高中数学必修二同步练习题库：圆的方程(简答题：一般)

第四章 4.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( D ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2,－3)D ．(2,－3)[解析] 圆的一般程化成标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13,可知圆心坐标为(2,－3)．2．(2018·本溪市高一期中)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称,则k,b 的值分别为( A )A ．12,－4 B ．－12,4C ．12,4 D ．－12,－4[解析] 由题意知直线y ＝kx 与2x ＋y ＋b ＝0垂直,且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心,∴⎩⎪⎨⎪⎧k·－2＝－1，2×2＋0＋b ＝0,解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝－4.3．(2018～2019·长沙高一检测)已知圆C 过点M(1,1),N(5,1),且圆心在直线y ＝x －2上,则圆C 的方程为( A )A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0 B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0 D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0[解析] 由条件知,圆心C 在线段MN 的中垂线x ＝3上,又在直线y ＝x －2上,∴圆心C(3,1),半径r ＝|MC|＝2.方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4,即x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0. 故选A ．4．(2018·大连期末)圆心是C(2,－3),且经过原点的圆的方程为( D ) A ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋1＝0 C ．x 2＋y 2＋4x －6y ＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0,因为圆C 经过原点,所以F ＝0,又圆心为(2,－3),所以D＝－4,E ＝6.因此,所求圆的方程是x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0.5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22,则a 的值为( C ) A ．－2或2 B ．12或32 C ．2或0D ．－2或0[解析] 化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5,则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22,得|1－2＋a|2＝22,∴a ＝2或0. 6．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( A ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝2 C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4[解析] 圆x 2＋y 2－2y －1＝0的圆心坐标为(0,1),半径r ＝2,圆心(0,1)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(1,0),故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.二、填空题7．(2018·山东省潍坊市期中)若点(1,2)在圆x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0外,则实数a 的取值范围是(－∞,－2)∪(2,3).[解析] 若x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0表示圆,则(－a 2)＋(－2)2－4×2＞0,解得a ＜－2或a ＞2.若点(1,2)在圆x 2＋y 2－ax －2y ＋2＝0外,则12＋22－a －2×2＋2＞0,解得a ＜3,所以实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,3)．8．圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋39＝0关于直线3x －4y ＋5＝0对称的圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0.[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y －6)2＝1,易知圆心C(－2,6),半径r ＝1.设所求的对称圆为圆C′：(x －a)2＋(y －b)2＝1,则⎩⎪⎨⎪⎧b －6a ＋2＝－43，3×a －22－4×b ＋62＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，所以圆C′的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1,即x 2＋y 2－8x ＋4y ＋19＝0.三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆,若能表示圆,求出圆心和半径． [解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0, 可知D ＝－4m,E ＝2m,F ＝20m －20,∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2,因此,当m ＝2时,D 2＋E 2－4F ＝0,它表示一个点,当m≠2时,D 2＋E 2－4F>0,原方程表示圆的方程,此时,圆的圆心为(2m,－m),半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m)2＋(y ＋m)2＝5(m －2)2,因此,当m ＝2时,它表示一个点, 当m≠2时,原方程表示圆的方程．此时,圆的圆心为(2m,－m),半径为r ＝5|m －2|. 10．求过点A(－1,0)、B(3,0)和C(0,1)的圆的方程． [解析] 解法一：设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)把A 、B 、C 三点坐标代入方程(*)得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝01＋E ＋F ＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0解法二：线段AB 的中垂线方程为x ＝1,线段AC 的中垂线方程为x ＋y ＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0,得圆心坐标为M(1,－1),半径r ＝|MA|＝5,∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.B 级 素养提升一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限,那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a,－32b),则a<0,b>0.直线y ＝－1a x －b a ,其斜率k ＝－1a >0,在y 轴上的截距为－ba >0,所以直线不经过第四象限,故选D ．2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD,则四边形ABCD 的面积为( B )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2[解析] 圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10,则圆心坐标为M(1,3),半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径,则|AC|＝210.BD 是过点E 的最短弦,则点E 为线段BD 的中点,且AC ⊥BD,E 为AC 与BD 的交点,则由垂径定理可是|BD|＝2|BM|2－|ME|2＝210－[1－02＋3－12]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC||BD|＝12×210×25＝10 2.3．