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广州市高中数学知识应用竞赛决赛试卷（样卷）
（考试时间：120分钟 全卷满分：100分）
一、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．
（1）小丁储备2008年赴京观看奥运会的费用，他从2001年起到2007年，每年元旦到银行
存入a 元一年定期储蓄，若年利率r 保持不变，且每年存款到期自动转存新的一年定期. 到2008年元旦将所有的存款和利息悉数取出，可提取 ( ) 元.
(A) a (1+r )8 (B) a
r [(1+r )7－(1+r )]
(C) a
r
[(1+r )8－1]
(D) a
r
[(1+r )8－(1+r )]
（2）我国首航员杨利伟乘坐的“神舟五号”载人宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 为一
个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 公里，远地点B 距地面为n 公里．若地球的半径为R 公里，则飞船运行轨道的短轴长为
(A) mn (B) 2))((R n R m ++ (C) 2nm (D)
))((R n R m ++
（3） 现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm ，底面的长是25cm ，宽是20cm ．设
0＜a ≤8，水箱里盛有深为a cm 的水，若往水箱里放入棱长为10cm 的立方体铁块，则水深为
(A) 2 cm (B) 10 cm (C) (a +2) cm (D)
a 4
5
cm （4）右图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积)(2
m y 与时间t （月）的关系为：t
a y =.有以
下判断：①这个指数函数的底数为2；②第5个月后，浮萍面积就会超过302m ；③浮萍从42m 蔓延到122m 只需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到
22m ,226,3m m 所经过的时间分别为,,,321t t t 则321t t t =+．其
中正确判断的个数是（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 （D ） 4
A
C
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
（5）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验，则至少有两件
不合格的概率为 ．
（6）如图，距离船只A 的正北方向100 n mile 处，有一船只B
以每小时20 n mile 速度，沿北偏西0
60 角的方向行驶，船
只A 以每小时15 n mile 速度，向正北方向行驶，两船同时 出发，经过 小时后，两船相距最近。
（7）如图，一个地区分为5个行政区域，现给
地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜 色，现有4种颜色可供选择，则不同的着 色方法共有 种．（以数字 作答）
（8）某工厂为某工地生产一种无盖圆柱形容器，容器的底面半径r ∈[2，3]（米），容积为
)(2
3
3米π，制造容器底面的材料每平方米为30元，制造容器侧面的材料每平方米为20元，设计时材料的厚度可忽略不计，则这种容器的最低造价为 元．（取π＝3.14，精确到1元）
三、解答题：本大题共4小题，共60分．要求写出解答过程．
（9）（本小题满分15分）
某机关在精减人员中,对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的三分之二领取工资.该机关根据分流人员的特长,计划创办新的经济实体,该经济实体计划第一年属投资阶段,没有利润,第二年每人可获b 元收入,从第三年起每人每年的收入可在上一年基础上递增50%.如果某分流人员分流前工资收入每年a ,分流后第n 年总收入为n a 元. （Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）当278a
b =时,这个人哪一年收入最少,最少收入是多少? （Ⅲ）当a b 8
3
≥时,是否一定可以保证这个人分流后的年收入永远超过分流前的年收
入．
（10）（本小题满分15分）
甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/
时．已知
汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元．
(Ⅰ)全程运输成本把y(元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (Ⅱ)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?
(11)（本小题满分15分）
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （Ⅰ）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱 宽l 是多少？
（Ⅱ）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设 计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为lh S 4
π
=，
柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1
2.65）
(12) （本小题满分15分）
下面是某国从1790年到1950年的人口数据资料：
试利用上述资料预测该国1980年的人口数。
广州市高中数学知识应用竞赛决赛试卷（样卷）
参 考 答 案
（1）至（10）题答案参看《广州市高中数学知识应用竞赛初赛试卷（样卷）参考答案》 (11) （本小题满分15分）
解: （Ⅰ）如图建立直角坐标系，则点P （11，4.5）， 椭圆方程为12222=+b
y a x .
将b=h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得3.337
7
882,7744≈===a l a 此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.
（Ⅱ）由椭圆方程122
22=+b
y a x ，
得.15.41122
22=+b
a 4
.6,1.31222222
9,211,215.411,.
29924,
,2,995.41125.41122222222≈=≈===
===≥====≥⨯⨯≥+b h a l b a b a S ab lh S b h a l ab ab b
a 此时得有取最小值时当所以且即因为π
ππ
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小. (12) （本小题满分15分）
解答要点：
（1）假设该国的政治、社会、经济环境稳定，该国人口数量完全按表中所给数据呈现的规律连续变化．
（2）将该国人口数量看成是时间的函数，并设时间为t ，该国人口数量为y ，则
)(t f y =．
（3）以t 为横坐标，y 为纵坐标，在平面直角坐标系中，根据表中所给的数据资料，画出散点图（略）．
（4）观察散点图，从整体趋势来看，可认为散点近似在一条指数型的曲线上．
由于表中所给1940和1950两年数据离1980年最近，故设1940
()t f t k a -=⋅，并以（1940，
131.669）和（1950，150.697）代入，求出k ，a 的值，得到
=)(t f 131.669(1.0136)1940-t ．
由此，算得该国1980年的人口预测数为:f ()1980=226.02（百万）．
