2020年自考《初等数论》专业考试题库及答案

1浙江省2018年4月高等教育自学考试初等数论试题课程代码：10021一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。

每小题3分，共15分)1.设n 是正整数，以下各组a ，b 使ab 为既约分数的一组数是（ ）。

A.a=n+1,b=2n-1 B.a=2n-1,b=5n+2C.a=n+1,b=3n+1D.a=3n+1,b=5n+22.以下同余方程或同余方程组中，无解的是（ ）。

A.⎩⎨⎧≡≡)21(mod 5x )14(mod 3x B.⎩⎨⎧≡≡)16(mod 5x )14(mod 3x C.3x ≡9(mod15) D.12x ≡8(mod28)3.使方程6x+5y=c 无非负整数解的最大整数c 是（ ）。

A.19B.24C.25D.304.设a 是整数，(1)a ≡0(mod9)(2)a ≡2004(mod9)(3)a 的十进位表示的各位数码字之和可被9整除(4)划去a 的十进位表示中所有的数码字9，所得的新数被9整除以上各条件中，成为9|a 的充要条件的共有（ ）。

A.1个B.2个C.3个D.4个5.以下各数中，可表为两整数平方和的数是（ ）。

A.999B.1000C.1001D.1002二、填空题(每小题4分，共32分)1.σ(2004)=__________；ϕ(2004)=__________.2.数20100C 的标准分解式中，素因数7的指数是__________.3.每一个数都有一个最小的素因数.所有不大于10000的合数的最小素因数中，最大者是 _________.4.同余方程24x ≡6(mod34)的解是__________.5.不定方程19x-8y=5的通解是__________.6.3103被11除所得余数是__________.2 7.契比雪夫（Чебышев）不等式是指__________ . 8.⎪⎭⎫ ⎝⎛9760=__________. 三、计算题(每小题8分，共24分)1.解同余方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡+2(mod13) x 13(mod14) 5x (mod10) 3x2.若自然数n 使7|（4n +5n -2），试求当1≤n ≤100时所有这种n 的和.3.用高斯（Gauss ）逐步淘汰法求同余方程x 2≡47(mod101)的解.四、证明题(第1、2小题各9分，第3小题11分，共29分)1.若a n -1是素数，试证必有a=2，且n 是素数.2.试证任何相继的5个自然数的平方和不是完全平方数.3.试证不定方程x 4+y 4=z 2无正整数解.。

初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12; 0(2420)=_880_2、设比n是大于1的整数，若是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_卜4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12=0(mod 37)的解是x三11 (mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100 的通解是x=900+23t, y=700+18t t Z。

.6、分母是正整数m的既约真分数的个数为—(山)_。

7、18100被172除的余数是_殛。

9、若p是素数，则同余方程L 1 l(modp)的解数为p-1 。

二、计算题疋11X 20 0 (mod lO5)o1、解同余方程：3解：因105 = 3 5 7,同余方程3x211X 20 0 (mod 3)的解为x 1 (mod 3),同余方程3x211X 38 0 (mod 5)的解为x0, 3 (mod 5),同余方程3x211X 20 0 (mod 7啲解为x2, 6 (mod 7), 故原同余方程有4解。

作同余方程组：x (mod 3), x b2 (mod 5), x b3 (mod 7),其中®=1, b2 = 0, 3, b3 = 2, 6,由子定理得原同余方程的解为x 13, 55, 58, 100 (mod 105)o2. 判断同余方程/三42(mod 107)是否有解?*3x7 2 3 7)=(二)(一)(―-)107 107 107 1072 3 I 。

， 2 v( —) = -1, ( — ) = (-1) 2 2(ArL) = -<±) = L 107 107 3 3.-.(—) = 1 107故同余方程x 2三42(mod 107)有解。

