可交换矩阵的性质与求法(1)

第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。

主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。

在自学考试中，所占比例是各章之最。

按考试大纲的规定，第二章占26分左右。

而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。

以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数07.4 07.7 07.10 直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。

2.1 线性方程组和矩阵的定义2.1.1 线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若，称这样的方程组为齐次方程组。

称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。

事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。

例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2 矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。

注意:矩阵和行列式的区别。

二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。

例如都是零矩阵。

2.若A的行数m=1，则称为行矩阵，也称为n维行向量。

若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。

3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。

如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。

4.称n阶方阵为n阶对角阵。

特别若上述对角阵中，，称矩阵为数量矩阵，如果其中λ=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。

5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。

第一章 行列式1、求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。

（1）1347265；（2）321)1( -n n 。

【解】（1）62130000)1347265(=++++++=τ，偶排列；（2）2)1()1(210]321)1([-=-++++=-n n n n n τ。

当14,4+=k k n 时，2),14(22)1(-=-k k k n n 当34,24++=k k n 时，4)(12(2)1(+=-k n n 排列。

■2、用行列式定义计算x x x xx f 111231112)(=中4x 和3x 的系数，并说明理由。

含4x 2；含有3x ，（4，4）的元素乘积项，而10=+，故3x 的系数为1-611612031102251611311061202251611301160212152323112241324--=---=--=↔↔++-r r c c r r r r r r D9300003003110225123242-=--=--r r r r 。

■4、求84443633224211124=D 。

【解】性质（三角化法）+行和相等的行列式：211112111121111224844436332242111243212432434r r r r r r r D +++÷÷÷===1201010*********12014,3,2==-=r r k k 。

■5、求x x m x D n -=111mD n n c c c nn-=+++ (21mm m x ni i c x c nk k k ---=∑=-=0101001)(1,,3,2111))((-=--=∑n ni i m m x 。

■6、求nn a a a D1001011110211=+，其中021≠n a a a 。

【解】箭形行列式（爪形行列式）：利用对角线上元素将第一行（或列）中元素1化为零。

可交换矩阵的性质及应用
孟献青;张英;乔世东
【期刊名称】《山西大同大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(029)002
【摘要】如果矩阵的乘积满足交换律,则称矩阵是可交换的.文章研究了可交换矩阵的性质,并给出了可交换矩阵的一些应用.
【总页数】3页(P6-8)
【作者】孟献青;张英;乔世东
【作者单位】山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009;山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009;山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009
【正文语种】中文
【中图分类】R742.1
【相关文献】
1.可交换矩阵空间上矩阵函数的一些性质 [J], 马翠云
2.线性变换及矩阵可交换的性质与应用 [J], 曾梅兰
3.矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质 [J], 戴立辉;颜七笙;刘龙章
4.与矩阵A可交换的全体矩阵的性质 [J], 丁晓业;李红菊;何健
5.可交换矩阵和反可交换矩阵的几个性质 [J], 贾经纬; 唐俊
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第四章矩阵§1 概念§2 矩阵的运算教学目的：使学生学会矩阵的加、减、乘法运算及运算条件。

教学重点：矩阵的乘法课时：4教学方式：讲练结合教学内容：一、回忆矩阵的概念并举例二、矩阵的运算：（一）加法1、条件：两个矩阵的行数、列数分别相等。

2、法则：对应元素相加3、性质：（1）结合律（2）交换律（3）零矩阵（4）负矩阵注：可用负矩阵定义矩阵的减法（二）数乘1、法则：用这个数乘以矩阵的每一个元素2、性质：（1）lA=（+）k+kAAl（2）kB=+）k+（kABA（3）A（）（=k）kllA（4）A⋅1A=（5）)(kB A B kA AB k ==）（）（（三）乘法1、条件：第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，其结果矩阵的行数与第一个矩阵的行数相同，列数与第二个矩阵的列数相同。

2、法则：第一个矩阵的第i 行与第二个矩阵的第j 列的对应元素相乘后再相加即为乘积矩阵的第i 行第j 列的元素。

问：如果矩阵A 与矩阵B 可以相乘，那么矩阵B 与矩阵A 是否可以相乘？不一定。

即使矩阵A 与矩阵B 可以相乘，矩阵B 与矩阵A 也可以相乘，那么其结果是否相同？不一定。

例：333443101726210765121113121430415003112101⨯⨯⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=AB 444334267321426471165231415003112101121113121430⨯⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=BA从而交换律不成立。

