高考数学考前60天冲刺50题【六大解答题】三角函数专练

高考数学解答题专项训练——三角函数与解三角形学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1、在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC ⋅=⋅ .1.求证:tan 3tan B A =;2.若cos 5C =,求A 的值.2、已知函数()21sin 22f x x x =.1.求()f x 的最小周期和最小值;2.将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数()g x 的图象.当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()g x 的值域.3、已知函数()()f x Asin x ωϕ=+(其中0,0,2A πωϕ>><)的部分图象如图所示1.求函数()y f x =的解析式2.求函数()y f x =的单调增区间3.求方程()0 f x =的解集4、设向量(sin ,cos )a x x = ,(cos ,cos )b x x = ,R x ∈,函数()()f x a a b =⋅+ .(1)求函数()f x 的最大值与最小正周期;(2)求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值范围.5、已知向量)22,cos m x x =+r ,()1,2cos n x =r ,设函数()f x m n =⋅r r .1.求()f x 的最小正周期与单调递减区间;2.在ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,若()4f A =,1b =,ABC 的面积为32,求a 的值.6、在ABC 中,222a c b +=.1.的大小;2.cos A C +的最大值.7、设△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且sin cos b A B =.1.求角B 的大小;2.若3,sin 2sin b C A ==,求,a c 的值.8、在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知cos 2cos 2cos A C c a B b--=.1.求sin sin C A 的值;2.若1cos 4B =,2b =,求ABC ∆的面积S .9、在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,cos sin 0C c A -=.(1)求角C 的大小;(2)已知4b =,ABC △的面积为,求边长c 的值.10、记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-.（1）证明：2222a b c =+；（2）若5a =，25cos 31A =，求ABC △的周长.11、ABC V 中，222sin sin sin sin sin ABC B C --=.（1）求A ；（2）若3BC =，求ABC V 周长的最大值.12、ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C-=-(1).求A ；(2).2b c +=，求sin C .13、ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知sinsin 2A C a b A +=．(1).求B ；(2).若ABC △为锐角三角形，且1c =，求ABC △面积的取值范围．14、在平面四边形ABCD 中,90,ADC ∠=︒45,A ∠=2,AB = 5.BD =(1).求cos ADB ∠;(2).若DC =求BC参考答案1、答案：1.∵3AB AC BA BC ⋅=⋅ ,∴cos 3cos AB AC A BA BC B ⋅⋅=⋅⋅,即cos 3cos AC A BC B⋅=⋅由正弦定理,得cos sin AC BC B A=,∴sin cos 3sin cos B A A B ⋅=⋅.又∵0A B π<+<,∴cos 0A >,cos 0B >.∴sin sin 3cos cos B A B A =⋅即tan 3tan B A =.2.∵cos 5C =,0C π<< ,∴sin 5C ==.∴tan 2C =.∴()tan 2A B π-+=⎡⎤⎣⎦,即()tan 2A B +=-,∴tan tan 21tan tan A B A B +=--.由1得24tan 213tan A A =--,解得tan 1A =,1tan 3A =-.∵cos 0A >,∴tan 1A =.∴4A π=.解析：1.根据向量的数量积公式可由3AB AC BA BC ⋅=⋅ .得cos 3cos AB AC A BA BC B ⋅⋅=⋅⋅,再根据正弦定理将上式转化为角之间的关系式,由同角三角函数关系式可将正弦,余弦间的关系式,转化为正切间的关系,从而问题得证. 2.由5cos 5C =可得sin C 从而可得tan C .由诱导公式可得tan()A B +.再根据正切的两角和公式展开可得tan A ,tan B 之间的关系式,结合tan 3tan B A =,组成方程组可得tan A ,从而可得角A .2、答案：1.∵()21sin 22f x x x =()13sin 21cos 222x x =-+sin 232x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,∴()f x 的最小周期22T ππ==,最小值为:323122+--=-. 2.由条件可知:()3sin 32g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有2, 363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,从而sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,那么3sin 32x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值域为:12,22⎡⎢⎣⎦,故()g x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是1323,22⎡--⎢⎣⎦.解析：3、答案：1.由题干图知,1A =.因为74,123T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭周期所以22πωπ==.所以()()2f x sin x ϕ=+.又因为7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以716sin ϕπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,所以()732.62k k Z ϕπππ+=+∈所以2,.3k k Z ϕππ=+∈因为π,2ϕ<所以,3πϕ=所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2.222,232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈.所以5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.所以函数()y f x =的单调增区间为:5,,.1212k k k Z ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦3.因为()0,f x =所以2,.3x k k Z ππ+=∈所以()1,62x k k Z ππ=-+∈所以方程()0 f x =的解集为1|,62x x k k Z π⎧⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭·解析：4、答案：(1)因为()()f x a a b a a a b=⋅+=⋅+⋅ 22211sin cos sin cos cos 1sin 2(cos 21)22x x x x x x x =+++=+++3π2224x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,所以()f x 的最大值为3222+,最小正周期2ππ2T ==.(2)由(1)知33π3()222242f x x ⎛⎫≥⇔++≥ ⎪⎝⎭ππsin 202π22ππ44x k x k ⎛⎫⇔+≥⇔≤+≤+ ⎪⎝⎭π3πππ(Z)88k x k k ⇔-≤≤+∈.所以使3()2f x ≥成立的x 的取值范围是π3π|ππ,Z 88x k x k k ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.解析：5、答案：1.∵)22cos m x x =+r ，,()12cos n x =r ，,∴()2222cos f x m n x x=⋅=++r r 2cos 23x x =++2sin 236x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴22T ππ==令3222262k x k πππππ+≤+≤+(k Z ∈),∴263k x k ππππ+≤≤+(k Z ∈)∴()f x 的单调区间为263k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，,k Z ∈2.由()4f A =得,()2sin 2346f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭,∴1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭又∵A 为ABC 的内角,∴132666A πππ<+<,∴5266A ππ+=,∴3A π=∵32ABC S =V ,1b =,∴13sin 22bc A =,∴2c =∴2222cos a b c bc A =+-14122132=+-⨯⨯⨯=,∴a =解析：6、答案：（1）π4（2）1解析：（1）∵222b =,∴222a c b +-=.∴222cos 222a c b B ac ac +-===.∴4B π∠=.（2）∵A B C π++=∴3π4A C +=.cos A C +22cos sin22A A A ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭πsin 224A A A ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.∵3π4A C +=.∴30,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.∴ππ,π44A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.∴sin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1.cos A C +的最大值为1.7、答案：1.3B π=2.a =c =解析：1.∵sin cos b A B =,由正弦定理得sin cos sinB A A B =,在ABC ∆中,sin 0A ≠,即tan B =(0,)B π∈,∴3B π=.2.∵sin 2sinC A =,由正弦定理得2c a =,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得22942(2)cos 3a a a a π=+-⋅⋅,解得a =2c a ==.8、答案：1.由正弦定理,得22sin sin sin a C A b B --=,所以cos 2cos 2sin sin cos sin A C C A B B--=.即()()cos 2cos sin 2sin sin cos A C B C A B -=-,化简可得()()sin 2sin A B B C +=+.又A B C π++=,所以sin 2sin C A =,因此sin 2sin C A=.2.由sin 2sin C A =得2c a =.由余弦定理2222cos b a c ac B =+-及1cos ,24B b ==,得22214444a a a =+-⨯.解得1a =,从而2c =.又因为1cos 4B =,且0B π<<.所以15sin 4B =.因此11sin 122244S ac B ==⨯⨯⨯=.解析：9、答案：(1)在ABC △中,由正弦定理得:cos sin sin 0A C C A -=因为0πA <<,所以sin 0A >sin C C =,又cos 0C ≠所以tan C ,所以π3C =(2)在ABC △中,12π4sin 3ABC a S ⨯⨯==△得 6a =由余弦定理得:22264264cos 283πc =+-⨯⨯=所以c =.解析：10、答案：（1）证明见解析（2）14解析：解：（1）解法一由sin sin()sin sin()C A B B C A -=-可得，sin sin cos sin cos sin C A B C A B-sin sin cos sin cos sin B C A B C A =-，结合正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，即cos cos 2cos ac B ab C bc A +=（*）.方法一由余弦定理可知222cos 2a c b ac B +-=，222cos 2a b c ab C +-=，2222cos bc A b c a =+-，代入（*）式整理得2222a b c =+.方法二，利用三角形的射影定理，得2cos cos (cos cos )ac B ab C a c B b C a +=+=，又2222cos bc A b c a =+-，所以2222a b c a =+-，所以2222a b c =+.解法二因为A B C ++=π，所以sin sin()sin()sin()C A B A B A B -=+-2222sin cos cos sin A B A B=-()()2222sin 1sin 1sin sin A B A B=---22sin sin A B =-.同理有22sin sin()sin()sin()sin sin B C A C A C A C A -=+-=-，所以2222sin sin sin sin A B C A -=-，由正弦定理可得2222a b c =+.（2）由（1）及2222cos a b c bc A =+-得，22cos a bc A =，所以231bc =.因为222250b c a +==，所以222()281b c b c bc +=++=，得9b c +=，所以ABC △的周长14l a b c =++=.11、答案：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB --=⋅.①由余弦定理可知2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅.②由①，②得1cos 2A =-.因为0πA <<，所以2π3A =.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sin AC AB BC B C A===，从而AC B =，)3cos AB A B B B =--=-.故π33cos 33BC AC AB B B B ⎛⎫++=++=++ ⎪⎝⎭.又0π3B <<，所以当π6B =时，ABC V 周长取得最大值为3+解析：12、答案：(1).由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C+-=结合正弦定理得222b c a bc +-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈，∴=3A π.(2).2b c +=sin 2sin ABC +=,()sin 2sin A A C C++=∴sin()2sin 23C C π++=,∴1sin cos 222C C -=∴2sin()62C π-=又203C π<<∴662C πππ-<-<又sin()06C π->∴062C ππ<-<∴cos 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴sin sin(66C C ππ=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.解析：13、答案：(1).由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A C A B A +=．因为sin 0A ≠，所以sin sin 2A CB +=．由180A BC ++=︒，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B =．因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此60B =︒．(2).由题设及(1)知ABC △的面积34ABC S a =△．由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C -=︒==+．由于ABC △为锐角三角形，故090,090A C ︒<<︒︒<<︒，由1知120A C +=︒，所以3090C ︒<<︒，故122a <<，从而3382ABC S <<△．因此，ABC △面积的取值范围是33,82⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．解析：14、答案：(1).在ABD △中,由正弦定理可知:sin sin BD AB A ADB =∠∠2sin 22ADB=∠∴2sin 5ADB ∠=由()()22sin cos 1ADB ADB ∠+∠=得()223cos 25ADB ∠=∵0,2ADB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭∴23cos 5ADB ∠=(2).∵90ADC ∠=︒,cos cos sin 25BDC ADB ADB π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭又由余弦定理知:22222cos25BD DC BC BDC BD DC +-∠==⨯解得:225,BC =∴5BC =解析：。

