拉格朗日插值法的一些讨论
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在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后（1783年）由莱昂哈德·欧拉再次发现。1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起。
数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange 插值有很多种，1阶，2阶,…n 阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。
具体算法
1、基本概念
已知函数y=f(x)在若干点i x 的函数值i y =()i x f （i=0,1,⋅⋅⋅,n ）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p(i x )=i y ,i=0,1,⋅⋅⋅,n,
(1)
则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，0x ，1x ，2x ，...,n x 为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点-x 求f(-x )数值解，我们称-x 为一个插值节点，f(-x )≈p(-x )称为-x 点的插值，当-x ∈[min(0x ，1x ，2x ，...,n x )，max(0x ，1x ，2x ，...,n x )]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n 次多项式时称为n 阶Lagrange 插值。
2、Lagrange 插值公式
（1）线性插值)1(1L
设已知0x ，1x 及0y =f(0x ) ,1y =f(1x ),)(1x L 为不超过一次多项式且满足)(01x L =0y ,)(11x L =1y ,几何上，)(1x L 为过（0x ，0y ），（1x ，1y ）的直线，从而得到
)(1x L =0y +0
101x x y y --（x-0x ）. （2） 为了推广到高阶问题，我们将式（2）变成对称式
)(1x L =0l （x ）0y +1l (x)1y .
其中，
0l （x ）=101x x x x --,1l (x)=0
10x x x x --。均为1次多项式且满足 0l （x ）=1且1l (x)=0。或0l （x ）=0且1l (x)=1。
两关系式可统一写成)(i i x l =⎩
⎨⎧≠=j i j i 01 。 （3） （2）n 阶Lagrange 插值)(x L n
设已知0x ，1x ，2x ，...,n x 及i y =f(i x )(i=0,1,.....,n),)(x L n 为不超过n 次多项式且满足i i n y x L =)(（i=0,1,...n ）.
易知)(x L n =0l （x ）0y +....+)(x l n n y .
其中，)(x l i 均为n 次多项式且满足式（3）（i,j=0,1,...,n ）,再由j x （j ≠i ）为n 次多项式)(x l i 的n 个根知)(x l i =c ∏≠=-n
i i j j x x 0.最后，由
⇒=-=∏≠=1)()(0n i j j j i j i x x c x l c=
∏≠=-n i j j j
i x x 0)(1,i=0,1,...,n.
总之，)(x L n =i n i i y x l ∑=0)(，)(x l i =.0∏≠=--n i
j j j i j x x x x 式为n 阶Lagrange 插值公式，其中，)(x l i （i=0,1,...n ）称为n 阶Lagrange 插值的基函数。
3，Lagrange 插值余项
设0x ，1x ，2x ，...,n x ∈[a,b],f(x)在[a,b]上有连续的n+1阶导数，)(x L n 为f(x)关于节点0x ，1x ，2x ，...,n x 的n 阶Lagrange 插值多项式，则对任意x ∈[a,b],
).()!
1()()()()()1(x n f x L x f x R n n n ωξ+=-=+其中，ξ位于0x ，1x ，2x ，...,n x 及x 之间（依赖于x ），ω(x)=∏=-n
j j x x 0).(
Eg1:已知函数表sin
6π=0.5000,sin 4π=0.7071,sin 3π=0.8660,分别由线性插值与抛物插值求sin 9
2π的数值解，并由余项公式估计计算结果的精度。 解：（1）这里有三个节点，线性插值需要两个节点，根据余项公式，我们选取前两个节点，易知：
sin 92π≈1L (92π)=0.5000+6
45000.07071.0ππ--(92π-6π) =0.5000+0.20713
2⨯=0.6381 截断误差，
)92(1πR =)4
92)(692(2)(sinx ππππ--''310615.7361821-⨯=⨯⨯≤ππ， 得.105.010615.713--⨯<⨯=ζ知结果至少有1位有效数字。
（2）易知sin 92π≈+⨯=5000.0)3-6)(4-6()33-92)(4-92(
)92(2πππππππππL ⨯----））（（））（（3464392692ππππππππ 0.7071+8660.04
363492692⨯----））（（））（（ππππππππ=7071.0985000.092⨯+⨯⨯-910.8660=0.6434
截断误差为：
≤---'''==ξ
πππππππx x R )492)(492)(692(6)(sin )92(2210861..09
361861-⨯=⨯⨯⨯πππ 得.105.010861.824--⨯<⨯=ζ知结果至少有两位数字。