已知圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1过点A(1,0),则圆C 的圆心的轨迹是( D ) A ．点 B ．直线 C ．线段D ．圆[解析] ∵圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1过点A(1,0),∴(1－a)2＋(0－b)2＝1,即(a －1)2＋b 2＝1,故圆C 的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心,1为半径的圆．4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长,则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( B )A ． 5B ．5C ．2 5D ．10[解析] 由题意,得直线l 过圆心M(－2,－1), 则－2a －b ＋1＝0,则b ＝－2a ＋1,所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5, 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上,则a ＝－2.[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心, ∴－1＋a2＋2＝0,∴a ＝－2.6．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0,则x 2＋y 2的最大值是5＋3.[解析] 关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x,y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0,所以(x,y)为方程所表示的曲线上的动点.x 2＋y 2＝x －02＋y －02,表示动点(x,y)到原点(0,0)的距离．对方程进行配方,得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9,它表示以C(－2,1)为圆心,3为半径的圆,而原点的圆内．连接CO 交圆于点M,N,由圆的几何性质可知,MO 的长即为所求的最大值．7．(2018·天津)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.[解析] 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0),则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0，即圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.方法二 设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2,则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2①1－a 2＋1－b 2＝r 2 ②2－a 2＋b 2＝r 2 ③，,由①－③,得a＝1,代入②,得(1－b)2＝r 2,结合①,得b ＝0,所以r 2＝1,故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1,即x 2＋y 2－2x ＝0.方法三 记A(0,0),B(2,0),C(1,1),连接AB,由圆过点A(0,0),B(2,0),知AB 的垂直平分线x ＝1必过圆心．连接BC,又圆过点C(1,1),BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12,BC 所在直线的斜率k BC ＝－1,所以BC 的垂直平分线为直线y ＝x －1,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x ＝1，得圆心的坐标为(1,0),半径为1,故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1,即x 2＋y 2－2x ＝0.三、解答题8．设圆的方程为x 2＋y 2＝4,过点M(0,1)的直线l 交圆于点A 、B,O 是坐标原点,点P 为AB 的中点,当l 绕点M 旋转时,求动点P 的轨迹方程．[解析] 设点P 的坐标为(x,y)、A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)． 因为A 、B 在圆上,所以x 21＋y 21＝4,x 22＋y 22＝4, 两式相减得x 21－x 22＋y 21－y 22＝0,所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 当x 1≠x 2时,有x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0,①并且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，y －1x ＝y 1－y 2x 1－x 2，②将②代入①并整理得x 2＋(y －12)2＝14.③当x 1＝x 2时,点A 、B 的坐标为(0,2)、(0,－2),这时点P 的坐标为(0,0)也满足③. 所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y －12)2＝14.9．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程． [解析] (1)要使方程表示圆,则 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0, 即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0, 整理得7m 2－6m －1＜0,解得－17＜m ＜1.(2)r ＝124m ＋32＋41－4m 22－416m 4＋9＝－7m 2＋6m ＋1＝－7m －372＋167. ∴0＜r≤477.(3)设圆心坐标为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)．∵－17＜m ＜1,∴207＜x ＜4.故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)(207＜x ＜4)．。

2019年高中数学人教A 版必修2 圆的一般方程 同步练习一、选择题：1.方程2x 2＋2y 2-4x ＋8y ＋10=0表示的图形是( )A.一个点B.一个圆C.一条直线D.不存在2.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0表示的圆过原点且圆心在直线y=x 上的条件是( )A.D=E=0，F ≠0B.D=F=0，E ≠0C.D=E ≠0，F ≠0D.D=E ≠0，F=03.由方程x 2＋y 2＋x ＋(m-1)y ＋0.5m 2=0所确定的圆中，最大面积是( ) A.23π B.43π C.3π D.不存在 4.若圆x 2＋y 2-2x-4y=0的圆心到直线x-y ＋a=0的距离为22，则a 的值为( ) A.-2或2 B.0.5或1.5 C.2或0 D.-2或05.若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(-3,0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为( )A.x 2＋y 2=25(y ≠0)B.x 2＋y 2=25C.(x-2)2＋y 2=25(y ≠0)D.(x-2)2＋y 2=256.若圆x 2＋y 2-4x ＋2y ＋m=0与y 轴交于A 、B 两点，且∠ACB=90°(其中C 为已知圆的圆心)，则实数m 等于( )A.1B.-3C.0D.2二、填空题：7.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay-3=0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x-y ＋2=0的对称点都在圆C 上，则a=________.8.当动点P 在圆x 2＋y 2=2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________.三、解答题:9.已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3=0，圆心在直线x ＋y-1=0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程.10.设定点M(-3,4)，动点N在圆x2＋y2=4上运动，以OM，ON为两边作▱MONP，求点P的轨迹方程.11.已知圆的方程是x2＋y2＋2(m-1)x-4my＋5m2-2m-8=0.(1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆.参考答案1.A；2.D；3.B4.C；5.C；6.B；7.答案为：-2；8.答案为：(x-1.5)2+(y-0.5)2=0.5.9.解：圆心C(-0.5D,-0.5E)，因为圆心在直线x＋y-1=0上，所以-0.5D,-0.5E-1=0，即D＋E=-2，①又r=2，所以D2＋E2=20，②由①②可得D=2,E=-4或D=-4,E=2.又圆心在第二象限，所以-0.5D<0，即D>0，所以D=2,E=-4.所以圆的一般方程为：x2＋y2＋2x-4y＋3=0.10.解：11.解：(1)x2＋y2＋2(m-1)x-4my＋5m2-2m-8=0可化为[x＋(m-1)]2＋(y-2m)2=9，∴圆心为(1-m,2m)，半径r=3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组a=1-m,b=2m, 即2a＋b=2.∴不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y-2=0上，且为等圆.。