新《三角函数与解三角形》专题解析一、选择题1．已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -，则cos α的值为( ) A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】B 【解析】 【分析】根据已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -，结合三角函数的定义即可得到cos α的值. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -， 所以34,,155x y r =-==， 所以3cos 5α=-， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关已知角终边上一点求其三角函数值的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目.2．若函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位，得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-． 由23x π-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23x π-＝2k ππ+， 得212k x π5π=+()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+()k ∈Z ， 所以在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||T πω=周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫⎪⎝⎭，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．3．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至BC ，在旋转的过程中，记([0,])2ABP x x π∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.4．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0，故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A +=，1a =，b =c =（ ）A B ．1CD 【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理将cos cos 2cos a B b A C+=中的边转化为角，可得sin()A B +=可求出角6C π=，再利用余弦定理可求得结果.【详解】解：因为cos cos a B b A +=，所以正弦定理得，sin cos sin cos 2cos CA B B A C+=所以sin()A B +=sin 2cos C C C=，因为sin 0C ≠，所以cos 2C =， 又因为(0,)C π∈，所以6C π=，因为1a =，b =所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B 【点睛】此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．7．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数【答案】C 【解析】试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数图像关于直线0x =对称，∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.8．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（ ）A ．3155AB AC +u u uv u u u vB ．2155AB AC +u u uv u u u vC ．481515AB AC +u u uv u u u v D ．841515AB AC +u u uv u u u v 【答案】D 【解析】 【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r为基底来表示的形式.【详解】设6BC =，则32,2AB AC BD DE EC =====，22π2cos4AD AE BD BA BD BA ==+-⋅⋅10=，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.9．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ）A ．12B ．14C．4D．2【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（ ） A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为2412ππ=,故排除B ；又cos 2cos 0362πππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ； 若63x ππ-≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故排除D ； 令2262x πππ-≤-≤，得63x ππ-≤≤，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．由周期公式可得22T ππ==,当3x π=时,sin(2)sin 1362πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭同时满足三个性质.故选A ． 【点睛】本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.11．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB．CD．【答案】A 【解析】 【分析】根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =，由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则()f x 的最大值为（ ）A ．2BC ．D 或【答案】D 【解析】 【分析】根据函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称，则有()(0)2f f π-=，解得a ，得到函数再求最值.【详解】因为函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4πx =-对称， 所以()(0)2f f π-=，即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，此时()f x 的最大值为；当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，此时()f x ；综上()f x 或. 故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.13．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.14．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最小正周期为4π，且当23x π=时，()f x 取最大值，是（ ）A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数B ．()f x 在区间[]0π-，上是增函数 C ．()f x 在区间[]0π，上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω==，即()1sin 2f x x φ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π2262k x k -≤+≤+，解得4π2π4π4π33k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 选项正确.所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.15．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =c =( )A ．B ．2CD ．1【答案】B 【解析】1sin A ===cos A =,所以22212c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos 2A =后，要及时判断出0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.16．已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：D本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.17．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，2πω<）的最小正周期为π，且其图象向左平移3π个单位后，得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线512x π=对称 C ．关于点(,0)12π对称D ．关于点5(,0)12π对称 【答案】C 【解析】试题分析：依题意()()2,sin 2f x x ωϕ==+，平移后为2sin 2cos 2,36x x ππϕϕ⎛⎫++==- ⎪⎝⎭，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.考点：三角函数图象与性质.18．在ABC △中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为 A ．5 B ．8 C ．5或－8 D ．－5或8【答案】B 【解析】由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得24993b b =+-，即()()850b b -+=， 因为b ＞0，所以b ＝8.故选B ．19．关于函数()()()sin tan cos tan f x x x =-有下述四个结论： ①()f x 是奇函数； ②()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ③π是()f x 的周期； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】计算()()()sin tan cos tan f x x x -=--得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，()()f x f x π+=③正确，假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，得到矛盾，④错误，得到答案. 【详解】()()()sin tan cos tan f x x x =-，()()()sin tan cos tan f x x x -=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sin tan cos tan x x =--，所以()f x 为非奇非偶函数，①错误； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令tan t x =，()0,1t ∈， 又()0,1t ∈时sin y t =单调递增，cos y t =单调递减，根据复合函数单调性判断法则， 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin tan y x =，()cos tan y x =-均为增函数， 所以()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以②正确； ()()()sin tan cos tan f x x x πππ+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()sin tan cos tan x x f x =-=，所以π是()f x 的周期，所以③正确；假设()f x 的最大值为2，取()2f a =，必然()sin tan 1a =，()cos tan 1a =-， 则tan 22a k ππ=+，k Z ∈与tan 2a k ππ=+，k Z ∈矛盾，所以()f x 的最大值小于2，所以④错误. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.20．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于（ ） A ．直线3πθ=对称B ．直线6πθ=对称C ．点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．极点对称【答案】A 【解析】 【分析】由4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-= ，圆心为( ，又因为直线3πθ=即：y = 过点(，由此便可得出答案.【详解】由曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，化简得曲线的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .又因为直线3πθ=,直角坐标方程为：y = ，直线y =过点(，故曲线关于直线3πθ=对称故选：A. 【点睛】本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.。

冲刺60天精品模拟卷（三）文第1卷评卷人得分一、选择题1、某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中点表示十月的平均最高气温约为点表示四月的平均最低气温约为.下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于的月份有个2、执行下面的程序框图,如果输入的,那么输出的( )A.3B.4C.5D.63、设为抛物线的焦点,曲线与交于点,轴,则( )A.B.C.D.4、圆的圆心到直线的距离为,则( )A.B.C.D.5、设集合则 ( )A.{4,8}B.{0,2,6}C.{0,2,6,10}D.{0,2,4,6,8,10}6、从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )A.B.C.D.7、设为虚数单位,则复数=( )A.0B.2C.D.8、设直线分别是函数图象上点处的切线,与垂直相交于点,且,分别与轴相交于点,,则的面积的取值范围是( )A.B.C.D.9、为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点( )A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向上平行移动个单位长度D.向下平行移动个单位长度10、函数的图象是( )A.B.C.D.11、若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.B.C.D.12、如图,在正方体中,、分别为、的中点,则下列直线中与直线相交的是( )A.直线B.直线C.直线D.直线评卷人得分二、填空题13、函数的图像可由函数的图像至少向右平移_______个单位长度得到.14、从任取两个不同的数值,分别记为,,则为整数的概率是.15、某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的表面积是,体积是.正视图侧视图俯视图16、已知平面向量,.若为平面单位向量,则的最大值是.评卷人得分三、解答题17、在直角坐标系中,圆的方程为.1.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;2.直线的参数方程是(为参数),与交于两点,,求的斜率.18、设函数.1.讨论的单调性;2.证明当时,;3.设,证明当时,.19、某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为.奖励规则如下:①若,则奖励玩具一个;②若,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.1.求小亮获得玩具的概率;2.请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.20、在中,内角所对的边分别为.已知.1.证明:;2.若,求的值.21、将边长为1的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱,如图,长为,长为,其中与在平面的同侧.1.求圆柱的体积与侧面积;2.求异面直线与所成的角的大小.22、双曲线的左、右焦点分别为、,直线过且与双曲线交于、两点.1.若的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;2.设,若的斜率存在,且,求的斜率.23、已知函数,不等式的解集为.1.求;2.当时,证明:.参考答案一、选择题1.答案： D解析：由图可知均在虚线内,所以各月的平均最低气温都在以上,正确;由图可在七月的平均温差大于,而一月的平均温差小于,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,正确;由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在,基本相同,正确;由图可知平均最高气温高于的月份有个或个,所以不正确.故选.2.答案： B解析：第一次循环，得；第二次循环，得；第三次循环，得；第四次循环，得，退出循环，输出，故选B。