3、性质：（1）结合律（2）关于加法的左、右分配律成立 4、特殊矩阵：（1）n 级单位矩阵：主对角线上是1，其余元素全部为0的矩阵。

它与任何可以与之相乘的矩阵的乘积都是那个矩阵本身。

（2）n 级数量矩阵：即主对角线上是同一个数k ，其余元素全部为0的矩阵。

与任何可以与之相乘的矩阵的乘积都等于数k 乘以该矩阵。

§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。

第二章矩阵第一节矩阵的概念1、分类：行矩阵：只有一行的矩阵列矩阵：只有一列的矩阵零矩阵O：元素全为零的矩阵单位阵E：主对角线上元素为1，其他元素为0的方阵数量阵（纯量阵）：λE对角阵：不在主对角线上的元素都为0的方阵上（下）三角阵：主对角线上以下（上）的元素全为0的方阵2、两矩阵同型：两个矩阵行数且列数都相等两矩阵相等：两矩阵同型，且对应元素相等。

记做A=B。

3、不同型的零矩阵是不相等的第二节矩阵的运算设A,B,C为m×n矩阵，λ, μ为数一、加法：只有同型矩阵才能进行加法运算（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A二、减法：A-B=A+(-B) -B称为B的负矩阵三、乘法：1、只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（行矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。

简记为：(m×s)(s×n)=(m×n)例: A为2×3矩阵，B为3×2矩阵，则AB=C为2×2矩阵2、数与矩阵：（1）(λμ)A=λ(μA)=μ(λA)（2）(λ+μ)A=λA+μA（3）λ(A+B)=λA+λ B（4）1*A=A, (-1)*A=-A矩阵与矩阵：（1）结合律：(AB)C=A(BC)（2）分配律：A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA（3）λ(AB)=(λA)B=A(λB)（4）EA=AE=A（5）A k A l=A k+l（6）(A k)l=A kl3、矩阵乘法不满足交换律，即(AB)C≠(AC)B另外：（1）一般有AB≠BA （A与B可交换时，等式成立）（2）AB=O，不能推出A=O或B=O（3）AB=AC,A≠O,不能推出B=C（4）(AB)k≠A k B k（A与B可交换时，等式成立）4、可交换的：对于两个n阶方阵A,B,有AB=BA，则称A与B是可交换的。

纯量阵与任意同行方阵都是可交换的。

可逆矩阵的求法（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）学院：数计学院班级：10级1班姓名：任莎莎（1008 127）彭莎（1008 143）可逆矩阵的求法：我们在书本上学习了用初等变换法和伴随矩阵法求逆矩阵，下面我们将再介绍3种求逆矩阵的方法：（1）二阶矩阵的公式求逆法（2）利用解线性方程组求逆矩阵（3）分块法求逆矩阵。

目录：1、矩阵的引入（2）2、矩阵的定义（2）3、可逆矩阵的定义（2）4、可逆矩阵的性质（3）5、可逆矩阵的求法（3）（1）伴随矩阵法（3）（2）二阶矩阵的公式求逆法（4）（3）初等变换法（4）（4）利用解线性方程组求逆矩阵（5）（5）分块法求逆矩阵（5）一、矩阵的引入在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标的转轴（反时针方向转轴），那么平面直角坐标变换的公式应为（1）其中为轴与轴的夹角。

显然新旧坐标之间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的22数表（2）表示出来。

通常，数表（2）称为坐标变换（1）的矩阵。

在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换公式有（3）同样，数表（4）称为坐标变换（3）的矩阵。