2.2圆与方程考纲要求：①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程．判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．2.2.1 圆的方程重难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程；了解圆的一般方程的代数特征，能实现一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．经典例题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．当堂练习：1．点（1，1）在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的取值范围是（）A．-1<a<1 B．0<a<1 C．a<-1或a>1 D．a=12．点P（m2,5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．不确定3．方程(x+a)2+(y+b)2=0表示的图形是（）A．点（a,b）B．点（-a,-b） C．以（a,b）为圆心的圆D．以（-a,-b）为圆心的圆4．已知一圆的圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是（）A．(x-2)2+(y+3)2=13 B．(x+2)2+(y-3)2=13 C．(x-2)2+(y+3)2=52 D．(x+2)2+ (y-3)2=525．圆(x-a)2+(y-b)2＝r2与两坐标轴都相切的充要条件是（）A．a=b=r B．|a|=|b|=r C．|a|=|b|=|r|0 D．以上皆对6．圆(x-1)2+(y-3)2=1关于2x+y+5=0对称的圆方程是（）A．(x+7)2+(y+1)2=1 B．(x+7)2+(y+2)2=1 C．(x+6)2+(y+1)2=1 D．(x+6)2+ (y+2)2=17．如果圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为（）A．（-1，1）B．（1，-1）C．（-1，0）D．（0，-1）8．圆x2+y2-2Rx-2Ry+R2=0在直角坐标系中的位置特征是（）A．圆心在直线y=x上B．圆心在直线y=x上, 且与两坐标轴均相切C．圆心在直线y=-x上D．圆心在直线y=-x上, 且与两坐标轴均相切9．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则（）A．D=0，E=0，F0 B．E=0，F=0，D0 C．D=0，F=0，E0 D．F=0，D0，E010．如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）A．D=E B．D=F C．E=F D．D=E=F11．方程x4-y4-4x2+4y2=0所表示的曲线是（）A．一个圆B．两条平行直线C．两条平行直线和一个圆D．两条相交直线和一个圆12．若a0, 则方程x2+y2+ax-ay=0所表示的图形（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x-y=0对称D．关于直线x+y=0对称13．圆的一条直径的两端点是（2，0）、（2，-2），则此圆方程是（）A．x2+y2-4x+2y+4=0 B．x2+y2-4x-2y-4=0 C．x2+y2-4x+2y-4=0 D．x2+y 2+4x+2y+4=014．过点P（12，0）且与y轴切于原点的圆的方程为__________________．15．圆(x-4)2+(y-1)2=5内一点P（3，0），则过P点的最短弦的弦长为_____，最短弦所在直线方程为___________________．16．过点（1，2）总可以向圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0作两条切线，则k的取值范围是_______________．17．已知圆x2+y2-4x-4y+4=0，该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是___________，距离最远的点的坐标是________________．18．已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P（2，-1），且截x轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程．19．已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0, 求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程．20．已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9＝0表示一个圆，（1）求t的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围．21．已知曲线C：x2+y2-4mx+2my+20m-20＝0(1)求证不论m取何实数，曲线C恒过一定点；(2)证明当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条定直线上；(3)若曲线C与y轴相切，求m的值．参考答案：经典例题：解：设所求的圆的方程为：∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，即解此方程组，可得：∴所求圆的方程为：；得圆心坐标为（4，-3）.或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)当堂练习：1.A;2.B;3.B;4.A;5.C;6.A;7.D;8.B;9.C; 10.A; 11.D; 12.D; 13.A; 14. (x-6)2+y2=36; 15. 2, x+y-3=0; 16. ; 17. (2-,2-), (2+,2+);18. 解：设所求圆圆心为Q（a,b），则直线PQ与直线3x+4y-2=0垂直，即,(1)且圆半径r=|PQ|=,(2)由（1）、（2）两式，解得a=5或a= -(舍)，当a=5时，b=3,r=5, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-3)2=25.19. 解：圆C的方程为(x-2)2+(y-3)2=1, 设圆的切线方程为=1或y=kx，由x+y-a=0，d=.由kx-y=0，d=.综上，圆的切线方程为x+y-5=0或(2)x-y=0.20. 解：（1）方程表示一个圆的充要条件是D2+E2-4F＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)>0,即：7t2-6t-1<0,（2）r2= D2+E2-4F＝4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)=-28t2+24t+4=-28(t-)2+,21. 解：（1）曲线C的方程可化为：(x2+y2-20)+m(-4x+2y+20)＝0,由,∴不论m取何值时，x＝4, y＝-2总适合曲线C的方程，即曲线C恒过定点(4, -2).（2）D＝-4m, E＝2m, F＝20m-20, D2+E2-4F＝16m2+4m2-80m+80＝20(m-2)2∵m≠2, ∴(m-2)2>0, ∴D2+E2-4F>0, ∴曲线C是一个圆, 设圆心坐标为(x, y), 则由消去m得x+2y＝0, 即圆心在直线x+2y＝0上.（3）若曲线C与y轴相切，则m≠2，曲线C为圆，其半径r=,又圆心为(2m, -m),则=|2m|, .。