刷题大卷练 5 三角函数大卷练A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8答案：B解析：由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，在原点附近的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 03≤π6，2x 0≥2π3，解得π3≤x 0≤π2，故选B.6．[2019·广州调研]将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A.π6B.π12C.π4D.π3 答案：A解析：由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3，因为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3为奇函数，所以2φ＋2π3＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，故φ的最小值为π6，选A.7．[2019·武汉模拟]已知f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 3C ．－12D ．－32答案：B解析：由已知得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，令2x ＋θ＋π6＝k π，k ∈Z ，其中x ＝π2为方程的一个解，代入得θ＝(k －1)π－π6，k ∈Z ，又0<θ<π，所以θ＝5π6，因而f (x )＝－2sin2x ，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上单调递减，所以f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－ 3. 8．[2019·河北联考]已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则下列关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( )A ．g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上的最小值为－1 B ．g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π3个单位长度得到C ．g (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D ．g (x )的一个单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2答案：C 解析：∵函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，y ＝1，y ＝2cos x 都是偶函数，∴y＝cos(x ＋3φ)是偶函数，∴3φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π3，k ∈Z ，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当－π12≤x ≤π3时，－π2≤2x －π3≤π3，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[0,1]，故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋π)＝1－2cos 2x ＝－cos2x ，显然B 错误；当x ＝－π12时，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，故C 正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3不单调，故D 错误．故选C.9．[2019·吉林梅河口五中月考]若tan(α＋80°)＝4sin420°，则tan(α＋20°)的值为( )A ．－35B ．335C.319 D.37 答案：D解析：由tan(α＋80°)＝4sin420°＝4sin60°＝23，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝tan α＋80°－tan60°1＋tan α＋80°tan60°＝23－31＋23×3＝37.故选D.10．[2019·南宁联考]若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan2α＝( )A ．－43 B.34C ．－34 D.43答案：D解析：解法一 由题意知，tan α＝－2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43，故选D. 解法二 由题意知，sin α＝－2cos α，tan2α＝sin2αcos2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝43，故选D. 11．[2019·黄冈质检]已知α＋β＝π6，且3(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α＝( )A ．－33 B. 3C ．－ 3D ．3 3 答案：D解析：由3(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0得，3tan αtan β＋3(tan α＋tan β)＝tan α－2 3 ①，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝33，即3(tan α＋tan β)＝1－tan αtan β ②，由①②得tan α＝33，故选D.12．已知函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－2π3对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称C ．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度得到函数f (x )的图象 D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值与最小值的差为2＋ 3 答案：D解析：由函数图象可知，A ＝2，设最小正周期为T ，则T 4＝π3－π12＝π4，所以T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝2，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.对于选项A ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋π3＝2sin(－π)＝0，所以f (x )的图象不关于直线x ＝－2π3对称，即选项A 不正确；对于选项B ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋π3＝－2，所以f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称，即选项B 不正确；对于选项C ，因为将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，即选项C 不正确；对于选项D ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[－2，3]，即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值与最小值的差为2＋3，选项D 正确．故选D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝________. 答案：－12解析：解法一 由已知可得cos θ＝12，sin θ＝32，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝cos θcos π3－sin θsin π3＝12×12－32×32＝－12.解法二由已知可得θ＝π3＋2kπ，k∈Z，所以cos⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝cos⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2kπ＋π3＝－12.14．[2019·浙江绍兴诸暨中学模拟]3tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.答案：－4 3解析：原式＝3s in12°－3cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23⎝⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°cos24°sin24°＝43sin12°－60°sin48°＝－4 3.15．[2019·惠州调研]已知tanα＝12，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝________.答案：－55解析：解法一cos⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝sinα，由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2知α为第三象限角，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧tanα＝sinαcosα＝12，sin2α＋cos2α＝1，得5sin2α＝1，故sinα＝－55.解法二cos⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝sinα，由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2知α为第三象限角，由tanα＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sinα＝－55.16．[2019·赣州崇义月考]函数f(x)＝sin x在区间(0,10π)上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得f x1x1＝f x2x2＝…＝f x nx n，则n的最大值等于________．答案：10解析：设f x1x1＝f x2x2＝…＝f x nx n＝k，则条件等价为方程f(x)＝kx在(0,10π)上的根的个数．作出函数y＝f(x)和y＝kx的大致图象，由图可知函数y＝kx与y＝f(x)的图象在区间(0,10π)上最多有10个交点，即n的最大值为10，故答案为10.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)[2019·福建惠安惠南月考]已知cosα－sinα＝5213，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.(1)求sinαcosα的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值．解析：(1)∵cos α－sin α＝5213，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338.(2)sin α＋cos α＝sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α＝12213，∴原式＝cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos α－sin α·cos α＋sin α22cos α－sin α＝2(cos α＋sin α)＝2413.18．(本小题满分12分)[2019·安徽合肥检测]已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解析：(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2.于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，令2x －π4＝k π＋π2，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8上的单调递增；同理，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2上单调递减． 19．(本小题满分12分)[2019·湖北襄阳四校模拟联考]设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos x －sin 2(π－x )－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (α)＝3210－1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π8的值．解析：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin2x ＋cos2x )－1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，x －5π12 －π6 π12 π37π12 f (x ) 0 －1 0 1 0∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，7π12上的大致图象如图：21．(本小题满分12分)[2019·黑龙江哈尔滨六中月考]已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝g (x )的图象．若函数y ＝g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，13π4上的图象与直线y＝a 有三个交点，求实数a 的取值范围．解析：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令－π2＋2k π≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)将f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得g 1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g (x )＝cos x的图象．作函数g (x )＝cos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，13π4上的图象，作直线y ＝a .根据图象知，实数a的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0.22．(本小题满分12分)[2019·江苏常州]如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，其中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是图象的一个最高点，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是图象与x 轴的一个交点，且与点P 相邻．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．解析：(1)由函数f (x )的图象可知A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝4π，∴ω＝2πT ＝12，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是函数图象的一个最高点， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4π3＋φ＝2，∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.(2)由(1)得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．由题意，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．。

2021届高考数学（理）考前60天冲刺六大解答题导数专练2021届高考数学（理）考前60天冲刺【六大解答题】衍生产品1、已知函数f(x)?lnx?a,g(x)?f(x)?ax?6lnx,其中a?r。

x（1）当a?1时，判断f(x)的单调性；（2）如果G（x）在其定义域中是一个增函数，求正实数a的取值范围；（3）设函数h(x)?x2?mx?4,当a?2时,若?x1?(0,1),?x2?[1,2],总有g(x1)?h(x2)成立，求实数m2.已知函数f（x）？lnx？A（x？1），A∈ R.（I）讨论函数f（x）的单调性；（二）x什么时候？1，f（x）≤lnx恒成立，求a的取值范围．x?13.已知函数f（x）？alnx？斧头？3（a？r）。

（i）当a?1时，求函数f(x)的单调区间；o（ii）若函数y?f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45，问：m在什么范围当计算价值时，对于任何t？[1,2]，函数g（x）？x3？X2[极值？24.已知三次函数f(x)的导函数f?(x)?3x?3ax，f(0)?b，a．b为实数。

m]MF（x） ]如果曲线y？F（x）点（a？1，F（a？1））处切线的斜率为12，求a的值；（ⅱ）若f(x)在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且1?a?2，求函数f(x)的解析式。

5.已知函数f（x）？lnx？22ax，（a？R，e是自然对数的基）。

E（I）求函数f（x）的增长区间；（ⅱ）当a?1时，过点p(0,t)(t?r)作曲线y?f(x)的两条切线，设两切点为P2（X2，f（X2））（x1？X2），验证x1？X2为固定值，并计算固定值。

1（x1，f（x1）），p6.已知函数f(x)?kx,g(x)?（1）求函数g(x)?lnxxlnx的单调区间；x（2）若不等式f(x)?g(x)在区间(0,??)上恒成立，求实数k的取值范围；Ln2ln3lnn1（3）验证：4？4.4.2e23n7.已知函数f（x）？斧头？1.Xe（I）什么时候？1.求F（x）的单调区间；（ⅱ）若对任意t?1.2.f（t）？如果t是常数，求实数A的取值范围？2.8.已知函数f（x）？斧头？lnx，a？R（I）求函数f（x）的单调区间；(ⅱ)是否存在实数a,使不等式f(x)?ax2对x?(1,??)恒成立,若存在,求实数a的取值范如果没有，请解释原因9设函数f(x)?1?a2x?ax?lnx(a?r).2(ⅰ)当a?1时，求函数f(x)的极值；（ⅱ）当a?1时，讨论函数f(x)的单调性.（三）有什么需要吗？（2,3）和任何x1，X2？[1,2]，恒定ma？液氮？f（x1）？F （x2）成立，求实数m的取值范围.10.设函数f（x）？1.a2x？斧头？LNX（a？R）。