二、矩阵的定义由数域F上的个数（）排成的行（横的）列（纵的）数表称为数域F上的一个矩阵，简称矩阵。

三、可逆矩阵的定义对于阶矩阵A，若存在阶矩阵B，使得AB=BA=I，则称A为可逆矩阵（或非奇异矩阵），或A可逆。

称B为A的逆矩阵。

四、可逆矩阵的性质1）若A可逆，则A的逆矩阵也可逆，并且=A。

2）若A,B均可逆，则AB也可逆，并且。

3）若A可逆，则也可逆，且。

4）若A可逆，则。

5）若A可逆，则。

6）若A可逆，则。

五、可逆矩阵的求法（1）伴随矩阵的求法：定义：设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵称为A的伴随矩阵。

由行列式依行（列）展开公式可得。

若A可逆，则，于是，所以。

例 1 设，判定A是否可逆，若可逆，求。

解：因为，所以A可逆，又，所以=。

（2）二阶矩阵的公式求逆法：设（其中），则，这个公式的推到思想是从这个重要结论出发，构造一个矩阵B，去左乘A 使其等于单位矩阵A，即若AB=I那么。

高等代数北大版第四章矩阵知识点总结-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第四章 矩阵（ * * * ）一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。

在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。

总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。

二、考点精讲：（一） 基本概念及其运算1.基本概念矩阵—形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a aa a a212222111211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。

（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。

（2）对n m ij a A ⨯=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。

（3）称⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11 E 为单位矩阵。

（4）对称矩阵—设n n ij a A ⨯=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。

（5）转置矩阵—设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n n m m Ta a a a a a a a a A212221212111，称T A 为矩阵A 的转置矩阵。

（6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。

（7）伴随矩阵—设n n ij a A ⨯=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111，称为矩阵A 的伴随矩阵。

第二章 矩阵§1 矩阵的定义在经济模型、工程计算等问题中，我们经常利用矩阵这一有力工具，下面我们引入矩阵的概念.线性方程组1111221211222211220,0,0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数可排列成一个m 行n 列的矩形数表1111n n nn a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这样的表叫做m n ⨯矩阵，我们用粗黑体字A 等表示，ija 叫做矩阵A 的元素，它位于矩阵A 的第i 行、第j 列的交叉处，一般情况下，有定义如下：定义1 给出个数，按一定顺序排成一个行列的矩形数表111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，此数表叫做行列矩阵，简称矩阵.上面的矩阵一般用大写字母，…表示，有时亦记为,或=或.在矩阵中，如果=，就称为阶方阵.如果矩阵的元素全为实(复就称为实(复)矩阵.只有一行的矩阵12()n a a a =A叫做行矩阵，为避免元素间的混淆，行矩阵也记作12(,,,)n a a a =A .只有一列的矩阵12n b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭B =叫做列矩阵.当两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵.元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O .注意 不同型的零矩阵是不同的. 在n 阶方阵()ij n nA a ⨯=中，位于相同行相同列交叉位置的元素()1,2,,ii a i n =称为方阵A 的主对角线元素.下面我们介绍几种常见的特殊方阵：1.三角矩阵如果n 阶方阵()ij A a =中元素满足条件()()0,1,2,,,ij a i j i j n =>=即A 的主对角线以下的元素全为零，则称A 为n 阶上三角矩阵.即如果n 阶方阵()ij A a =中元素满足条件()()0,1,2,,,ij a i j i j n =>=即A 的主对角以上的元素全为零，则称A 为n 阶下三角矩阵.即上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角矩阵. 2.对角矩阵 如果n 阶方阵()ij A a =中元素满足条件()0,ij a i j =≠即A 的主对角线以外的元素全为零，则称A 为n 阶对角矩阵.即我们也记()1122,,,nn A diag a a a =.显然对角矩阵既是上三角矩阵，也是下三角矩阵.3.数量矩阵如果在n 阶对角矩阵()ij A a =中元素满足条件(),1,2,,,ii a a i j n ==则称A 为数量矩阵.即4.单位矩阵如果在n 阶对角矩阵()ij A a =中元素满足条件()11,2,,,ii a i n ==则称A 为n 阶单位矩阵，记为nE .即在讨论企业管理的数学问题中常常用到矩阵.例如，假设在某一地区，某一物资，比如说钢铁，有s 个产地12,,,s A A A 和n 个销地12,,,s B B B ，那么一个调运方案就可用一个矩阵111212122211n n s s sn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦来表示，其中ija 表示由产地i A 运到销地j B 的数量. 在许多实际问题中，会遇到一组变量由另一组变量线性表示的问题，如变量12,,,m y y y 可由变量12,,,n x x x 线性表示，即11111221221122221122,,.n n n n m m m mn n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩将这种从变量到变量的变换称为线性变换，其系数构成一个矩阵(称为系数矩阵),这个矩阵是确定的。