高中数学必修 2.2.1 圆的标准方程 同步练习+课后练习圆的标准方程 同步练习题一、选择题1.圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是( )A.x 2＋y 2=25B.x 2＋y 2=5C.(x －3)2＋(y －4)2=25D.(x ＋3)2＋(y ＋4)2=252.圆C ：(x ＋4)2＋(y －3)2=9的圆心C 到直线4x ＋3y －1=0的距离等于( )A.1.2B.1.6C.4.8D.5.23.点(a ，a)在圆(x －1)2＋(y ＋2)2=2a 2的内部，则a 的取值范围为( )A.(－∞，－2.5)B.(－∞，－2.5]C.[－2.5，＋∞)D.(－2.5，＋∞)4.已知一圆的圆心为M(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程为( )A.(x －2)2＋(y ＋3)2=13B.(x ＋2)2＋(y －3)2=13C.(x －2)2＋(y ＋3)2=52D.(x ＋2)2＋(y －3)2=525.圆(x ＋2)2＋y 2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A.(x －2)2＋y 2=5B.x 2＋(y －2)2=5C.(x ＋2)2＋(y ＋2)2=5D.x 2＋(y ＋2)2=5二、填空题：6.圆心在第二象限，半径为1，并且与x 、y 轴都相切的圆的方程为________.7.设P(x ，y)是曲线x 2＋(y ＋4)2=4上任意一点，则22)1()1(-+-y x 的最大值为________. 8.已知△ABC 的顶点A(－1,0)，B(1,0)，C 在圆(x －2)2＋(y －2)2=1上移动，则△ABC 面积的最小值为______.三、解答题9.求满足下列条件的圆的标准方程：(1)圆心C(8，－3)且过点P(5,1)；(2)圆心在直线5x －3y=8上，且圆与坐标轴相切.10.已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0,1).(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程.11.已知圆C的圆心坐标为C(x0，x0)，且过定点P(4,2).(1)求圆C的方程；(2)当x0为何值时，圆C的面积最小，并求出此时圆C的标准方程.圆的标准方程课后练习题一、选择题：1.以(-1,2)为圆心，且过原点的圆的标准方程为( ).A.(x-1)2＋(y＋2)2=5B.(x-1)2＋(y＋2)2C.(x＋1)2＋(y-2)2＋1)2＋(y-2)2=52.圆(x＋4)2＋(y-1)2=10的圆心坐标与半径分别为( ).A.(4,1)，-1),10 D.(-4,1),103.直线x＋2y＋3=0将圆(x-a)2＋(y＋5)2=3的周长平分，则a等于( ).A.13B.7C.-13D.以上答案都不对4.圆心为(1,1)且与直线x＋y=4相切的圆的方程是( ).A.(x＋1)2＋(y＋1)22＋(y-1)2C.(x＋1)2＋(y＋1)2=2D.(x-1)2＋(y-1)2=25.若圆C与圆(x＋2)2＋(y-1)2=1关于原点对称，则圆C的方程是( ).A.(x-2)2＋(y＋1)2=1B.(x-2)2＋(y-1)2=1C.(x-1)2＋(y＋2)2=1D.(x＋1)2＋(y-2)2=16.点A(-1,4)到圆C：(x-2)2＋(y-3)2=1上的点的最短距离为( ).1 D.3二、填空题：7.经过圆C：(x＋1)2＋(y-2)2=4的圆心且斜率为1的直线方程为__________.8.如果实数x，y满足(x＋2)2＋y2=1，那么yx的最大值是________.三、解答题：9.求满足下列条件的圆的标准方程.(1)圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8；(2)过点A(1，-1)，B(-1,1)且圆心在直线x＋y-2=0上.10.已知某隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？同步练习参考答案1.答案为：C；2.答案为：B;3.答案为：A；解析：由(a－1)2＋(a＋2)2<2a2得a<－2.5.4.答案为：A；解析：由已知条件可得直径的两个端点坐标分别为(0，－6)，(4,0)，此圆的半径为13，所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2=13.5.答案为：A；解析：(x＋2)2＋y2=5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2=5.6.答案为：(x＋1)2＋(y－1)2=1；解析：由条件知，|a|=|b|=r=1.∵圆心在第二象限，∴a=－1，b=1，∴所求的方程为(x＋1)2＋(y－1)2=1.7.答案为：26＋2；8.答案为：1；解析：∵|AB|=2为定长.∴当△ABC的高即C到AB的距离最小时，S△ABC最小，又圆心为(2,2)，半径为1.所以此时C的坐标为(2,1)，S△ABC的最小值为1.9.解：(1)设圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2=r2，∵点P(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2=r2.∴r2=25.∴所求圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2=25.(2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2，∵圆与坐标轴相切，∴圆心满足a－b=0或a＋b=0.又圆心在直线5x－3y=8上，∴5a－3b=8.由a-b=0,5a-3b=8得a=4,b=4,∴圆心为C(4,4)，半径为r=|a|=|b|=4；由a+b=0,5a-3b=8得a=1,b=-1.∴圆心为C(1，－1)，半径为r=|a|=|b|=1.故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2=16或(x－1)2＋(y＋1)2=1.10.解:(1)PQ的方程为x＋y－1=0，PQ中点M(0.5，0.5)，且k PQ=－1，∴圆心所在的直线方程为y－0.5=1×(x－0.5)，即x－y=0.(2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=1，则(1-a)2+b2=1,a2+(b-1)2=1解得a=0,b=0或a=1,b=1.∴圆C的方程为x2＋y2=1或(x－1)2＋(y－1)2=1.11.解:(1)由题意，得圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2=r2(r≠0).∵圆C过定点P(4,2)，∴(4－x0)2＋(2－x0)2=r2(r≠0).∴r2=2x20－12x0＋20.∴圆C的方程为(x－x0)2＋(y－x0)2=2x20－12x0＋20.(2)∵(x－x0)2＋(y－x0)2=2x20－12x0＋20=2(x0－3)2＋2，∴当x0=3时，圆C的半径最小，即面积最小.此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2=2.课后练习参考答案1.答案：D；解析：r==2.答案：B；3.答案：B；解析：当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a，-5)代入直线方程x＋2y＋3=0，得a＋2×(-5)＋3=0.解得a=7.d==4.答案：D；解析：圆的半径r即为圆心(1,1)到直线x＋y-4=0的距离的标准方程为(x-1)2＋(y-1)2=2.5.答案：A；解析：圆C与圆(x＋2)2＋(y-1)2=1关于原点对称，则圆心C(2，-1)，故圆C的方程为(x-2)2＋(y＋1)2=1.6.答案：B 解析：由圆的标准方程得圆心为C(2,3)，半径r=1. |AC=则点A到圆C1.7.答案：x-y ＋3=0；解析：圆心为(-1,2)，故所求的直线方程为y-2=x ＋1，即x-y ＋3=0.8.解析：的几何y x 意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率，所以只要求出过原点且与圆相切的两条直线，其斜率较大的直线的斜率就是本题答案.如图，设圆心为P ，过原点与圆相切的两条直线与圆相切于点D ，E ，则圆的半径为1，|OP|=2，故直线斜率的最大值为3.9.解：(1)如图，由题设|AC|=r=5，|AB|=8.∴|AO|=4.在Rt △AOC 中，|OC =.设点C 坐标为(a,0)，则|O C|=|a|=3，∴a=±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2=25或(x-3)2＋y 2=25.(2)线段AB 的中点为(0,0)，11=111AB k +=---，∴AB 的中垂线方程为y=x.由,20,y x x y =⎧⎨+-=⎩解得1,1.x y =⎧⎨=⎩即圆心坐标为(1,1)，半径r =. ∴所求圆的方程为(x-1)2＋(y-1)2=4.10.解：以截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系如图，则半圆的方程为x 2+y 2=16(y ≥0)，将x=2.7代入，得y =，即在离隧道中心线2.7m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道.。

