2007-2008学年度第一学期高三级理科基础期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。
考试用时120分钟. 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答題卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
本试卷共75题，全部是单先择题，每题2分。
在每题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，多选、错选均不得分。
1．一辆汽车停在水平地面上，一个人用力水平推车，但车始终静止，以下说法正确 的是：A. 推力与汽车所受的静摩擦力不是平衡力B ．椎力大小变化时，汽车所受的静摩擦力大小不变C ．推力越大，汽车所受的静摩擦力越大，椎力与静摩擦力平衡D.地面对汽车的支持力与汽车对地面的压力是一对平衡力2．一个物体以初速度v o 水平抛出，经t 秒其竖直方向速度大小与v o 相等,那么t 为A ．g 0νB ．g o 2ν C.g 20ν D ．g 02ν3．一物体m 受到一个撞击力后，沿斜面向上滑动，在向上滑动的过程中，物体m 受到的力是A.重力，沿斜面向上的冲力，斜面的支持力B.重力，沿斜面向上的冲力，沿斜面向下的滑动摩擦力C.重力，沿斜面向下的滑动摩擦力，斜面的支持力D.重力，沿斜面向上的冲力，沿斜面向下的滑动摩擦力，斜面的支持力4．如图是做直线运动的甲、乙物体的位移一时间图象，由图象可知，下列说法中错误的是A ．甲起动的时间比乙早t l 秒B ．当t=t 2时两物体相遇C ．当t=t 2时两物体相距最远D. 当t=t 3时两物体相距S o 米5．对静止在光滑水平面上的物体施加一水平拉力，当力刚开始作用的瞬间A.物体立即获得速度B. 物体立即获得加速度C ．物体同时获得速度和加速度D. 由于物体未来得及运动，所以速度和加速度都为零6．如图所示，物体在水平拉力F 作用下沿水平地面匀速直线运动，速度是v 。
天津河东区2007-2008学年度高三数学上学期期中考试试题（理科）（时间：120分钟，满分：150分）注意：请将选择题，填空题答案写在答题卷上. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设P 和Q 是两个集合，定义集合}1log |{},,|{2<=∉∈=-x x P Q x P x x Q P 如果且， Q P x x Q -<-=那么}1|2|{等于（ ）A ．}10|{<<x xB ．}10|{≤<x xC ．}21|{<≤x xD ．}32|{<≤x x2．命题：“若11,12<<-<x x 则”的逆否命题是（ ）A ．若1,1,12-≤≥≥x x x 或则 B ．若1112<<<-x x 则C ．若1,1,12>-<>x x x 则或D ．若1,1,12≥-≤≥x x x 则则3．设函数)(x f 是定义在R 上的以5为周期的可导偶函数，则曲线5)(==x x f y 在处的切线的斜率（ ）A ．－51B ．0C ．51 D ．54．设),0[)]([,)(,1||1||,)(2+∞⎩⎨⎧<≥=的值域是若是二次函数x g f x g x xx x x f ，则)(x g 的值域是（ ）A ．(]),1[1,+∞-∞-B ．(]),0[1,+∞-∞-C ．),0[+∞D ．),1[+∞5．已知曲线42x y =的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别为40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．已知p 和q 两个不相等的正整数，且q ≥2，则=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞←111111lim q pn n n （ ）A ．0B ．1C ．qp D ．11--q p 8．设)(x f '是函数)(x f 的导函数，将y =)(x f 和y =)(x f '的图象画在同一个直角坐标系中， 不可能正确的是（ ）9．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是 （ ）A ．0.216B ．0.36C ．0.432D ．0.64810．已知两个等差数列n b a n n 的前和}{}{项和分别为,3457,++=n n B A B A n n n n 且和则使得 nnb a 为整数的正整数n 的个数是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．已知)0()(2≠++=a c bx ax x f ，该函数的值域为),0[+∞的充分要条件是 （ ）A ．0,0<∆>aB ．0,0≥∆>aC ．0,0≤∆>aD ．0,0>∆>a 12．下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是（ ）①3:;6,2:2+++=>-<m mx x y q m m p 或有两个不同的零点②)(:;1)()(:x f y q x f x f p ==-是偶函数③βαβαtan tan :;cos cos :==q p④A C B C q A B A p U U ⊆=:;:A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数32)2()(2---=x x x x f ，则不等式0)(≥x f 的解集是 . 14．