矩阵及其运算矩阵的线性运算；矩阵的转置（对称矩阵；反对称矩阵）；方阵的行列式 矩阵运算注意事项：利用运算定义和运算律进行运算.注意（ⅰ）第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义.（ⅱ）由于乘法没有交换律，在进行两个矩阵乘积时，矩阵因子的顺序不能变. （ⅲ）矩阵的乘法不满足消去律.（ⅳ）我们在做多个矩阵乘积时经常使用乘法结合律()()A BC AB C =. （ⅴ）,A B 分别是,m n ns 创矩阵，则()TTTAB B A =.（ⅵ）只有方阵才定义行列式；矩阵是数表，行列式是数值，这是它们之间的本章区别. （ⅶ）,A B 都是n 阶方阵时，如果AB E =，必有B A E =，当然有A B B A =分块矩阵及其运算的注意事项1.利用分块矩阵表示矩阵或进行矩阵运算只是为了表达简便.分块矩阵的运算与普通数字元素的运算法则和运算律是类似的；2.第一个矩阵列的分块方式与第二个矩阵行的分块方式必须相同，即ik A 列数必须等于kj B 的行数，这时两分块矩阵的乘积才有意义；3.由于矩阵乘法没有交换律，作分块矩阵乘法时，一定要注意子块的前后顺序不能换.即上面的ik kj A B 绝对不能写成kj ik B A .4.分块矩阵的转置不仅要将子块为元素构成的矩阵看成普通矩阵进行转置，还要将每块转置.可逆矩阵定义：设A 是n 阶方阵,如果存在n 阶方阵B ，使得AB BA E ==，称A 为可逆矩阵，称B 为A 的一个逆矩阵.唯一性：可逆矩阵的逆矩阵唯一.伴随矩阵的性质设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，则**AA A A A E ==.()ij n A a =矩阵的伴随阵*()ji A A =具有如下性质：1）**AA A A A E ==,特别地A 可逆时11*A A A-=2）*A =1-n A ；3）(*)r A =()()()1101n r A n r A n r A n ìïïïï-íïï<-ïïî==4）()A **=A An 2- （其中A 是n 阶方阵，2n >）注意 *A 的第(1,2,,)i i n = 列元素是A 的第(1,2,,)i i n = 行元素在A 的代数余子式； 求法：设()ij n nA a ⨯=,称由以A 的第(1,2,,)i i n = 行元素在A 中的代数余子式(1,2,,)ij A j n = 为第i 列元素构成的矩阵*A ()jin nA ⨯=为A 的伴随矩阵.初等变换与初等矩阵1.设A 是m n ⨯矩阵，A 左（右）乘一个m 阶初等矩阵相当于对A 作一次相应的初等行（列）变换.2.A 与B 等价当且仅当存在可逆矩阵P 与可逆矩阵Q ，使得PBQ A =.3.n 阶方阵A 可逆当且仅当A 可以写成一些初等矩阵的乘积.逆矩阵的求法：1.求可逆矩阵的逆矩阵：1*1A A A-=（用于阶数较低的具体给定的数字矩阵求逆或理论证明）；2.利用定义证明矩阵可逆，或求满足给定方程的矩阵A 的逆矩阵：即 找到n 阶方阵B ，使得AB BA E ==，则A 可逆，且1AB -=.3.用初等行变换求矩阵方程AX B =(A 可逆)的求法：()()1AB E A B -−−−−→初等行变换，则1X A B -=即可求得.矩阵的秩1.设A 是一个m n ⨯矩阵，如果A 中存在r 阶子式不为零，而所有1r +阶子式（如果有的话）全为零，我们称r 为矩阵A 的秩，记为()R A 或秩()A .2. 矩阵的秩具有如下性质： （ⅰ）()0R A =当且仅当A O =； （ⅱ）()()TR A R A =；（ⅲ）n 阶方阵A 的秩()R A n =的充分必要条件0A ≠； 即n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为()R A n =.矩阵秩的运算性质：1.()()()RA B R A R B +≤+2. ()(){}m in ,()RAB R A R B ≤3.()()R kA R A =，其中k 为非零数；4.初等变换不改变矩阵的秩.5.矩阵P ，Q 可逆，则()()R PAQ R A =.6. 设A 是秩为r 的m n ⨯矩阵，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ,使得rE O P A Q OO ⎛⎫=⎪⎝⎭. 常用方法1.求矩阵A 的秩：利用矩阵的初等变换将矩阵A 化为阶梯形矩阵，阶梯数即为矩阵A 的秩.2.如果A 是n 阶方阵，0A ≠时()R A n =.求元素含有参数的方阵A 的秩时，先求出0A ≠时的参数取值，此时()R A n =； 对于使0A =的参数再特别讨论.矩阵基础部分习题矩阵乘法运算1.111212122212n nn n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭，求n A 2. 11A λλλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，求n A3. 100002000010011A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求与矩阵A 乘积可交换的矩阵具有的形式； 4.设实矩阵111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,且TA A O =,证明A O =；5．,A B 分别是,m n n m 创矩阵，证明trAB trBA =.伴随矩阵1.A 是3阶方阵,B 是2阶方阵,且2A =-,1B =，则23A O OB=- ；*2A= .2.33A R ´Î，且()**16,det 0,AA =>求()det 2A -解：()()2*22**16,det 2,AAA A ====()3det 2(2)det 16A A -=-=-3.设A 是n 阶方阵，3A =,*A 是A 的伴随矩阵，则1*2AA--=4.设,A B 均为2阶方阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若3,2A B ==则O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ） A ．**32OA B O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；B. **23O A B O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；C. **23OB A O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；D. **32OB A O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5. 