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1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， 所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．(2018·郑州高二检测)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x >0，所以f ′(x )>0即x－2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3解析：选A.因为f ′(x )＝e x（x －2）x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e解析：选D.因为f ′(1)为常数， 所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， 所以f ′(1)＝31－2e.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________． 解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 37．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2， 所以4a ＋2b ＝2， 即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数， 所以f ′(x )是奇函数， 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x（x －1）x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0， 得e x0（x 0－1）x 20＋e x0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.① 因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：选D.若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－xe－x，则f ″(x )＝2e－x－x e－x＝(2－x )e －x，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )>0，不是凸函数．13．已知曲线y ＝e 2x·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：因为y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x ， 所以y ′|x ＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ， 得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．。
第二课时导数的运算法例预习课本P15～ 18，思虑并达成以下问题(1)导数的四则运算法例是什么？在使用运算法例时的前提条件是什么？(2)复合函数的定义是什么，它的求导法例又是什么？[新知初探 ]1．导数的四则运算法例(1)条件： f(x)， g(x)是可导的．(2)结论：① [f(x) ±g(x)] ＝′f′(x)±g′(x)．② [f (x)g(x)] ＝′ f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)．③f x′＝f xg x － f x g x(g(x) ≠ 0)．g x2[g x[点睛 ]应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推行到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零 )必可导．(3)若两个函数不行导，则它们的和、差、积、商不必定不行导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适合的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是 y＝ f(g( x))．②可分解为 y＝ f(u)与 u＝ g(x)，此中 u 称为中间变量．(2)求导法例：复合函数y＝ f (g(x))的导数和函数y＝ f(u)， u＝ g(x)的导数间的关系为：y x′＝ y u′·u x′.[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1) f′(x)＝2x，则 f(x)＝ x2 .()(2)函数 f(x)＝ xe x的导数是 f′(x)＝e x(x＋ 1)． ()(3)函数 f(x)＝ sin(－ x)的导数为 f′(x)＝ cos x． ()答案： (1) × (2) √ (3) ×2．函数 y ＝ sin x ·cos xA ． y ′＝ cos 2x ＋ sin 2xC ． y ′＝ 2cos x ·sin x答案： B的导数是()B ． y ′＝ cos 2xD ． y ′＝ cos x ·sin x3．函数 y ＝ xcos x － sin x 的导数为 ________．答案： － xsin x4．若 f(x)＝ (2x ＋ a)2，且 f ′(2)＝ 20，则 a ＝ ________.答案： 1利用导数四则运算法例求导[典例 ] 求以下函数的导数：2＋ log 3x ； (2)y ＝ x 3 x(3)y ＝ cos x(1) y ＝ x ·e ；x .解 ′＝ 2＋ log ＝′ 2 ) ′＋ (log′ [ ] (1) y (x 3x)(x 3x) ＝ 2x ＋ 1.xln 33 x 3x3 x′′＝ · ) ′＝ ( x) ′·e＋x· )(2) y(x e(e＝ 3x 2·e x ＋x 3 ·e x ＝ e x (x 3＋ 3x 2)． (3) y ′＝ cos x ′＝ xx － cos x x2xx － x ·sin x － cos x xsin x ＋ cos x＝ 2 ＝－ 2. xx求函数的导数的策略(1)先划分函数的运算特色，即函数的和、差、积、商，再依据导数的运算法例求导数．(2) 对于三个以上函数的积、商的导数，挨次转变为“两个 ”函数的积、商的导数计算．[活学活用 ]求以下函数的导数：x(1) y ＝ sin x － 2x 2； (2)y ＝cos x ·ln x ； (3) y ＝ sin ex .解： (1)y ′＝ (sin x － 2x 2) ′＝ (sin x) ′－ (2x 2) ′＝ cos x － 4x. (2) y ′＝ (cos x ·ln x) ′＝ (cos x) ′·x ＋ln cos x ·(ln x) ′＝－ sin x ·ln x ＋ cos xx.e xxx － e x x(3) y ′＝ sin x ′＝sin 2x ＝ e x ·sin x － e x ·cos x e x x － cosx2 ＝2sin xsin x复合函数的导数运算[典例 ] 求以下函数的导数：(1) y ＝ 1 2； (2)y ＝ e sin(ax ＋b)；1－ 2x(3) y ＝ sin 2 2x ＋π3 ； (4)y ＝ 5log 2(2x ＋ 1)．[解 ] (1)设 y ＝u － 1， u ＝ 1－ 2x 2，2则 y ′＝ (u －12) ′ －(12x2) ′＝ －21u － 32 ·(－ 4x)＝－1 23 23.(1－ 2x )－2(－ 4x)＝ 2x(1－ 2x )－ 22(2) 设 y ＝ e u ， u ＝ sin v ， v ＝ ax ＋ b ，则 y x ′＝ y u ′·u v ′·v x ′＝ e u ·cos v ·asin(ax ＋b) ．＝ acos(ax ＋ b) ·e(3) 设 y ＝ uπ2， u ＝ sin v ， v ＝2x ＋ ，3则 y x ′＝ y u ′·u v ′·v x ′＝ 2u ·cos v ·22π＝ 4sin vcos v ＝ 2sin 2v ＝ 2sin 4x ＋ 3 .