3、求(12715C +34) 23除以ill 的最小非负余数。

解：易知 1271 = 50 (mod 111)0由 502 =58 (mod 111) , 503 三58X50三 14 (mod 111), 509=143=80 (mod111)知 502G = (509)彳x50三803X50三803x50三68x50三70 (mod 111) 从而505C=16 (mod 11 l)o故(12715C +34) 2c = (16+34) 20 =502G =70 (mod 111)三、证明题1、 已知p 是质数，(a,p) =1,证明：(1) 当 Q 为奇数时,a p l +(p-l)A =O (mod p);(2) 当a 为偶数时,衣三°(mod p)。

初等数论练习题⼀（含答案）《初等数论》期末练习⼆⼀、单项选择题1、=),0(b （）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）.A aB bC 1D b a +3、⼩于30的素数的个数（）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定⽅程210231525=+y x （）.A 有解B ⽆解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最⼤公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、⼤于20且⼩于40的素数有（）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最⼩⾮负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定⽅程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （）.A 有解B ⽆解C ⽆法确定D 有⽆限个解⼆、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环⼩数的条件是（）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( )n ，⽽且与n （）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、+=][x x （）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?2、求解不定⽅程2537107=+y x .（8分）3、求??563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?6、求解不定⽅程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？8、求11的平⽅剩余与平⽅⾮剩余.四、证明题1、任意⼀个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、⼀个能表成两个平⽅数和的数与⼀个平⽅数的乘积,仍然是两个平⽅数的和;两个能表成两个平⽅数和的数的乘积,也是⼀个两个平⽅数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯⼀的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习⼆答案⼀、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B⼆、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环⼩数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，⽽且解的个数为( 3 ). 3、不⼤于545⽽为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是⼀正整数，Euler 函数)(n ?表⽰所有( 不⼤于 )n ，⽽且与n （互素）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、⼀个整数能被3整除的充分必要条件是它的（⼗进位）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,⽽且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最⼩公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最⼩公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871?=5073684 所以24871与3468的最⼩公倍数是5073684。

习题参考答案第一章习题一1. (ⅰ) 由a∣b知b = aq，于是b = (-a)(-q)，-b = a(-q)及-b = (-a)q，即-a∣b，a∣-b及-a∣-b。

反之，由-a∣b，a∣-b及-a∣-b也可得a∣b；(ⅱ) 由a∣b，b∣c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a∣c；(ⅲ) 由b∣a i知a i= bq i，于是a1x1+a2x2+ +a k x k = b(q1x1+q2x2+ +q k x k)，即b∣a1x1+a2x2+ +a k x k；(ⅳ) 由b∣a知a = bq，于是ac = bcq，即bc∣ac；(ⅴ) 由b∣a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a ≠ 0得|q| ≥ 1，从而|a| ≥ |b|，后半结论由前半结论可得。

2. 由恒等式mq+np = (mn+pq) - (m-p)(n-q)及条件m-p∣mn+pq可知m-p∣mq+np。

3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a+ 1, , a+ 9, a+ 19的数字和为s, s+ 1, , s+ 9, s+ 10，其中必有一个能被11整除。

4. 设不然，n1 = n2n3，n2≥p，n3≥p，于是n = pn2n3≥p3，即p≤3n，矛盾。

5. 存在无穷多个正整数k，使得2k+ 1是合数，对于这样的k，(k+ 1)2不能表示为a2+p的形式，事实上，若(k+ 1)2 = a2+p，则(k+ 1 -a)( k+ 1 +a) = p，得k+ 1 -a = 1，k+ 1 +a = p，即p = 2k+ 1，此与p 为素数矛盾。

第一章习题二1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。

2.写a = 3q1+r1，b = 3q2+r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3∣a2+b2 = 3Q+r12+r22知r1 = r2 = 0，即3∣a且3∣b。

初等数论模拟试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个数是素数？A. 4B. 9C. 13D. 162. 一个数的最小素因子是它本身，这个数是什么？A. 0B. 1C. 质数D. 合数3. 欧拉函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。

