高二数学 14 直线与二次曲线培优教案

直线与二次曲线(一)网上课堂[本讲主要内容]1．直线与二次曲线的位置关系,一般由方程组消元后用根的判别式判断实数解的个数来判定,其中直线与圆的位置关系还可考虑几何意义.2．中点弦问题,通常使用中点坐标公式或根与系数的关系.3．弦长公式,2122))(1(x x k d -+=.4．直线与二次曲线的最值问题. 5．直线与二次曲线的定值问题.[学习指导]1．关于直线与二次曲线的位置关系,要注意一个特殊情况,即把直线y=kx+m 代入二次曲线方程中,得一元二次方程：02=++C Bx Ax ,Δ是方程根的判别式,那么直线与二次曲线有一个公共点⇔Δ=0或A=0,即有一个公共点包括相切、相交两种情况,其中A=0时,直线与双曲线的渐近线或抛物线的轴平行.2．“定值”、“最值”问题是数学中的重要内容,因此也是数学高考中的重要题型.有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过参数取的特殊值来确定“定值”是多少,或者是将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式的值恒定.解决解析几何中的最值问题,一般是根据条件列出所求目标函数的关系式,然后根据函数关系式的特征选用对称法、参数法、配方法、判别式法,应用不等式性质,以及三角函数最值法和几何方法,求出它的最大值或最小值.[例题精讲]例1．已知直线y=x+m 和抛物线y=2x 2.(1)当实数m 为何值时,这两个函数的图象有两个交点？一个交点？没有交点？(2)当m 为何值时,直线被抛物线所截得的线段长度为两个单位？[分析及解]此题(1)显然可以将问题转化为关于一元二次方程的根的个数问题,故联立方程组⎩⎨⎧=+=22xy m x y 得=--m x x 220. ∴Δ=1+8m.当1+8m>0,即81->m 时,这两个圆便有两个交点； 当1+8m=0,即81-=m 时,有一个交点；当1+8m<0,即81-<m 时,无交点.(2)中,若利用弦长距离公式,显然由于存在着参数m,运算一定很繁琐,可考虑由方程组y 得022=--m x x ,又设它们的两个交点分别为),(111y x P ,),(222y x P ,由韦达定理得,2121=+x x ,221m x x -=⋅. ∵),(111y x P ,),(222y x P 在y=x+m 上, ∴m x y +=11,m x y +=22.由距离公式,得4)()(221221=--++-m x m x x x .∴2)(221=-x x 即24)(21221=-+x x x x ∴2241=+m ,87=m . 这种解法的最大优点是应用韦达定理减少运算量. 还可考虑利用直线参数方程来解.∵当m x -=0时,00=y ,又∵在y=x+m 中k=1. ∴α=45°,∴直线y=x+m 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=︒=+-=︒⋅+-=2245sin 2245cos t y t m t m x 代入y=2x 2整理得022)14(222=++-m t m t .由弦长公式,得2212=+m ,得87=m . 例2．在椭圆17422=+y x 上求一点,使它到直线l:3x-2y-16=0的距离最短,并求此距离. [分析及解]此题要借助图表,观察可发现、移动直线l 接近椭圆,最先接触的点,即是与直线l 平行且与椭圆相切的点,也就是椭圆上到直线l 的距离最短的点.设与l 平行的直线方程为3x-2y+b=0,将23b x y +=代入17422=+y x ,并整理得02861622=-++b bx x .①由Δ0)28(64)6(22=--=b b ,求得8±=b .画出图形知直线3x-2y-16=0在椭圆的下方,b=8与-8时,两条切线3x-2y+8=0与3x-2y-8=0分别在椭圆的上方和下方,故取b=-8时椭圆上点到直线l 距离最短,把b=-8代入方程①,解得23=x .再代入3x-2y-8=0,得47-=y ,故椭圆上的点(47,23-)到直线l 的距离最短.最短距离为13138)2(3|16)47(2233|22=-+--⋅-⋅=d . 例3．给定双曲线1222=-y x ,过点B(1,1)能否作直线m,使m 与所给双曲线相交于Q 1,Q 2两点,且点B 是线段Q 1Q 2中点.这样的直线如果存在,求出它的方程；如果不存在,说明理由.[分析及解]设Q 1,Q 2的坐标分别为),(11y x ,),(22y x ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-121222222121y x y x ①-②得,0))(())((221212121=-+--+y y y y x x x x ∵221=+x x ,221=+y y , ∴0)(2)(42121=---y y x x . 当21x x ≠时,2212121=--=x x y y k Q Q .这时直线m 的方程为y-1=2(x-1)即y=2x-1将y=2x-1代入双曲线方程所得一元二次方程03422=+-x x 无实根.