(4) 设 y ＝ 5log 2 u ， u ＝ 2x ＋ 1，则 y ′＝ 5(log 2u) ′·x ＋(21) ′＝ 10 ＝ 10 .uln 2 x ＋1． 求复合函数的导数的步骤2． 求复合函数的导数的注意点(1) 内、外层函数往常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导， 这是求复合函数导数时的易错点．[活学活用 ]求以下函数的导数：(1) y ＝ (3x － 2)2 ； (2) y ＝ ln(6x ＋ 4)；(3) y ＝ e 2x ＋1；(4)y ＝ 2x － 1；π； (6)y ＝ cos 2x.解： (1)y ′＝ 2(3x － 2) ·(3x －2) ′＝ 18x － 12；13；(2) y ′＝ 6x ＋ 4·(6x ＋ 4) ＝′3x ＋ 2(3) y ′＝ e 2x ＋ 1·(2x ＋ 1) ′＝2e 2x ＋1；(4) y ′＝ 1 ′＝1. ·(2x － 1) 2x － 1 2 2x － 1π ππ(5) y ′＝ cos 3x － 4 ·3x － 4 ′＝3cos 3x － 4 .(6) y ′＝ 2cos x ·(cos x) ′＝－ 2cos x ·sin x ＝－ sin 2x.与切线相关的综合问题2π[典例 ]处的切线斜率为 ________．(1) 函数 y ＝ 2cos x 在 x ＝12(2) 已知函数 f(x)＝ ax 2＋ ln x 的导数为 f ′(x)，①求 f(1)＋ f ′(1)．②若曲线 y ＝ f (x)存在垂直于 y 轴的切线，务实数a 的取值范围．[分析 ] (1) 由函数 y ＝ 2cos 2x ＝ 1＋ cos 2x ，得 y ′＝ (1＋ cos 2x) ′＝－ 2sin 2x ，所以函数在π 2sinπ＝处的切线斜率为－2 × ＝－1.x1212答案：－1(2) 解： ①由题意，函数的定义域为(0，＋ ∞)，由 f( x)＝ ax 2＋ ln x ，得 f ′(x)＝ 2ax ＋ 1，x 所以 f(1)＋ f ′(1)＝ 3a ＋ 1.② 因为曲线 y ＝ f(x)存在垂直于y 轴的切线， 故此时切线斜率为0，问题转变为在 x ∈ (0，＋∞)内导函数f ′(x)＝ 2ax ＋ 1存在零点，x即 f ′(x)＝ 0?2ax ＋ 1x ＝ 0 有正实数解，(5) y ＝ sin 3x － 4即 2ax 2＝－ 1 有正实数解，故有 a<0 ，所以实数 a 的取值范围是 (－∞， 0)．对于函数导数的应用及其解决方法(1) 应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及波及切线问题的综合应用．(2) 方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再依据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．[活学活用 ]若存在过点 (1,0) 的直线与曲线y ＝ x 3 和 y ＝ ax 2＋15都相切，则 a 的值为 ()4 x － 92521A ．－ 1 或－ 64B ．－ 1 或 4C ．－ 7或－ 25D ．－7或 74 644分析：选A 设过点 (1,0)的直线与曲线 y ＝ x 3 相切于点 (x 0， x 03)，则切线方程为y － x 03＝ 3x 02(x － x 0)，即 y ＝ 3x 02x － 2x 03.又点 (1,0)在切线上，代入以上方程得 3x 0＝ 0 或 x 0＝ .2当 x 0＝ 0 时，直线方程为 y ＝ 0.21525由 y ＝ 0 与 y ＝ ax ＋4 x － 9 相切可得 a ＝－ 64.当 x 0＝ 3时，直线方程为 y ＝ 27x － 27.24 42727215由 y ＝ 4 x － 4 与 y ＝ ax ＋ 4 x － 9 相切可得 a ＝－ 1.层级一学业水平达标1．已知函数 f (x)＝ ax 2 ＋c ，且 f ′(1)＝ 2，则 a 的值为 ()A ． 1B. 2C ．－ 1D ． 0分析： 选A∵ f(x)＝ ax 2＋ c ，∴ f ′(x)＝ 2ax ，又∵ f ′(1)＝ 2a ，∴ 2a ＝ 2，∴ a ＝ 1.2．函数2y ＝ (x ＋ 1) (x － 1)在x ＝ 1 处的导数等于()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：选 D y ′＝ [(x ＋ 1) 2] ′(x － 1)＋ (x ＋ 1) 22＝ 3x 2＋ 2x(x － 1) ′＝ 2(x ＋ 1) ·(x － 1) ＋ (x ＋ 1) － 1，∴ y ′|＝＝ 4.x 13．曲线 f(x)＝ xln x 在点 x ＝ 1 处的切线方程为 ( )A ． y ＝ 2x ＋ 2B ． y ＝ 2x － 2C ． y ＝ x － 1D ． y ＝ x ＋ 1分析：选C∵ f ′(x)＝ ln x ＋ 1，∴ f ′(1)＝ 1，又 f(1) ＝0，∴在点 x ＝ 1 处曲线 f(x)的切线方程为 y ＝ x － 1.4. 已知物体的运动方程为s ＝ t 2＋ 3(t 是时间， s 是位移 )，则物体在时辰 t ＝ 2 时的速度t为 ()19 17 A. 4B. 415 13C. 4D. 4分析：选D33 13∵ s ′＝ 2t －t ，∴ s ′|t2＝ 4－4＝4＝5．设曲线 y ＝ ax － ln(x ＋ 1)在点 (0,0) 处的切线方程为 y ＝ 2x ，则 a ＝ ()A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3分析：选Dy ′＝ a － 1，由题意得 y ′|x ＝0＝ 2，即 a － 1＝ 2，所以 a ＝3.x ＋ 13－ x ＋ 3 在点 (1,3)处的切线方程为 ________．6．曲线 y ＝ x22分析：∵ y ′＝ 3x － 1，∴ y ′x1＝ 3×1 － 1＝ 2.＝∴切线方程为 y － 3＝ 2(x －1) ，即 2x － y ＋ 1＝ 0.答案： 2x － y ＋ 1＝ 07．已知曲线y 1＝ 2－ 1与 y 2＝ x 3－ x 2＋ 2x 在 x ＝x 0 处切线的斜率的乘积为3，则 x 0＝x ________.分析： 由题知 y ′＝12处切线的斜率分别为12＝ 3x － 2x ＋ 2，所以两曲线在 x ＝ x2，1x ， y ′2x 02－2x 0＋ 2，所以3x 02－ 2x 0＋ 23x 02＝ 3，所以 x 0＝ 1.x 0答案： 1ππ8．已知函数 f (x)＝ f ′4 cos x ＋ sin x ，则 f 4 的值为 ________．π分析： ∵ f ′(x)＝－ f ′4 sin x ＋ cos x ，ππ 2 2∴ f ′4 ＝－ f ′4 ×2 ＋ 2 ，π得 f ′4 ＝ 2－ 1.∴ f( x)＝ ( 2－ 1)cos x ＋ sin x.π∴ f 4 ＝ 1. 答案： 19．求以下函数的导数：2e x ＋ 1x；(1) y ＝ xsin x ； (2)y ＝ e － 1x ＋ cos x(3) y ＝ x ＋ sin x ； (4)y ＝ cos x ·sin 3x.22解： (1)y ′＝ (x) ′sinx ＋ x(sin x) ′＝ sin 2 x ＋ x ·2sin x ·(sin x) ′＝sin 2x ＋ xsin 2x.(2) y ′＝ e x ＋ 1 ′ e x － 1－ e x ＋ 1e x － 1 ′x 1 2e －－ 2e x .＝x－ 12ex ＋ cos x ′ x ＋ sin x － x ＋ cos xx ＋ sin x ′(3) y ′＝x ＋ sin x2＝1－ sin xx ＋ sin x －x ＋ cos x1＋ cos xx ＋ sin x 2－ xcos x －xsin x ＋ sin x － cos x － 1 ＝ x ＋ sin x 2.(4) y ′＝ (cos x ·sin 3x) ′＝ (cos x) ′sinx3＋ cos x(sin 3x) ′＝－ sin xsin 3x ＋ 3cos xcos 3x＝ 3cos xcos 3x － sin xsin 3x.10．