函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线01=++ny mx ，其中nm mn 21,0+>则的最小值为 . 15．曲线24223+--=x x x y 在点（1，－3）处的切线方程是 . 16．随机变量ξ的分布列如下：其中a,b,c 成等差数列，若ξξD E 则,3=的值是 . 三、解答题（本大题共6小题，其中第17小题10分，其余各题每题12分，共70分） 17．（本小题满分10分）设}{n a 是公比大于1的等比数列，S n 为数列}{n a 的前n 项和，已知S 3=7，且a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令,,2,1,ln 13 ==+n a b n n 求数列}{n b 的前n 项和T .18．（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球. （1）求取出的4个球均为黑球的概率；（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.19．（本小题满分12分）设数列}{n a 满足*,333313221N a na a a a n n ∈=++++- . （1）求数列}{n a 的通项； （2）设,nn a nb =求数列}{n b 的前n 项和S n .20．（本小题满分12分）已知a 是实数，函数,322)(2a x ax x f --+=如果函数]1,1[)(-=在区间x f y 上有零点，求a 的取值范围.21．（本小题满分12分）设函数a aax x e x f x其中,)(2++=为实数. （1）若)(x f 的定义域为R ，求a 的取值范围； （2）当)(x f 的定义域为R 时，求)(x f 的单减区间；22．（本小题满分12分）已知函数1)0(ln )(44=>-+=x x c bx x ax x f 在处取得极值－3－c ，其中a 、b 、c 为常数.（1）试确定a,b 的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意x>0，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．B 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．C 8．D 9．D 10．D 11．B 12．D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．}13|{-=≥x x x 或 14．8 15．025=-+y x 16．95 三、解答题（本大题共6小题，其中第17小题10分，其余各题每题12分，共70分）17．解：（1）由已知得：.32)4()3(,7231321⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++a a a a a a 解得22=a ………………2分 设数列}{n a 的公比为q ，由22=a ， 可得.2,231q a qa ==又S 3=7，可知,7222=++q q即,02522=+-q q 解得21,221==q q 由题意得,1>q 2=∴q 11=∴a故数列}{n a 的通项公式为12-=n n a ……………………5分（2）由于 ,2,1,ln 13==+n a b n n ，由（1）得nn a 3132=+2ln 32ln 3n b n n ==∴又n n n b b 2ln 31=-+}{n b ∴是等差数列…………………………8分 n n b b b T +++=∴ 212)(1n b b n +=2)2ln 32ln 3(n n +=.2ln 2)1(3+=n n …………………………10分18．（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B ，由于事件A ，B 相互独立，且21)(2423==C C A P ，52)(2624==C C B P故取出的4个球均为黑球的概率为.515221)()()(=⨯=⋅=⋅B P A P B A P …………4分 （2）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D ，由于事件C 、D 互斥.且154)(2614122423=⋅⋅=C C C C C C P ，51)(26242413=⋅=C C C C D P 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为 P （C+D ）=P （C ）+P （D ）=.15751154=+………………8分 （3）解：ξ可能的取值为0，1，2，3，由（1）（21）得,51)0(==ξP ,157)1(==ξP .3011)3(262413=⋅==C C C P ξ从而.103)3()1()0(1)2(==-=-=-==ξξξξP P P P ξ的分布列为：ξ的数学期望E ξ=0×5+1×15+3×30=6……………………12分19．解：（1）333313221n a a a a n n =+++-),2(31333113221≥-=+++--n n a a a a n n ………………2分),2(3131331≥=--=-n n n a n n )2(31≥=n a nn .