故满足题设的直线不存在.例4．设直线l:y=2x+2,求证：直线l 被曲线020********22=-+--+m my mx y x (m 为实参数)所截得的线段长为定值.[分析及解]求定值的问题中,往往先要探求定值.本例中的曲线方程可配方成14)2(5)(22=-+-m y m x ,故曲线为一椭圆系,其中心(m,2m),在直线y=2x 上,长、短轴为定长且平行于坐标轴,曲线中任一椭圆都可由椭圆14522=+y x 平移得到,而直线与y=2x 平行.故所有椭圆截l 得相等线段,可先求出l 截14522=+y x ,所得线段之长度,将y=2x+2代入14522=+y x 中,得020*******=-++x x ,即0532=+x x ,01=x 或352-=x .① ②∴2122122124)(1||1x x x x k x x k d -+⋅+=-+==535. 以l 代入方程14)(5)(22=-+-m y m x 中,同样方法计算d,可得与m 无关的弦长535=d .(二)网上训练题A ．基础性训练题1．过点(5,4)作与双曲线14522=-y x 只有一个公共点的直线共有( ). (A)1条(B)2条(C)3条(D)4条2．以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心,且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是( ). (A)x 2+y 2-10x+9=0(B)x 2+y 2-10x-9=0(C)x 2+y 2+10x-9=0(D)x 2+y 2+10x+9=03．椭圆C 与椭圆19)1(16)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称,则椭圆C 的方程是( ). (A)116)3(9)1(22=-+-y x(B)19)3(16)1(22=+++y x (C)19)3(16)1(22=-+-y x(D)116)3(9)1(22=+++y x 4．若过点(1,2)总可作两条直线和圆0152222=-++++k y kx y x 相切,则实数k 的取值范围是( ).(A)k>2 (B)-3<k<2(C)k<-3或k>2 (D)k<-35．AB 为过椭圆12222=+by a x 中心的弦,点F(c,0)为椭圆的右焦点,则ΔAFB 的面积最大值是( ).(A)b2(B)ab (C)ac (D)bc6．设双曲线12222=-by a x (0<a<b)的半焦距为c,直线l 过(a,0),(b,0)两点,已知原点到直线l 的距离为c 43,则双曲线的离心率为( ).(A)2(B)3 (C)2(D)332 7．已知圆x 2+y 2=8,定点P(4,0)问过P 点的直线的倾斜角在什么范围内取值时,这条直线与已知圆(1)相切；(2)相交；(3)相离,并写出过P 点的切线方程.8．已知椭圆141622=+y x ,求以点P(2,-1)为中点的弦所在直线方程. 9．求过动直线x+2y=P 与定直线2x-y=a 的交点(其中P ∈(0,3a))的等轴双曲线系x 2-y 2=λ中,当P 取何值时,λ达到最大值与最小值.10．过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点的一条直线和抛物线交于两点,两个交点的纵坐标分别为y 1,y 2,求证：221p y y -=⋅.B ．提高性训练题11．当实数m 的取值范围是__________时,直线x-y-2=0与曲线x 2-y 2=4m 的交点P 在圆4)4(22=+-y x 内部.12．已知实数x,y 满足0204222=-+-+y x y x ,则22y x +的最小值为__________.13．已知斜率为1的直线,过椭圆224y x +=1的右焦点交椭圆于A 、B 两点,则弦AB 的长是____________.14．直线y=1-x 交椭圆122=+ny mx 于M,N 两点,弦MN 的中点为P,若22=OP k ,则nm=____________. 15．直线l 在双曲线12322=-y x 上截得的弦长为4,其斜率为2,直线l 在y 轴上的截距m=____________.16．直线l 过抛物线)1(2+=x a y (a>0)的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则a=_________.17．自点A(-3,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切,求光线l 所在直线方程.18．设A(x 1,y 1)为椭圆2222=+y x 上一点,过A 作一条斜率为112y x -的直线l,又设d 为原点到直线l 的距离,r 1,r 2分别为A 点到椭圆两焦点的距离,求证：d r r ⋅21为常数.19．在双曲线1131222=-x y 的一支上不同的三点A(x 1,y 1),B(6,26),C(x 2,y 2)与焦点F(0,5)的距离成等差数列.