偶函数 f(x)＝ ax 4＋ bx 3＋ cx 2＋ dx ＋ e 的图象过点 P(0,1)，且在 x ＝ 1 处的切线方程为y ＝x － 2，求 f(x)的分析式．解： ∵ f(x)的图象过点 P(0,1)，∴ e ＝ 1.又∵ f( x)为偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)．故 ax 4＋ bx 3＋ cx 2＋ dx ＋ e ＝ ax 4－ bx 3＋ cx 2－ dx ＋ e.∴ b ＝ 0， d ＝ 0.∴ f(x)＝ ax 4＋ cx 2＋ 1. ∵函数 f(x)在 x ＝ 1 处的切线方程为y ＝ x － 2，∴切点为 (1，－ 1)．∴ a ＋ c ＋ 1＝－ 1.∵f′(x)|x＝1＝ 4a＋ 2c，∴ 4a＋ 2c＝ 1.∴a＝5， c＝－9.225492∴函数 f(x)的分析式为 f (x)＝x－ x ＋ 1.22层级二应试能力达标1．若函数 f(x)＝ ax4＋ bx2＋ c 知足 f′(1)＝ 2，则 f′(－1)等于 ()A．－ 1B．－ 2C． 2D． 0分析：选B∵ f′(x)＝ 4ax3＋ 2bx 为奇函数，∴ f′(－1)＝－ f′(1)＝－ 2. 2．曲线 y＝ xe x－1在点 (1,1)处切线的斜率等于 ()A． 2e B． eC． 2D． 1分析：选C函数的导数为 f′(x)＝ e x－1＋ xe x－1＝ (1＋ x)e x－1，当 x＝ 1 时， f′(1)＝ 2，即曲线x－1在点 (1,1)处切线的斜率k＝ f′(1)＝ 2，应选 C. y＝ xe3．已知函数 f (x)的导函数为 f′(x)，且知足 f(x)＝ 2xf ′ (e)＋ ln x，则 f′ (e)＝ ()－ 1B．－ 1A． e－ 1D．－ eC．－ e分析：选C∵ f(x)＝ 2xf′(e)＋ ln x，∴f′(x)＝ 2f′(e)＋1 x，∴f′(e)＝ 2f′(e)＋1，解得 f′(e)＝－1，应选 C.e e4．若 f(x)＝ x2－ 2x－ 4ln x，则 f′(x)＞ 0的解集为 ()A． (0，＋∞ )B． (－ 1,0)∪ (2，＋∞) C． (2，＋∞ )D． (－ 1,0)分析：选C∵ f(x)＝ x2－ 2x－ 4ln x，∴f′(x)＝ 2x－ 2－4x＞ 0，x＋x－或 x＞ 2，整理得＞ 0，解得－ 1＜ x＜ 0x又因为 f(x)的定义域为 (0，＋∞)，所以 x＞ 2.5．已知直线y＝ 2x－ 1 与曲线 y＝ ln(x＋ a)相切，则a 的值为 ________________．1分析：∵ y＝ ln(x＋ a)，∴ y′＝，设切点为(x0，y0)，1则 y0＝ 2x0－ 1， y0＝ ln(x0＋ a)，且x0＋a＝ 2，解之得 a＝1ln 2. 2答案：1ln 22x在点 (1,1)的切 l， l 上的点到x2＋ y2＋ 4x＋ 3＝ 0 上的点的6．曲 y＝2x－1近来距离是 ____________．分析： y′＝－1|y－ 1＝－ (x－ 1)，即 x＋ y－ 2 2， y′x＝1＝－ 1，∴切方程＝ 0，心 (－ 2,0)到直的距离d＝ 2 2，的半径 r＝ 1，∴所求近来距离 2 2－ 1.答案： 2 2－17．已知曲 f (x)＝ x3＋ ax＋ b 在点P(2，－ 6)的切方程是13x－ y－ 32＝ 0.(1) 求a， b 的；1(2)假如曲 y＝ f(x)的某全部与直 l：y＝－4x＋ 3 垂直，求切点坐与切的方程．解： (1)∵ f(x)＝ x3＋ ax＋ b 的数 f′(x)＝ 3x2＋ a，由意可得f′(2)＝ 12＋ a＝13， f(2)＝ 8＋ 2a＋ b＝－ 6，解得 a＝ 1， b＝－ 16.1(2)∵切与直 y＝－4x＋ 3 垂直，∴切的斜率k＝ 4.切点的坐(x0， y0)，2f′(x0)＝ 3x0＋ 1＝ 4，∴ x0＝±1.由 f( x)＝ x3＋x－ 16，可得 y0＝ 1＋ 1－ 16＝－ 14，或 y0＝－ 1－ 1－ 16＝－ 18.切方程y＝ 4(x－ 1)－ 14 或 y＝ 4(x＋ 1)－ 18.即 y＝ 4x－ 18 或 y＝ 4x－ 14.8． f n(x)＝ x＋ x2＋⋯＋ x n－ 1， x≥0， n∈ N， n≥2.(1) 求 f n′ (2)；明：在 0，2内有且有一个零点(a，且＜12n(2)f n(x)n)a n－＜n＋13023.解： (1)由 f n′(x)＝ 1＋ 2x＋⋯＋ nx n－1.所以 f n′ (2)＝ 1＋ 2×2＋⋯＋ (n－ 1)2n－2＋n·2n－1，①2f n′ (2)＝ 2＋ 2×22＋⋯＋ (n－ 1)2n－1＋ n·2n，②①－②得，－ f n′ (2)＝ 1＋ 2＋ 22＋⋯＋ 2n－1－ n·2n＝1－ 2n n n－ n·2＝ (1－ n) ·2－ 1，1－ 2所以 f n′ (2)＝ (n－1)n ·2＋1.(2)因 f(0)＝－ 1＜ 0，22nn 231－3－ 1＝1－2×2n2×22＞ 0，f3＝23≥ －3 1－13因 x≥0， n≥2.所以 f n(x)＝ x＋ x2＋⋯＋ x n－ 1 增函数，所以 f n(x)在 0，2内增，3所以 f n在 0，2内有且有一个零点 a n(x)3.n＋ 1x－ x因为 f n(x)＝－1，n＋1所以 0＝ f n(a n) ＝a n－ a n－ 1，1－ a n由此可得11n＋ 11，故12 a n＝＋a n＞2＜ a n＜ .22231 1 n＋112 n＋1n所以 0＜ a n－22＝2a n＜2×3＝3n＋ 1.。
第一章 1．2.1 几个常用函数的导数1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)提能达标过关一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x 2D ．若y ＝x ，则y ′＝x 2解析：若y ＝cos x ，则y ′＝－sin x ，∴A 错；若y ＝sin x ，则y ′＝cos x ，∴B 错；若y ＝1x ＝x －1，则y ′＝－1·x －2＝－1x 2，∴C 正确；若y ＝x ＝，则y ′＝12·＝12x ，∴D 错． 答案：C2．函数y ＝e x 在点(0,1)处的切线方程为( )A ．y ＝1e x ＋1B ．y ＝e x ＋1C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋1解析：∵y ′＝e x ，∴k ＝f ′(0)＝e 0＝1，∴切线方程为y －1＝1·(x －0)，即y ＝x ＋1，故选D.答案：D3．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，切线的倾斜角为α，∵y ′＝(sin x )′＝cos x ，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝tan α.∵－1≤cos x 0≤1，∴－1≤tan α≤1.又∵0≤α＜π，∴0≤α≤π4或3π4≤α＜π.答案：A4．(2019·定州高三模拟)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：设函数y ＝f (x )的图象上两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为k 1＝f ′(x 1)，k 2＝f ′(x 2)，若函数具有T 性质，则k 1·k 2＝f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A 选项，f ′(x )＝cos x ，显然k 1·k 2＝cosx 1·cos x 2＝－1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，f ′(x )＝1x (x >0)，显然k 1·k 2＝1x 1·1x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，f ′(x )＝e x >0，显然k 1·k 2＝e x 1·e x 2＝－1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，f ′(x )＝3x 2≥0，显然k 1·k 2＝3x 12·3x 22＝－1无解，故该函数不具有T 性质．