人教版高一数学必修二第四章 圆与方程 教材配套检测题一、选择题1. 设圆心为1C 的圆方程为()()22539x y -+-=，圆心为2C 的圆的方程为224290x y x y +-+-=，则这两个圆的圆心距为.5A .25B .10C .D 2. 空间直角坐标系中，点()3,4,0A -与点()2,1,6B -间的距离为.A .1B .9C D 3. 若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点(),P a b 与圆的位置关系为.A 在圆上 .B 在圆外 .C 在圆内 .D 以上皆有可能4. 在圆224x y +=上，与直线:43120l x y +-=的距离最小的点的坐标为.A 86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 86.,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 86.,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 86.,55D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5. 方程()222200x y ax ay a ++-=≠表示的圆.A 关于x 轴对称 .B 关于y 轴对称 .C 关于直线0x y -=对称 .D 关于直线0x y +=对称6. 若方程()222220a x a y ax a ++++=表示圆，则a 的值为.A 1a =或2a =- .B 2a =或1a =- .C 1a =- .D 2a =二、填空题7. 直线1:2340l x y -+=，2:3210l x y -+=的交点P 与圆()()22245x y -+-=的关系是 . 8. 经过原点O 作圆()2264x y -+=的切线，切线长是 .9. 经过点()2,3P -作圆2220x y +=的弦AB ，且使得点P 平分AB ，则弦AB 所在直线的方程是 .10. 点P 在圆221:84110C x y x y +--+=上，点Q 在圆222:4210C x y x y ++++=上，则PQ 的最小值是 . 三、解答题11. 已知三条直线1:20l x y -=，2:10l y +=，3:210l x y +-=两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.12. 在ABC ∆中，已知2BC =，且ABm AC=，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.13. 由一点()3,3A -发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆22:4C x y x +-470y -+=相切，求光线l 所在直线方程.14. 求过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的交点，并且有最小面积的圆'C 的方程.参考答案一、选择题 15ADCAD - 6.C 二、填空7. 解析：解方程组{23403210x y x y -+=-+=，得{12x y ==.把()1,2代入圆C 方程左边，得 ()()2212245-+-=，所以两直线交点在圆C 上. 8.=9. 解析：把点P 坐标代入圆2220x y +=的左边， 得()22231320+-=<，所以点P 在圆O 内. 经过点P 被点P 平分的圆的弦与OP 垂直. ∵ 32OP k =-， ∴ 弦AB 所在直线的斜率是23, 弦AB 所在的直线方程是 ()2323y x +=-，即23130x y --=. 10. 解析：把圆1C 、圆2C 的方程都化为标准方程形式，得()()22429x y -+-=，()()22214x y +++=圆1C 的圆心坐标为()4,2，半径长为3； 圆2C 的圆心坐标为()2,1--，半径长为2.=所以，PQ 的最小值是5. 三、解答题11. 解析：2l 平行于x 轴，1l 与3l 互相垂直. 三交点A 、B 、C 构成直角三角形， 经过A 、B 、C 三点的圆就是以AB 为直径的圆. 解方程组{2010x y y -=+= 得{21x y =-=-∴ 点A 的坐标为()2,1--，解方程组{21010x y y +-=+= 得 {11x y ==-∴ 点B 的坐标为()1,1-.线段AB 的中点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又3AB =.∴ 所求圆的标准方程为()2219124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭. 12. 如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系.则有()1,0B -，()1,0C ，设点A 的坐标为(),x y ， 由ABm AC=整理得 ()()()()222222112110m x m y m x m -+--++-=. ① 当21m =时，1m =，方程是0x =，轨迹是y 轴.当21m ≠时，对①式配方得 ()22222221411m m x y m m ⎛⎫+-+= ⎪-⎝⎭-. 此时点A 的轨迹是以221,01m m ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，221m m -为半径的圆（除去圆与BC 的交点）.13. 解法一：因为点()3,3A -关于x 轴的对称点为()'3,3A --，设直线l 的斜率为k ，则过点'A 的直线l 的方程为()33y k x +=-+，将()33y k x =-+-代入圆方程，整理得()()()22221235293080k xk k x k k +++-+++=若直线l 与圆相切，则0∆=，即 21225120k k ++=，解之得 34k =-或43k =-. 所以，所求直线l 的方程为()3334y x -=-+或()4333y x -=-+即 3430x y +-=或4330x y ++=.解法二：配方得圆的标准方程为()()22221x y -+-=. 设光线l 所在直线方程为()33y k x -=+， ∵ 0k ≠，令0y =得 ()31k x k -+=，∴ 反射点为()31,0k k ⎛-+⎫ ⎪⎝⎭. 由于光线的入射角等于反射角，∴ 反射光线'l 所在直线方程为()31k y k x k ⎡+⎤=-+⎢⎥⎣⎦即 ()310kx y k +++=. 又∵ 直线l 与圆相切， ∴1=，整理得 21225120k k ++=.解之得 34k =- 或 43k =-.所以，所求直线l 的方程为()3334y x -=-+或()4333y x -=-+即 3430x y +-=或4330x y++=.14. 解析：方法一经配方，圆C 的方程可化为()()22124x y ++-=， 设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，D 为线段AB 的中点， 则直线CD 的方程为250x y -+=. 解方程组 {250240x y x y -+=++= 得135x =-，65y =， ∴ 点D 坐标为136,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴ CD =AD ==∴ 以D 为圆心、AB 为直径的圆是面积最小的圆，其方程为221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法二：设所求圆的方程为()()22241240x y x y x y λ++-++++=，配方得 ()222451616124x y λλλλ--+⎛⎫⎡++⎤++= ⎪⎣⎦⎝⎭. 半径长为r ，则222516165844455r λλλ-+⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭.当85λ=时，2r 有最小值45，圆面积有最小值245R ππ=. 此时圆'C 的方程为 222612370555x y x y ++-+=. 说明：数形结合，经过两圆的交点且面积最小的圆就是以公共弦为直径的圆. 直线l 就是圆C 与圆'C 的公共弦所在的直线.。