(1)试求y 1+y 2；(2)证明线段AC 的垂直平分线经过某一定点并求该定点坐标.20．已知抛物线方程k x y +-=221,点A 、B 、P 都在抛物线上,点P 的坐标为(2,4),直线PA,PB 倾角互补.(1)证明直线AB 的斜率为定值；(2)当直线AB 的纵截距大于零时,求ΔPAB 的面积的最大值.C ．研究性习题过点A(8,0)作倾斜角为45°的直线,交抛物线x y 42=于M,N 两点,又作直线BC ∥MN 交弧MON 于B,C 两点,设直线BC 与MN 之间的距离为m,当ABC S ∆取最大值时,求m 的值.[解答]设BC 直线方程为y=x-c(0<c<8)⎩⎨⎧=-=xy x y 442代入消元得0)42(22=++-c x c x 4221+=+c x x ,221c x x =⋅∴)1(164)()(21221221c x x x x x x +=-+=-, ∴28c m -=∴28)1(16221||21c c m BC S -⋅+⋅=⋅=. =)8()1(2c c -⋅+ =)8)(8)(22(2c c c --+ ∵(2+2c)(8-c)(8-c)≤33618271=⨯. 当且仅当2+2c=8-c 即c=2时,也就是23228=-=m 时,312=最大S .能力训练题点拨及解答A ．⌒1．B ．点(5,4)在双曲线上,故一条是过此点的切线,另一条是过此点且与渐近线025=+yx 平行的直线. 2．A ．圆心为(5,0),渐近线为4x ±3y=0,434|54|22=+⨯=r ,故圆的方程为16)5(22=+-y x ,化简得091022=+-+x y x .3．D ．椭圆中心(3,1)关于直线x+y=0的对称点坐标为(-1,-3),再根据对称后长轴平行于y 轴即可得到,也可把(x,y)关于x+y=0的对称点(-y,-x)坐标代入椭圆方程直接得出.4．C ．当点(1,2)在圆的外部时,总可作两条直线和圆相切,即满足01522121222>-+⨯+⨯++k k ,解得k<-3或k>2.5．D ．设A 、B 两点的坐标分别为(00,y x ),(00,y x --),则O FB O FA AFB S S S ∆∆∆+= ∴||21||2100y c y c S AFB -⋅+⋅=∆=||2210y c ⨯=||0y c ⋅. ∵点A 、B 在椭圆12222=+by a x ,∴点A(x 0,y 0)的纵坐标y 0的最大值是y 0=b. ∴AFB S ∆的最大值为bc.6．A ．由已知l ：ay+bx-ab=0,原点到l 的距离为c 43,则有c ba ab 4322=+.又222b ac +=∴234c ab =两边平方得42223)(16c a c a =-,∴42=e ,故e=2.7．设过P 点的直线的倾斜角为α,则其方程为)4(tan -=x y α.由⎩⎨⎧=+-⋅=8)4(tan 22y x x y α中消去y,得8)4(tan 22=-⋅+x x α, 即08tan 16tan 8)tan1(2222=-+-+αααx x ,Δ=)tan 1(322α-.(1)令0)tan 1(2=-α,又∵0≤α≤π∴4πα=或43πα=,即当4πα=或43π直线与圆相切,切线方程为x-y-4=0或x+y-4=0. (2)令0tan 12>-α ∴α∈)4,0[π∪(ππ,43),即当α满足上述条件时,直线与圆相交.(3)令0tan 12<-α,则1tan -<α或1tan >α.α∈)2,4(ππ∪(43,2ππ)又2πα=时,直线与圆相离. 8．设弦的端点A,B 的坐标分别是(x 1,y 1)(x 2,y 2),则有4161642121⨯=+y x ① 4161642222⨯=+y x ②①-②得0))((16))((421212121=-++-+y y y y x x x x ③又∵P 是AB 的中点,∴421=+x x ,221-=+y y 代入③得211212=--=x x y y k ,由点斜式可求得直线方程为x-2y-4=0. 9．解方程组⎩⎨⎧=-=+a y x P y x 22得两直线的交点坐标为Q(52,52aP a P -+). 双曲线系λ=-22y x 过点Q,∴253832222a aP P y x ++-=-=λ=25325)34(322a a P +--,P ∈(0,3a) ∵0<P<3a,∴a a P a 353434<-<- ∴0≤a a P 35|34|<-∴0<λ≤231a∴当a P 34=时,231a =最大λ,λ无最小值.10．证法一：由px y 22=,得焦点F(0,2p ),设过F 的直线交抛物线于A,B 两点,当AB的斜率存在时,设直线AB 的方程为)2(px k y -=.由px y 22=可得py x 22=代入上式得,0222=--kp py ky .∴221p y y -=.当AB 的斜率不存在时,则有AB ∥y 轴.p y =1,p y =-2,∴221p y y -=.综上所述两种情况,∴221p y y -=. 