故选A.答案：A5．已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切，则k 的值为( )A ．eB ．－e C.1e D ．－1e 解析：∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x .设切点为(x 0，y 0)，则k＝1x0.由⎩⎨⎧y0＝kx0，y0＝ln x0，得⎩⎨⎧x0＝e，y0＝1.∴k＝1e.答案：C二、填空题6．若f(x)＝10x，则f′(1)＝________.解析：∵f(x)＝10x，∴f′(x)＝10x ln 10，∴f′(1)＝10ln 10.答案：10ln 107．曲线y＝log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．解析：y′＝1x ln 2，∴∴切线方程为y＝1ln 2(x－1)，令x＝0，得y＝－1ln 2，令y＝0，得x＝1，∴S＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1ln 2＝12ln 2.答案：1 2ln 28．(2019·寿光高二月考)设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 018(x)＝________.解析：由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 018(x)＝f2(x)＝－sin x.答案：－sin x三、解答题9．(2019·泉州高二月考)已知两条曲线y1＝sin x，y2＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．理由如下：由于y1＝sin x，y2＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处切线的斜率分别为 k 1＝y 1′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y 2′|x ＝x 0＝－sin x 0. 若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．10．已知函数y ＝12x 2的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线为l ，若l 也为函数y ＝ln x (0<x <1)的图象的切线，求证：3<x 0<2.证明：函数y ＝12x 2的导数为y ′＝x ，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，12x 02处的切线的斜率为k ＝x 0， 切线方程为y －12x 02＝x 0(x －x 0)，设切线与y ＝ln x 相切的切点为(m ，ln m )，0<m <1，由y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，可得x 0＝1m ，切线方程为y －ln m ＝1m (x －m )，令x ＝0，可得y ＝ln m －1＝－12x 02，由0<m <1，可得x 0>1，由m ＝1x 0，可得12x 02－ln x 0－1＝0， 令f (x )＝12x 2－ln x －1，x >1，∴f ′(x )＝x －1x >0，∴f (x )在(1，＋∞)上递增，且f (2)＝1－ln 2>0，f (3)＝32－12ln 3－1＝12(1－ln 3)<0，则有12x 02－ln x 0－1＝0的根x 0∈(3，2)． ∴3<x 0<2.由Ruize收集整理。
选修2-2 第一章 1.2 1.2.2 第1课时一、选择题1．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线x ＋4y －8＝0的斜率k ＝－14，∴直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A ．193B ．163C ．103D ．133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.∴选B.3．(2014·山师附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( )A ． 2B ．－ 2C ．0D ．22[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n的值为( )A ．1nB ．1n ＋1C ．n n ＋1D ．1[答案] B[解析] 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n ，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.则x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.5．(2014·合肥一六八高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.6．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 [答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.二、填空题7．过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程为________． [答案] 2x －3y －2π3＋32＝0[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线斜率是 y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎫x －π3， 即2x －3y －2π3＋32＝0.[点评] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y ′是否为零，当y ′＝0时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．8．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x ，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．9．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．[答案] (2,1)[解析] 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan135°＝－1， ∴－8x －30＝－1.∴x 0＝2，y 0＝1.三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.一、选择题11．(2014·长春市期末调研)已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A ．－e B ．e C ．－1eD ．1e[答案] D[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1， 又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e.12．(2014·山师附中高二期中)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] C[解析] 由条件知，点A 在直线上，∴k ＝2，又点A 在曲线上，∴a ＋b ＋1＝3，∴a ＋b ＝2.