常系数线性微分方程组

5t
i
sin
5t)
1
i
e3t
cos t i sin t
sin
t
i
cos
t
e3t
cos t sin t
ie3t
sin t cos t
故解为:
x1
e3t
cos t
sin
t
,
x2
e3t
sin t
cos
t
.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解 特征方程为
常系数线性方程组
一、矩阵指数expA的定义和求法
1 expA的定义
定义 设A为n n常数矩阵,则定义矩阵指数
exp A为下列矩阵级数的和
exp A Ak E A A2 Am
k0 k !
2!
m!
(5.34)
其中E为单位矩阵, Am为A的m次幂, A0 E,0! 1.
注1: 矩阵级数(5.34)是收敛的.
§5.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在
a t b上连续的向量函数;
若f (t) 0,则对应齐线性微分方程组为
dx Ax, dt
(5.33)
本节主要讨论(5.33)的基解矩阵的求法.
k0 k !
E
(T 1AT )k
k1 k ! E
T 1 AkT k1 k !
T 1T T 1(
Ak )T
k1 k !
T 1(E Ak )T T-1(exp A)T.
k1 k !
常系数线性方程组
3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9 矩阵
(t) exp At 是(5.33)的基解矩阵,且 (0) E.
,
e
J
k
t
常系数线性方程组
二 基解矩阵的计算公式
1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系
类似第四章4.2.2,寻求
x' Ax,
形如 (t) etc, c 0,
(5.33) (5.43)
的解, 其中常数和向量c是待定的.
将(5.43)代入(5.33)得
etc Aetc,
因et 0,上式变为
(E A)c 0,
(5.44)
常系数线性方程组
(E A)c 0, (5.44) x' Ax, (5.33)
方程(5.44)有非零解的充要条件是: det(E A) 0,
结论 微分方程组(5.33)有非零解(t) etc的充要条件是
是矩阵A的特征根, c是与对应的特征向量.
即 (t) etc为(5.33)解 (E A)c 0有非零解
绝对收敛级数的乘法定理
(2) 对任何矩阵A,(exp A)1存在,且
(exp A)1= exp(-A).
由于: exp Aexp(-A) exp(A (-A)) exp 0 E.
常系数线性方程组
(3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
由于: exp(T-1AT ) (T 1AT )k
由于
Ak
Ak ,
k! k!
而数项级数
Ak
收敛 .
k1 k !
常系数线性方程组
注2: 级数
exp At Ak tk E At A2 t2
k0 k !
2!
在t的任何有限区间上是一致收敛的.
Am tm m!
由于
Akt k
A k ck ,
t c,
k!
k!
而数项级数
A k ck
k 1 k !
det( E
A)
1
2
1
4
2 6 9 0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
(
E
A)c
1 1
1 1
c1 c2
0
方程组x'
2 1
1 4
x
解得
c
1 1
,
0,
的解为x
e3t
1 1
.
是对应于特征根 3的特征向量
例1 如果A是一个对角矩阵
a1
A
a2
an
试求出x' Ax的基解矩阵.
解 由(5.34)得
a1
exp At E
a2
t
a12
a22
1!
an
常系数线性方程组
t
2
2!
an2
a1m
a2m
ea1t
tm
ea2t
m!
anm
e
ant
例2
试求出x'
2 0
1 2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E
A)
5
3
5
3 2 6 34 0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
( E
A)u
5i
5
5
5i
u1 u2
t2 2!
}
e2t
0
0
e2t
1 0
t 1
e2t
1 0
t 1 .
常系数线性方程组
(2) 基解矩阵的一种求法
对n阶矩阵A设 A T 1JT
其中T为非奇异矩阵, J为Jordan矩阵.
则 eAt T 1eJtT.
其中 J1
J
J2
源自文库
e J1t
, eJt
eJ2t
J
k
注1: 由eAtT 1 T 1eJt知,T 1eJt也是基解矩阵.
0
解得
u
1
i
,
0.
对特征根2 3 5i的特征向量v (v1, v2 )T 满足
(
E
A)u
5i
5
5 5i
v1 v2
0
解得
v
i 1
,
0.
常系数线性方程组
微分方程组x'
3 5
5 3
x的解为
x1
e(35i )t
1 i ,
x2
e(35i)t
i 1 ;
x1
e(35i)t
1
i
e3t
(cos
证明: 当t 0时,由exp At定义知 (0) E;
又因为 '(t) (exp At)'
A A2 t A3 t2 Am tm1
1! 2!
(m 1)!
A(E At A2 t2
2!
Am tm m!
) Aexp At A (t),
故(t) exp At是基解矩阵
常系数线性方程组
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB.
由于: exp(A B)
= exp Aexp B
(A B)k
A k 0 i
k! Bj
i0 i! j0 j!
k
k 0 l0 k
[
k0 l0
Al Bk l ;
l!(k l)! Al Bkl ]; l!(k l)!
x的基解矩阵.
解 因为
2 1 2 0 0 1 A 0 2 0 2 0 0
而后面两个矩阵是可交换的
常系数线性方程组
2 0
0 2 2E,
0 0
12 0 0 0
0 0 ,
故
exp At exp(02
0 2
t)
exp(00
1 0
t)
e2t
0
0 e2t
{E
0 0
1 0 0 t 0
12 0