威布尔分析方法

虽然对数或对数正态分布的使用通常要至少 20 次失效或源于以往的经验，在只有 2~3 次失效时用威布尔分析非常好， 在涉及安全性或极端费用时的失效结果是很关键的。 威布尔 家族中的一员 weibayes，在以往经验充足时甚至可用于无失效情况下。
1.1.2 威布尔概率图：
威布尔分析研究的是通过在威布尔概率图上绘制单一失效模式的寿命数据来研究部件 的寿命时间和它的可靠度之间的关系。 威布尔分析最常用于描述元器件失效的时间， 它们可 以是电灯泡，滚珠轴承、电容、磁盘驱动器，打印机甚至是人。失效模式包括爆裂，折断， 变形或由于腐蚀造成的疲劳，过应力，高温，初期致命失效，耗损等等。 当在威布尔概率图上绘制失效时间数据时，工程师们更愿意用 median rank regression 作为参数估计方法，median rank regression 方法是通过用最小二乘法（曲线拟合） ，找到一条 最佳拟合直线来将平方差减至最小，median rank regression 被认为是标准参数估计方法，因 为它通过大多数数据得出了正确结果。 典型的，水平刻度（x 轴）度量部件的寿命，垂直刻度（Y 轴）度量已知失效模式下的 部件失效累积的百分数。 一个威布尔概率图沿着横坐标有一条线性/非线性的时间刻度，沿着纵坐标有另一条非 线性的分布函数。这些非线性的刻度通过适当的数据模型选出。如果刻度与数据相匹配，图 表就会呈现出一条直线。 由于它们简单且有用， 所以概率图表用于统计分析中已经很多年了。 尽管如此， 仍需注意的是用概率描绘的方法获得的分布参数是独立同分布的， 这经常用于不 可修的部件和系统，而对于可修系统的失效数据可能就不是这样。 在图 7-1 中，威布尔概率图认为失效时间对应唯一的失效模型。当许多元器件在正常 运转条件下被测试时， 它们不会在同一时间因同一原因都失效。 任一失效原因下的失效次数 都会集中于平均值附近，次数过多或过少的情况都较少。由于寿命数据的分布如此，他们会 服从某种分布。为了描述一种分布的形状，这种分布的形状取决于所要研究的内容，公式可 由统计方法得出。如果已绘制的数据点落在直线附近，威布尔概率图便认为是合理的。
1.1.1 威布尔分析的优点：
威布尔分析广泛用于研究机械、化工、电气、电子、材料的失效，甚至人体疫病。威 布尔分析最主要的优点在于它的功能： 提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，对出现的问题尽早的制订解 决方案。 为单个失效模式提供简单而有用的图表，使数据在不充足时，仍易于理解。 描述分布状态的形状可很好的选择相应的分布。 提供基于威布尔概率图的斜率的物理失效的线索。
1 1 F (t )
1.1.3 威布尔分析的用途
威布尔分析一般用于以下方面失效数据的分析： 研制、生产和服务 质量控制和设计缺陷 维修计划和替代方案 备用元件的预测

保障性分析 自然灾害（闪电袭击，暴风雪，强风，暴雪等）
威布尔分析新的应用包括医学研究，仪器校准，费用削减，材料性能和测量分析。
注意：三参数的威布尔分布应用也很广泛。第三个参数——位置，是一个常数，可从时间变
量 t 中加上或减去。 威布尔危险函数或失效率依赖于 β 的值，因为 β 值说明了新或旧元件是否更有失效 的可能，威布尔危险函数可以描绘出不同元件的浴盆曲线： 初期故障：在电子和制造业中，早期失效指在使用寿命的初期失效的概率极高，当 β 值于小 1.0 时，威布尔概率分布图表明较新的元件在正常使用时更有可能失效，被称为瞬时 递减失效率。为中止电子和机械系统在早期故障的高失效率，制造商提供了产品接收测试， 老练（burn－in）早期和环境应力筛选暂不先将系统交付客户。假如有部件在初期损失阶段 没有失效，那么它的失效率应当是递减的，且它的可靠度增加。因此，旧元件被认为比新元 件更好，因为新元件很可能在寿命的早期失效，而元件在早期失效阶段的检修是不合适的。 偶然故障：假设威布尔概率分布图以一个独立失效模型为基础，β 为 1.0 说明失效率 是常数或相对于时间独立。这意味着对于那些无故障运行至时间 t 的元件，在下一个单位时 间内将不能保持恒定的百分比， 称作恒定危险率或瞬时失效率。 这使得威布尔概率图与指数 分布一致。由于旧元件被认为与新元件一样好。检修通常是不适合的，唯一使系统或部件可 靠度提高的方法是用随机失效进行重新设计。 早期损耗：在设计寿命时经常因为机械问题出现未预期的失效。当 1.0<β<4.0 时，大
虽然， 威布尔教授最初提出用平均值作为 MTTF 值绘制在威布尔概率分布图的 y 轴上， 现在是标准的工程方法用失效时间的中间值来划分寿命数据。 表 7-2 展示了一个中间等级表 （50%）作为 10 个数量的样本，由此形成莱奥纳多·杰克逊（Leonard Johnson）的等级公 式。 因为在寿命数据中非均匀分布相当常见，所以中间值比均值更为准确些。一旦知道 β 和 η，任意时间的失效概率都可轻易算出。
当 1.0<β<4.0，失效原因归结于：