由y ＝x 3＋ax ＋b 得y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝k ，∴a ＝－1，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝1.13．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．π2B ．0C ．钝角D ．锐角 [答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.14．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] C[解析]f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，∴4为最小正周期，∴f2013(x)＝f1(x)＝cos x.故选C.二、填空题15．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________.[答案]212[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)...(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)...(0－a8)]′.0＝a1a2 (8)因为数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.16．(2014·宁夏三市联考)经过点P(2,1)且与曲线f(x)＝x3－2x2＋1相切的直线l的方程是________．[答案]4x－y－7＝0或y＝1[解析]设切点为(x0，x30－2x20＋1)，由k＝f′(x0)＝3x20－4x0，可得切线方程为y－(x30－2x20＋1)＝(3x20－4x0)(x－x0)，代入点P(2,1)解得：x0＝0或x0＝2.当x0＝0时切线方程为y＝1；当x0＝2时切线方程为4x－y－7＝0.综上得直线l的方程是：4x－y－7＝0或y＝1.三、解答题17．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．18．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数的解析式．[分析] f (x )在点M 处切线方程为x ＋2y ＋5＝0有两层含义，(一)是点M 在f (x )的图象上，且在直线x ＋2y ＋5＝0上，(二)是f ′(－1)＝－12.[解析] 由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2， ∴－a －61＋b＝－2，(1) 又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，∴f ′(－1)＝－12，∵f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋ab(x 2＋b )2，∴－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，(2) 由(1)(2)解得，a ＝2，b ＝3.(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)． ∴所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.。
第一章 1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)提能达标过关一、选择题1．下列求导正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x ＋ln 3)′＝3x ·ln 3＋13D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x 2，A 不正确；(3x ＋ln 3)′＝(3x )′＋(ln 3)′＝3x ln 3＋0＝3x ln 3，C 不正确；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确．答案：B2．曲线y ＝x x －2在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1解析：y ′＝x －2－x (x －2)2＝－2(x －2)2，曲线在点(1，－1)处的切线斜率 故切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.答案：D3．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3， ∵f (x )＋f ′(x )为奇函数，则φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π6，故选A.答案：A4．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12解析：由题意知g ′(1)＝2，∵f ′(x )＝[g (x )＋x 2]′＝g ′(x )＋2x . ∴k ＝f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝2＋2＝4.答案：A5．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋1的导函数为f ′(x )，若f ′(x )为奇函数，则有( )A ．a ≠0，c ＝0B ．b ＝0C ．a ＝0，c ≠0D ．a ＝c ＝0解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋1，∴f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∵f ′(x )为奇函数，∴a ＝c ＝0，故选D.答案：D二、填空题6．(2019·长庆高三模拟)已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程________________．解析：因为y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，所以y ′|x ＝0＝2，所以在点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.答案：y ＝2x ＋6或y ＝2x －47．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________． 解析：∵y ′＝x ′(3ln x ＋1)＋x (3ln x ＋1)′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4.∴∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.答案：4x －y －3＝08．若曲线f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：y ′＝1x ＋2ax ，x ∈(0，＋∞)，∵曲线y ＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，∴y ′＝1x ＋2ax ≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴a ≥－12x 2在(0，＋∞)上恒成立．令f (x )＝－12x 2，x ∈(0，＋∞)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )＝－12x 2<0，∴a ≥0，即实数a 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)三、解答题9．(2019·石嘴山高二期末)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )．(1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋1 x，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x∈(0，＋∞)内导函数f′(x)＝2ax＋1x存在零点，即f′(x)＝0⇒2ax＋1x＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．10．已知函数f(x)＝1＋ln x－a e x，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求实数a的值．解：∵f(x)＝1＋ln x－a e x，∴f′(x)＝1x－a ex，x∈(0，＋∞)．由于曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，∴f′(1)＝1－a e＝0，解得a＝1 e.∴实数a＝1 e.由Ruize收集整理。