若n=12，φ(12)的值是多少？A. 4B. 6C. 8D. 124. 一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数是什么？A. 0B. 1C. 质数D. 合数5. 以下哪个数是完全数？A. 6B. 12C. 28D. 4966. 一个数的约数个数是奇数，这个数是什么？A. 质数B. 合数C. 完全数D. 素数7. 模n的逆元是指一个整数a，使得a×x ≡ 1 (mod n)，以下哪个数在模5下没有逆元？A. 1B. 2C. 3D. 48. 费马小定理指出，如果p是一个质数，那么对于任意整数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

以下哪个选项是错误的？A. a^4 ≡ 1 (mod 5)B. a^3 ≡ 1 (mod 7)C. a^2 ≡ 1 (mod 4)D. a^2 ≡ 1 (mod 3)9. 哥德巴赫猜想是指每一个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。

以下哪个数不能被表示为两个质数之和？A. 4B. 6C. 8D. 1010. 以下哪个数是梅森素数？A. 3B. 7C. 2^7 - 1D. 2^3 - 1二、填空题（每题2分，共20分）11. 素数是指只有________和它本身两个因数的自然数。

12. 如果a和b互质，那么它们的最大公约数是________。

13. 一个数的约数个数是偶数，这个数至少有________个约数。

14. 欧拉函数φ(1)的值是________。

15. 模n的剩余类集合记为Z/nZ，它包含________个元素。

16. 费马小定理中，如果a和p互质，那么a^(p-1) ≡ ________ (mod p)。

初等数论 试卷A 答案一、单项选择题(本题共5小题，满分20分)1.D ；2.B ；3.D ；4.C ；5.D二、填空题(本题共5小题,满分20分)6.1000；7.2)!1(++n ；8.17；9.5，25，35，55 10.)74(mod 61,24≡x ；11.4,109,1====y x y x 或； 12、X n +Y n =Z n当ｎ>2时没有正整数解 三、计算题(本题共5小题，满分40分)13解：因为7、8、9两两互质，所以同余组有解7⨯8⨯9=7⨯72=8⨯63=9⨯56=504……………………………………………………1 设)mod7(1721≡'M ………………………………………………………………2 )mod8(1632≡'M ………………………………………………………………3 )mod9(1563≡'M ………………………………………………………………4 则)mod7(41≡'M …………………………………………………………………5 )mod8(72≡'M …………………………………………………………………6 )mod9(53≡'M …………………………………………………………………7 故2290455627631472=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≡x)504(mod 274≡ (8)14、解： (3) (6)所以构成模的完全剩余系。

(8)15解：因)10(m od 134≡………………………………………………………………………3 所以)10(m od 1)3(360021200≡=………………………………………………………5 )10(mod 93321202≡≡.....................................................................7 即12023的个位数字是9 (8)四、证明题(本题共3小题，满分28分)16、证明：是合数…………………………………………………………………5 且为合数． (9)17证明：如果素数的个数是有限的，设是全体素数． (3)令则至少有一个素因数 显然否则必存在 使得 这与是素数矛盾………………………………………6 这与 是全体素数矛盾．故素数的个数是无穷的． (9)18、证明：)(mod N b a e ≡ )(mod )(N b a dd e ≡∴))((mod 1N ed ϕ≡ )(m od )(1N a a b N k ed d ϕ+≡≡∴所以问题即为证)(mod )(1N a a N k ≡+ϕ (3)若（a,N ）=1,则由欧拉定理)(m od 1)(N a N ≡ϕ⇒)(mod )(1N a a N k ≡+ϕ若1),(≠N a ，)1)(1()()()()(--===q p q p pq N ϕϕϕϕ要证)(mod )(1N a a N k ≡+ϕ⇔)(m od )(1p a a N k ≡+ϕ且)(m od )(1q a a N k ≡+ϕ……………………………………………………………………………………………6 下证)(m od )(1p a a N k ≡+ϕ若（a,p ）=1,则)(mod 1)(p a p ≡ϕ即)(m od 11p a p ≡-)(m od 1)1)(1(p a q p k ≡∴--)(m od 1)1)(1(p a a q p k ≡∴+--即)(m od )(1p a a N k ≡+ϕ若1),(≠p a ，是素数p a p ∴)(m od 0)(1p a a N k ≡≡∴+ϕ…………………………………………………………………9 同理可证)(m od )(1q a a N k ≡+ϕ问题得证。