高中数学《三角函数与解三角形》期末考知识点一、选择题1．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】 【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b ＝c ，最后判断出三角形的形状． 【详解】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b 2+c 2＝a 2+bc ．则：2221222b c a bc cosA bc bc +-===，由于：0＜A ＜π，故：A 3π=．由于：sin B sin C ＝sin 2A ， 利用正弦定理得：bc ＝a 2， 所以：b 2+c 2﹣2bc ＝0， 故：b ＝c ，所以：△ABC 为等边三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．2．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A B C A B A B A B π++=--=-=-=---⋅， 所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.3．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102x << B ．112x << C ．12x << D ．01x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D. 【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ∆的面积S C =，且1,a b ==c =（ ）ABCD【答案】B 【解析】由题意得，三角形的面积1sin 2S ab C C ==，所以tan 2C =，所以cos C =，由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以c =，故选B.5．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.6．若函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位，得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-．由23x π-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23x π-＝2k ππ+， 得212k x π5π=+()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+()k ∈Z ， 所以在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||T πω=周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫⎪⎝⎭，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．7．已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2π B ．3π C ．πD ．4π【答案】A 【解析】 【分析】由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小值；根据()()122f x f x ⋅=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122x x k k ππ-=-+，12,k k Z ∈；从而可知120k k -=时取最小值. 【详解】由()f x 最小正周期为π可得：2ππω= 2ω∴= ()23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()max f x ∴，()min f x =()()122f x f x ⋅=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点()1112222232,2232x k k k Z x k ππππππ⎧-=+⎪⎪∴∈⎨⎪-=-⎪⎩()12122x x k k ππ∴-=-+，当120k k -=时，12min2x x π-=本题正确选项：A 【点睛】本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.8．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c，若()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，b =c =，则角B =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 【答案】B 【解析】 【分析】先由()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭求出3A π=，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】因为()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭所以11sin sin 022A A A A A +==所以tan A =0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=所以由余弦定理得：22222co 1232222s a b c bc A ⎛-=+-=+⨯= ⎝⎭所以a =所以222232cos22a c bBac+-+-===因为0,2Bπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4Bπ=故选：B【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.9．定义在R上的函数()f x既是偶函数又是周期函数，若()f x的最小正周期是π，且当π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sinf x x=，则5π3f⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A．12-BC．D．12【答案】B【解析】分析：要求53fπ⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sinf x x=来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解详解：()f xQ的最小正周期是π552333f f fππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f xQ是偶函数33f fππ⎛⎫⎛⎫∴-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f fππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q当02xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sinf x x=，则5sin3332f fπππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．10．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2πϕ<，且其图像关于直线0x =对称，则（ ）A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数【答案】C 【解析】试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6x πϕ=++，∵函数图像关于直线0x =对称，∴函数()f x 为偶函数，∴3πϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22T ππ==， ∵02x π<<，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,)2π上为减函数.考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.11．在ABC ∆中，060,A BC D ∠==是边AB 上的一点，CD CBD =∆的面积为1，则BD 的长为（ ） A ．32B ．4C ．2D ．1【答案】C 【解析】1sin 1sin2BCD BCD ∠=∴∠=2242BD BD ∴=-=∴=,选C12．已知ππ43πsin()cos(),0,322ααα++-=--<<则2πcos()3α+等于（ ）A ．5B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππ43sin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭133343sin cos sin sin cos 22225ααααα++=+=-433sin 65πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.13．如图，在等腰直角ABC ∆中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v（ ）A ．3155AB AC +u u uv u u u vB ．2155AB AC +u u uv u u u vC ．481515AB AC +u u uv u u u v D ．841515AB AC +u u uv u u u v 【答案】D 【解析】【分析】设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得cos DAE ∠，由此得到45AF AD =u u u r u u u r，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将45AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r为基底来表示的形式.【详解】设6BC =，则2AB AC BD DE EC =====，AD AE ===，101044cos 2105DAE +-∠==⨯， 所以45AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()1133AD AB BC AB AC AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133AB AC =+u u ur u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ⎛⎫=⨯+=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 故选：D 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.14．在OAB ∆中，已知OB =u u u v 1AB u u u v=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v的最小值为（ ）ABCD【答案】A 【解析】 【分析】根据OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r.再由23λμ+=,将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知OB =u u u r,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OBAOB OAB=∠∠u u u r u u u r代入22=,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A 坐标为22,22⎛ ⎝⎭所以22OA =⎝⎭u u u r ,)2,0OB =u u u r因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r则)222,022OP λμ⎛ =+ ⎝⎭u u u r 222,22λμλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭= 则2222222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r2222λλμμ=++因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得()()22322232λλλλ+-+-218518λλ-=+299555λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当95λ=时, min9355OP ==u u u r故选:A 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.15．已知1tan 4,tan θθ+=则2sin ()4πθ+=（ ）A ．15 B ．14C ．12D ．34【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系化简1tan 4tan θθ+=成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与诱导公式化简2sin ()4πθ+求解即可.【详解】由题, 1tan 4,tan θθ+=则22sin cos sin cos 444sin cos 1cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=⇒=⇒=, 故1sin 22θ=. 所以2sin ()4πθ+=1cos 222πθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1sin 2324θ+==. 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.16．在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则“sin >sin A B ”是“a b >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由正弦定理得sin sin 22a b A B a b R R>⇔>⇔> ，所以“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件，选C.17．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年 D ．早于公元前6000年【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项． 【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β， 则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角， 将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan 0.6610β-==， tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan 1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g ．0.4550.4570.461<<Q ，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D ． 【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．18．某船开始看见灯塔A 时，灯塔A 在船南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔A 在船正西方向，则这时船与灯塔A 的距离是（ ） A ．152km B ．30kmC ．15kmD ．153km【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，根据题意求出BAC ∠与BAC ∠的大小，在三角形ABC 中，利用正弦定理算出AC 的长，可得该时刻船与灯塔的距离． 【详解】设灯塔位于A 处，船开始的位置为B ，船行45km 后处于C ，如图所示，可得60DBC ∠=︒，30ABD ∠=︒，45BC =30ABC ∴∠=︒，120BAC ∠=︒在三角形ABC 中，利用正弦定理可得：sin sin AC BCABC BAC=∠∠，可得sin 1153sin 23BC ABC AC km BAC ∠===∠ 故选D 【点睛】本题主要考查的是正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．19．40cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（ ）A．1) B1 C1 D．2【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.20．在ABC △中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为 A ．5 B ．8 C ．5或－8 D ．－5或8【答案】B 【解析】由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得24993b b =+-，即()()850b b -+=， 因为b ＞0，所以b ＝8.故选B ．。

高考数学考前60天冲刺50题【六大解答题】圆锥曲线1..如图，在平面直角坐标系xOy 中。

椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，右准线为l 。

（1）求到点F 和直线l 的距离相等的点G 的轨迹方程。

（2）过点F 作直线交椭圆C 于点,A B ，又直线OA 交l 于点T ,若2OT OA =u u u r u u u r，求线段AB 的长；（3）已知点M 的坐标为()000,,0x y x ≠，直线OM 交直线0012x xy y +=于点N ，且和椭圆C 的一个交点为点P ，是否存在实数λ，使得2?OP OM ON λ=⋅u u u r u u u u r u u u r，若存在，求出实数λ；若不存在，请说明理由。

2.设A 、B 分别为椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的左、右顶点，椭圆长半轴长等于焦距，且4x =是它的右准线，(1) 求椭圆方程；(2) 设P 为右准线上不同于点（4，0交于异于A 、B 两点M 、N ，证明：点B 在以MN3.如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB 轴垂直．直线(2)(12)(12)0()k x k y k k R --+++=∈所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的离心率e =. （1）求椭圆的标准方程；（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点MQN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系．4.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为23，且经 过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B.（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 不过点M ，试问MA MB k k +是否为定值？并说明理由。

5.已知椭圆的焦点()()121,0,1,0F F -，过10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭作垂直于y 轴的直线被椭圆所截，过1F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点.（I ）求椭圆的标准方程；(Ⅱ)是否存在实数t 使1PA PB tPF +=u u u r u u u r u u u r，若存在，求t 的值和直线l 的方程；若不存在，说明理由．6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -+=相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点。