1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)课时过关·能力提升基础巩固1函数f(x)=0的导数是()A.0B.1C.不存在D.不确定答案A2已知f(x)=xα,f'(-1)=-4,则α=()A.4B.-4C.5D.-5解析∵f'(x)=(xα)'=αxα-1,∴f'(-1)=α(-1)α-1.又f'(-1)=-4,∴α(-1)α-1=-4.将各选项代入检验,知当α=4时等式成立.故选A.答案A3已知曲线y=f(x)=x3在某点处的切线的斜率等于9,则这样的点()A.有一个B.有两个C.多于两个D.不能确定解析∵f'(x)=3x2,∴令3x2=9,得x=±∴可得切点坐标为(,3)和(-,-3).故满足条件的点有两个.答案B4y=cos x在x=处的切线斜率为()A. B.- C.- D.解析∵y'=(cos x)'=-sin x,∴y'=-sin=-.答案C5曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是,切线方程为.解析∵y'=(ln x)'=,∴y'|x=e=.∴切线方程为y-1=(x-e),即x-e y=0.答案x-e y=06若函数f(x)=log a x,f'(1)=-1,则a=.解析∵f'(x)=,∴f'(1)==-1.∴ln a=-1.∴a=.答案7曲线y=sin x在点处的切线方程为.解析因为y'=(sin x)'=cos x,所以y'.所以切线方程为y--,即x-2y+=0.答案x-2y+=08求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=log4x;(3)y=.解(1)y'='=(x-4)'=-4x-5=-.(2)y'=(log4x)'=.(3)y'=()'=()'=-.9若质点P的运动方程是s=(s的单位为m,t的单位为s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度.分析求质点P在t=8 s时的瞬时速度,根据瞬时速度的概念以及幂函数导数的求法知,求瞬时速度即是求在t=8 s时的导数.解∵s'=()'=()'=-,∴s'|t=8=-×2-1=.故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s.能力提升1下列结论正确的个数为()①若y=ln 2,则y'=;②若y=,则y'|x=3=-;③若y=2x,则y'=2x ln 2;④若y=log2x,则y'=.A.0B.1C.2D.3解析①y=ln 2为常数,所以y'=0,①错;②③④均正确,直接利用公式即可验证.答案D2曲线y=e x在(2,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B.2e2C.e2D.解析因为y'=e x,所以y'|x=2=e2.所以切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.当x=0时,y=-e2;当y=0时,x=1,所以所围成的三角形的面积S=×1×|-e2|=.答案D3若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3答案A4正弦曲线y=sin x(x∈(0,2π))上切线的斜率等于的切点坐标为.解析设切点坐标为(x0,y0)(x0∈(0,2π)),则由题意可得cos x0=,所以x0=,y0=或x0=,y0=-.故切点坐标为或-.答案或-5已知P,Q为抛物线x2=y上的两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过点P,Q分别作抛物线的切线,两条切线交于点A,则点A的纵坐标为.解析由已知可设P(4,y1),Q(-2,y2),∵点P,Q在抛物线x2=y上,∴-①②∴即P(4,16),Q(-2,4),如图所示.又抛物线为y=x2,∴y'=2x.∴过点P的切线斜率为y'|x=4=8.∴过点P的切线方程为y-16=8(x-4),即y=8x-16.又过点Q的切线斜率为y'|x=-2=-4,∴过点Q的切线方程为y-4=-4(x+2),即y=-4x-4.联立---得-故点A的纵坐标为-8.答案-8★6设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n,若a n=lg x n,则a1+a2+…+a99的值为.解析曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线斜率k=y'|x=1=(n+1)×1n=n+1,则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得x n=.∴a n=lg.∴a1+a2+…+a99=lg+lg+…+lg=lg…=lg=-2.答案-2★7已知直线y=kx是曲线y=ln x的一条切线,试求k的值.解设直线y=kx与曲线y=ln x相切时的切点坐标为(x0,y0).∵y=ln x,∴y'=,∴y'=k.∵点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=ln x上,∴①②把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式得x0=e.∴k=.。
第一章 导数及其应用1.2 导数的计算1.2.3 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）A 级 基础巩固一、选择题1．若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．sin αB ．cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α 解析：由f (x )＝sin π3－cos x ，得f ′(x )＝sin x ， 所以f ′(α)＝sin α.答案：A2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.103D.133解析：因为f (x )＝3ax 2＋18x ＋6，所以由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163. 答案：B3．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2，8)，则点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2解析：切线的斜率即为求y ＝4x 在x ＝2处的值．答案：C4．下列函数中，导函数是奇函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝e xC ．y ＝ln xD ．y ＝cos x －12解析：由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，所以A 错；由y ＝e x 得，y ′＝e x 为非奇非偶函数，所以B 错；C 中y ＝ln x 的定义域为{x |x ＞0}，所以C 错；D 中y ＝cos x －12，y ′＝－sin x 为奇函数，所以选D.答案：D5．