初等数论一、填空1、d （1000）= 。

φ（1000）= 。

(10174)=______ 。

2、ax+bY=c 有解的充要条件是 。

3、20022002被3除后余数为 。

4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X —2Y+3Z]可能的值为 。

5、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（nP ）= 。

6、高斯互反律是 。

7、两个素数的和为31，则这两个素数是 。

8、带余除法定理是 。

9、d （37）= 。

σ（37）= 。

10、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（nP ）= 。

11、不能表示成5X+3Y （X 、Y 非负）的最大整数为 。

12、7在2004！中的最高幂指数是 。

13、（1501 ，300）= 。

14、)(mod m b ax ≡有解的充要条件是 。

15、威尔逊定理是 。

16、写出6的一个绝对值最小的简化系 。

17、50506666688888⨯被7除后的余数为 。

18、d （31）= 。

σ（3600）= 。

19、四位数13AA 被9整除，则A= 。

20、17X+2Y=3通解为 。

21、费尔马大定理是 。

22、写出12的一个简化系，要求每项都是5的倍数 。

23、{}4.2-= 。

24、128574.0 化为分数是 。

25、15！的标准分解是 。

26、1000到2003的所有整数中13的倍数有 个。

27、 σ（29）= .28、不能表示成y x 45+（y x ,为非负整数）的最大整数为 .29、7在2008！的标准分解式中的最高幂指数是 . 30、2005和2006的最小公倍数是 . 31、威尔逊定理是 .32、设1>x 为整数且被4、5、7除后的余数都为3，则最小的x 是 . 33、已知（a ，b ）=1，则（5a+3b ，13a+8b ）=__________.34、1，4，9，16,…10000这100个平方数中是3的倍数的平方数有 个. 35、若今天是星期日, 则1010天后的那一天是星期__________.36、20053的末二位数是________. 37、d （1200）= 。

《初等数论》习题集及答案《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。

2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。

3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。

5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。

5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。

6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。

4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。

5. 设a ，b ，c 是正整数，证明：),)(,)(,(),,(],][,][,[],,[22a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。

