
（1）、D （2）、D （3）、D （4）、A （5）、 D
二、填空题：(本题共9个空，视难易程度每空3-4分，共30分。

)
(1)、建立优化设计数学模型 。

(2)、凸规则。

(3)、高-低-高。

(4)、 n (5)、Hx B +。

(6)、 设计变量、 约束条件、目标函数 。

(7)、[]2.36,10-。

三、（本题共10分。

）
解：此矩阵的各阶顺序主子式为
1112112122
1113
122123223233
315250,
210
25
5
22251880
211
a a a a a a a a a a a a a a =>=
=>-=-=>--
显然，各阶顺序主子式都大于零，所以矩阵A 是正定的。

四、（本题共20分）
解：函数变化率最大的方向是梯度方向（用单位向量d 表示），函数变化率最大的数值是梯度
的模(0)()f X ∇，则12(,)f x x 在点(0)X 处的梯度方向和数值如下：
(0)(0)
1122f 288()244X X x x f X f x x ∂⎡⎤⎢⎥∂--⎡⎤⎡⎤⎢⎥∇≡==⎢⎥⎢⎥∂--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦（0）
()f X ∇===（0）
(0)(0)
()
()f X d f X ⎡⎢∇⎢==∇⎢
⎢⎣
在平面画出函数等值线和点处的梯度方向，从图可以看出，在点处函数变化率最大的方向即为等值线的发现方向，也就是同心圆的半径方向。

五、(本题共20分)
解：二阶泰勒展开式为
(0)(0)
(0)(0)1212(0)(0)
(0)
(,)(,)()1
()()()
2
T T
f x x f x x f X X X
G X
X X
≈+∇--(X-X ）+
将的具体数值(0)
X
代入，有
(0)(0)
(0)(0)1211(0)222222112(0)222212(,)0
280()024020()0
2X X f x x f x x f X f x x f f x x x G X f x x x =∂⎡⎤
⎢⎥∂-⎡⎤⎡⎤⎢⎥∇≡===⎢⎥⎢⎥∂-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦⎡⎤∂∂⎢⎥
∂∂∂⎡⎤
⎢⎥≡=⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦
⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦
所以
[](0)11(0)(0)(0)
121122022112222
121(,)()22041
=
420
222(4)+x x f x x x x x x G X x x x x x x x ⎡⎤-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎡⎤
--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=-（）
（x -2）
此函数的图像时以点为顶点的旋转抛物面，如下图所示。

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机械优化设计试卷试题包括答案.docx

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计算题1．试用牛顿法求 f X8x125x22的最优解，设 X 010 10T 。

初始点为 X 01010T，则初始点处的函数值和梯度分别为f X 01700f X 016x1 4 x2200 ，沿梯度方向进行一维搜索，有4x110 x2140X 1Xf X10200102000 0100 140101400为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件f X 1min f X 0f X 0min 81020024102001014051014020000 min1060000 0596000，59600从而算出一维搜索最佳步长0 0.05622641060000则第一次迭代设计点位置和函数值X 1102001014001.24528302.1283019f X 124.4528302 ，从而完成第一次迭代。

按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。

2、试用黄金分割法求函数f 20的极小点和极小值，设搜索区间a, b0.2,1 （迭代一次即可）解：显然此时，搜索区间a,b0.2,1 ，首先插入两点1和 2 ，由式1b(b a) 1 0.618 1 0.20.50562a(b a) 0.2 0.618 1 0.20.6944计算相应插入点的函数值f140.0626, f229.4962 。

因为 f1f 2 。

所以消去区间a, 1，得到新的搜索区间1 ,b ，即1 ,b a,b0.5056,1。

第一次迭代：插入点10.6944 ，2 0.50560.618(1 0.5056) 0.8111相应插入点的函数值f129.4962, f225.4690，由于 f 1f2，故消去所以消去区间 a, 1，得到新的搜索区间1 ,b ，则形成新的搜索区间1 ,b a,b0.6944,1 。

至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。

3．用牛顿法求目标函数 f X16x1225x22 +5 的极小点，设X022T 。

机械优化设计第1阶段测试题

机械优化设计第1阶段测试题

江南大学现代远程教育 第一阶段测试卷考试科目:《机械优化设计》第一章至第三章（总分100分）时间：90分钟学习中心（教学点） 批次： 层次： 专业： 学号： 身份证号： 姓名： 得分：一、单项选择题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在横线上。

）(1)、对于约束问题()()()()2212221122132min 44g 10g 30g 0f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥根据目标函数等值线和约束曲线，判断()1[1,1]T X=为 ，()251[,]22T X =为 。