设曲线y ＝ax －ln (x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：令f (x )＝ax －ln (x ＋1)，则f ′(x )＝a －1x ＋1. 所以f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.答案：D二、填空题6．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝____．解析：f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x＝1，即2x 2－x －1＝0.解得x ＝－12或x ＝1，又x ＞0，所以x ＝1. 答案：17．设曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________．解析：令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax 在点(0，1)处的切线的斜率为 f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax ，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.答案：28．已知函数f (x )＝ax ＋b e x 图象上在点P (－1，2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是__________________．解析：由题意可知，f ′(－1)＝－3，所以a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，所以－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52， b ＝－12e ，故f (x )＝－52x －12e x ＋1. 答案：f (x )＝－52x －12e x ＋1 三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝x e x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝2x x 2＋1； (4)y ＝x sin x －2cos x. 解：(1)y ′＝x ′·e x ＋x ·(e x )′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x .(2)因为(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6.所以y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x x 2＋1′＝（2x ）′（x 2＋1）－2x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝ 2（x 2＋1）－4x 2（x 2＋1）2＝2－2x 2（x 2＋1）2. (4)y ′＝(x sin x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x . 10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程． 解：(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又知f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又知g (0)＝3，所以g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)．即7x ＋y －3＝0.B 级 能力提升1．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为() A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1，0)解析：由f(x)＝x2－2x－4ln x得f′(x)＝2x－2－4x＞0，整理得（x＋1）（x－2）x＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又因为f(x)的定义域为{x|x＞0}，所以选项C正确．答案：C2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．解析：因为f′(x)＝2x＋2f′(1)，所以f′(1)＝2＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2，所以f′(x)＝2x＋2f′(1)＝2x－4，所以f′(0)＝－4.答案：－43．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0，1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．解：因为f(x)的图象过点P(0，1)，所以e＝1.又因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.所以b＝0，d＝0.所以f(x)＝ax4＋cx2＋1.因为函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，所以切点为(1，－1)．所以a ＋c ＋1＝－1. 因为f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，所以4a ＋2c ＝1，所以a ＝52，c ＝－92. 所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。
1．2.2 导数的运算法则能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．基础梳理1．若c 为常数，则(cu ) ′＝cu ′.(3x 2)′＝6x ．2．法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )．(x 3＋x 2)′＝3x 2＋2x ．3．法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．(x e x )′＝e x ＋x e x ．4．法则3：⎣⎢⎡⎦⎥⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）[v (x )≠0]． ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ′＝x e x －e xx 2． 想一想：已知h (x )＝2sin x ，f (x )＝x 2，g (x )＝3x. 则(1)h ′(x )＝________；(2)[f (x )＋g (x )]′＝________；(3)[h (x )－2f (x )]′＝__________；(4)[h (x )·f (x )]′＝________________；(5)[f (x )÷h (x )]′________________．答案：(1)h ′(x )＝2cos x ；(2)[f (x )＋g (x )]′＝2x －3x 2； (3)[h (x )－2f (x )]′＝(2sin x －2x 2)′＝2cos x －4x ；(4)[h (x )·f (x )]′＝(2sin x ·x 2)′＝2(sin x )′·x 2＋2sin x ·(x 2)′＝2x 2cos x ＋4x sin x ；(5)[f (x )÷h (x )]′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22sin x ′＝（x 2）′·2sin x －（2sin x ）′·x 24sin 2 x ＝4x sin x －2x 2cos x 4sin 2 x. 自测自评1．函数y ＝e x ln x 的导数是(C )A.e xxB ．e x ln xC ．