共 2 道大题，满分 100 分一、单选题（共 25 道小题，共 50 分）1. 如果a≡b(modm),c是任意整数，则（）（2 分）A. ac≡cb(modm)B. a=bC. a=cD. a≡bc(modm)【答案】A【解析】2. 同余方程58x≡87(mod47)的解为（）.（2 分）A. x≡25(mod47)B. x≡29(mod47)C. x≡35(mod47)D. x≡37(mod47)【答案】A【解析】3. 如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）（2 分）A. 奇数B. 偶数C. 奇数或偶数D. 由n的奇偶性而定【答案】B【解析】4. 下列各组数哪一组是模8的完全剩余系（）.（2 分）A. 1,3,5,7,9,11,13,15B. 2,4,6,8,17,21,23C. -7,-12,-17,-22,-27,-32,-37,-42D. –2,–7,11,15,18,21,24,27【答案】C【解析】5. 157！的标准分解式中素数7的指数为（）.（2 分）A. 22B. 23C. 24D. 25【答案】D【解析】6. 同余方程7x≡1(mod31)解为（）.（2 分）A. x≡6(mod31)B. x≡7(mod31)C. x≡8(mod31)D. x≡9(mod31)【答案】D【解析】7. 1001！中末尾0的个数为（）（2 分）A. 200B. 238C. 248D. 249【答案】D【解析】8. 整数6的正约数的个数是（）（2 分）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】9. 20以内的正素数有哪些（）（2 分）A. 1，2，3，5，7，11，13，17，19B. 2，3，5，7，11，13，17，19C. 1，2，4，5，10，20D. 2，3，5，7，12，13，15，17【答案】B【解析】10. 所有不超过156的正整数中，7的倍数有（）个（2 分）A. 20B. 21C. 22D. 23【答案】C【解析】11. 设n，m为整数，如果3|n,3|m，则9（）nm（2 分）A. 整除B. 不整除C. 等于D. 小于【答案】A【解析】12. 47的50次方的个位数为（）.（2 分）A. 1B. 3C. 7D. 9【答案】D【解析】13. (221,391,136)=( ).（2 分）A. 13B. 17C. 19D. 23【答案】B【解析】14. 模4的最小非负完全剩余系是（）（2 分）A. -2,-1,0,1B. -4,-3,-2,-1C. 1,2,3,4D. 0,1,2,3【答案】D【解析】15. 同余方程5x≡10(mod15)解的个数为（）.（2 分）A. 2个解B. 3个解C. 4个解D. 5个解【答案】D【解析】16. 如果3|n，5|n，则15（）n（2 分）A. 整除B. 不整除C. 等于D. 不一定整除【答案】A【解析】17. 设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）（2 分）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】18. 取1元、2元、5元的硬币共10枚，付出18元，有（）种不同的付法（2 分）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】19. 如果a≡b(mod q)，c≡d(mod q)，则有（）（2 分）A. a+c≡bd(mod q)B. ac≡b+d(mod q)C. a+c≡b+d(mod q)D. ab≡cd(mod q)【答案】C【解析】20. （54,198）=（）（2 分）A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】D【解析】21. 下列结论正确的是（）（2 分）A. 若a^2≡b^2(mod m)，则a≡b(mod m)B. 若a^2≡b^2(mod m)，则a≡b(mod m)或a≡-b(mod m)至少有一个成立C. 若a≡b(mod m)，则a^2≡b^2(mod m^2)D. 若a≡b(mod 2)，则a^2≡b^2(mod 4)【答案】D【解析】22. 不定方程525x+231y=210（）（2 分）A. 有解B. 无解C. 解都是正数D. 解都是负数【答案】A【解析】23.已知361a是一个4位数（其中a是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是（）（2 分）A. 0B. 2C. 5D. 9【答案】C【解析】24. 1050与858的最大公因数是（）（2 分）A. 2B. 3C. 6D. 12【答案】C【解析】25. 如果（），则不定方程ax+by=c有解（2 分）A. (a,b)|cB. c|(a,b)C. a|cD. (a,b)|a【答案】A【解析】二、判断题（共 25 道小题，共 50 分）26. 对任给的正整数k,必有k个连续正整数都是合数.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】27. 欧拉函数ψ(700) =240.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】28. 11除123的余数是2.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】29. 若x通过模m的完全剩余系,则x+b(b是整数)通过模m的完全剩余系.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】30. 同余方程x^2≡11(mod 17)无解.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】31. x^4+1的奇素因数p满足p≡1(mod8) .（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】32. 存在无穷多个形如4n-1的素数.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】33. 若ac≡bc(mod m)，则a≡b(mod m).（2 分）A. 错误B. 正确【答案】A【解析】34. 模P的简化剩余系中，二次剩余和非二次剩余的个数都是(p-1)/2.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】35. 294与194的最大公因数是2.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】36. 素数写成两个平方数和的方法是唯一的.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】37. 若a^3|b^3，则a|b.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】A【解析】38. 模7的最小非负完全剩余系是0、1、2、3、4、5、6.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】39. 3,9,21,27,33,39,51,57是模20的一个简化剩余系.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】40. 如果两个整数互相整除，则这两个数仅相差一个符号.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】A【解析】41. 200到500的整数中7的倍数的个数为43（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】42. 模9的最小非负完全剩余系0,1,2,3,4,5,6,7,8.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】43. 如果p和p+2都是大于3的质数，则6|p+1.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】44. 存在数m，使ψ(m) =14.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】A【解析】45. 奇数一定能表示为两平方数之差.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】46. 16x-37y=7有整数解.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】47. 若3|n且7|n，则21|n.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】48. 若某个剩余类中有一个数与模m互素,则该剩余类中每个数均与模m互素.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】49. 7是模29的平方剩余.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】50. 形如4n-1的整数不能写成两个平方数的和.（2 分）A. 错误B. 正确【答案】B【解析】共 2 道大题，满分 100 分一、单选题（共 25 道小题，共 50 分）1. 7的7次方个位数是（）（2 分）A. 1B. 3C. 7D. 9【答案】B【解析】2. 如果b|a，a|c，则（）（2 分）A. b=cB. b=-cC. b|cD. c|b【答案】C【解析】3. 24871与3468的最大公因数是（）（2 分）A. 11B. 13C. 17D. 19【答案】C【解析】4. 下列表述中与n≡5 (mod7)不等价的是（）（2 分）A. n=5+7k,k是整数B. n被7整除余5C. n-5被7整除D. n-7被5整除【答案】D【解析】5. 因为（），所以不定方程12x+15y=7没有整数解。