设A 是n 阶方阵， 11101101A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的所以代数余子式之和. 方阵与行列式1.已知A ，B 都是3阶方阵,且9A =-，3A B E O +=,求B 及12A O OB -⎛⎫⎪⎝⎭.2.设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B E =+，求B . 3. ()ij n A a =可逆，且1,A A-所以元素都是整数，证明：11A =-或解：由于行列式是取自不同行、不同列元素乘积的代数和，且1,A A -所以元素都是整数，所以1,A A -都是整数，又111,AA A A--==所以11A =-或矩阵的逆与矩阵方程1.A 是行等和矩阵（各行元素之和都相等），且A 可逆，证明：1A -也是行等和矩阵. 证明：设A 的行和为a ，则11,(0)11A a a 骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢= 珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫M M ，所以111111A a --骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢=珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫M M ， 即1A -是行等和矩阵.2. ,A B 都为n 阶方阵，且A B AB +=1) 证明：A E -可逆；2）证明：A B B A =；3）如果130210002B 骣-÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫，求A 证明：1）由A B AB +=有()A A E B O --=，所以()A E A E B E ---=-, 即()()A E B E E --=,所以A E -可逆，且1()A E B E --=- 2）由()()A E B E E --=，有()()B E A E E --=， 所以()()()()A E B E B E A E --=--，即有A B B A =3）由1()A EB E --=-有()1110003001020000101A EB E --骣骣-鼢珑鼢珑鼢珑鼢=+-=+珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫1100102210011010001033001001002骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑骣鼢珑÷鼢ç珑÷鼢ç÷珑鼢ç÷鼢=+-=-珑ç÷鼢珑ç÷鼢珑ç÷鼢珑÷ç鼢桫珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑鼢珑桫桫3.已知121210121,()(),00210003A B A E A E -骣--÷ç÷ç÷ç÷-ç÷ç÷==-+ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç桫求1()B E -- 解：由1()(),B A E A E -=-+有()(),A E B A E -=+,AB B A E --=()()2A B E B E E ---=,所以()()11()2,()2A EB E E B E A E ---=-=-4. 方阵A 满足223A A E O +-=求证：4A E +可逆，并求其逆；证明：由于223A A E O +-=，有()()425A E A E E +-=-，所以4A E +可逆，其逆为()()11425A E A E -+=--.5.,,A B A B +均为n 阶可逆矩阵，求证11A B --+也可逆，并求其逆 证明：()11,A A B B B A --+=+所以()()1111ABAB A B ----+=+，所以11A B --+可逆，且()()1111A B B B A A ----+=+.6.设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，30A =，则（ ） A ．E A -不可逆，E A +不可逆；B. E A -不可逆，E A +可逆； C. E A -可逆，E A +可逆; D. E A -可逆，E A +不可逆 7. 0kA =，求()1E A --8.设16,A XA A XA -=+ 其中100310041007A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求X . 9.设100020001A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且满足*28,A X A X A E =-求X 矩阵的初等变换1.已知()33ij A a ´=可逆，将A 的第2列加上第3列的5倍，然后第1列减去第2列的2倍得到B , 求1B A - 解：11121511B A 骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢=-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫， 111111211151BA ----骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢=-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫，11111211151B A ---骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢=-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫1112112115151骣骣骣鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 ==珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢鼢珑 --桫桫桫. 2．设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 （A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP =（D ）.T C PAP = 【 】。