高考数学模拟题汇编《三角函数》专项练习题-带答案1.（2024·天津和平区·高三上期末）已知函数()sin (0)f x x ωω=> 函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2 将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度 再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 得到的图象所表示的函数为（ ） A. ()πsin 24h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()1πsin 24h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()cos2h x x = 2.（2024·天津和平耀华中学·高三上期末）已知函数()()()cos 210,0πf x A x A ϕϕ=+-><< 若函数()y f x =的部分图象如图所示 函数()()sin g x A Ax ϕ=- 则下列结论正确的个数有（ ）①将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象 ②函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称 ③函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦④若函数()()0g x θθ+≥为偶函数 则θ的最小值为7π12． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个3.（2024·天津河北区·高三上期末）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π 将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后得到()y g x =的图象 则下列命题中不正确．．．的是( ) A. 函数()y g x =图象的两条相邻对称轴之间距离为2π B. 函数()y g x =图象关于1112π=x 对称C. 函数()y g x =图像关于7(,0)24π对称 D. 函数()y g x =在5(0,)12π内单调减函数.4.（2024·天津河东区·高三上期末）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.有下列四个结论：①3πϕ=﹔①()f x 在7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 ①()f x 的最小正周期T π= ①()f x 的图象的一条对称轴为3x π=.其中正确的结论有( )A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①5.（2024·天津河西区·高三上期末）将函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图像向左平移π3个单位 得到函数()y g x =的图像 若函数(y g x =）的一个极值点是π6 且在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 则ω的值为（ ）A.23B.43C.83D.1636.（2024·天津红桥区·高三上期末）已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2 ()f x 的最小正周期为π 则ω=______ ()f x 在π[0,]2上的单调递减区间是______.7.（2024·天津南开区·高三上期末）设函数()()3sin (0,π)f x x ωϕωϕ-><.若π5π0,388f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 的最小正周期大于2π 则（ ）A.17π,312ωϕ==-. B. 111π,324ωϕ== C. 2π,312ωϕ==- D. 211π,312ωϕ== 8.（2024·天津宁河区·高三上期末）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于π12x =-对称 它的最小正周期为π 关于该函数有下面四个说法： ①()f x 的图象过点π,012⎛⎫⎪⎝⎭ ②()f x 在区间5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 ()f x 的取值范围为33⎡⎢⎣⎦④把函数sin 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度 可得到()f x 的图象．以上四个说法中 正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 49.（2024·天津五所重点校·高三上期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭ 其图象相邻两个对称中心之间的距离为π4且直线π12x =-是其一条对称轴 则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 在区间ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 点5π,024⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D. 将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍 纵坐标不变 再把得到的图象向左平移π6个单位长度 可得到一个奇函数的图象10.（2024·天津西青区·高三上期末）将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后 得到一个偶函数的图象 则ϕ的取值不可能是（ ） A. 34π-B. 4π-C.4π D.54π 11.（2024·天津八校联考·高三上期末）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的对称中心到对称轴的最小距离为π4将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后所得图象关于y 轴对称 且()()12max 1f x f x -=关于函数()f x 有下列四种说法： ①π6x =是()f x 的一个对称轴 ②π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 ③()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ④若()()120f x f x == 则12π2k x x -= ()k ∈Z ． 以上四个说法中 正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 412.（2024·天津塘沽一中·高三上期末）已知函数())3cos cos f x x x x =+.下列结论错误．．的是（ ） A. ()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭ B. π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值 C. ()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. 把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后 再向上平移12个单位长度 可得到()f x 的图象.13.（2024·天津部分区·高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π6个单位长度 得到函数()g x 的图象 则()g x 所具有的性质是（ ） A. 图象关于直线π6x =对称 B. 图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C. ()g x 的一个单调递增区间为ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 曲线()y g x =与直线32y =的所有交点中 相邻交点距离的最小值为π6答案：1.（2024·天津和平区·高三上期末）已知函数()sin (0)f x x ωω=> 函数()f x 图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为π2 将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度 再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 得到的图象所表示的函数为（ ） A. ()πsin 24h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. ()1πsin 24h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C. ()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D. ()cos2h x x =【答案】A 【详解】由题意得π42T = 22T ππω== 则1ω= 所以()sin f x x = 则将()f x 图象上所有的点向左平移π4个单位长度变为()πsin 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 得到的图象所表示的函数为()πsin 24h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A.2.（2024·天津和平耀华中学·高三上期末）已知函数()()()cos 210,0πf x A x A ϕϕ=+-><< 若函数()y f x =的部分图象如图所示 函数()()sin g x A Ax ϕ=- 则下列结论正确的个数有（ ）①将函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度可得到函数()g x 的图象 ②函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 ③函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦④若函数()()0g x θθ+≥为偶函数 则θ的最小值为7π12． A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 【详解】因为1311A A --=-⎧⎨-=⎩ 所以2A = 所以()()2cos 21f x x ϕ=+-．又因为()02cos 12f ϕ=-= 得3cos 2ϕ=（舍）或1cos 2ϕ=- 因为0πϕ<< 可得23ϕπ=所以()2π2cos 213f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭函数()1y f x =+的图象向左平移π12个单位长度得到 ()π2π2π3π2π2cos 22cos 22sin 263323y x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故A 正确对于B 令2π2π,3x k k -=∈Z 解得ππ,32k x k =+∈Z 所以()g x 关于点()ππ,023k k ⎛⎫⎪⎝⎭+∈Z 对称当1k =-时 对称点为π,06⎛⎫-⎪⎝⎭故B 正确 对于C π32g ⎛⎫=⎪⎝⎭ π03g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ23g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故C 错误 对于D 函数()()0g x θθ+≥为偶函数 即()2π2sin 223g x x θθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭为偶函数 所以2ππ2π32k θ-=+ Z k ∈ 解得7ππ122k θ=+ Z k ∈ 又0θ≥ 所以当1k =-时π12θ=为最小值 故D 错误． 故选：B ．3.（2024·天津河北区·高三上期末）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π 将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位后得到()y g x =的图象 则下列命题中不正确．．．的是 A. 函数()y g x =图象的两条相邻对称轴之间距离为2π B. 函数()y g x =图象关于1112π=x 对称C. 函数()y g x =图像关于7(,0)24π对称 D. 函数()y g x =在5(0,)12π内单调减函数.【答案】C 【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位后得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数()g x 的对称中心横坐标为262x k πππ+=+ 即()62k x k Z ππ=+∈ C 选项错误 故选C ．4.（2024·天津河东区·高三上期末）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.有下列四个结论：①3πϕ=﹔①()f x 在7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增 ①()f x 的最小正周期T π= ①()f x 的图象的一条对称轴为3x π=.其中正确的结论有( )A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①【答案】A 【详解】因为()30f = 所以3sin ϕ= 由于0ϕπ<< 所以3πϕ=或23π 由于图象最高点在y轴左侧 所以23ϕπ= ①不正确 因为06f π⎛⎫=⎪⎝⎭所以2sin()063ππω+= 解得2,63k k ωππ+=π∈Z 64k ω=- 令1k =得2ω= 周期为π ①正确由2222,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z 可得,1212k x k k 7πππ-≤≤π-∈Z 令0k =可得增区间为7,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦①正确 因为3x π=时 24233x ππ+=所以3x π=不是对称轴 ①不正确 故选：A. 5.（2024·天津河西区·高三上期末）将函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图像向左平移π3个单位 得到函数()y g x =的图像 若函数(y g x =）的一个极值点是π6 且在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 则ω的值为（ ）A.23B.43C.83D.163【答案】A 【详解】由题意得：()ππππ2sin 2sin 3636g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦又函数(y g x =）的一个极值点是π6即π6x =是函数()g x 一条对称轴所以πππππ6362k ωω++=+ 则223k ω=+（k ∈Z ） 函数 ()g x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 则函数()g x 的周期2πππ263T ω⎡⎤⎛⎫=>-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解得02ω<< 则0k = 23ω=故选：A. 6.