……………………5分 验证n=1时也满足上式，*)(31N n a n n ∈=……………………6分（2）nn n b 3⋅=n n n S 333323132⋅+⋅+⋅+⋅=∴ ………………①143233332313+⋅+⋅+⋅+⋅=n n n S ………………②………………8分①—②得132333332+⋅-++++=-n n n n S ………………10分11331332++⋅---=-n n n n S433413211+⋅-⋅=++n n n n S 20．解：若0=a ，32)(-=x x f ，显然在[－1，1]上没有零点，所以0≠a ……………………2分令,04248)3(842=++=++=∆a a a a解得273±-=a ①当273--=a 时，)(x f y =恰有一个零点在[－1，1]上；……………………4分 ②当)(,51,0)5)(1()1()1(x f y 时a a a f f =<<<--=⋅-即在[1，1]上也恰有一个零点.……………………6分③当]1,1[)(-=在x f y 上有两个零点时，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥-≥<-<->++=∆>0)1(0)1(12110424802f f a a a a 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤<-<->++=∆<0)1(0)1(12110424802f f a a a a 解得2535--<≥a a 或……………………11分 综上所求实数a 的取值范围是 a>1或253--≤a ……………………12分 21．解：（1）)(x f 定义域为R ，02≠++∴a ax x 恒成立， ,042<-=∆a a)(40,40x f a a 时即当<<<<∴的定义域为R.………………4分（2）,)()2()(22a ax x e a x x x f x ++-+='……………………6分 令.0)2(,0)(≤-+≤'a x x x f 得 由,20,0)(a x x x f -==='或得 又,40<<a,20时<<∴a 由)(x f '<0得0a x -<<2；………………8分当a=2时，,40;0)(时当<<≥'a x f由,02,0)(<<-<'x a x f 得……………………10分 即当)(,20x f a 时<<单调减区间为（0，2－a ）.当)(,42x f a 时<<单调减区间为（2－a ，0）.……………………12分22．解：（1）由题意知.3,3,3)1(-=--=---=b c c b c f 从而因此又对)(x f 求导得34341ln 4)(bx xax x ax x f +⋅+=' ).4ln 4(3b a x a x ++=由题意.12,04,0)1(==+='a b a f 解得因此……………………4分 （2）由（1）知)0(ln 48)(3>='x x x x f 令.1,0)(=='x x f 解得当)(,0)(,10x f x f x 此时时>'<<为减函数； 当)(,0)(,1x f x f x 此时时>'>为增函数；因此)(x f 的单调递减区间为（0，1），而)(x f 的单调递增区间为（1，+∞）……8分 （3）由（2）知，)(x f 在x=1处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值，要使2223,)0(2)(c c x c x f -≥-->-≥只需恒成立.即,0)1)(32(,0322≥+-≥--c x c c 从而 解得.123-≤≥c c 或 所以c 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞,23]1,( .………………12分。
工科数分(1)试题解答(C 类A 卷)一、填空题(1) 12; (2) 1; (3) sin yCx x =; (4) 1e (1)a a --+，1二、选择题C D A B三、判断题1 不正确. 典型反例是[0,1]上的Riemann 函数，它在[0,1]上有无穷个间断点，且在[0,1]的任何子区间上都不单调，但熟知Riemann 函数在[0,1]上可积.2 正确. 对0(,)x a b ∀∈，因f '单调，由单调函数单侧极限存在性定理可知0lim (),lim ()x x x x f x f x -+→→''均存在，故0x 至多为()f x '的第一类间断点，但因导数无第一类间断点，因此0x 必为()f x '的连续点.由0x 取法任意性即有(,)f C a b '∈四、全面讨论函数y =解 1o函数定义域为(,)-∞+∞，且经过点(0,3),(3,0)-；2o令()0y x '=，得驻点13x =-；令()0y x ''=，得11,2x =-；3o因lim ()1,lim ()1x x y x y x →+∞→-∞==-，故曲线有水平渐近线1y =±.曲线无垂直渐近线和斜渐近线；4o列表如下其中()min{()}1/3x f x f ∈==R；拐点((1,,1/2,-- 图形如右五、1求极限lim n →∞+⎝⎭ 解令()f x =[0,1]区间作n 等分，则每个小区间长1k x n∆=，取(1~)k kk n nξ==，于是有13/201122lim (1)1)33n n k x x n →∞===+=⎰现因1111111/n nn n k k k k n n n n n k n =====<<+++∑ 而已计算112lim lim 1)13n nn n k k n n →∞→∞====+由夹逼性定理可知原式21)3=2求极限12lim sin d n nx x →∞⎰解原式11cos 2lim d 2n nxx →∞-=⎰11011lim 22n x x →∞=+⎰⎰由Riemann引理可知有10lim 