§1 矩阵及其运算一、矩阵的基本概念（必考）矩阵，是由m*n个数组成的一个m行n列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如,或表示一个m*n 矩阵，下标ij 表示元素位于该矩阵的第行、第列.元素全为零的矩阵称为零矩阵. 特别地，一个m*1矩阵，也称为一个 m维列向量；而一个 1*n矩阵B=(b1,b2,…，bn)，也称为一个 n维行向量.当一个矩阵的行数m与烈数n 相等时，该矩阵称为一个 n阶方阵.若一个n阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： .单位矩阵与实数中的‘1’的运算相近.如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵是一个阶下三角矩阵.例题：1.A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则A必是对角矩阵2.两矩阵既可相加又可相乘的充要条件是两矩阵为同阶方阵.3.A=(l≠n)，则A的主对角线上个元素的和为 (设矩阵为2行3列的矩阵，找规律)二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：.给定矩阵，我们定义其负矩阵为： .这样我们可以定义同型矩阵的减法为： .由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：(1)交换律：； (2)结合律：；(3)存在零元：;(4)存在负元：.2 、数与矩阵的乘法的运算律：（1)；（2)；（3)；（4) .3 、矩阵的乘法（必考）设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵的列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即,其中,并且(即左行乘右列)矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：(1）结合律：； (2）左分配律：；(3）右分配律：；(4）数与矩阵乘法的结合律：；(5）单位矩阵的存在性：.若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：， .注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（必考重要）（1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等.正是由于这个原因，一般来讲,在实数中的某些运算不再适应，如,，反过来，这些公式成立的条件又恰是A、B 可逆.例：A,B,C 是同阶矩阵，A ≠0,若AB=BC,必有B=C,则A满足可逆（2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者. 同理，A ≠0，B ≠0，而AB却肯能等于0.例题：（选择题5、6）（3)矩阵的乘法不满足消去律：如果并且，未必有 .4 、矩阵的转置：定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转置，即：.矩阵的转置运算满足下列运算律：（1)；（2)；（3)；（4) (重要).5、对称矩阵：n 阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称为反对称矩阵.若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立.从而反对称矩阵对角线上的元素必为零.对称矩阵具有如下性质：（1)对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；（2)两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3)如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即.运算性质：1） （2） （3）（4） （5）三、逆矩阵1.定义 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵或非奇异矩阵．B 称为A 的逆矩阵，．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，则A 的逆矩阵是唯一的．这是因为（反证法），如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22，那么22212111)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作1-A ．逆矩阵有下列性质： （1）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的． （2）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．（必考重点） 这是因为 E A A AEA ABB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以111)(---=A B AB ．（必考重点）这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形. （3）可逆矩阵A 的转置矩阵T A 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．这是因为E E A A A A T T TT===--)()(11，E E AA A A T T T T ===--)()(11所以 T TA A )()(11--=．（4）如果A 是可逆矩阵，则有11--=A A ．这是因为E AA=-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以111--==A AA ． 矩阵可逆的条件（1）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即r （A ）= n ）；（2）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n 阶单位矩阵；（3）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值不为零；（5）对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B 使得AB = E （或BA = E ），则A 可逆，且A -1= B. 逆矩阵的有关结论及运算必考 ——求法方法1 定义法：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，如果存在P 上的n 阶方阵B ，使得AB = BA= E ，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵.当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 惟一确定，记为A -1.例1：设A 为n 阶矩阵，且满足22A - 3A + 5E = 0，求A -1.【解】22 2 -12A - 3A + 5E = 02A - 3A = - 5E23-A - A =E 552323A (- A - E) = - A - E = E555523A A = - A - E55∴∴∴∴可逆且方法 2 伴随矩阵法：A -1= 1|A|A*.定理n 阶矩阵A = a ij 为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且11211122221121n n nnnn A A A A A A A A A A A -⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭其中A ij 是|A|中元素a ij 的代数余子式.矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A*，于是有A -1=1|A|A*. 注 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （A ji ）n ×n 元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其伴随矩阵22122111*a a A a a -⎛⎫=⎪-⎝⎭,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，求A -1.