（2024·天津红桥区·高三上期末）已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2 ()f x 的最小正周期为π 则ω=______ ()f x 在π[0,]2上的单调递减区间是______. 【答案】 ①. 2 ①. ππ[,]62【详解】依题意 函数22())f x a b x ωϕ=++ 222a b + 2ππω= 解得2ω=又π()26f = 则ππ22π,Z 62k k ϕ⨯+=+∈ 即πZ π2,6k k ϕ=+∈ 因此π()2sin(2)6f x x =+ 当π[0,]2x ∈时 ππ7π(2)[,]666x +∈由ππ7π2266x ≤+≤ 解得ππ62x ≤≤ 于是()f x 在ππ[,]62上单调递减所以2ω= ()f x 在π[0,]2上的单调递减区间是ππ[,]62.故答案为：2 ππ[,]627.（2024·天津南开区·高三上期末）设函数()()3sin (0,π)f x x ωϕωϕ-><.若π5π0,388f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x 的最小正周期大于2π 则（ ）A.17π,312ωϕ==-. B. 111π,324ωϕ== C. 2π,312ωϕ==- D. 211π,312ωϕ== 【答案】C 【详解】由()f x 的最小正周期大于2π 可得π42T > 因为π5π0,388f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得5ππ3π4884=+=T 则3πT = 且0ω> 所以2π23T ω==即2()3sin 3ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭f x x 由5π25π3sin 3838ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 即5πsin 112ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得5ππ2π122ϕ-=+k k ∈Z 则π2π12k ϕ=-- k ∈Z 且π<ϕ 可得0k = π12ϕ=- 所以23ω=π12ϕ=-.故选：C ．8.（2024·天津宁河区·高三上期末）已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于π12x =-对称 它的最小正周期为π 关于该函数有下面四个说法：①()f x 的图象过点π,012⎛⎫⎪⎝⎭ ②()f x 在区间5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 ()f x 的取值范围为33⎡⎢⎣⎦④把函数sin 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度 可得到()f x 的图象．以上四个说法中 正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【详解】()f x 的最小正周期为π 所以2ππω= 得2ω=由()f x 关于π12x =-对称 则ππsin 1126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以πππ,Z 62k k ϕ-+=+∈ 解得2ππ,Z 3k k ϕ=+∈ 又π2ϕ< 所以π3ϕ=- 所以()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于①：πππsin 01263f ⎛⎫⎛⎫=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①错误对于②：由5π11π1212x ≤≤得ππ3π2232x ≤-≤ 函数sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 所以()f x 在区间5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ②正确对于③：由π02x ≤≤得ππ2π2333x -≤-≤ 函数sin y x =在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 所以()f x 的取值范围为32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦③错误 对于④ 把函数sin 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ④正确故选：B.9.（2024·天津五所重点校·高三上期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭ 其图象相邻两个对称中心之间的距离为π4且直线π12x =-是其一条对称轴 则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 在区间ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C. 点5π,024⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D. 将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍 纵坐标不变 再把得到的图象向左平移π6个单位长度 可得到一个奇函数的图象【答案】C 【详解】对于A 由题意可知 函数()f x 的最小正周期为ππ242T =⨯= A 错误 2π4Tω== ()()sin 4f x x ϕ=+因为直线π12x =-是函数()f x 的一条对称轴 则()ππ4πZ 122k k ϕ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭得()5ππZ 6k k ϕ=+∈ 因为π2≤ϕ 则π6ϕ=- 所以 ()πsin 46f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.对B 当ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时 5πππ4666x -≤-≤ 故函数()f x 在区间ππ,612⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调 B 错对C()5πsin π024f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ 故点5π,024⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 C 对 对D 由题意可知 ()πππsin 2sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦不为奇函数 D 错. 故选：C. 10.（2024·天津西青区·高三上期末）将函数sin cos 22y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象沿x 轴向左平移8π个单位后 得到一个偶函数的图象 则ϕ的取值不可能是（ ） A. 34π-B. 4π-C.4π D.54π 【答案】B 【详解】将()1sin cos sin 2222y x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到的图象对应的函数为1sin 224y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由题意得()42k k Z ππϕπ+=+∈ ①()4k k Z πϕπ=+∈当1,0,1k =-时 ϕ的值分别为34π-4π 54π所以ϕ的取值不可能是4π-.故选：B. 11.（2024·天津八校联考·高三上期末）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的对称中心到对称轴的最小距离为π4将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后所得图象关于y 轴对称 且()()12max 1f x f x -=关于函数()f x 有下列四种说法： ①π6x =是()f x 的一个对称轴 ②π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 ③()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ④若()()120f x f x == 则12π2k x x -= ()k ∈Z ． 以上四个说法中 正确的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为π4可得1π44T = 即2ππT ω== 得2ω= 将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后可得()2πsin 23f x A x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭其图象关于y 轴对称 所以()f x 偶函数 则2πππ32k ϕ-+=+ Z k ∈ 解得7ππ6k ϕ=+ Z k ∈ 由π2ϕ<可知当1k =-时 π6ϕ=符合题意由()()12max 21f x f x A -==可得12A = 因此()1πsin 226f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于① 当π6x =时 π1ππ1sin 262662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 取得最大值所以π6x =是()f x 的一个对称轴 即①正确 对于② 当π3x =-时 π12ππ1sin 032362f ⎛⎫⎛⎫-=-+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以π,03⎛⎫-⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心 即②错误 对于③ 当π20,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时 可得ππ7π2,666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ 又sin y x =在π7π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调 所以()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递增的 所以③错误 对于④ 若()()120f x f x == 由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期 所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍 由()1πsin 226f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭周期为π可得12π2k x x -=()k ∈Z 即④正确 所以正确的个数只有①和④共2个.故选：B12.（2024·天津塘沽一中·高三上期末）已知函数())3cos cos f x x x x =+.下列结论错误．．的是（ ） A. ()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭ B. π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值 C. ()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后 再向上平移12个单位长度 可得到()f x 的图象.【答案】A 【详解】由题意可得：()()3sin cos cos f x x x x =+3cos21π1sin 2262+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭x x x 对于选项A ：因为5π5ππ111sin sin π1266222⎛⎫⎛⎫=++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 所以()f x 的一个对称中心为5π1,122⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故A 错误 对于选项B ：πππ1π13sin sin 6362222⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 所以π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最大值 故B 正确 对于选项C ：因为ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 则πππ2,622x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦ 且sin y x =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增 所以()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 故C 正确对于选项D ：把函数cos 2y x =的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度后 得到πππππcos 2cos 2cos 2sin 263626⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦y x x x x 的图象 再向上平移12个单位长度 得到()π1sin 262⎛⎫=++= ⎪⎝⎭y x f x 的图象 故D 正确 故选：A. 13.（2024·天津部分区·高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向左平移π6个单位长度 得到函数()g x 的图象 则()g x 所具有的性质是（ ）A. 图象关于直线π6x =对称B. 图象关于点5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称 C. ()g x 的一个单调递增区间为ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 曲线()y g x =与直线3y =的所有交点中 相邻交点距离的最小值为π6 【答案】D 【详解】由题意()ππsin 2sin 326g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于A 133πππ33sin g ⎛⎫⎛⎫=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以图象不关于直线π6x =对称 故A 错误 对于B 5π5ππ1sin 022163g ⎛⎫⎛⎫=+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以图象不关于点5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称 故B 错误 对于C 当ππ,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 2π2,ππ3t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦ 由复合函数单调性可知此时()g x 单调递减 故C 错误 对于D 若()23π3sin 2g x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 则ππ22π33x k +=+或()π2π22π,Z 33x k k +=+∈ 所以曲线()y g x =与直线3y =的所有交点中 相邻交点距离的最小值为2πππ3326=-.故选：D.。

