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问题2:求下列函数复合的导数
2) y
sin(x
1
x
)
解: 2)因y = sinu , u
=
x+
1 x
而y
' u
=
cosu,u
' x
=
1-
1 x2
又y
' x
=
y
' u
gu
' x
∴
y
' x
= (1 -
1 )cos(x + x2
1) x
问题2:求下列函数复合的导数
3) y ln 3 e x 2
解: 3)因y ln u ,u 3 v ,v e x 2
FP ( b2 , ab ), cc
PA OP
ab c2
,
PA FP
ab c2
.
PA OP PA FP.
PA OP
ab c2
,
PA FP
ab c2
.
PA OP PA FP.
( 2)
y
a b
(x
c)
b2 x 2 a 2 y2 a 2b2
b2 x2
a4 b2
(x
k1k2
a2 2 a (a
2
a2 a)
a2 2a2
1,
2
抛 物 线 在 点P0 ( x0 , y0 )处 的 切 线
与 直 线AP0垂 直.
[例2] (长 郡05届 月 考 题)已 知 双 曲 线C：
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b 0), B是 右 顶 点, F是
右 焦 点,点A在x轴 正 半 轴 上, 且 满 足OA、
c)2
a 2b2 .
即(b2
a4 b2
)x2
2
a4 b2
cx
(
a4c b2
2
a2b2 )
0,
x1
x2
(
a4c b2
2
a2b2 )
b2
a4 b2
0,
b4 a4.
即b2 a2 , c2 a2 a2 .
e2 2. 即e 2.
[例3] 已 知 点H (0,3),点P在x轴 上,点Q
在y轴 正 半 轴 上,点M在 直 线PQ上, 且 满 足
y 4) 3log2(x 2 2x 3)
3)y ln u ,u 3 v ,v e x 2
4)y 3u ,u log2 v ,v x 2 2x 3
2.复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)
的导数间关系为 yx yu ux ; 或 fx[ (x)] f (u) (x). 注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数
[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.
[解析] 注意数形结合，表示点(x, y)
与原点连线的斜率. 画图可知是C.
[答案] C
2. 若动点( x,
y)在曲线
x2 4
y2 b2
1
(b 0)上变化, 则x2 2 y的最大值为( )
A.
b2 4
4 (0
b
4)
是对中间变量 的求( x导) .
问题2:求下列函数复合的导数
1) y (a bx n )m
解: 1)因y = u m , u = a + bx n
而y
' u
=
m gu m - 1 ,u'x
=
nbx n- 1
又y
' x
=
y
' u
gu'x
∴
y
' x
=
nmbx n- 1(a + bx n )m - 1
[解析] (1) 设P(a,0),Q(0, B),则
HP PM (a,3) (a,b) a2 3b 0,
a2 3b, 设M ( x, y), PM 3 HQ. 2
x
a
2a,
y
3 2
b
3b,
y
1
x2.
1 3
1 3
4
2
2
[法一]
( 2)
设A( a
,
b),
S
(
x1
,
1 4
x12
),
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.
[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导 数的应用等知识.
[解析] (1) AP ( x a, y a2 ) ( x a, x2 a2 )
则
f
( x)
2
AP
(x
a)2
(x2
a2 )2
x4 (1 2a2 )x2 2ax a4 a2 .
B.
b2 4
4 (0
b
2)
2b (b 4)
2b (b 2)
C. b2 4 4
D. 2b
2. 若动点( x,ຫໍສະໝຸດ y)在曲线x2 4
y2 b2
1
(b 0)上变化, 则x2 2 y的最大值为( A)
A.
b2 4
4 (0
b
4)
B.
b2 4
4 (0
b
2)
2b (b 4)
2b (b 2)
C. b2 4 4
的乘积.
如:求函数y=(3x-2)2的导数,
令y=u2,u=3x-2,
则 yu 2u , ux 3, 从而 yx yu ux 18 x 12
2)法则可以推广到两个以上的中间变量.
y f ( g (u(x )))
y'
f
g
'
gg
'
u
gu
x
'
3)在书写时不要把 f x[ (写x)]成 f,两[ (者x)]是不完 全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者
2. 注意利用某些代数式的几何特征 求范围问题（如斜率、两点的距离等）.
【课前导引】
1. 设P(x, y)是曲线C：x2+y2+4x+3=0
上任意一点，则 x 的取值范围是 ( ) y
A. [ 3, 3] B. (, 3) [ 3,)
C. [ 3 , 3 ] D. (, 3 ][ 3 ,)
33
33
A.y 2 2 cos(2x ) B.y cos 2x sin 2x
4
C.y sin 2x cos 2x D.y 2 2 cos(2x )
4
练习:求下列函数的导数
1).y
(2x3
x
1) x
1).y'
4(2x3
x
1 )3 (6 x2 x
1
1 x2
)
2).y 1 1 2x2
2).y'
f '( x) 4x3 2(1 2a2 )x 2a.
令f '( x) 0得 : 2x3 (1 2a2 )x a 0,
即 ( x a)(2x2 2ax 1) 0.
a 2,此 方 程 有 三 个 根x1 a,
x2 a
a2 2
2
,
x3
a
a2 2 , 2
1 当x a时, f '( x) 0;
交 于 点D、E , 求 双 曲 线C的 离 心 率e的 取 值
范 围.
[解析] (1) l：y a ( x c)
b
y y
b a
a b
x
(
x
c) ,
解
得
:
a2 P(
,
ab ).
OA 、OB
、OF
成等比数列,
cc
A( a2 ,0). PA (0, ab ).
c
c
OP ( a2 , ab ), cc
HP PM 0, PM 3 MQ. 2
(1)当 点P在x轴 上 移 动 时,求 动 点M的 轨 迹 曲 线C的 方 程;
(2) 过 定 点A(a, b)的 直 线 与 曲 线C相 交 于 两 点S、R,求 证 ： 抛 物 线S、R两 点 处 的 切 线 的 交 点B恒 在 一 条 直 线 上.
复合函数 内圈函数 外圈函数
函数
y=f(g(x))
u=g(x) y=f(u)
定义域 x∈A x∈A U∈D
值域 y∈B
U∈D y∈B
问题1:指出下列函数的复合关系
1) y (a bx n )m
2) y
sin(x
1)
x
解:1)y u m , u a bx n
2)y
sin u
,u
x
1
x
3) y ln 3 e x 2
D. 2b
【链接高考】
[例1] 设 抛 物 线y x2过 一 定 点A(a, a2 )
(a 2), P( x, y)是抛物线 上的动点.
2
(1) 将 AP 表示为关 于x的函数f ( x),并 求当x为何值时, f ( x)有极小值;
(2) 设(1)中使f ( x)取极小值 的正数x为 x0 ,求 证 ：抛 物 线 在 点P( x0 , y0 )处 的 切 线 与 直 线AP0垂 直.
OB 、OF 成 等 比 数 列,过F作 双 曲 线C在 第 一 、 三 象 限 的 渐 近 线 的垂 线l,垂 足 为P.
(1) 求 证: PA OP PA FP;
(2) 若l与双曲线C的左、右两支分别相 交 于 点D、E , 求 双 曲 线C的 离 心 率e的 取 值 范 围.
(2) 若l与双曲线C的左、右两支分别相