2017-2018学年高中数学必修2 2.2.2 圆的一般方程同步练习+课后练习同步练习一、选择题:1.方程x 2＋y 2＋4kx －2y ＋5k=0表示圆的条件是( )A.0.25<k<1B.k<0.25或k>1C.k<0.25D.k>12.已知圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2=0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( )A.(1,1)B.(0,1)C.(－1,0)D.(0，－1)3.如果过A(2,1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y=0平分，则l 的方程为( )A.x ＋y －3=0B.x ＋2y －4=0C.x －y －1=0D.x －2y=04.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4=0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A.5 B.3＋5 C.14－65 D.14＋655.已知点(0,0)在圆：x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋2a 2＋a －1=0外，则a 的取值范围是( )A.a>0.5或a<－1B.371--<a<371+- C.371--<a<－1或12<a<371+- D.a<371--或a>371+- 二、填空题：6.已知点P(2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b=0上，点P 关于直线x ＋y －1=0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为________，半径为________.7.若直线3x －4y ＋12=0与两坐标轴交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方 程为 .8.当动点P 在圆x 2＋y 2=2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________.三、解答题：9.已知方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋n=0，若n ∈R ，试确定方程所表示的曲线.10.已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程.11.圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的一般方程.课后练习一、选择题：1.圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)=0，则圆心坐标为( ).A.(1，－1)B.(0.5,-1)C.(－1,2)D.(-0.5,-1)2.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m=0表示圆，则m的取值范围是( ).A.0＜m＜1B.m＞1C.m＜0D.m＜13.若直线3x＋y＋a=0过圆x2＋y2＋2x－4y=0的圆心，则a的值为( ).A.－1B.1C.3D.－34.已知圆C：x2＋y2＋mx－4=0上存在两点关于直线x－y＋3=0对称，则实数m等于( ).A.8B.－4C. 6D.无法确定5.经过圆x2＋2x＋y2=0的圆心C，且与直线x＋y=0垂直的直线方程是( ).A.x＋y＋1=0B.x＋y－1=0C.x－y＋1=0D.x－y－1=06.点P(4，－2)与圆x2＋y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A.(x－2)2＋(y＋1)2=1B.(x－2)2＋(y＋1)2=4C.(x＋4)2＋(y－2)2=1D.(x＋2)2＋(y－1)2=1二、填空题：7.若直线3x－4y＋12=0与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为________________.8.若使圆x2＋y2＋2x＋ay－a－12=0(a为实数)的面积最小，则a=________.三、解答题：9.若直线l：ax＋by＋1=0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1=0的周长，求(a－2)2＋(b－2)2的最小值.10.求经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程.同步练习参考答案1.答案为：B ；解析：由D 2＋E 2－4F=16k 2＋4－20k>0，解得k>1或k<0.25.2.答案为：D ；3.答案为：A ；4.答案为：D ；解析：由题知点(x ，y)在圆x 2＋y 2＋4x －2y －4=0，即(x ＋2)2＋(y －1)2=9上. 又圆心(－2,1)到原点的距离为5，故x 2＋y 2的最大值为(5＋3)2=14＋65.5.答案为：C ；6.答案为：(0,1)，2；7.答案为：x 2＋y 2＋4x －3y=0；8.答案为：(x －1.5)2＋(y －0.5)2=0.5；9.解：原方程可变形为(x ＋1)2＋(y －3)2=10－n ， 当n<10时，方程表示的图形是以(－1,3)为圆心，n -10为半径的圆；当n=10时，方程表示的是点(－1,3)；当n>10时，方程不表示任何曲线.10.解：法一：设圆心C 的坐标为(0，b)，由|CA|=|CB|得b=2.∴C 点坐标为(0,2). ∴圆C 的半径r=|CA|=5.∴圆C 的方程为x 2＋(y －2)2=5，即x 2＋y 2－4x －1=0. 法二 AB 的中点为(1.5，0.5).中垂线的斜率k=－1∴AB 的中垂线的方程为y －0.5=－(x －1.5)，令x=0，得y=2，即圆心为(0,2). ∴圆C 的半径r=|CA|=5，∴圆的方程：x 2＋(y －2)2=5，即x 2＋y 2－4x －1=0.11.解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0，(D 2＋E 2－4F ＞0)，则圆心C(－0.5D ，－0.5E)在直线2x －y －7=0上，∴2×(－0.5D)－(－0.5E)－7=0，即D －0.5E ＋7=0，①又∵A(0，－4)，B(0，－2)在圆上，由①、②、③解得D=－4，E=6，F=8，∴圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8=0.课后练习参考答案1.答案为：D;2.答案为：D;解析：由D 2＋E 2－4F=42＋(－2)2－4×5m=20－20m ＞0，得m ＜1.3.答案为：B;解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y=0化为标准方程：(x ＋1)2＋(y －2)2=5，可得圆心(－1,2).∵直线过圆心，∴将(－1,2)代入直线3x ＋y ＋a=0，可得a=1.4.答案为：C;5.答案为：C;解析： ∵x 2＋2x ＋y 2=0可化为(x ＋1)2＋y 2=1，∴圆心C(－1,0).又过点C 的直线与x ＋y=0垂直，∴其斜率为1.∴所求直线方程为y=x ＋1，即x －y ＋1=0.6.答案为：A;解析：设圆上任意一点的坐标为(x 1，y 1)，其与点P 连线的中点为(x ，y)， 则114,22,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩即1124,22,x x y y =-⎧⎨=+⎩代入x 2＋y 2=4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2=4. 化简得(x －2)2＋(y ＋1)2=1.7.答案为：x 2＋y 2＋4x －3y=0;解析：依题意A(－4,0)，B(0,3)，∴AB 中点C 的坐标为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 半径52，∴圆的方程为(x ＋2)2＋223522y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即x 2＋y 2＋4x －3y=0.8.答案为：－2;解析：圆的半径=， ∴当a=－2时，r 最小，从而圆面积最小.9.解：由题意知，圆心坐标为(－2，－1)，∴－2a －b ＋1=0.(a ，b)与点(2,2)的距离，=，∴(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.10. 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0.①∵圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，则有164420,1930,D E F D E F ++++=⎧⎨+-++=⎩即42200, 3100. D E F D E F +++=⎧⎨---=⎩②③令①中的x=0，得y 2＋Ey ＋F=0， 由韦达定理得y 1＋y 2=－E.令①中的y=0，得x 2＋Dx ＋F=0，由韦达定理得x 1＋x 2=－D. 由于所求圆在两坐标轴上的四个截距之和为2，从而有x 1＋x 2＋y 1＋y 2=2， 即－E －D=2，也就是D ＋E ＋2=0.④ 由②③④可得2,0,12.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12=0.。