2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（三角函数的性质）练习一、基础小题练透篇1．在函数①y ＝cos |2x |，②y ＝|cos x | ，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4 中，最小正周期为π 的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④ 2．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 3．[2023ꞏ陕西省商洛模拟]函数f (x )＝2cos 22x 图象的一个对称中心为( )A ．⎝⎛⎭⎫－π8，0B ．⎝⎛⎭⎫－π4，1 C ．⎝⎛⎭⎫－π8，1 D ．⎝⎛⎭⎫π4，0 4．[2023ꞏ江苏连云港模拟]函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π6 在[0，5]上的最大值与最小值之和是( )A ．2－3B ．0C ．1D ．2＋35．[2023ꞏ浙江省十校联盟联考]同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3 上是增函数”的一个函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6 6．[2023ꞏ贵州毕节模拟]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ，若将f (x )的图象向右平移π6 个单位后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，则( )A ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6 B ．g (x )＝sin 4x C ．g (x )＝sin xD ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π67．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 的单调递增区间是________． 8．如果函数y ＝cos (2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0 对称，那么|φ|的最小值为________．二、能力小题提升篇1.[2023ꞏ四川省遂宁市射洪中学考试]在函数y ＝sin |x |，y ＝|sin x |，y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 中，最小正周期为π的函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．[2023ꞏ陕西蒲城模拟]将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 的图象向右平移π6 个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称中心的坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎫π24，0B ．⎝⎛⎭⎫－π24，0C ．⎝⎛⎭⎫π12，0D ．⎝⎛⎭⎫－π12，0 3．[2023ꞏ重庆测试]已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π2 )，现有如下四个命题：甲：该函数的最大值为2 ；乙：该函数图象可以由y ＝sin 2x ＋cos 2x 的图象平移得到； 丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π；丁：该函数图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫2π3，0 . 如果只有一个假命题，那么该命题是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁4．[2023ꞏ天津市武清区模拟]将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的图象向左平移π6 个单位后，得到的函数恰好为偶函数，则φ＝________．5．[2023ꞏ山西省三晋名校阶段性考试]设函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫ωx －π3 －1()ω>0 ，给出下列结论：①若||f ()x 1－f （x 2） ＝2，||x 1－x 2 min ＝π，则ω＝1；②存在ω∈(0，1)，使得f (x )的图象向左平移π3 个单位长度后得到的图象关于原点对称；③若f (x )在[]0，π 上有且仅有4个零点，则ω的取值范围为⎣⎡⎭⎫1912，2512 ；④∀ω∈(0，1)，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π4 上单调递增． 其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4三、高考小题重现篇1.[2021ꞏ山东卷]下列区间中，函数f (x )＝7sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 单调递增的区间是( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，π2 B ．⎝⎛⎭⎫π2，π C ．⎝⎛⎭⎫π，3π2 D ．⎝⎛⎭⎫3π2，2π 2．[2021ꞏ全国乙卷]函数f (x )＝sin x3 ＋cos x 3 的最小正周期和最大值分别是( ) A ．3π和2 B ．3π和2 C ．6π和2 D ．6π和23．[2020ꞏ天津卷]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 .给出下列结论： ①f (x )的最小正周期为2π；②f ⎝⎛⎭⎫π2 是f (x )的最大值；③把函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3 个单位长度，可得到函数y ＝f (x )的图象． 其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③4．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]记函数f (x )＝sin (ωx ＋π4 )＋b (ω>0)的最小正周期为T .若2π3 <T <π，且y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2 中心对称，则f ⎝⎛⎭⎫π2 ＝( ) A ．1 B ．32 C ．52 D ．35．[2019ꞏ北京卷]函数f (x )＝sin 22x 的最小正周期是________．6．[2022ꞏ全国乙卷]记函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T ，若f (T )＝32 ，x ＝π9 为f (x )的零点，则ω的最小值为________．四、经典大题强化篇1.[2023ꞏ河南省驻马店市环际大联考]已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2 )，其图象经过M ⎝⎛⎭⎫0，12 ，且函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π4 . (1)求f (x )解析式；(2)是否存在正实数m ，使f (x )图象向左平移m 个单位长度后所得图象对应的函数是偶函数，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由．2．[2023ꞏ福建省闽江口月考]已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 －1. (1)求f (x )的最小正周期和单调区间； (2)用五点法作出其简图；(3)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4 上最大值和最小值．参考答案一 基础小题练透篇1．答案：C答案解析：∵y ＝cos |2x |＝cos 2x ，∴T ＝2π2＝π；y ＝|cos x |图象是将y ＝cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 周期为π，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 周期为π2 . 2．答案：B答案解析：对于A ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝cos 2x ，是偶函数，不符合题意； 对于B ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝－sin 2x ，是奇函数，最小正周期T ＝2π2 ＝π，符合题意；对于C 和D ，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 和y ＝2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 都是非奇非偶函数，不符合题意．3．答案：C答案解析：f （x ）＝2cos 22x ＝cos4x ＋1，令4x ＝π2 ＋k π（k ∈Z ），得x ＝π8 ＋k π4（k ∈Z ），当k ＝－1时，x ＝－π8 ，即f （x ）图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1 . 4．答案：B答案解析：因为0≤x ≤5，则－π6 ≤π3 x －π6 ≤3π2 ，∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6 ≤1，－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6 ≤2，∴f （x ）max ＋f （x ）min ＝0.5．答案：B答案解析：对于A ，函数的最小正周期T ＝2π12＝4π，故A 不符合题意；对于B ，函数的最小正周期T ＝2π2＝π， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 ，2x －π6 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 ，所以函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 上是增函数，故B 符合题意；对于C ，函数的最小正周期T ＝2π2 ＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 ，2x ＋π3 ∈[]0，π ，所以函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 上是减函数，故C 不符合题意；对于D ，函数的最小正周期T ＝2π2 ＝π，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 ，2x －π6 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 ，所以函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 上不具有单调性，故D 不符合题意．故选B.6．答案：D答案解析：将函数f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 的图象向右平移π6，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 的图象；再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 的图象．7．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3 ，k ∈Z 答案解析：因为函数y ＝cos x 的单调递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z ， 所以2k π－π≤x －π3 ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－2π3 ≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 的单调递增区间是[2k π－2π3 ，2k π＋π3 ]，k ∈Z .8．答案：π6答案解析：由y ＝cos （2x ＋φ）的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 对称，可得π3 ＋φ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，即φ＝π6 ＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6 ，故|φ|的最小值为π6.二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：函数y ＝sin |x |的图象如图所示由图可知，函数y ＝sin ||x 不是周期函数，f ()x ＋π ＝||sin ()x ＋π ＝||－sin x ＝||sin x ＝f （x ），则函数y ＝|sin x |的最小正周期为π；y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 的周期为T ＝π1 ＝π，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 的周期为T ＝2π2 ＝π. 故选C. 2．答案：A答案解析：函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 的图象向右平移π6 个单位长度， 所得函数图象的答案解析式为y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4 ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12 ， 令2x －π12 ＝k π（k ∈Z ），得x ＝k π2 ＋π24 ，k ∈Z .令k ＝0，则x ＝π24， 即平移后的图象中与y 轴最近的对称中心的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，0 .3．答案：B答案解析：由命题甲：该函数的最大值为2 ，可得A ＝2 ；由命题乙：由y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ，可知A ＝2 ，ω＝2； 由命题丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π， 可得ω＝1，所以命题乙和命题丙矛盾；若假命题是乙，则f （x ）＝2 sin （x ＋φ），由命题丁：该函数图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 ，可得f ⎝ ⎛⎭2π3 ＝2 sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ ＝0，因为0<φ<π2 ，可得φ＝π3，符合题意；若假命题是丙，则f （x ）＝2 sin （2x ＋φ）， 由命题丁：该函数图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 ，可得f ⎝ ⎛⎭2π3 ＝2 sin⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ ＝0，可得φ＝k π－4π3 ，k ∈Z ，不满足条件0<φ<π2，所以假命题是乙． 4．答案：π6答案解析：由题意，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ 是一个偶函数， ∴π3 ＋φ＝π2 ＋k π，（k ∈Z ），则φ＝π6 ＋k π，（k ∈Z ），又|φ|<π2 ，∴φ＝π6 . 5．答案：C答案解析：因为f （x ）＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3 －1＝cos ⎝ ⎛⎭2ωx －2π3 ，所以f （x ）的最小正周期为2π2ω＝πω .对于①，因为||f ()x 1－f （x 2） ＝2，故f ()x 1 ，f （x 2）分别为最大、最小值，由于||x 1－x 2 min ＝π，所以f （x ）的最小正周期T ＝2π，所以πω ＝2π⇒ω＝12 .故①错误；对于②，图象变换后所得函数为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋2πω3－2π3 ， 若其图象关于原点对称，则2πω3 －2π3 ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，解得ω＝74 ＋32k ，k ∈Z ，当k ＝－1时，ω＝14∈（0，1），故②正确；对于③，当x ∈[]0，π 时，2ωx －2π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2πω－2π3 ，因为f （x ）在[]0，π 上有且仅有4个零点，所以5π2 ≤2πω－2π3 <7π2 ，解得1912 ≤ω<2512，故③正确；对于④，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4 时，2ωx －2π3 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ3－2π3，ωπ2－2π3 ，因为ω∈（0，1），所以－ωπ3－2π3 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－2π3 ，ωπ2 －2π3 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，－π6 ， 所以f （x ）在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4 上单调递增．故④正确．综上，正确的个数为3.故选C.三 高考小题重现篇1．答案：A答案解析：因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2 ()k ∈Z ， 对于函数f ()x ＝7sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 ，由2k π－π2 <x －π6 <2k π＋π2 ()k ∈Z ，解得2k π－π3 <x <2k π＋2π3()k ∈Z ，取k ＝0，可得函数f ()x 的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3 ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π ⊄⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3 ，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取k ＝1，可得函数f ()x 的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，8π3 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 ⊄⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3 且⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 ⊄⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，8π3 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π ⊄⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，8π3 ，CD 选项均不满足条件．2．答案：C答案解析：因为函数f （x ）＝sin x 3 ＋cos x 3 ＝2 （22 sin x 3 ＋22cos x3 ）＝2（sin x 3 cos π4 ＋cos x 3 sin π4 ）＝2 sin （x 3 ＋π4 ），所以函数f （x ）的最小正周期T ＝2π13＝6π，最大值为2 .3．答案：B答案解析：f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 的最小正周期为2π，①正确；sin π2 ＝1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 为f （x ）的最大值，②错误；将y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度得到f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 的图象，③正确．4．答案：A答案解析：因为2π3 ＜T ＜π，所以2π3 ＜2π|ω|＜π.又因为ω＞0，所以2＜ω＜3.因为y ＝f （x ）的图象关于点（3π2 ，2）中心对称，所以b ＝2，3π2 ω＋π4＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－16 ＋23 k ，k ∈Z .令2＜－16 ＋23 k ＜3，解得134 ＜k ＜194.又因为k ∈Z ，所以k＝4，所以ω＝52 .所以f （x ）＝sin （52 x ＋π4 ）＋2，所以f （π2 ）＝sin （5π4 ＋π4）＋2＝1.故选A.5．答案：π2答案解析：∵f （x ）＝sin 22x ＝1－cos4x 2 ，∴f （x ）的最小正周期T ＝2π4 ＝π2.6．答案：3答案解析：因为T ＝2π|ω| ，ω>0，所以ω＝2πT .由f （T ）＝32 ，得cos （2π＋φ）＝32 ，即cos φ＝32 .又因为0<φ<π，所以φ＝π6 .因为x ＝π9为f （x ）的零点，所以ωπ9＋π6 ＝k π＋π2 ，k ∈Z ，解得ω＝9k ＋3，k ∈Z .又因为ω>0，所以ω的最小值为3.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）∵图象经过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 ，∴12 ＝sin φ，|φ|<π2 ，∴φ＝π6 ， ∵函数f （x ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π4，∴2πω ＝π2，∴ω＝4， 则f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6 . （2）设g （x ）＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4（x ＋m ）＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋4m ＋π6 ， ∵g （x ）是偶函数，∴4m ＋π6 ＝π2＋k π（k ∈Z ）， ∴m ＝π12 ＋k π4（k ∈Z ），∵m 为正实数，∴m min ＝π12 .2．答案解析：（1）f （x ）＝4cos x （32 sin x ＋12cos x ）－1＝23 sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3 sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 . 所以，函数f （x ）的最小正周期T ＝2π2＝π，令－π2 ＋2k π≤2x ＋π6 ≤π2 ＋2k π（k ∈Z ），解得－π3 ＋k π≤x ≤π6 ＋k π（k ∈Z ）.令π2 ＋2k π≤2x ＋π6 ≤3π2 ＋2k π（k ∈Z ），解得π6 ＋k π≤x ≤2π3 ＋k π（k ∈Z ）.所以，f （x ）的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π ，减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π ，k ∈Z ；（2）列表：（3）因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4 ，所以2x ＋π6 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3 ，所以，当2x ＋π6 ＝－π6 时，f （x ）取得最小值－1，当2x ＋π6 ＝π2时，f （x ）取得最大值2.。