0n x →∞=⎰，于是原式sin 1/20011cos d 22sin cos x t tx tt t=π==+⎰⎰令 (再令2t x π=-) /201sin d 2cos sin xx x xπ=+⎰ 由此得出原式/201sin cos d 4sin cos x x x x x π+=+⎰1428ππ=⋅= 3 求解二阶微分方程ln xy y x x '''-= 解 令y p '=，化原方程为ln xp p x x '-= ⇒ 1ln p p x x'-=由一阶线性方程通解公式得出11d d 11lne ln e d d x x x xx p x x C x x C x -⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 221111(ln )(ln )22x x C x x C x ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦也即有21d 1(ln )d 2y x x C x x =+. 现因ln 222221(ln )d e d d(e )2x tt t x x x t t t ===⎰⎰⎰令()2221e 2e d 2t tt t t =-⎰ 222e 122t t t C ⎛⎫'=-++ ⎪⎝⎭故通解为()22223ln ln 4x y x x C x C =-++4 求以半径为R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积解 过点(,0)x 并与x 轴垂直的平面截正劈锥体所得截面的面积()A x h =， …… 4分故体积R V h x -=⎰…… 6分20π22R h h x ==⎰ …… 8分六、设有界函数()f x 在[,]a b 上的间断点为{}n x ，且0lim (,)n n x x a b →∞=∈，证明[,]f R a b ∈证明 由条件可知0M ∃>，使得(),[,]f x M x a b ≤∀∈.对0ε∀>(ε充分小)，记00(,)(,)x x εεαβ-+=，因有0()n x x n →→∞，故在区间[,],[,]a b αβ上至多含{}n x 中有限项，从而()f x 在这两个区间上均可积.由可积性第二充要条件可知12[,],[,]a b αβ∃π⊂π⊂，使在分法12,ππ下有1k k x ω∆επ<∑ ， 2k k x ω∆επ<∑而对于3[,]αβ∀π⊂，恒有3324k k k x M x M ω∆∆εππ≤=∑∑.取123π=π⋃π⋃π（此时,αβ为分点），就有1213nk k k k k k k k x x x x κω∆ω∆ω∆ω∆=πππ=++∑∑∑∑2(21)M ε<+.仍由可积性第二充要条件可知[,]f R a b ∈.七、设正值函数[,]f C a b ∈，定义()d ,bn n a x f x x n =∈⎰N .证明(1)对n ∀∈N 有212n n n x x x ++≤；(2){}1/n n x x +收敛，且1[,]lim{/}max{()}n n n x a b x x f x +→∞∈=证明 （1）由Schwarz 积分不等式，有()22221221()d ()()d n n b bn n aa x f x xfx f x x +++⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰2()d ()d b bn n aaf x x f x x +≤⋅⎰⎰2n n x x +=（2）由(1)的结果有121,n n n n x x n x x +++≤∀∈N ，即数列1n n x x +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增的. 又f 恒正连续，故0[,]x a b ∃∈：def0()max{()}0a x bf x f x M ≤≤==>，于是对n ∀∈N ，有 11()d ()d bbn n n n aax f x x M f x x M x ++=≤=⎰⎰也即有1n nx M x +≤，即数列1n n x x +⎧⎫⎨⎬⎩⎭有上界，从而数列1n n x x +⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛.往证n M =.由条件0,0,x εδ∀>∃>∀0(,)[,]U x a b δ∈⋂def[,]αβ=：00()()()f x f x f x ε-<≤ ⇒ []00()()()nn n f x f x f x ε-<≤ 由此得出[]111100()()()d ()d ()()bnnnnnna f x f x x f x x f xb a βαεβα⎡⎤⎡⎤--<≤≤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 已知11lim()lim()1n nn n b a βα→∞→∞-=-=，从而有100()lim ()d ()bnn a n f x f x x f x ε→∞⎡⎤-≤≤⎢⎥⎣⎦⎰由ε任意性即得10lim ()d ()bnn a n f x x f x →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰. 再由Cauchy 第二定理就有10lim ()n n n n nxf x M x +→∞====.工科数分(1)试题解答(C 类B 卷)一、填空题(1) 12-; (2) 1; (3) sin y C x x =(或1Cx); (4) 1e (1)λλ--+，1二、选择题 B A C D。