A ．内点；内点B. 外点；外点C. 内点；外点D. 外点；内点(2)、对于一维搜索，搜索区间为[a ，b]，中间插入两个点a 1、b 1，a 1<b 1，计算出f(a 1)<f(b 1)，则缩短后的搜索区间为___________。

A [a 1，b 1]B [ b 1，b]C [a 1，b]D [a ，b 1](3)、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。

A 设计变量B 约束条件C 目标函数D 最佳步长(4) 、一维搜索试探方法——黄金分割法比二次插值法的收敛速度 。

A 、慢B 、快C 、一样D 、不确定(5)、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的是 ，假设要求在区间[a ，b]插入两点α1、α2，且α1<α2。

A 、其缩短率为0.618B 、α1=b-λ（b-a ）C 、α1=a+λ（b-a ）D 、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。

二、填空题(本题共15个空，每空2分，共30分。

)(1)、组成优化设计数学模型的三要素是 、 、 。

(2)、函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为 ，海赛矩阵为_________。

机械优化设计试题包括答案

机械优化设计试题包括答案

计算题1．试用牛顿法求 f X8x125x22的最优解，设 X 010 10T 。

初始点为 X 01010T，则初始点处的函数值和梯度分别为f X 01700f X 016x1 4 x2200 ，沿梯度方向进行一维找寻，有4x110 x2140X 1Xf X10200102000 0100 140101400为一维找寻最正确步长，应满足极值必要条件f X 1min f X 0f X 0min 81020024102001014051014020000 min1060000 0596000，59600从而算出一维找寻最正确步长0 1060000则第一次迭代设计点地址和函数值X 110200101400 0f X 124.4528302 ，从而完成第一次迭代。

按上面的过程依次进行下去，即可求得最优解。

2、试用黄金切割法求函数f 20的极小点和极小值，设找寻区间a, b0.2,1 （迭代一次即可）解：显然此时，找寻区间a,b0.2,1 ，第一插入两点1和 2 ，由式1b2a计算相应插入点的函数值f140.0626, f229.4962 。

由于 f1f 2 。

因此消去区间a, 1，获取新的找寻区间1 ,b ，即1 ,b a,b0.5056,1。

第一次迭代：插入点10.6944 ，2相应插入点的函数值f129.4962, f2，由于 f 1f2，故消去因此消去区间 a, 1，获取新的找寻区间1 ,b ，则形成新的找寻区间1 ,b a,b0.6944,1 。

至此完成第一次迭代，连续重复迭代过程，最后可获取极小点。

3．用牛顿法求目标函数 f X16x1225x22 +5 的极小点，设X022T 。

f解：由X 022Tf Xx132x164，则f50x2100x22 f 2 f2 f X 0x12x1 x2320，其逆矩阵为2 f 2 f050x2x1x22120132f X1501102010232640因此可得： X X f X Xf21100050f X 1 5 ，从而经过一次迭代即求得极小点X0T5 0 ， f X4.下表是用黄金切割法求目标函数f 20的极小值的计算过程，请完成下表。

机械优化设计课后习题答案

机械优化设计课后习题答案

5
6 0 海赛矩阵H ( X ) 0 4
a 各阶主子式： a11 6 0，11 a 21 a12 a 22 6 0 0 0 4
H(X)是正定的，所以， f (X) 为凸函数。
得：极值点 X* [1/ 3 1/ 4]T ，极值f ( x* ) 229/ 24
X( k ) ( k )S( k ) 的几何意义。
2-2 已知两向量 P 1 [1 2
2 0]T , P 2 1]T ,求该两向量之间的夹角 。 2 [2 0
2-3 求四维空间内两点 (1,3,1,2) 和 (2,6,5,0) 之间的距离。 2-4 计 算 二 元 函 数 f (X) x13 x1 x22 5x1 6 在 X(0) [1 1]T 处 ， 沿 方 向
x1 d 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为 X = x2 D2 ； n x3
（2）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即：
1
f(X) =
2
4
rx1 x2 x3
2
（3）本问题的最优化设计数学模型： min s.t. f (X) =
2
4
rx1 x2 x3
2
X∈R
3·
g1(X) =0.5-x1 ≤0 g2(X) =10-x2 ≤0 g3(X) =x2-50 ≤0 g4(X) =3-x3 ≤0 g5(X) = (1
x1 8Fx2 ) ≤0 2 x2 x13
3
8Fx2 x3 g6(X) = ≤0 4 Gx1
求：
2、 3、 4 时的四条等值线，并在图上 (1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为 f ( X) 1、