2020年高考数学专项突破50题（4）--三角函数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（本题共40道小题，每小题2分，共80分）1.下列四个命题中，假命题的是（ ）A. 对于任意的α、β值，使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+恒成立B. 不存在α、β值，使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+≠+C. 存在这样的α、β值，使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=-D. 不存在无穷多的α、β值，使得sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=- 2.把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象（部分图象如图所示），则()y f x =的解析式为（ ）A. ()2sin(2)6f x x π=+ B. ()2sin()6f x x π=+ C. ()2sin(4)6f x x π=+D. ()2sin()6f x x π=-3.使得3tan 233x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭成立，且[)0,2x π∈的x 个数是（ ） A. 5 B. 4C. 3D. 24.如果点(sin cos ,cos )P θθθ⋅位于第三象限，那么角θ位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限5.已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3b =，c =，30B =︒，则AB 边上的中线的长为( )B.34C. 32或2D.34或26.已知在△ABC 中，AB =，AC =BC =，若O 为△ABC 的外心且满足AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则6x y +=（ ）A. 1B. 3C. 5D. 67.在△ABC 中，BC a =，CA b =，AB c =，下列说法中正确的是（ ）A.B. 为边长一定可以作成一个锐角三角形C. 为边长一定可以作成一个直角三角形D. 8.=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49.已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且02πα-<<，则2sin 22sin αα+等于（ ）A. 552- B. 52-C.2510.已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π- B. 0 C.3π D.23π 11..已知锐角△ABC 的外接圆半径为33BC ，且3,4AB AC ==,则BC =（ ） A. 37 B. 6C. 5D. 1312.如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E ．从D 点测得67.5ADC ︒∠=，从C 点测得45︒∠=ACD ，75BCE ︒∠=，从E 点测得60BEC ︒∠=.若测得23DC =，2CE =（单位:百米），则A ，B 两点的距离为( )6 B. 2 C. 3D. 2313.已知函数()()arctan 1f x x =-,若存在12,[,]x x a b ∈，且12<x x ，使12()()f x f x ≥成立，则以下对实数,a b 的推述正确的是（ ） A. <1a B. 1a ≥C. 1b ≤D. 1b ≥14. 已知P （14，1），Q （54，－1）分别是函数()()cos f x x ωϕ=＋0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图象上相邻的最高点和最低点，则ωϕ-=（ ） A. 54π- B. 54πC. －34π D.34π 15.19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（ ） A.12B. 12-3 D. 3 16.若函数()g x 的图象可由函数()sin 232f x x x = 的图象向右平移6π个单位长度变换得到，则()g x 的解析式是（ ） A. ()2sin 2g x x =B. ()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()2cos2g x x =D. 2g()2sin 23x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭17.已知(,)2παπ∈，且3sin cos 3αα+=-，则cos2=α （ ）A. 53B. 53-C.253D. 253-18.设函数sin 2()y x x R =∈的图象分别向左平移m (m >0)个单位，向右平移n (n >0>个单位，所得到的两个图象都与函数sin(2)6y x π=+的图象重合m n +的最小值为（ ） A.23π B.56π C. πD.43π 19.若函数sin()0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且0OM ON ⋅=u u u u r u u u r，则A ω⋅=（ ）A.6π B.7π C.7π D.4π 20.2662cos 430-=o( ) A. 8 B.－8C. 86-D. 4621.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数的图象沿x 轴向左平移个单位，得到函数的图象，关于函数，下列说法正确的是( )A. 在[,]42ππ上是增函数B. 其图象关于直线4x π=-对称C. 函数是奇函数D. 当[0,]3x π∈时，函数的值域是[－1,2]22.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知02,3,60a b B ===，那么角A 等于（ ） A. 135° B. 90°C. 45°D. 30°23.已知2sin 52sin 3cos 2333x x x ππ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.19 B. 19-C.13D. 13-24.若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A. －2和0 B. 0 和1C. ±1D. ±225.已知ϕ是常数，如果函数()5cos 2y x ϕ=-+的图像关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，那么ϕ的最小值为（ ） A.3πB.4π C.6π D.2π 26.关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是( ） A. 其图象关于直线4πx =-对称 B. 其图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 其值域是[－1,3]D. 其图象可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的13得到27.一船以每小时的速度向东行驶，船在A 处看到一灯塔B 在北偏东60°，行驶4小时后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为（ ）A. 60kmB.C.125km D. 30km28.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A b B a tan tan 22=，则△ABC 的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形29.已知α是第四象限角，3sin 5α=-，则tan()4πα-=（ ） A. －5 B. 5 C. －7 D. 7 30. 若cos 2cos sin sin θθθθ+=-，则2sin θ的值是（ ）A. 35- B.35C. 45-D.4531.已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图像（ ）A. 关于点(,0)12π对称 B. 关于点(,0)6π对称C. 关于直线12x π=对称D. 关于直线3x π=对称32.定义函数()sin ,sin cos cos ,sin cos x x xf x x x x ≥⎧=⎨<⎩，下列命题中正确的是（ ）A. 该函数的值域是[－1,1]B. 该函数是以π为最小正周期的周期函数C. 当且仅当2x k ππ=+（k ∈Z ）时，该函数取到最大值D. 当且仅当32+2+2k x k ππππ<<（k ∈Z ）时，()0f x < 33.要得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos 2y x =的图象（ ） A. 向右平移3π个单位 B. 向左平移3π个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向左平移6π个单位 34.函数2sin y x =的定义域为[,]a b ，值域为[－2,1]，则b a -的值不可能是（ ） A.56π B.76π C.53π D. π35.函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A. 向右平移π4个单位长度 B. 向左平移π4个单位长度 C. 向右平移π12个单位长度 D. 向左平移π12个单位长度 36.已知()21tan ,tan tan 5444ππαββα⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么等于（ ） A.1318B.1322C.322D.1637.电流强度I(安)随时间t (秒)变化的函数()πI Asin ωx φ(A 0,ω0,0)2ϕ=+>><<的图象如图所示,则当1t 100=秒时,电流强度是( )A. －5AB. 5AC.D. 10A38.函数y =的定义域是（ ）A. {|22,}2x k x k k Z πππ≤≤+∈ B. {|,}2x k x k k Z πππ≤≤+∈C. {|,}3x k x k k Z πππ≤≤+∈D. {|,}33x k x k k Z ππππ-≤≤+∈39. 若1cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A. 34- B. 12-C.78D. 78-40.在△ABC 中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =（ ） A.5665 B. 3365-C.5665或1665- D. 1665-第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、（本题共10道小题，每小题7分，共70分）41.若sin sin()sin 2C B A A +-=，试判断△ABC 的形状. 42.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 3cos 3, 1.B B a +== （I ）求角B 的大小；（II ）若b 是a 和c 的等比中项，求△ABC 的面积. 43.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+. （1）求角C ；（2）若△ABC 的面积为3S c =，求ab 的最小值. 44.已知函数44()3sin 2cos sin 1f x x x x ωωω=+-+ (其中01ω<<)，若点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心．(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的最小正周期； (2)将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，用 “五点作图法”作出函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象．45.如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米)，在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得2AM =千米，2AN =千米．(1)求线段MN 的长度；(2)若︒=∠60MPN ，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．46.如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点(,)B B B x y ，设BAO β∠=.（1）用β表示α； （2）如果用4sin 5β=，求点(,)B B B x y 坐标. 47.已知函数()2cos 3cos )f x x x x =+． （I ）求函数()f x 的最小正周期和对称中心坐标； （II ）讨论()f x 在区间[0,]2π上的单调性．48.在平面四边形ABCD 中，内角B 与D 互补.4AB AD ==，.5,1BC CD ==. （Ⅰ）求AC ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积。