• • • •
β>4.0 快速损耗
低循环疲劳 受力失效 腐蚀/侵蚀 制造过程
当β>4.0，除部件老化，还有以下原因引起失效：
• •
材料的固有属性的缺陷(如陶瓷易碎) 制造过程中出现的严重问题
•
制造或材料上的细微变化
表 7-1 失效分类及斜率对应的可能原因 统计学家，数学家和工程师们已将统计分布简化为数学模型或描绘出某些行为。与其 它统计分布相比,威布尔分布适于更广范围的寿命数据。威布尔概率密度函数是一个数学函 数，用以描述与数据相适应的曲线。概率密度函数可用数学模型给出或用图形给出，其中图 上 X 轴代表时间。威布尔家族中的不同成员有不同形状的概率密度函数。累积密度函数是 概率密度函数曲线下的面积。威布尔分布的累积密度函数如下： 公式
• • • • •
β=1.0 随机失效
不充足的 burn-in 或应力筛选 部件的质量问题 制造的质量问题 错误的安装,设置及使用 重做/刷新时出现的问题
当β=1.0，失效原因归结于：
• • •
1.0<β<4.0 早期损耗
维护中的人为错误 引发的失效而非固有的 意外事故和自然灾害(外来物体，闪电袭击，强 风摧毁等)
等级 顺序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 50.00
2 29.29 70.71
3 20.63 50.00 79.37
4 15.91 38.57 61.43 84.09
1.1.4 理解威布尔分析
双参数的威布尔分布目前在寿命数据分析中广泛应用：
t R(t ) exp
其中： t≥0,β＞0 且η>0 。这里,β和η分别是分布状态和比例参数。 因为双参数的威布尔分布有效地分析了初期致命失效，实用寿命的和耗损阶段的寿命 数据，它也可用于失效率的增长，持续和递减。 定义了威布尔概率图的第一个参数是斜率 β，它是形状参数，因为它确定了威布尔家 族中哪一种分布相关性最好或可以描述数据。第二个参数是特征寿命，伊塔（η）作为比例 参数，因为它定义了分布状态的大部分。参数 β 和 η 可从寿命数据中估计，寿命数据总为 正值。威布尔分析完成后，由图可看出威布尔概率的斜度和拟合度。
1 MTTF 1 …………………………………………………………………(7.2)
When 1, MTTF .
When 0.5, MTTF 2 . When 1, MTTF , 典型分布。 When 1, MTTF .
修或以低 B－lives 来替换元件会较经济。B-Lives 指出给定总数的百分比失效时的时间。例 如：B-1 寿命是指总数的 1%失效时的时间，而 B-10 寿命指总数的 10%失效的时间。通过优 化预防性维修计划，经历早期耗损的元件的可靠度和费用都会提高。 快速损耗： 尽管一个元件设计寿命的β值大于 4.0 是需要引起重视， 但多数斜率急剧升 降的威布尔概率图在失效概率在忽视范围内有一个安全期， 且发生失效的影响会超出设计寿 命。斜率越大的直线，在失效时间内的变化越小且结果越可预知。对于有重大失效的元件， 大修和检查会更经济，因为定时维护会较昂贵，所以当旧元件快损坏或失效时才会考虑，此 时的失效称为瞬时增长失效率。 因为不同的斜率代表不同的失效类别，威布尔分布提供了可能引起失效的原因，表 7-1 列出了引起每一类失效的失效原因： β值 β<1.0 类型 初期故障 斜述 当β<1.0,失效原因归结于：
t F (t ) 1 exp ………………………………………………………………(7.1)
其中: η 代表特征寿命(比例参数) β 代表斜率(状态参数) 累积密度函数给出了时间 t 内的失效概率.参数 η 和 β 由失效时间进行估计，如果失 效数据来自于威布尔分布，η 和 β 的值代入累积密度函数的公式求出一定时间内元器件的 失效预计。 特征寿命 η 和平均失效时间（MTTF）是相关的。特征寿命给出了系统或元器件寿命 中的失效概率独立于失效分布参数的点。对所有威布尔分布来说，定义为 63.2%的单元失 效时的寿命。 对 β=1，MTTF 和？相等。MTTF 和 η 为 gamma 函数关系： 公式
1 W/rr 10 发 生 频 50 度
1ห้องสมุดไป่ตู้
C 90 D F % 99 .1 1 数据（单元） Eta Beta 1.802 2.163 r^2 0.947 n/s 25/0 10
图7-1.威布尔分布概率图
注意：Y 轴上的值是从 1%~99%的概率值，轴上各点之间的距离是不均匀的。威布尔概率图
的 X、Y 轴上的点于点之间的距离是百分比的变化而不是点的变化。正如对数的刻度一样， 1~2 间的距离是 100%的增加，与 2~4 间的距离相同，但那是另一个 100%的增加。对数比例 只为一些相似级数作铺垫。 除了对问题有更深的洞察力， 最直观的是对确认分布方法有帮助， 该种方法可更好的将数据集构成一条直线。 如果用以前的数据表示发生的失效，将组件的失效寿命绘制成图是非常常见的。在这 种情况下： Y 轴通常为： ln ln X 轴为： ln t Y 轴的截距为： ln