证法二：由px y 22=(p>0),得焦点F(0,2p),并设过F 的直线交抛物线于A(121,2y p y ),B(222,2y py ). ∵A 、B 、F 三点共线, ∴2222222211p p y y p p y y -=-.整理得0))((12221=-+y y p y y ,由条件知021<y y ,∴221p y y -=. B ．11．1<m<3⎩⎨⎧=-=-my x y x 4222,解得⎩⎨⎧-=+=11m y m x ,即为P 点坐标. ∵若P 在圆内,∴04)1()41(22<--+-+m m ∴1<m<3. 12．51030-.方程变为2225)2()1(=++-y x ,动点P(x,y)的轨迹是以O 1(1,-2)为圆心，5为半径的圆. ∵5||1=OO ,∴22y x +的最小值为51030)55(2-=-. 13．58. ∵F(0,3),过F 点,斜率为1的直线方程为3-=x y ①把方程①代入1422=+y x 得1)3(422=-+x x ,整理得083852=+-x x . ∴5852]854)38[(||)1(||22=⋅⨯⨯-=∆+=a k AB .14．22. 利用中点坐标公式得P(nm mn m n ++,) ∵22=OPk ,∴22=++nm n n m m,∴22=n m . 15．3210±. 由韦达定理得m x x 5621-=+,)2(103221+=m x x 2212212)()(||y y x x AB -+-==221)(5x x -=]4)[(521221x x x x -+ ∴4)]2(10342536[222=+⨯-m m , ∴3210±=m . 16．4．由)0)(1(>+=a x a y 得抛物线的焦点是(0,14-a ),l 过点(a a,14-), ∴)114(4+-=aa , ∴4±=a ,∵a>0,∴a=4.17．∵⊙C ：1)2()2(22=-+-y x设光线l 所在直线方程为y-1=k(k+3),由题意知k ≠0,可是l 的反射点为B(0,)1(3kk +-). ∵光线的λ射角等于反射角,∴反射线l '所在的直线方程为])1(3[kk x k y ++-=. 即kx+y+3(1+k)=0.由题知这条直线与圆C 相切,则有d ］@. 那11|55|2=++k k ,即01225122=++k k .解得43-=k 或34-=k ,代入①整理得直线方程为3x+4y-3=0或4x+3y+3=0. 18．由椭圆方程1222=+y x ,可得其焦点坐标为F 1(-1,0),F 2(1,0). 过A 点的直线l 方程为)(21111x x y x y y --=-整理得02211=-+y y x x . 于是21212122242y y x d +=+= 又212121)1(y x r ++=212122)1(y x r +-=则])1][()1[(212121212221y x y x r r +-++=⋅=)21)(21(1212112121x y x x y x -+++++=221)1(y +. ∴21211y r r +=,∴2121212121=+⋅+=⋅y y d r r .19．(1)∵双曲线的半焦距c=5,半实轴32=a ,325=e ,则A,B,C 三点的焦半径分别是 32325||1-=y FA 326325||-⋅=FB 32325||2-=y FC∴||2||||FB FC FA =+,∴1221=+y y .(2)∵A,C 均在双曲线上, ∴113122121=-x y ,113122222=-x y .上两式作差得)(131)(12122212221x x y y -=- 13212121x x x x y y k AC +=--=, ∴Q(6,221x x +). AC 的中垂线方程为)2(1362121x x x x x y +-+-=-, 即0)225)((1321=-++y x x x . ∴必过定点(0,225). 20．(1)将P(2,4)代入k x y +-=221,得k=6,设A(62,211+-x x ),B(62,222+-x x ). 则)2(2124621121+-=--+-=x x x k PA )2(212+-=x k PB , 又PB PA k k -=, ∴0)2(21)2(2121=+-+-x x , ∴421-=+x x , ∴21222122x x x x k AB-+-==2)(2121=+-x x (定值) (2)设AB 方程为y=2x+b(b>0) 由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=62122x y b x y ∴012242=-++b x x ,∵AB 与抛物线交于两点,∴0)122(416>--=∆b∴0<b<8,b b x x B A 864)122(44||2-=--=-, ∴b AB 21652||-⋅=,又P(2,4)到AB 距离为5||5|44|b b d =+-=.∴ΔPAB 的面积为S,b b S 216||-=, ∴)216(22b b S -=≤2)316(,∴9364=最大S .。