初等数论练习一、单项选择题1. 如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）。

A. 奇数B. 偶数C. 奇数或偶数D. 由n奇偶性而定2. 19983除以9后的余数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 03. 模10的绝对值最小的完全剩余系是（）。

A. 0，1，2，3，…8，9B. 1，2，3，…9，10C. -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4D. 11，12，13，…19，204. 1500的标准分解式是（）。

A. 2×2×5×5×5×3B. 3×53×22C. 22×3×53D. 2×2×3×5×5×55. 有一批同样砖块，宽30cm，长45cm，至少需要这样的砖多少块，才能铺成一个正方形地面？（）A. 4B. 6C. 9D. 246. 边长为自然数，面积为30的长方形有多少个？（）A. 2B. 3C. 4D. 无数7. 一堆排球，3个3个数余2个，4个4个数余3个，问这堆排球至少有多少个?（）A. 23B. 35C. 24D. 118. 下列不定方程中是三元二次不定方程的有（）。

A. xyz=9B. 5x+6y+7z=5C. xy+5z=8D. 2x+3y=69. 若ac≡bc(mod m)，则下列正确的是( )A. a≡b(mod m)B. m|(a-b)cC. m|cD. m|(a+b)c10. 若a、b两数的和与积均为偶数，则a，b的奇偶性为( )A. a奇b偶B. a偶b奇C. 均为偶数D. 均为奇数11. 已知五位数123A5能被11整除，则A是( )A. 0B. 7C. 9D. 1812. 下列算式肯定错误的是( )A. 4569×91=415779B. 4569×92=420348C. 2376×156=370646D. 4569×29=13250113. 下列数中能表示成20和12的倍数之和的是( )A. 2B. 6C. 10D. 3614. 已知甲数除以11的余数是4，乙数除以11的余数是7，则甲、乙两数之和除以11的余数是( )A. 4B. 7C. 0D. 615. 下列答案中正确的是( )A. 〔x〕+〔y〕≤〔x+y〕B. 〔x+y〕=〔x〕+〔y〕C. 〔x〕+〔y〕＜〔x+y〕D. 〔x〕+〔y〕＞〔x+y〕16.m，n为整数，下列式子一定不可能成立的是( )A.m－n=3B.m+2n=5C.2m+n=12D.m+n=017.若a,b,c均为整数，且a+b被c整除，则下列一定成立的是( )A.c|aB.c|bC.c|a－bD.c|a2－b218.相邻两个整数之和与相邻两个整数之积分别是( )A.奇数奇数B.奇数偶数C.偶数奇数D.偶数偶数19.m为奇数时，模m的绝对最小完全剩余系是( )A.1,2,3,…,m－1,mB.－m,－(m－1),…,－2,－1C.--m12,…,－1,0,1,…m-12D.-m2,…,－1,0,1,…m21-20.下列不属于二元二次不定方程的是( )A.xy=5B.x2+y2=16C.2x2+y=8D.13442 xy+=21.11与-10以下列( )数为模时同余?A.2B.7C.10D.522.已知(a,b,c)=1,则一定有( )A.(a,b)=1B.(b,c)=1C.(a,c)=1D.((a,b),c)=123.所有不超过152的自然数中，5的倍数有( )个。