e x ln x ＋e x x D.e x ln x x 2．(2013·江西卷)若曲线y ＝x α＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝_____________.解析：y ′＝αx α－1，则k ＝α，故切线方程y ＝αx 过点(1，2)解得α＝2.答案：2 3．函数y ＝x 2－sin x 2cos x 2的导数是____________．解析：因为y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，所以y ′＝2x －12cos x . 答案：y ′＝2x －12cos x基础巩固1．下列求导运算正确的是(B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x2. 对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则(A )A ．f (x )＝x 4－2B ．f (x )＝x 4＋2C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝－x 43．曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是(C)A ．－9B ．－3C ．9D ．15解析：∵y ′＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3，切线方程为y －12＝3(x －1)，即y ＝3x ＋9，令x ＝0，得y ＝9.故选C.4．(2014·高考广东卷)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为____________．解析：因为y ＝－5e x ＋3，所以y ′＝－5e x ，所以，所求切线的斜率为k ＝－5e 0＝－5，故所求切线方程为y －(－2)＝－5x ，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝0 能力提升5．下列求导式正确的是(C )①(2x 3－cos x )′＝6x 2＋sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ′＝1x 2； ③[(3＋x 2)(2－x 3)]′＝2x (2－x 3)＋3x 2(3＋x 2)；④⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos x x 2′＝2x （1＋cos x ）＋x 2sin x x 4； ⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3sin x ′＝3x 2sin x －x 3cos x sin 2x ； ⑥(tan x )′＝1cos 2x. A ．①②③⑤ B ．②④⑤⑥C ．①②⑤⑥D ．①②③④⑤⑥6．某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为y ＝f (t )＝10t ，则在时刻t ＝40 min 的降雨强度为(D )A ．20 mmB ．400 mmC.12 mmD.14mm 解析：降雨强度是降雨量对时间的导数，因为f ′(t )＝(10t 12)′＝102t ，所以f ′(40)＝10240＝14.7．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________．解析：f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x ＝1，即2x 2－x －1＝0.解得x ＝－12或x ＝1，又x >0，∴x ＝1.答案：18．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin x ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________． 解析：f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3cos x －sin x ，令x ＝π3， 则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝－2sin π3＝－3， 所以f (x )＝－3sin x ＋cos x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝－3sin π6＋cos π6＝0. 答案：09．已知曲线y ＝x 3－3x ，过点(0，16)作曲线的切线，求曲线的切线方程．解析：设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝y ′x ＝x 1＝3x 21－3，∴切线方程为y ＝(3x 21－3)x ＋16.又切点在切线上，∴y 1＝(3x 21－3)x 1＋16.∴x 31－3x 1＝(3x 21－3)x 1＋16，解得x 1＝－2.∴切线方程为y ＝9x ＋16，即9x －y ＋16＝0.10．证明：过曲线y ＝1x上的任何一点P (x 0，y 0)(x 0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数．证明：由y ＝1x ，得y ′＝－1x 2. ∴k ＝f ′(x 0)＝－1x 20.∴过点P (x 0，y 0)的切线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝y 0＋1x 0＝2x 0； 令y ＝0，得x ＝2x 0.∴过点P (x 0，y 0)(x 0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×2x 0×2x 0＝2是一个常数．。
选修2-2 第一章 1.2 1.2.2 第2课时1．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－4 [答案] D[解析] f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2.∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.2．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >CB ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A [答案] A[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .3．(2014·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1 D ．－e [答案] C[解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x， ∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e，故选C. 4．(2014·泸州市一诊)若曲线f (x )＝x －12在点(a ，f (a ))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝－12x －32，∴f ′(a )＝－12a －32， ∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12，令y ＝0得x ＝3a ，由条件知12·32a －12·3a ＝18， ∴a ＝64.5．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB .[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)，即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23.。