【解】 ∵| A | = 2 ≠ 0 ∴A 可逆.由已知得111213212223313233A = - 5, A = 10, A = 7A = 2, A = - 2, A = - 2A = - 1, A = 2, A = 1 ， A -1= 1|A| A* = 5115212211022511272171122⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭方法3 初等变换法：注 ①对于阶数较高（n ≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换求得A 的逆矩阵. ③当矩阵A 可逆时，可利用求解求得A -1B 和CA -1.这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A -1B 或CA -1.例3：:用初等行变换求矩阵231A 013125⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.【解】()231100125001125001A E 01301001301001301012500123110000611212500112500101301001301001910211100166311341006631310122111001663⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭-- ⎪⎝⎭⎛--→---⎝⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭1113410066313A 010********1663-⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故 方法4 用分块矩阵求逆矩阵：设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵，则：1111111111111111A A 000B 0C O A A A CB A O A O BD B O B B DA B B O A O B B O AO ----------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例4：已知0052002112001100A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪-⎪⎝⎭，求A -1.【解】 将A 分块如下：12005200211200110O A A A O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭其中 125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得 1*1*1122121212111,2511||||3A A A A A A ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 从而11211120033110331200250O A A A O ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭方法5 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩 阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变 形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例8 已知，且，试求．解 由题设条件得3.伴随矩阵 如果n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,则称A 是非奇异的(或非退化的).否则,称A 是奇异的(或退化的).（n 阶矩阵A 可逆的充要条件是:|A|≠0）设n n ij a A ⨯=)(,ij A 是A 中元素)21(n j i a ij ，，，， =的代数余子式.矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*（顺序变化，重点）称为A 的伴随矩阵. 矩阵n n ij a A ⨯=)(为可逆矩阵的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且当A 可逆时,有*11A AA =-，伴随矩阵 例1. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=313132121A 判断A 是否可逆,如果可逆,求1-A .解: 因为01313132121≠=---=A ,所以A 可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111=---==-==---=-=--=-=--=-=---==--==--==---=+++++++++A A A A A A A A A所以 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-1711691581*1A A A 四、分块矩阵一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵, 为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定注：一个矩阵也可看作以n m ⨯个元素为1阶子块的分块矩阵. 二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1. 设矩阵A 与B 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t st s t B B B B B A A A A A其中ij A 与ij B 的行数相同、列数相同, 则.11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+st st s s t t B A B A B A B A B A2.设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A Ak 为数, 则.1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t kA kA kA kA kA 3．设A 为l m ⨯矩阵, B 为n l ⨯矩阵, 分块成,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tr t r st s t B B B B B A A A A A其中pt p p A A A ,,,21 的列数分别等于tq q q B B B ,,,21 的行数, 则,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sr s r C C C C AB 其中).,,2,1;,,2,1(1r q s p B A C t k kqpk pq ===∑=4. 分块矩阵的转置设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A则.1111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T st T tT s T TA A A A A 5. 设A 为n 阶矩阵, 若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A O A O A A21, 其中),,2,1(s i A i =都是方阵, 则称A 为分块对角矩阵.分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ),,2,1(0||s i A i =≠，则0||≠A ，且|;|||||||21s A A A A =(2) .112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----s A O A O A A(3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。