高中数学必修二《圆与方程》基础练习题（含答案解析）1. 已知圆：，为坐标原点，则以为直径的圆的方程A.B.C.D.2. 直线被圆截得的弦长为（）A. B. C. D.3. 已知点，则点关于原点对称的点的坐标为（）A. B.C. D.4. 过点以及圆与圆交点的圆的方程是（）A.B.C.D.5. 圆：，则A.是圆心B.在圆外C.在圆内D.在圆上6. 两个圆与的位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.外离7. 在空间直角坐标系中点到坐标原点的距离为（）A. B. C. D.8. 圆的半径等于（）A. B. C. D.9. 已知，，作直线，使得点，到直线的距离均为，且这样的直线恰有条，则的取值范围是A. B. C. D.10. 圆心坐标为，半径等于的圆的方程是（）A.B.C.D.11. 由动点分别引圆：和圆：的切线和（、为切点），满足，则动点的轨迹方程是________．12. 求过两圆与的交点和点的圆的方程________．13. 到两定点，的距离的比为的点的轨迹方程为________．14. 已知两圆，相交于，两点，则直线的方程为________．15. 若方程为圆，则应满足的条件是________．16. 已知圆与圆：交于，两点，则直线的方程为________．17. 若方程表示圆，则实数的取值范围为________．18. 关于直线对称的圆的方程是________．19. 圆心在轴正半轴上，半径为，且与直线相切的圆的方程为________．20. 圆的半径等于________．21. 将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心和半径．（1）（2）．22. 如图，已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有．求点的轨迹方程；求的最小值；以为圆心作圆，使它与圆有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．23. 求直线被圆所截得的弦长．24. 设点与，求以为直径的圆的标准方程．25. （1）求过点且与圆同心的圆的方程， 25.（2）求圆过点的切线方程．26. 已知圆的半径为，点为该圆上的三点，且，则的取值范围是________.27. 已知两圆与．（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公切线．28. 求直线被圆所截得的弦的长．29. 如图点，在四面体中，平面，，，，，分别是，的中点，求，，，这四点的坐标．30. 已知两圆．．（1）取何值时两圆外切？（2）取何值时两圆内切？（3）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．参考答案一、选择题1.C2.C3.D4.A5.C6.C7.D8.B9.B 10.C二、填空题11.12.13.14.15.，且16.17.18.19.20.三、解答题21.解：（1）化为：，圆的圆心，半径为：；（2）．化为：，圆的圆心，半径为：；22.解：连接，，则为直角三角形，又，所以，所以，故．由，得．以为圆心的圆与圆有公共点，半径最小时为与圆相切的情形，而这些半径的最小值为圆到直线的距离减去圆的半径，圆心为过原点且与垂直的直线与的交点，所以，又，联立得．所以所求圆的方程为．23.解：化为标准方程为：，则圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离所以，则所以所求弦长为．24.解：由题意可得圆心为的中点，半径为，故要求的圆的方程为．25.解：（1）圆可化为：，∴圆心为，即圆的圆心为；…又∵圆过点，∴圆的半径；…∴所求圆的方程为；…（2）∵在圆上，∴过点的切线有一条；又∵直线的斜率是，∴过点的切线的斜率为，…∴所求的切线方程为，即．…26.解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，又，所以，即所以又，所以，又则，所以故答案为：.27.解：（1）两圆与的圆心坐标分别为，，半径分别为，，∵，满足，∴两圆相交；（2）设两圆的公切线方程为，则，解得：或．∴两圆的公切线方程为或．28.解：圆即圆，表示以为圆心、半径等于的圆．圆心到直线的距离，故弦长为．29.解：∵点，∴，又∵平面，，∴，又∵，，∴，∴到轴，轴距离均为：，又由，分别是，的中点，∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为．30.解：（1）由已知可得两个圆的方程分别为、，两圆的圆心距，两圆的半径之和为，由两圆的半径之和为，可得．（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，即，可得（舍去），或，解得．（3）当时，两圆的方程分别为、，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为．第一个圆的圆心到公共弦所在的直线的距离为，可得弦长为．。

人教A版高中数学必修二4.1.2 圆的一般方程【同步训练1】一、单选题1. 圆x2+y2−4x+6y＝0的圆心坐标是()A.(2, 3)B.(−2, 3)C.(−2, −3)D.(2, −3)2. 方程x2+y2+2ax−by+c＝0表示圆心为C(2, 2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为()A.−2, 4, 4B.−2，−4, 4C.2，−4, 4D.2，−4，−43. 已知圆C过点M(1, 1)，N(5, 1)，且圆心在直线y＝x−2上，则圆C的方程为()A.x2+y2−6x−2y+6＝0B.x2+y2+6x−2y+6＝0C.x2+y2+6x+2y+6＝0D.x2+y2−2x−6y+6＝04. 设圆的方程是，若，则原点与圆的位置关系是（）A.原点在圆上B.原点在圆外C.原点在圆内D.不确定5. 若圆的圆心到直线的距离为，则的值为()A.−2或2B.或C.2或0D.−2或06. 圆x2+y2−2y−1＝0关于直线y＝x对称的圆的方程是()A.(x−1)2+y2＝2B.(x+1)2+y2＝2C.(x−1)2+y2＝4D.(x+1)2+y2＝4二、填空题圆心是(−3, 4)，经过点M(5, 1)的圆的一般方程为________.设圆的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是________.三、解答题判断方程x2+y2−4mx+2my+20m−20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.参考答案与试题解析人教A版高中数学必修二4.1.2 圆的一般方程【同步训练1】一、单选题1.【答案】D【考点】圆的一般方程圆的标准方程圆与圆的位置关系及其判定【解析】试题分析：由圆x2+y2−4x+6y=0的方程；代入圆心坐标公式(−D2,−E2)，可得；(2,−3)【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系圆的一般方程圆与圆的位置关系及其判定【解析】−a=2方程x2+y2+2ax−by+c=0可化为(x+a)2+(y−b2)2=a2+b24−c，所以b2=2，解得a=−2,b=4,c=4，选A．|a2+b24−c=4【解答】此题暂无解答3.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系圆的一般方程圆的切线方程【解析】3设圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，由已知有{(1−a)2+(1−b)2=r2(5−a)2+(1−b)2=y2b=a−2，解得{a=b=1，所以圆的标准方程为2(x−3)2+(y−1)2=4，即x2+y2−6x−2y+6=0，选A．【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】试题分析：将原点坐标(0,0)代入圆的方程得：(a−1)2>0________，（因为0<a<1，所以原点在圆外，故选B．【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】平行向量的性质指数式、对数式的综合比较三角函数的最值【解析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，根据点到直线的距离公式列出关于α的方程．求出方程的解得到α的值即可．【解答】把圆的方程化为标准式为：(x−1)2+(y−2)2=5，所以圆心坐标为(1,2)则圆心到直线x−y+a=0的距离d=2()2=√22即|a−1|=1，化简得a−1=1或a−1=−1．解得：a=2或a=0所以α的值为0或2.故选C．6.【答案】A【考点】关于点、直线对称的圆的方程直线与圆的位置关系圆的一般方程【解析】圆x 2+y 2−2y −1=0的标准方程为x 2+(y −1)2=2，所以圆心为(0,1)，半径为√2，圆心关于直线y =3的对称点是(1,0)，所以圆x 2+y 2−2y −1=0关于直线:y =对称的圆的方程是(x −1)2+y 2=2，选A ．