2018届高三最新考试数学文科试题平面向量专题及详细答案

2018届高三最新考试数学文科试题平面向量专题2017.10一．选择题1．[2015·新课标全国卷Ⅰ]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →1.答案：A解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.故选A.2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →2．答案：A 解析：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．8 3.答案：D解析：由向量的坐标运算，得a ＋b ＝(4，m －2)，由(a ＋b ) ⊥b ，得(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8，故选D.4．[2015·四川卷]设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4.答案：B解析：∵ a ∥b ，∴ 2×6－4x ＝0，解得x ＝3.5．[2014·福建卷]在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 5.答案：B解析：解法一：若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3,2)表示出来，故选B.解法二：因为a ＝(3,2)，若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1，所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.6．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 6.答案：A解析：由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC ＝30°.7．[2016·北京卷]设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.答案：D解析：取a ＝－b ≠0，则|a|＝|b|≠0，|a ＋b |＝|0|＝0.|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b|≠|a －b |，故由|a|＝|b|推不出|a ＋b|＝|a －b|.由|a ＋b|＝|a －b|，得|a ＋b|2＝|a －b|2，整理得a·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a ＋b|＝|a －b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a ＋b|＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D. 8．[2015·重庆卷]若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D ．π 8.答案：A解析：由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0. 又∵ |a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0，∴ 83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0.∴ cos θ＝22.又∵ 0≤θ≤π，∴ θ＝π4. 9．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 9.答案：A解析：由条件可得，(a ＋b )2 ＝10，(a －b )2 ＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a·b ＝1.10．[2016·天津卷]已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B.18 C.14 D.11810.答案：B解析：如图，设AC →＝m ，AB →＝n .根据已知得，DF →＝34m ，所以AF →＝AD →＋DF →＝34m ＋12n ，BC →＝m －n ，AF →·BC →＝⎝⎛⎭⎫34m ＋12n ·(m －n )＝34m 2－12n 2－14m·n ＝34－12－18＝18. 11.（泰安市2017高三第一轮检测（一模））在△ABC 中，3,3AB AC AB AC AB AC +=-==，则CB CA ⋅的值为（ ） A ．3B ．3-C ．92-D ．9211.答案：D12.（济宁市2017届高三第一次模拟（3月））平面向量a 与b 的夹角为23π，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +=（ ）A ．1B ．2C ．D ．412.答案： B二．填空题13．[2015·福建卷]已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t .若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC→|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A ．13B ．15C ．19D ．21 13.答案：A解析：∵ AB →⊥AC →，故以A 为原点，AB ，AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．不妨设B ⎝⎛⎭⎫0，1t ，C (t,0)，则AP →＝⎝⎛⎭⎫0，1t 1t＋4(t ，0)t＝(4,1)，故点P 的坐标为(4,1)．PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫－4，1t －1·(t －4，－1)＝－4t －1t ＋17＝－⎝⎛⎭⎫4t ＋1t ＋17≤－24＋17＝13. 当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.14．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．14.答案：90°解析：∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°.15. 已知P 是△ABC 内一点，且AP →＝13AB →＋718AC →，△PBC 的面积是2 015，则△P AB 的面积是________．[思路分析] △PBC ，△P AB 分别与△ABC 共底边于BC ，AB ，由平面几何知识，将每组共底边的三角形面积之比转化为共底边上的对应高的比，即可得出面积关系，进而计算出△P AB 的面积．15.[解析] ：(划归转化，牵手三角形“重心”巧解) 由AP →＝13AB →＋718AC →，可得5P A →＋6PB →＋7PC →＝0.令P A ′→＝5P A →，PB ′→＝6PB →，PC ′→＝7PC →， 连接A ′B ′，B ′C ′，C ′A ′，如图所示，于是P A ′→＋PB ′→＋PC ′→＝0. 即P 是△A ′B ′C ′的重心，S △P A ′B ′＝S △PB ′C ′，根据已知条件，得S 1＝12|PB →||PC →|sin ∠BPC ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪16PB ′→⎪⎪⎪⎪⎪⎪17PC ′→sin ∠BPC＝142⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PB ′→||PC ′→|sin ∠BPC ＝142S △PB ′C ′， 所以S △PB ′C ′＝42S 1，同理可得S △P A ′B ′＝30S 2.于是S 2＝4230S 1＝2 821.故填2 821.[答案] 2 82116．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 16.答案：12解析：∵ λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴ λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.17．[2015·北京卷]在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.17.答案：12 －16解析：∵ AM →＝2MC →，∴ AM →＝23AC →.∵ BN →＝NC →，∴ AN →＝12(AB →＋AC →)，∴ MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →.又MN →＝xAB →＋yAC →，∴ x ＝12，y ＝－16.三、解答题1、（德州市2017届高三第一次模拟考试）已知向量(2cos ,2cos )44x x m =，(2cos )44x xn =，设()f x m n =⋅．（Ⅰ）若()2f α=，求cos()3πα+的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2)cos cos a b C c B -=，求()f A 的取值范围．1．【解答】（Ⅰ）2()2cos cos 444x x x f x =+cos 122x x =++2sin()126x π=++． ∵()2f α=，∴sin()26απ+12=，∴21cos()12sin ()3262παπα+=-+=．（Ⅱ）∵(2)cos cos a b C c B -=， ∴(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，2sin cos sin cos cos sin sin()A C B C B C B C =+=+，∴2sin cos sin A C A =， ∵sin 0A ≠，∴1cos 2C =，∴3C π=． ∴203A π<<，6262A πππ<+<， ∴1sin()1226A π<+<， ∵()2sin()126A f A π=++，∴()f A 的取值范围为(2,3)．2、（菏泽市2017年高考一模）已知向量=（sinx ，mcosx ），=（3，﹣1）．（1）若∥，且m=1，求2sin 2x ﹣3cos 2x 的值； （2）若函数f （x ）=•的图象关于直线x=对称，求函数f （2x ）在[，]上的值域．2．【解答】解：（1）当m=1时， =（sinx ，cosx ），=（3，﹣1）．∵，∴sinx=﹣3cosx ．又sin 2x +cos 2x=1， ∴sin 2x=，cos 2x=． ∴2sin 2x ﹣3cos 2x=2×﹣3×=．（2）f （x ）==3sinx ﹣mcosx=sin （x ﹣φ），其中tanφ=． ∵函数f （x ）=•的图象关于直线x=对称，∴sin（﹣φ）=1或sin（﹣φ）=﹣1．∴φ=+2kπ，或φ=﹣+2kπ．∴m=．∴f（x）=2sin（x﹣）或f（x）=﹣2sin（x﹣）．∴f（2x）=2（2x﹣）或f（2x）=﹣2sin（2x﹣）．∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]．∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（2x）在[，]上的值域为[﹣，2]或[﹣2，]．。