【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】加加加2+y 2+6x −8y −48=0【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】圆的半径y =√(−3−5)2+(4−1)2=√73…圆的标准方程为(x +3)2+(y −4)2=73整理得x 2+y 2+6x −8y −48=0【解答】此题暂无解答【答案】x 2+y 2−4x +2y +1=0【考点】轨迹方程圆的一般方程椭圆的定义【解析】I 2f 】设PA 的中点M 的坐标为(x,y )P (x 1y 1)，圆x 2+y 2−4x +2y −11=0的圆心为A 坐标为(2,−1)，由已知有{x 1+22=x y 1−22=y ，则{x 1=2x −2y 1=2y +2，又P 点在圆上，所以x 12+y 12−4x 1+2y 1−11=0，所以(2x −2)2+(2y +2)2−4(2x −2)+2(2y +2)−11=0，即x 2+y 2−4x +2y +1=0【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】见解析【考点】圆的标准方程圆与圆的位置关系及其判定直线与圆的位置关系【解析】试题分析：将原方程化为(x −2m )2+(y +m )2=5(m −2)2，讨论5(m −2)2，再求出圆心坐标和半径．试题解析：原方程可化为(x −2m )2+(y +m )2=5(m −2)2，因此，当m=2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m,−m)，半径为I=√5|m−2|【解答】此题暂无解答。

4.1.2 圆的一般方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.圆(x+1)2+(y-3)2=2化为一般方程是()A.x2+y2=6B.x2+y2+8=0C.x2+y2-2x+8y+6=0D.x2+y2+2x-6y+8=02.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是()A.RB.(-∞,1)C.(-∞,1]D.[1,+∞)+4-4×5k>0,解得k<1.3.过A(0,0),B(1,1),C(4,2)三点的圆的一般方程是()A.x2+y2+8x+6y=0B.x2+y2-8x-6y=0C.x2+y2+8x-6y=0D.x2+y2-8x+6y=0x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为A(0,0),B(1,1),C(4,2)三点在圆上,则{,D+E+F+2=0,4D+2E+F+20=0,解得{D=-8,E=6,F=0,故所求圆的一般方程是x2+y2-8x+6y=04.若点P(1,1)在圆x2+y2+2x+4y+a=0外,则a的取值范围是()A.a<-8B.a>-8C.-8<a<5D.a<-8或a>5{20-4a >0,8+a >0,解得-8<a<5.5.在△ABC 中,若顶点B ,C 的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线AD 的长度是3,则点A 的轨迹方程是( )A .x 2+y 2=3B .x 2+y 2=4C .x 2+y 2=9(y ≠0)D .x 2+y 2=9(x ≠0)BC 的中点为D (0,0),由于|AD|为定长3,所以点A 在以D 为圆心,3为半径的圆上.由于点A 为△ABC 的一个顶点,所以点A 与点B ,C 不共线.故选C .6.若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F= .{-D2=2,-E 2=-4, ∴D=-4,E=8.∵r 2=D 2+E 2-4F4=(-4)2+82-4F4=16,∴F=4.7.圆x 2+4x+y 2=0关于y 轴对称的圆的一般方程是 .C (-2,0),半径r=2,点C 关于y 轴的对称点为C'(2,0),则已知圆关于y 轴对称的圆的方程为(x-2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x=0.2+y 2-4x=08.已知动点M 到点A (-4,0)的距离是它到点B (2,0)的距离的2倍,则动点M 的轨迹方程是 .M 的坐标为(x ,y ),则|MA|=2|MB|,即√(x +4)2+y 2=2√(x -2)2+y 2,整理得x 2+y 2-8x=0.故所求动点M 的轨迹方程为x 2+y 2-8x=0.2+y 2-8x=09.判断下列方程是否表示圆,若是,将其化成标准方程:(1)x 2+y 2+2x+1=0;(2)x 2+y 2+2ay-1=0;(3)x 2+y 2+20x+121=0;(4)x 2+y 2+2ax=0.原方程可化为(x+1)2+y 2=0,它表示点(-1,0),不表示圆.(2)原方程可化为x 2+(y+a )2=a 2+1,它表示圆心为(0,-a ),半径为√a 2+1的圆,标准方程为x 2+(y+a )2=a 2+1.(3)原方程可化为(x+10)2+y 2=-21<0,即方程不表示任何曲线,故不能表示圆.(4)原方程可化为(x+a )2+y 2=a 2.①当a=0时,方程表示点(-a ,0),不表示圆;②当a ≠0时,方程表示以(-a ,0)为圆心,半径为|a|的圆,标准方程为(x+a )2+y 2=a 2.10.求过三点A (0,5),B (1,-2),C (-3,-4)的圆的方程.x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为点A ,B ,C 在圆上,把它们的坐标依次代入上面的方程,整理得到关于D ,E ,F 的三元一次方程组{5E +F +25=0,D -2E +F +5=0,3D +4E -F -25=0,解这个方程组,得{D =6,E =-2,F =-15.于是得到所求圆的方程为x 2+y 2+6x-2y-15=0二、能力提升1.已知直线3x+4y-24=0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上,则该圆的半径为( )A.3B.4C.5D.62.当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C ,则以C 为圆心,半径为√5的圆的方程为( )A.x 2+y 2-2x+4y=0B.x 2+y 2+2x+4y=0C.x 2+y 2+2x-4y=0D.x 2+y 2-2x-4y=0a=0,a=1,得方程组{-x -y +1=0,-y +2=0,解得{x =-1,y =2,所以定点C 的坐标为(-1,2).则圆C 的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x 2+y 2+2x-4y=0.★3.若直线l :ax+by+1=0始终平分圆M :x 2+y 2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为 ( )A .√5B.5C.2√5D.10l 过圆心M (-2,-1),则-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a 2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.4.已知点A (1,2)在圆x 2+y 2+2x+3y+m=0内,则m 的取值范围是 .{12+22+2×1+3×2+m <0,22+32-4m >0,解得m<-13.-∞,-13)5.若使圆x 2+y 2+2x+ay-a-12=0(a 为实数)的面积最小,则a= .:r =12√22+a 2-4(-a -12)=12√4+a 2+4a +48=12√(a +2)2+48,所以当a=-2时,r min =12√48=2√3,即此时圆的面积最小.26.点P 是圆C :x 2+y 2-4x+2y-11=0上的任一点,PC 的中点是M ,试求动点M 的轨迹方程.M (x ,y ),由已知得圆心C (2,-1),则P (2x-2,2y+1).又点P 在圆C :x 2+y 2-4x+2y-11=0上,所以动点M 的轨迹方程为(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0,即x 2+y 2-4x+2y+1=0. ★7.一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),求它的外接圆的方程.(0,±5).当顶点坐标为(0,5)时,设三角形外接圆的方程是x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,则{25+5E +F =0,16-4D +F =0,16+4D +F =0,解之,得{D =0,E =-95,F =-16.所以外接圆的方程是x 2+y 2−95y −16=0.当顶点坐标为(0,-5)时,同理可得外接圆的方程x 2+y 2+95y −16=0.故所求外接圆的方程为x 2+y 2−95y −16=0或x 2+y 2+95y −16=0.。